2023届湖南长沙市广益中学数学九上期末统考模拟试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（每题4分，共48分）1．用配方法解方程,下列配方正确的是（）A． B．C． D．2．如图，⊙O中，点D，A分别在劣弧BC和优弧BC上，∠BDC=130°，则∠BOC=()A．120° B．110° C．105° D．100°3．今年元旦期间，某种女服装连续两次降价处理，由每件200元调至72元，设平均每次的降价百分率为，则得方程（）A． B．C． D．4．在一个布袋里放有个红球，个白球和个黑球，它们除了颜色外其余都相同，从布袋中任意摸出一个球是白球的概率（）A． B．C． D．5．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝35°，将△ABC绕点C逆时针旋转α角到△A1B1C的位置，A1B1恰好经过点B，则旋转角α的度数等（）A．70° B．65° C．55° D．35°6．如图，是的直径，，是上的两点，且平分，分别与，相交于点，，则下列结论不一定成立的是（）A． B． C． D．7．下列事件中，属于必然事件的是（）A．明天我市下雨B．抛一枚硬币，正面朝上C．走出校门，看到的第一辆汽车的牌照的末位数字是偶数D．一个口袋中装有2个红球和一个白球，从中摸出2个球，其中有红球8．如图是一根空心方管，则它的主视图是（）A． B． C． D．9．如图，菱形的边长是4厘米，，动点以1厘米/秒的速度自点出发沿方向运动，动点以2厘米/秒的速度自点出发沿方向运动至点停止，同时点也停止运动若点，同时出发运动了秒，记的面积为厘米2，下面图象中能表示与之间的函数关系的是（）A． B． C． D．10．下列条件中，能判断四边形是菱形的是（）A．对角线互相垂直且相等的四边形B．对角线互相垂直的四边形C．对角线相等的平行四边形D．对角线互相平分且垂直的四边形11．若将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形ABCD的形状，并使其面积为矩形面积的一半，则这个平行四边形的一个最小内角为（）A．30 B．45 C．60 D．9012．计算，正确的结果是（）A．2 B．3a C． D．二、填空题（每题4分，共24分）13．如图，⊙O的半径为4，点B是圆上一动点，点A为⊙O内一定点，OA＝4，将AB绕A点顺时针方向旋转120°到AC，以AB、BC为邻边作▱ABCD，对角线AC、BD交于E，则OE的最大值为_____．14．二次函数的图象经过点（4，﹣3），且当x＝3时，有最大值﹣1，则该二次函数解析式为_____．15．如图，在中，，是边上一点，过点作，垂足为,，，，求的长.16．若，则=____________．17．如图，将一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C的对应点为，再将所折得的图形沿EF折叠，使得点D和点A重合若，，则折痕EF的长为______．18．函数y＝﹣（x﹣1）2+1（x≥3）的最大值是_____．三、解答题（共78分）19．（8分）如图，已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后，再把△ABC沿射线AB平移至△FEG，DE、FG相交于点H．判断线段DE、FG的位置关系，并说明理由．20．（8分）在正方形中，点是边上一点，连接.图1图2（1）如图1，点为的中点，连接.已知，，求的长；（2）如图2，过点作的垂线交于点，交的延长线于点，点为对角线的中点，连接并延长交于点，求证：.21．（8分）某养殖场计划用96米的竹篱笆围成如图所示的①、②、③三个养殖区域，其中区域①是正方形，区域②和③是矩形，且AG∶BG＝3∶1．设BG的长为1x米．（1）用含x的代数式表示DF＝；（1）x为何值时，区域③的面积为180平方米；（3）x为何值时，区域③的面积最大？最大面积是多少？22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，求∠A的正弦值、余弦值和正切值．23．（10分）小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现：每月的销售量y(件)与销售单价x(元/件)之间的关系可近似地看作一次函数y＝－10x＋500，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%.(1)设小明每月获得利润为w(元)，求每月获得利润w(元)与销售单价x(元/件)之间的函数表达式，并确定自变量x的取值范围；(2)当销售单价定为多少元/件时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？24．（10分）解方程：25．（12分）如图，AG是∠PAQ的平分线，点E在AQ上，以AE为直径的⊙0交AG于点D，过点D作AP的垂线，垂足为点C，交AQ于点B．（1）求证：直线BC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为6，AC=2CD，求BD的长26．如图，已知抛物线经过点A（1，0）和B（0，3），其顶点为D．设P为该抛物线上一点，且位于抛物线对称轴右侧，作PH⊥对称轴，垂足为H，若△DPH与△AOB相似（1）求抛物线的解析式（2）求点P的坐标

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、C【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数的绝对值一半的平方．【详解】解：等式两边同时加上一次项系数的绝对值一半的平方22，，∴；故选：C．【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．2、D【分析】根据圆内接四边形的性质，对角互补可知，∠D+∠BAC=180°，求出∠D，再利用圆周角定理即可得出．【详解】解：∵四边形ABDC为圆内接四边形∴∠A+∠BDC=180°∵∠BDC=130°∴∠A=50°∴∠BOC=2∠A=100°故选：D．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，掌握圆内接四边形的性质是解题的关键．3、C【分析】设调价百分率为x，根据售价从原来每件200元经两次调价后调至每件72元，可列方程．【详解】解：设调价百分率为x，则：故选：C．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，关键设出两次降价的百分率，根据调价前后的价格列方程求解．4、C【分析】根据概率公式，求摸到白球的概率，即用白球除以小球总个数即可得出得到黑球的概率．【详解】∵在一个布袋里放有个红球，个白球和个黑球，它们除了颜色外其余都相同，∴从布袋中任意摸出一个球是白球的概率为：．故选：C．【点睛】此题主要考查了概率公式的应用，由已知求出小球总个数再利用概率公式求出是解决问题的关键．5、A【解析】根据旋转的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．【详解】解：∵在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝35°，∴∠ABC＝55°，∵将△ABC绕点C逆时针旋转α角到△A′B′C的位置，∴∠B′＝∠ABC＝55°，∠B′CA′＝∠ACB＝90°，CB＝CB′，∴∠CBB′＝∠B′＝55°，∴∠α＝70°，故选：A.【点睛】本题考查旋转的性质以及等腰三角形的性质．注意掌握旋转前后图形的对应关系是解此题的关键．6、C【分析】由圆周角定理和角平分线得出，，由等腰三角形的性质得出，得出，证出，选项A成立；由平行线的性质得出，选项B成立；由垂径定理得出，选项D成立；和中，没有相等的边，与不全等，选项C不成立，即可得出答案．【详解】∵是的直径，平分，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，选项A成立；∴，选项B成立；∴，选项D成立；∵和中，没有相等的边，∴与不全等，选项C不成立，故选C．【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，平行线的性质，角平分线的性质，解本题的关键是熟练掌圆周角定理和垂径定理．7、D【分析】根据确定事件和随机事件的概念对各个事件进行判断即可．【详解】解：明天我市下雨、抛一枚硬币，正面朝上、走出校门，看到的第一辆汽车的牌照的末位数字是偶数都是随机事件，一个口袋中装有2个红球和一个白球，从中摸出2个球，其中有红球是必然事件，故选：D．【点睛】本题考查的是确定事件和随机事件，事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的；在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．8、B【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．【详解】解：从正面看是：大正方形里有一个小正方形，∴主视图为：

故选：B．【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图，注意看不到的线画虚线．9、D【分析】用含t的代数式表示出BP，BQ的长，根据三角形的面积公式就可以求出S，从而得到函数的解析式，进一步即可求解．【详解】解：由题意得BP=4-t，BQ=2t，∴S=×2t××（4-t）=-t2+2t，∴当x=2时，S=-×4+2×2=2.∴选项D的图形符合．故选：D．【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象，利用图形的关系求函数的解析式，注意数形结合是解决本题的关键．10、D【解析】利用菱形的判定方法对各个选项一一进行判断即可．【详解】解：A、对角线互相垂直相等的四边形不一定是菱形，此选项错误；B、对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，此选项错误；C、对角线相等的平行四边形也可能是矩形，此选项错误；D、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，此选项正确；故选：D．【点睛】本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质，熟练运用这些性质是本题的关键．11、A【分析】将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形ABCD的形状，并使其面积为矩形面积的一半，则这个平行四边形的长度与矩形相等的一条边上的高为矩形的一半，即AB＝2AE．【详解】解：将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形ABCD的形状，并使其面积为矩形面积的一半，平行四边形ABCD是原矩形变化而成，∴FG＝BC，FH＝2AE．又∵HF＝AB，∴AB＝2AE，在Rt△ABE中，AB＝2AE，∠B＝30°．故选：A．【点睛】本题考查了矩形各内角为90的性质，平行四边形面积的计算方法，特殊角的三角函数，本题中利用特殊角的正弦函数是解题的关键．12、D【分析】根据同底数幂除法法则即可解答．【详解】根据同底数幂除法法则（同底数幂相除，底数不变，指数相减）可得，a6÷a1＝a6﹣1＝a1．故选D．【点睛】本题考查了整式除法的基本运算，必须熟练掌握运算法则．二、填空题（每题4分，共24分）13、2+2【分析】如图，构造等腰△OAF，使得AO＝AF，∠OAF＝120°，连接CF，OB，取AF的中点J，连接EJ．证明EJ是定值，可得点E的运动轨迹是以J为圆心，EJ为半径的圆，由此即可解决问题．【详解】如图，构造等腰△OAF，使得AO＝AF，∠OAF＝120°，连接CF，OB，取AF的中点J，连接EJ．∵∠BAC＝∠OAF＝120°，∴∠BAO＝∠CAF，∵ABAC，AO＝AF，∴△OAB≌△FAC（SAS），∴CF＝OB＝，∵四边形BCDA是平行四边形，∴AE＝EC，∵AJ＝JF，∴EJ＝CF＝，∴点E的运动轨迹是以J为圆心，EJ为半径的圆，易知OJ＝当点E在OJ的延长线上时，OE的值最大，最大值为OJ+JE＝，故答案为2+2．【点睛】本题考查的是圆的综合，难度较大，解题关键是找出EJ是最大值.14、y＝﹣2（x﹣3）2﹣1【分析】根据题意设出函数的顶点式，代入点(4，﹣3)，根据待定系数法即可求得．【详解】∵当x=3时，有最大值﹣1，∴设二次函数的解析式为y=a(x﹣3)2﹣1，把点(4，﹣3)代入得：﹣3=a(4﹣3)2﹣1，解得a=﹣2，∴y=﹣2(x﹣3)2﹣1．故答案为：y=﹣2(x﹣3)2﹣1．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．15、.【分析】在中，根据求得CE，在中，根据求得BC，最后将CE,BC的值代入即可.【详解】解：在中，,.在中，，.的长为.【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握三角函数定义是解题的关键.16、【分析】根据合比定理即可得答案.【详解】∵，∴，∴=，故答案为：【点睛】本题考查合比定理，如果，那么；熟练掌握合比定理是解题关键.17、【分析】首先由折叠的性质与矩形的性质，证得是等腰三角形，则在中，利用勾股定理，借助于方程即可求得AN的长，又由≌，易得：，由三角函数的性质即可求得MF的长，又由中位线的性质求得EM的长，则问题得解【详解】如图，设与AD交于N，EF与AD交于M，根据折叠的性质可得：，，，四边形ABCD是矩形，，，，，，，设，则，在中，，，，即，，，，≌，，，，，，由折叠的性质可得：，，，，，故答案为．【点睛】本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质，三角函数的性质以及勾股定理等知识，综合性较强，有一定的难度，解题时要注意数形结合思想与方程思想的应用．18、-1【分析】根据函数图象自变量取值范围得出对应y的值，即是函数的最值．【详解】解：∵函数y＝-（x-1）2+1，∴对称轴为直线x＝1，当x＞1时，y随x的增大而减小，∵当x＝1时，y＝-1，∴函数y＝-（x-1）2+1（x≥1）的最大值是-1．故答案为-1．【点睛】此题考查的是求二次函数的最值，掌握二次函数对称轴两侧的增减性是解决此题的关键．三、解答题（共78分）19、见解析【分析】根据旋转和平移可得∠DEB=∠ACB，∠GFE=∠A，再根据∠ABC=90°可得∠A+∠ACB=90°，进而得到∠DEB+∠GFE=90°，从而得到DE、FG的位置关系是垂直.【详解】解：DE⊥FG．理由：由题知：Rt△ABC≌Rt△BDE≌Rt△FEG∴∠A=∠BDE=∠GFE∵∠BDE＋∠BED=90°∴∠GFE＋∠BED=90°，即DE⊥FG．20、（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）作于点，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可推出，，在中，利用三角函数求出BP，FP，在等腰三角形中，求出BE，再由勾股定理求出AB，进而得到BC和CP，再次利用勾股定理即可求出CF的长度.（2）过作垂直于点，得矩形，首先证明，得，再证明，可推出得.【详解】解：（1）中，为中线，，，.作于点，如图，中，在等腰三角形中，，由勾股定理求得，（2）过作垂直于点，得矩形，∵AB∥CD∴∠MAO=∠GCO在△AMO和△CGO中，∵∠MAO=∠GCO，AO=CO，∠AOM=∠COG∴△AMO≌△CGO（ASA）∴AM=GC∵四边形BCGP为矩形，∴GC=PB，PG=BC=AB∵AE⊥HG∴∠H+∠BAE=90°又∵∠AEB+∠BAE=90°∴∠AEB=∠H在△ABE和△GPH中，∵∠AEB=∠H，∠ABE=∠GPH=90°，AB=PG∴△ABE≌△GPH（AAS）∴BE=PH又∵CG=PB=AM∴BE=PH=PB+BH=CG+BH=AM+BH即AM+BH=BE.【点睛】本题考查了正方形和矩形的性质，三角函数，勾股定理，以及全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线，利用全等三角形对应边相等将线段进行转化是解题的关键.21、（1）48－11x；（1）x为1或3；（3）x为1时，区域③的面积最大，为140平方米【分析】（1）将DF、EC以外的线段用x表示出来，再用96减去所有线段的长再除以1可得DF的长度；（1）将区域③图形的面积用关于x的代数式表示出来，并令其值为180，求出方程的解即可；（3）令区域③的面积为S，得出x关于S的表达式，得到关于S的二次函数，求出二次函数在x取值范围内的最大值即可.【详解】（1）48－11x（1）根据题意，得5x(48－11x)＝180，解得x1＝1，x1＝3答：x为1或3时，区域③的面积为180平方米（3）设区域③的面积为S，则S＝5x(48－11x)＝－60x1＋140x＝－60(x－1)1＋140∵－60＜0，∴当x＝1时，S有最大值，最大值为140答：x为1时，区域③的面积最大，为140平方米【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题中的等量关系，正确得出区域面积的表达式.22、sinA=，cosA=，tanA=．【分析】根据勾股定理求出AB，根据锐角三角函数的定义解答即可．【详解】由勾股定理得，，则，，．【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是利用勾股定理求出AB的长.23、(1)w＝－10x2＋700x－10000(20≤x≤32)；(2)当销售单价定为32元/件时，每月可获得最大利润，最大利润是2160元．【解析】分析：（1）由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，利润=（定价-进价）×销售量，从而列出关系式；

（2）首先确定二次函数的对称轴，然后根据其增减性确定最大利润即可；详解：（1）由题意，得：w=（x-20）•y=（x-20）•（-10x+500）=-10x2+700x-10000，即w=-10x2+700x-10000（20≤x≤32）.(2)w＝－10x2＋700x－10000＝－10(x－35)2＋2250.对称轴为：x=35，又∵a＝－10＜0，抛物线开口向下，∴当20≤x≤32时，w随着x的增大而增大，∴当x＝32时，w最大＝2160.答：当销售单价定为32元/件时，每月可获得最大利润，最大利润是2160元．点睛：二次函数的应用.重点在于根据题意列出函数关系式.24、,【分析】先把移到等号右边，然后再两边直接开平方即可.【详解】,【点睛】本题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，做题时注意不要漏解.25、（1）证明见详解；（2）8.【分析】（1）根据角平分线的定义和同圆的半径相等可得OD∥AC，证明OD⊥CB，可得结论；（2））在Rt