计算流体力学完整课件

计算流体力学引论TheElementsofComputationalFluidDynamics1计算流体力学引论TheElementsofComput第一章绪论§1.1计算流体力学的概念与意义§1.2流体力学的基本方程§1.3流体力学方程组的类型判别

2第一章绪论§1.1计算流体力学的概念与意义2§1.1计算流体力学的概念与意义1、流体运动遵循3个基本定律：1)质量守恒定律；2)动量守恒定律；3)能量守恒定律2、流体的本构模型和状态方程

控制方程（Governingequations）偏微分方程（方程组）或积分形式的方程（方程组）

流体运动的复杂性主要表现为控制方程的高度非线性和流动区域几何形状的复杂性等，导致对绝大多数流动问题无法得到解析解。高速计算机的发展，使得计算流体动力学（ComputationalFluidDynamics,CFD）逐渐成为一门独立学科。3§1.1计算流体力学的概念与意义3计算流体力学(CFD)：通过数值方法求解流体力学控制方程，得到流场的离散的定量描述，并以此预测流体运动规律的学科。在CFD中，首先，把控制方程中的积分、微分项近似地表示为离散的代数形式，把积分、微分形式的控制方程转化为一组代数方程，这个过程称为控制方程的离散化(discretization)；所采用的离散化方法称为数值方法或数值格式。然后，通过电子计算机求解这些代数方程组，得到流场在离散的时间/空间点上的数值解(numericalsolution)。CFD也被称作流场的数值模拟、数值计算、数值仿真等。4计算流体力学(CFD)：通过数值方法求解流体力学控制方程，得计算流体力学的研究步骤第一，问题的界定和流动区域的几何描述。

流场的几何形状：源于对已有流动区域的测量或者新的产品和

工程的设计结果。

流动条件：雷诺数、马赫数、边界处的速度及压力等

对数值模拟的要求：精度、所花费的时间。第二，选择控制方程和边界条件。

在牛顿流体范围内，用Navier-Stokes方程描述。

根据问题的特点，可以考虑定常或非定常，可压或不可压的流动模型。简化的数学模型：势流方程，Euler方程，边界层方程，

薄层近似的Navier-Stokes方程等。

边界条件通常依赖于控制方程。

固体壁面条件，来流、出流条件，周期性条件，对称条件等

附加的物理模型：湍流模型，化学反应等。5计算流体力学的研究步骤第一，问题的界定和流动区域的几何描述。第三，确定网格划分策略和数值方法。

网格划分：结构网格、非结构网格、组合网格、重叠网格。

网格可以是静止的，也可以是运动的，还可以根据数值解动态调整（自

适应网格）。数值方法：有限差分、有限体积、有限元、谱方法等。

数值方法和网格划分策略是相互关联的。第四，程序设计和调试。

在网格划分策略和数值方法的基础上，编制、调试数值求解流体运动方程

的计算机程序或软件。第五，程序验证和确认。

验证(Verification)：Theprocessofdeterminingthatamodelimplementationaccuratelyrepresentsthedeveloper’sconceptualdescriptionofthemodelandthesolutiontothemodel.

确认(Validation)：Theprocessofdeterminingthedegreetowhichamodelisanaccuraterepresentationoftherealworldfromtheperspectiveoftheintendedusesofthemodel.6第三，确定网格划分策略和数值方法。6第六，数值解的显示和评估计算感兴趣的力、力矩等；应用流场可视化软件对流场进行显示、分析；对数值方法和物理模型的误差进行评估等。7第六，数值解的显示和评估7计算流体力学典型流程物理模型数学模型网格生成离散方法选择时、空离散边界条件离散解代数方程组验证与确认流场显示结果分析8计算流体力学典型流程物理模型数学模型网格生成离散方法选择时、举例：自然循环回路内的流动与传热特性9举例：自然循环回路内的流动与传热特性9物理模型：

(1)空间维数：1D、2D、3D(2)时间特性：定常、非定常

(3)流动性质：无粘/粘性、可压缩/不可压缩、层流/湍流

(4)流体物性：常物性、变物性Geometricparameter:HeightHWidthWLengthofheatsink(source)LTubediameterdRayleighnumberRaHeatsourcetemperatureThHeatsinktemperatureTcOperationpressureP10物理模型：Geometricparameter:10数学模型：控制方程

定解条件

初始条件：

边界条件：固体壁面上无滑移；

恒温热源、恒温热沉，

其余为绝热壁面。11数学模型：11网格划分：12网格划分：12数值算法：离散方法：

FDM、FVM、FEM……空间离散：对流项，粘性项，源项……时间离散：显式、隐式边界离散：来流、出流、固壁、远场、周期性……求解代数方程组13数值算法：离散方法：13数值解的验证与确认：14数值解的验证与确认：14流场显示及结果分析：15流场显示及结果分析：15计算流体力学的特点及意义实验研究理论研究计算流体力学优点：借助各种先进仪器，给出多种复杂流动的准确、可靠的观测结果，这些结果对于流动机理的研究和与流体运动有关的机械和飞行器的设计具有不可替代的作用。缺点：费用高昂，周期很长，有些流动条件难以通过实验手段来模拟。优点：可以给出具有一定适用范围的简洁明了的解析解或近似解析解，这些解析解对于分析流动的机理和预测流动随参数的变化非常有用。缺点：只能研究简单流动问题，能够得到解析解的流动问题为数不多，远远不能满足工程设计的需要。发展CFD的主要动机：利用高速电子计算机，克服理论研究和实验研究的缺点，深化对于流体运动规律的认识并提高解决工程实际问题的能力。优点：原则上可以研究流体在任何条件下的运动，使得我们研究流体运动的范围和能力都有本质的扩大和提高。费用低，周期短。16计算流体力学的特点及意义实验研究优点：借助各种先进仪器，给出§1.2流体力学基本方程守恒型积分方程牛顿流体本构关系Stokes流体假设17§1.2流体力学基本方程守恒型积分方程牛顿流体本构关系S守恒型微分方程积分型方程和微分型方程在意义上有微妙差别：积分型方程允许在控制体内部流动参数有间断；微分型方程假定流动参数是可微的，因而是连续的。因此，积分型方程是比微分型方程更为基本的方程，尤其是流场中确实存在间断时。状态方程18守恒型微分方程积分型方程和微分型方程在意义上有微妙差别：状态直角坐标系下的守恒型方程Navier-Stokes

方程19直角坐标系下的守恒型方程Navier-Stokes方程1920202121Euler方程等价形式Navier-Stokes

方程中，Euler

方程中，CFD中，守恒型方程是使用最频繁的一种形式。22Euler方程等价形式Navier-Stokes方程中，边界条件黏性流动的适定边界条件：

在固体壁面上速度满足无滑移条件：

温度条件可以是下面三种之一：无黏流动的适定边界条件在固体壁面上速度满足不可穿透条件23边界条件无黏流动的适定边界条件在固体壁面上速度满足不可穿透§1.3偏微分方程的分类及数学性质一阶拟线性方程组Euler方程：一阶非线性偏微分方程组

Navier-Stokes方程：二阶非线性偏微分方程组流体力学的基本方程都可以写成一阶拟线性方程组的形式。对一阶导数项而言，是线性方程组；如果B,A是U的函数，则整个方程组是非线性的，称之为“拟线性方程组”。24§1.3偏微分方程的分类及数学性质一阶拟线性方程组对一阶考虑一维守恒型Euler方程（一阶）25考虑一维守恒型Euler方程（一阶）25令26令26考虑Laplace方程（二阶）作业一：根据类似的方法，将Navier-Stokes方程写成一阶拟线性方程组的形式27考虑Laplace方程（二阶）作业一：根据类似的方法，将Na特征线理论分析拟线性方程的特征线和相容关系具有重要意义。通过引入特征线和相容关系，可以把偏微分方程的某种线性组合化为常微分方程。在有些情况下，还可以由此得到解析解。考虑一般形式的有两个自变量的拟线性方程组，它的分量形式28特征线理论2829293030双曲型方程的定义31双曲型方程的定义3132323333双曲、抛物和椭圆型方程的数学性质不同类型的方程，如双曲、抛物、椭圆型方程具有不同的数学行为，对应着不同的物理过程；因而，也应采用不同的数值方法求解。34双曲、抛物和椭圆型方程的数学性质不同类型的方程，如双曲、抛物3535363637373838393940404141424243434444流体力学方程组的其它类型45流体力学方程组的其它类型454646474748484949计算流体力学引论TheElementsofComputationalFluidDynamics50计算流体力学引论TheElementsofComput第二章有限差分方法基础§2.1有限差分方法概述§2.2导数的数值逼近方法§2.3差分格式的性质§2.4发展方程的稳定性分析51第二章有限差分方法基础§2.1有限差分方法概述51§2.1有限差分方法概述以一维非定常热传导方程为例，介绍有限差分方法的概念、简单构造方法和求解过程。2.1.1基本方程和定解问题方程(2.1.1)和初边条件(2.1.2)构成了一个适定的定解问题。有限差分方法：对于一个偏微分方程，如果把方程中的所有偏导数近似地用代数差商(AlgebraicDifferenceQuotient)代替，则可以用一组代数方程近似地替代这个偏微分方程，进而得到数值解，这种方法称为有限差分方法(FiniteDifferenceMethod)。52§2.1有限差分方法概述以一维非定常热传导方程2.1.2求解域及偏导数的离散化为了用有限差分方法求解式(2.1.1)，需要把其中的偏导数表示为代数形式，为此，首先要把自变量从连续的分布变为离散形式。这个过程称为求解域的离散化。

1.空间求解域的离散化把空间求解域分为M段（均匀剖分）

2.时间变量的离散化把感兴趣的时间段(t=T之前)分为N段（均匀剖分），则时间方向的求解域可以划分为532.1.2求解域及偏导数的离散化为了用有限差分

求解域被划分为一系列离散的时空网格点图2.1求解域的离散化

3.解的离散表示目标：求出所有网格点上物理量u的近似解。54求解域被划分为一系列离散的时空网格点图2.1

4.导数的数值逼近把方程中的偏导数项近似表示为代数形式。554.导数的数值逼近把方程中的偏导数项近似表示为代5656575758582.1.3差分格式同一偏导数可以有不同的近似方法，不同的导数近似方法导致方程的不同的有限差分近似。FTCS(ForwarddifferenceinTime,CentraldifferenceinSpace)格式时间方向用前差近似，空间二阶导数用中心差分近似。对初始条件和边界条件的离散化式(2.1.9)~(2.1.12)称为方程(2.1.1)的一个有限差分方程或有限差分格式(finitedifferencescheme)。592.1.3差分格式同一偏导数可以有不同的近似方法，不同的2.BTCS(BackwarddifferenceinTime,CentraldifferenceinSpace)格式时间方向用后差近似，空间二阶导数用中心差分近似。在研究数值方法时，通常把tn时刻的物理量视为已知量，而把tn+1时刻的物理量作为待求的未知量。因此，式(2.1.13)可以改写成602.BTCS(Backwarddifference2.1.4差分方程的求解FTCS格式可以改写为可见，在FTCS格式中，某一点的数值解只依赖于前一时间步的三个点，如图2.2所示。图2.2：FTCS格式的模板点612.1.4差分方程的求解FTCS格式可以改写为可见，在FTCS格式的求解过程62FTCS格式的求解过程622.BTCS格式可以改写为跟FTCS格式不同，BTCS格式中同时涉及到n+1时刻的多个未知量，不能递推求解，称为隐式格式(implicitscheme)。图2.3：BTCS格式的模板点BTCS格式的求解过程632.BTCS格式可以改写为跟FTCS格式不同，BTC646465652.1.5用时间相关方法求解定常问题考虑非定常热传导方程和定解条件662.1.5用时间相关方法求解定常问题考虑非定常热传导方程6767BTCS格式的求解过程FTCS格式的求解过程68BTCS格式的求解过程FTCS格式的求解过程68§2.2导数的数值逼近方法2.2.1精度分析在上一节，我们得到了一阶偏导数的前差、后差和中心差分近似，以及二阶导数的中心差分近似。这些近似方法逼近偏导数的程度如何呢？可以用Taylor展开式进行分析。69§2.2导数的数值逼近方法2.2.1精度分析7070一般来讲，对偏导数的近似精度越高，差分格式的精度越高。71一般来讲，对偏导数的近似精度越高，差分格式的精度例：一维非定常热传导方程的FTCS格式中涉及的导数差分近似的精度。72例：一维非定常热传导方程的FTCS格式中涉及的导数差分近似的2.2.2导数差分近似的待定系数法732.2.2导数差分近似的待定系数法737474757576762.2.3导数差分近似方法的差分算子法1.差分算子的定义算子，一种前置运算符。算子和它后面的作用量一起代表一种确定的运算过程。在引入差分算子的定义之前，先介绍一种特殊的算子——移位算子。移位算子的运算规则为移位算子的下标表示移位的方向，上标表示移位的步数。772.2.3导数差分近似方法的差分算子法1.差分算子的定差分算子：移位算子和可以表示为移位算子函数的算子。差分方法中常用的算子：78差分算子：移位算子和可以表示为移位算子函数的算子。差分方法中2.差分算子之间的关系792.差分算子之间的关系79所有的差分算子均可用Taylor展开式来估算截断误差项的量级。80所有的差分算子均可用Taylor展开式来估算截断误差项的量级3.微分算子与差分算子的关系813.微分算子与差分算子的关系814.导数的近似根据差分算子之间的转化关系，可以建立微分算子与其它差分算子之间的联系，从而得到导数的数值近似公式。即：824.导数的近似根据差分算子之间的转化关系，可以即：与待定系数法得到的结果一致。83即：与待定系数法得到的结果一致。83即：84即：845.紧致格式从上面的推导可以看出，导数的有限差分近似精度越高，所需要的模板点越多。对于一阶导数，一般需要5个点才能得到四阶精度的差分近似。模板点数太多不仅使数值方法变得复杂，也给边界附近的处理带来一定困难。紧致格式：用较少的模板点构造导数的高阶近似。855.紧致格式从上面的推导可以看出，导数的有限差8686基于Pade近似的导数近似方法，称为紧致格式(compactscheme)。87基于Pade近似的导数近似方法，称为紧致格式(compac88888989§2.3差分格式的性质2.3.1范数的定义及性质1.向量范数90§2.3差分格式的性质2.3.1范数的定义及性质1.2.算子范数912.算子范数9192922.3.2差分格式的精度差分格式是微分方程的近似，通常用局部截断误差(localtruncationerror)衡量差分格式逼近微分方程的程度。932.3.2差分格式的精度差分格式是微分方程的近似，通常用94949595如果时间步长和空间步长之间满足一定的关系，FTCS格式时间方向可达到二阶精度，空间方向可达到四阶精度。根据差分格式精度的定义，按照上面的分析，FTCS格式时间方向是一阶精度，空间方向是二阶精度。96如果时间步长和空间步长之间满足一定的关系，FTCS格式时间方2.3.3差分格式的相容性截断误差是在网格点上逐点定义的。定义中每个网格点上的数值解构成一个解向量，每一个网格点上的截断误差也构成一个向量。因此，可以用向量范数来刻画差分格式的局部截断误差。972.3.3差分格式的相容性截断误差是在网格点上逐点定义的2.3.4差分格式的收敛性和稳定性1.差分方程的矩阵形式考虑线性的发展方程（双曲型方程和抛物型方程）的差分格式。发展型方程的一般形式：以非定常热传导方程的FTCS格式为例，将差分格式写成矩阵形式：FTCS格式：解向量记为：考虑到边界条件，则差分格式可以写为：982.3.4差分格式的收敛性和稳定性1.差分方程的矩阵形2.整体截断误差局部截断误差：差分方程逼近微分方程的程度整体截断误差：差分方程的解逼近微分方程的精确解的程度992.整体截断误差局部截断误差：差分方程逼近微分方程的程度整1001003.差分格式的收敛性和稳定性差分格式的收敛性对于保证数值解的有效性是非常重要的。如果差分格式是收敛的，那么，当计算网格足够密时，数值解将相当接近精确解。差分格式的稳定性等价于差分方程数值解的一致有界性。1013.差分格式的收敛性和稳定性差分格式的收敛性对于保证数值解102102上述定理建立了算子范数的一致有界性与稳定性之间的关系。当差分格式稳定时，整体截断误差和局部截断误差量级相同。103上述定理建立了算子范数的一致有界性与稳定性之间的关系。当差分104104Lax等价性定理是计算流体力学中的一个重要定理。直接分析差分格式的收敛性比较困难，而稳定性分析则比较简单。Lax定理告诉我们，在一定条件下，收敛性和稳定性是等价的；通过稳定性分析，即可确定差分格式的收敛条件。4.稳定性的意义105Lax等价性定理是计算流体力学中的一个重要定理。直接分析差分§2.4发展方程的稳定性分析2.4.1矩阵方法106§2.4发展方程的稳定性分析2.4.1矩阵方法1061071071081081091091101102.4.2VonNeumann稳定性理论1112.4.2VonNeumann稳定性理论1111121121131131141141151151161161171171181181191191201202.4.3稳定性分析实例1212.4.3稳定性分析实例121122122123123124124125125126126127127128128129129130130计算流体力学引论TheElementsofComputationalFluidDynamics131计算流体力学引论TheElementsofComput第三章发展型模型方程的有限差分

和有限体积方法§3.1一阶线性对流方程的差分格式§3.2抛物型模型方程——对流扩散方程的

差分格式§3.3有限体积方法§3.4差分格式数值解的性质132第三章发展型模型方程的有限差分§3.1一阶线性对§3.1一阶线性对流方程的差分格式讨论双曲型模型方程：一阶线性对流方程线性对流方程的差分格式和流体力学中Euler方程的差分格式以及Navier-Stokes方程中对流项的差分格式有密切的关系，因此，掌握其差分格式的构造方法具有非常重要的意义。本节中，介绍的差分格式构造方法包括：基于导数逼近基于特征理论基于时间展开基于算子分裂133§3.1一阶线性对流方程的差分格式讨论双曲型模型方程：一3.1.1基于导数逼近的差分格式构造差分格式的最简单的方法。采用前差、后差和中心差等离散方法，直接近似微分方程中的导数项。

1.

Euler显式格式时间方向：前差。空间方向：中心差。1343.1.1基于导数逼近的差分格式构造差分格式的最简单的方

2.

Euler隐式格式时间方向：后差。空间方向：中心差。1352.Euler隐式格式时间方向：后差。空间方向：

3.蛙跳(Leap-Frog)格式时间方向：中心差分。空间方向：中心差分。1363.蛙跳(Leap-Frog)格式时间方向：中心在满足稳定性的条件时，放大因子等于1，格式具有零耗散，称为中性稳定的。

4.一阶迎风(upwind)和顺风(downwind)格式时间方向：前差。空间方向：前差或后差。Courant–Friedrichs–Lewy137在满足稳定性的条件时，放大因子等于1，格式具有零耗散，称为中1381383.1.2基于特征线理论的差分格式，CFL条件特征性质是双曲型方程的重要特点。在构造差分格式时，考虑微分方程的数学物理性质，有助于得到性态较好的差分格式。1393.1.2基于特征线理论的差分格式，CFL条件特征性质是1401401411411421423.1.3基于时间展开的差分格式1433.1.3基于时间展开的差分格式1431441441451453.1.4基于算子分裂方法的格式1463.1.4基于算子分裂方法的格式1461471471481481491491501501511511521523.1.5边界条件的数值处理1533.1.5边界条件的数值处理153154154§3.2抛物型模型方程—对流扩散方程的差分格式155§3.2抛物型模型方程—对流扩散方程的差分格式1553.2.1求解域的离散和边界条件的处理1563.2.1求解域的离散和边界条件的处理1561571573.2.2差分格式1583.2.2差分格式1581591591601601611613.2.3近似因式分解方法1623.2.3近似因式分解方法1621631631641641651651661663.2.4多维问题差分格式的稳定性分析1673.2.4多维问题差分格式的稳定性分析167168168§3.3有限体积方法3.3.1积分型守恒方程169§3.3有限体积方法3.3.1积分型守恒方程1693.3.2空间控制体1703.3.2空间控制体1703.3.3有限体积方法的全离散形式1713.3.3有限体积方法的全离散形式1711721721731731741741751753.3.4有限体积方法的半离散形式1763.3.4有限体积方法的半离散形式176177177178178179179§3.4差分格式数值解的性质3.4.1修正方程180§3.4差分格式数值解的性质3.4.1修正方程1801811811821823.4.2差分格式的耗散和频散1833.4.2差分格式的耗散和频散183184184185185186186187187188188189189190190191191计算流体力学引论TheElementsofComputationalFluidDynamics192计算流体力学引论TheElementsofComput第五章可压缩流动数值模拟概述§5.1控制方程§5.2激波间断和广义解§5.3激波捕捉方法§5.4有限差分和有限体积方法§5.5Navier-Stokes方程中黏性项的离散§5.6时间步长的计算§5.7边界条件的处理193第五章可压缩流动数值模拟概述§5.1控制方程193§5.1控制方程194§5.1控制方程1941951951961961971971981981991995.1.1守恒型的Navier-Stokes方程2005.1.1守恒型的Navier-Stokes方程2002012015.1.2守恒型Euler方程2025.1.2守恒型Euler方程202§5.2激波间断和广义解5.2.1激波的形成203§5.2激波间断和广义解5.2.1激波的形成2032042045.2.2广义解2055.2.2广义解2052062065.2.3熵条件2075.2.3熵条件207208208209209210210§5.3激波捕捉方法211§5.3激波捕捉方法2115.3.1守恒格式和Lax-Wendroff定理2125.3.1守恒格式和Lax-Wendroff定理2122132132142142152155.3.2人工黏性和格式黏性2165.3.2人工黏性和格式黏性216217217218218219219220220§5.4有限差分方法和有限体积方法221§5.4有限差分方法和有限体积方法2215.4.1有限体积方法–方案A2225.4.1有限体积方法–方案A2222232232242242252255.4.2有限体积方法–方案B2265.4.2有限体积方法–方案B2262272272282285.4.3有限差分方法2295.4.3有限差分方法2295.4.4有限差分方法与有限体积方法的异同2305.4.4有限差分方法与有限体积方法的异同230231231§5.5Navier-Stokes方程中黏性项的离散5.5.1Navier-Stokes方程的有限体积和有限差分格式232§5.5Navier-Stokes方程中黏性项的离散5.5.5.2黏性通量的计算方法2335.5.2黏性通量的计算方法233234234235235236236§5.6时间步长的计算237§5.6时间步长的计算237238238239239240240§5.7边界条件的处理241§5.7边界条件的处理2415.7.1特征分析2425.7.1特征分析2422432432442442452455.7.2固壁边界2465.7.2固壁边界2462472472482485.7.3远场边界2495.7.3远场边界2492502502512512522525.7.4Navier-Stokes方程的边界处理2535.7.4Navier-Stokes方程的边界处理2535.7.5虚拟网格和虚拟控制体2545.7.5虚拟网格和虚拟控制体254计算流体力学引论TheElementsofComputationalFluidDynamics255计算流体力学引论TheElementsofComput第六章可压缩流动的数值计算方法§6.1中心型格式§6.2迎风型格式§6.3高分辨率格式256第六章可压缩流动的数值计算方法§6.1中心型格式2§6.1中心型格式257§6.1中心型格式2576.1.1Lax-Wendroff格式2586.1.1Lax-Wendroff格式2582592592602602612612622626.1.2MacCormack格式2636.1.2MacCormack格式2632642642652652662662672676.1.3Jameson的中心型有限体积格式2686.1.3Jameson的中心型有限体积格式268269269270270§6.2迎风型格式6.2.1一维线性波动方程组的迎风格式271§6.2迎风型格式6.2.1一维线性波动方程组的迎风2722722732736.2.2Euler方程的迎风型有限差分格式2746.2.2Euler方程的迎风型有限差分格式2742752752762762772772782782792792802802812812822826.2.3Euler方程的迎风型有限体积格式2836.2.3Euler方程的迎风型有限体积格式2832842842852852862866.2.4迎风格式在多维问题中的推广2876.2.4迎风格式在多维问题中的推广287288288图6.1：有限体积方法中的控制体和控制体界面上的法向量。289图6.1：有限体积方法中的控制体和控制289图6.2：有限体积方法中的典型控制体290图6.2：有限体积方法中的典型控制体290291291292292§6.3高分辨率格式293§6.3高分辨率格式2936.3.1保单调性和单调格式2946.3.1保单调性和单调格式2946.3.2TVD格式的概念2956.3.2TVD格式的概念2956.3.3TVD格式的构造2966.3.3TVD格式的构造296297297298298299299300300301301302302303303304304305305306306307307308308309309310310§6.4求解Euler方程的隐式方法311§6.4求解Euler方程的隐式方法311312312313313314314315315316316317317318318计算流体力学引论TheElementsofComputationalFluidDynamics319计算流体力学引论TheElementsofComput第七章不可压缩流动的数值方法§7.1基本方程§7.2涡量-流函数方法§7.3SIMPLE方法320第七章不可压缩流动的数值方法§7.1基本方程320§7.1基本方程321§7.1基本方程321322322§7.2涡量—流函数方法7.2.1基本方程323§7.2涡量—流函数方法7.2.1基本方程3233243247.2.2差分格式3257.2.2差分格式3253263267.2.3边界条件3277.2.3边界条件3273283283293297.2.4求解方法3307.2.4求解方法330331331332332333333§7.3SIMPLE方法7.3.1交错网格和非交错网格334§7.3SIMPLE方法7.3.1交错网格和非交错网交错网格335交错网格3357.3.2动量方程的离散1.控制方程及有限体积格式3367.3.2动量方程的离散1.控制方程及有限体积格式33373373383383393393403403413417.3.3SIMPLE方法3427.3.3SIMPLE方法342343343344344345345346346347347计算流体力学引论TheElementsofComputationalFluidDynamics348计算流体力学引论TheElementsofComput第一章绪论§1.1计算流体力学的概念与意义§1.2流体力学的基本方程§1.3流体力学方程组的类型判别

349第一章绪论§1.1计算流体力学的概念与意义2§1.1计算流体力学的概念与意义1、流体运动遵循3个基本定律：1)质量守恒定律；2)动量守恒定律；3)能量守恒定律2、流体的本构模型和状态方程

控制方程（Governingequations）偏微分方程（方程组）或积分形式的方程（方程组）

流体运动的复杂性主要表现为控制方程的高度非线性和流动区域几何形状的复杂性等，导致对绝大多数流动问题无法得到解析解。高速计算机的发展，使得计算流体动力学（ComputationalFluidDynamics,CFD）逐渐成为一门独立学科。350§1.1计算流体力学的概念与意义3计算流体力学(CFD)：通过数值方法求解流体力学控制方程，得到流场的离散的定量描述，并以此预测流体运动规律的学科。在CFD中，首先，把控制方程中的积分、微分项近似地表示为离散的代数形式，把积分、微分形式的控制方程转化为一组代数方程，这个过程称为控制方程的离散化(discretization)；所采用的离散化方法称为数值方法或数值格式。然后，通过电子计算机求解这些代数方程组，得到流场在离散的时间/空间点上的数值解(numericalsolution)。CFD也被称作流场的数值模拟、数值计算、数值仿真等。351计算流体力学(CFD)：通过数值方法求解流体力学控制方程，得计算流体力学的研究步骤第一，问题的界定和流动区域的几何描述。

流场的几何形状：源于对已有流动区域的测量或者新的产品和

工程的设计结果。

流动条件：雷诺数、马赫数、边界处的速度及压力等

对数值模拟的要求：精度、所花费的时间。第二，选择控制方程和边界条件。

在牛顿流体范围内，用Navier-Stokes方程描述。

根据问题的特点，可以考虑定常或非定常，可压或不可压的流动模型。简化的数学模型：势流方程，Euler方程，边界层方程，

薄层近似的Navier-Stokes方程等。

边界条件通常依赖于控制方程。

固体壁面条件，来流、出流条件，周期性条件，对称条件等

附加的物理模型：湍流模型，化学反应等。352计算流体力学的研究步骤第一，问题的界定和流动区域的几何描述。第三，确定网格划分策略和数值方法。

网格划分：结构网格、非结构网格、组合网格、重叠网格。

网格可以是静止的，也可以是运动的，还可以根据数值解动态调整（自

适应网格）。数值方法：有限差分、有限体积、有限元、谱方法等。

数值方法和网格划分策略是相互关联的。第四，程序设计和调试。

在网格划分策略和数值方法的基础上，编制、调试数值求解流体运动方程

的计算机程序或软件。第五，程序验证和确认。

验证(Verification)：Theprocessofdeterminingthatamodelimplementationaccuratelyrepresentsthedeveloper’sconceptualdescriptionofthemodelandthesolutiontothemodel.

确认(Validation)：Theprocessofdeterminingthedegreetowhichamodelisanaccuraterepresentationoftherealworldfromtheperspectiveoftheintendedusesofthemodel.353第三，确定网格划分策略和数值方法。6第六，数值解的显示和评估计算感兴趣的力、力矩等；应用流场可视化软件对流场进行显示、分析；对数值方法和物理模型的误差进行评估等。354第六，数值解的显示和评估7计算流体力学典型流程物理模型数学模型网格生成离散方法选择时、空离散边界条件离散解代数方程组验证与确认流场显示结果分析355计算流体力学典型流程物理模型数学模型网格生成离散方法选择时、举例：自然循环回路内的流动与传热特性356举例：自然循环回路内的流动与传热特性9物理模型：

(1)空间维数：1D、2D、3D(2)时间特性：定常、非定常

(3)流动性质：无粘/粘性、可压缩/不可压缩、层流/湍流

(4)流体物性：常物性、变物性Geometricparameter:HeightHWidthWLengthofheatsink(source)LTubediameterdRayleighnumberRaHeatsourcetemperatureThHeatsinktemperatureTcOperationpressureP357物理模型：Geometricparameter:10数学模型：控制方程

定解条件

初始条件：

边界条件：固体壁面上无滑移；

恒温热源、恒温热沉，

其余为绝热壁面。358数学模型：11网格划分：359网格划分：12数值算法：离散方法：

FDM、FVM、FEM……空间离散：对流项，粘性项，源项……时间离散：显式、隐式边界离散：来流、出流、固壁、远场、周期性……求解代数方程组360数值算法：离散方法：13数值解的验证与确认：361数值解的验证与确认：14流场显示及结果分析：362流场显示及结果分析：15计算流体力学的特点及意义实验研究理论研究计算流体力学优点：借助各种先进仪器，给出多种复杂流动的准确、可靠的观测结果，这些结果对于流动机理的研究和与流体运动有关的机械和飞行器的设计具有不可替代的作用。缺点：费用高昂，周期很长，有些流动条件难以通过实验手段来模拟。优点：可以给出具有一定适用范围的简洁明了的解析解或近似解析解，这些解析解对于分析流动的机理和预测流动随参数的变化非常有用。缺点：只能研究简单流动问题，能够得到解析解的流动问题为数不多，远远不能满足工程设计的需要。发展CFD的主要动机：利用高速电子计算机，克服理论研究和实验研究的缺点，深化对于流体运动规律的认识并提高解决工程实际问题的能力。优点：原则上可以研究流体在任何条件下的运动，使得我们研究流体运动的范围和能力都有本质的扩大和提高。费用低，周期短。363计算流体力学的特点及意义实验研究优点：借助各种先进仪器，给出§1.2流体力学基本方程守恒型积分方程牛顿流体本构关系Stokes流体假设364§1.2流体力学基本方程守恒型积分方程牛顿流体本构关系S守恒型微分方程积分型方程和微分型方程在意义上有微妙差别：积分型方程允许在控制体内部流动参数有间断；微分型方程假定流动参数是可微的，因而是连续的。因此，积分型方程是比微分型方程更为基本的方程，尤其是流场中确实存在间断时。状态方程365守恒型微分方程积分型方程和微分型方程在意义上有微妙差别：状态直角坐标系下的守恒型方程Navier-Stokes

方程366直角坐标系下的守恒型方程Navier-Stokes方程193672036821Euler方程等价形式Navier-Stokes

方程中，Euler

方程中，CFD中，守恒型方程是使用最频繁的一种形式。369Euler方程等价形式Navier-Stokes方程中，边界条件黏性流动的适定边界条件：

在固体壁面上速度满足无滑移条件：

温度条件可以是下面三种之一：无黏流动的适定边界条件在固体壁面上速度满足不可穿透条件370边界条件无黏流动的适定边界条件在固体壁面上速度满足不可穿透§1.3偏微分方程的分类及数学性质一阶拟线性方程组Euler方程：一阶非线性偏微分方程组

Navier-Stokes方程：二阶非线性偏微分方程组流体力学的基本方程都可以写成一阶拟线性方程组的形式。对一阶导数项而言，是线性方程组；如果B,A是U的函数，则整个方程组是非线性的，称之为“拟线性方程组”。371§1.3偏微分方程的分类及数学性质一阶拟线性方程组对一阶考虑一维守恒型Euler方程（一阶）372考虑一维守恒型Euler方程（一阶）25令373令26考虑Laplace方程（二阶）作业一：根据类似的方法，将Navier-Stokes方程写成一阶拟线性方程组的形式374考虑Laplace方程（二阶）作业一：根据类似的方法，将Na特征线理论分析拟线性方程的特征线和相容关系具有重要意义。通过引入特征线和相容关系，可以把偏微分方程的某种线性组合化为常微分方程。在有些情况下，还可以由此得到解析解。考虑一般形式的有两个自变量的拟线性方程组，它的分量形式375特征线理论283762937730双曲型方程的定义378双曲型方程的定义313793238033双曲、抛物和椭圆型方程的数学性质不同类型的方程，如双曲、抛物、椭圆型方程具有不同的数学行为，对应着不同的物理过程；因而，也应采用不同的数值方法求解。381双曲、抛物和椭圆型方程的数学性质不同类型的方程，如双曲、抛物38235383363843738538386393874038841389423904339144流体力学方程组的其它类型392流体力学方程组的其它类型4539346394473954839649计算流体力学引论TheElementsofComputationalFluidDynamics397计算流体力学引论TheElementsofComput第二章有限差分方法基础§2.1有限差分方法概述§2.2导数的数值逼近方法§2.3差分格式的性质§2.4发展方程的稳定性分析398第二章有限差分方法基础§2.1有限差分方法概述51§2.1有限差分方法概述以一维非定常热传导方程为例，介绍有限差分方法的概念、简单构造方法和求解过程。2.1.1基本方程和定解问题方程(2.1.1)和初边条件(2.1.2)构成了一个适定的定解问题。有限差分方法：对于一个偏微分方程，如果把方程中的所有偏导数近似地用代数差商(AlgebraicDifferenceQuotient)代替，则可以用一组代数方程近似地替代这个偏微分方程，进而得到数值解，这种方法称为有限差分方法(FiniteDifferenceMethod)。399§2.1有限差分方法概述以一维非定常热传导方程2.1.2求解域及偏导数的离散化为了用有限差分方法求解式(2.1.1)，需要把其中的偏导数表示为代数形式，为此，首先要把自变量从连续的分布变为离散形式。这个过程称为求解域的离散化。

1.空间求解域的离散化把空间求解域分为M段（均匀剖分）

2.时间变量的离散化把感兴趣的时间段(t=T之前)分为N段（均匀剖分），则时间方向的求解域可以划分为4002.1.2求解域及偏导数的离散化为了用有限差分

求解域被划分为一系列离散的时空网格点图2.1求解域的离散化

3.解的离散表示目标：求出所有网格点上物理量u的近似解。401求解域被划分为一系列离散的时空网格点图2.1

4.导数的数值逼近把方程中的偏导数项近似表示为代数形式。4024.导数的数值逼近把方程中的偏导数项近似表示为代4035640457405582.1.3差分格式同一偏导数可以有不同的近似方法，不同的导数近似方法导致方程的不同的有限差分近似。FTCS(ForwarddifferenceinTime,CentraldifferenceinSpace)格式时间方向用前差近似，空间二阶导数用中心差分近似。对初始条件和边界条件的离散化式(2.1.9)~(2.1.12)称为方程(2.1.1)的一个有限差分方程或有限差分格式(finitedifferencescheme)。4062.1.3差分格式同一偏导数可以有不同的近似方法，不同的2.BTCS(BackwarddifferenceinTime,CentraldifferenceinSpace)格式时间方向用后差近似，空间二阶导数用中心差分近似。在研究数值方法时，通常把tn时刻的物理量视为已知量，而把tn+1时刻的物理量作为待求的未知量。因此，式(2.1.13)可以改写成4072.BTCS(Backwarddifference2.1.4差分方程的求解FTCS格式可以改写为可见，在FTCS格式中，某一点的数值解只依赖于前一时间步的三个点，如图2.2所示。图2.2：FTCS格式的模板点4082.1.4差分方程的求解FTCS格式可以改写为可见，在FTCS格式的求解过程409FTCS格式的求解过程622.BTCS格式可以改写为跟FTCS格式不同，BTCS格式中同时涉及到n+1时刻的多个未知量，不能递推求解，称为隐式格式(implicitscheme)。图2.3：BTCS格式的模板点BTCS格式的求解过程4102.BTCS格式可以改写为跟FTCS格式不同，BTC41164412652.1.5用时间相关方法求解定常问题考虑非定常热传导方程和定解条件4132.1.5用时间相关方法求解定常问题考虑非定常热传导方程41467BTCS格式的求解过程FTCS格式的求解过程415BTCS格式的求解过程FTCS格式的求解过程68§2.2导数的数值逼近方法2.2.1精度分析在上一节，我们得到了一阶偏导数的前差、后差和中心差分近似，以及二阶导数的中心差分近似。这些近似方法逼近偏导数的程度如何呢？可以用Taylor展开式进行分析。416§2.2导数的数值逼近方法2.2.1精度分析41770一般来讲，对偏导数的近似精度越高，差分格式的精度越高。418一般来讲，对偏导数的近似精度越高，差分格式的精度例：一维非定常热传导方程的FTCS格式中涉及的导数差分近似的精度。419例：一维非定常热传导方程的FTCS格式中涉及的导数差分近似的2.2.2导数差分近似的待定系数法4202.2.2导数差分近似的待定系数法734217442275423762.2.3导数差分近似方法的差分算子法1.差分算子的定义算子，一种前置运算符。算子和它后面的作用量一起代表一种确定的运算过程。在引入差分算子的定义之前，先介绍一种特殊的算子——移位算子。移位算子的运算规则为移位算子的下标表示移位的方向，上标表示移位的步数。4242.2.3导数差分近似方法的差分算子法1.差分算子的定差分算子：移位算子和可以表示为移位算子函数的算子。差分方法中常用的算子：425差分算子：移位算子和可以表示为移位算子函数的算子。差分方法中2.差分算子之间的关系4262.差分算子之间的关系79所有的差分算子均可用Taylor展开式来估算截断误差项的量级。427所有的差分算子均可用Taylor展开式来估算截断误差项的量级3.微分算子与差分算子的关系4283.微分算子与差分算子的关系814.导数的近似根据差分算子之间的转化关系，可以建立微分算子与其它差分算子之间的联系，从而得到导数的数值近似公式。即：4294.导数的近似根据差分算子之间的转化关系，可以即：与待定系数法得到的结果一致。430即：与待定系数法得到的结果一致。83即：431即：845.紧致格式从上面的推导可以看出，导数的有限差分近似精度越高，所需要的模板点越多。对于一阶导数，一般需要5个点才能得到四阶精度的差分近似。模板点数太多不仅使数值方法变得复杂，也给边界附近的处理带来一定困难。紧致格式：用较少的模板点构造导数的高阶近似。4325.紧致格式从上面的推导可以看出，导数的有限差43386基于Pade近似的导数近似方法，称为紧致格式(compactscheme)。434基于Pade近似的导数近似方法，称为紧致格式(compac4358843689§2.3差分格式的性质2.3.1范数的定义及性质1.向量范数437§2.3差分格式的性质2.3.1范数的定义及性质1.2.算子范数4382.算子范数91439922.3.2差分格式的精度差分格式是微分方程的近似，通常用局部截断误差(localtruncationerror)衡量差分格式逼近微分方程的程度。4402.3.2差分格式的精度差分格式是微分方程的近似，通常用4419444295如果时间步长和空间步长之间满足一定的关系，FTCS格式时间方向可达到二阶精度，空间方向可达到四阶精度。根据差分格式精度的定义，按照上面的分析，FTCS格式时间方向是一阶精度，空间方向是二阶精度。443如果时间步长和空间步长之间满足一定的关系，FTCS格式时间方2.3.3差分格式的相容性截断误差是在网格点上逐点定义的。定义中每个网格点上的数值解构成一个解向量，每一个网格点上的截断误差也构成一个向量。因此，可以用向量范数来刻画差分格式的局部截断误差。4442.3.3差分格式的相容性截断误差是在网格点上逐点定义的2.3.4差分格式的收敛性和稳定性1.差分方程的矩阵形式考虑线性的发展方程（双曲型方程和抛物型方程）的差分格式。发展型方程的一般形式：以非定常热传导方程的FTCS格式为例，将差分格式写成矩阵形式：FTCS格式：解向量记为：考虑到边界条件，则差分格式可以写为：4452.3.4差分格式的收敛性和稳定性1.差分方程的矩阵形2.整体截断误差局部截断误差：差分方程逼近微分方程的程度整体截断误差：差分方程的解逼近微分方程的精确解的程度4462.整体截断误差局部截断误差：差分方程逼近微分方程的程度整4471003.差分格式的收敛性和稳定性差分格式的收敛性对于保证数值解的有效性是非常重要的。如果差分格式是收敛的，那么，当计算网格足够密时，数值解将相当接近精确解。差分格式的稳定性等价于差分方程数值解的一致有界性。4483.差分格式的收敛性和稳定性差分格式的收敛性对于保证数值解449102上述定理建立了算子范数的一致有界性与稳定性之间的关系。当差分格式稳定时，整体截断误差和局部截断误差量级相同。450上述定理建立了算子范数的一致有界性与稳定性之间的关系。当差分451104Lax等价性定理是计算流体力学中的一个重要定理。直接分析差分格式的收敛性比较困难，而稳定性分析则比较简单。Lax定理告诉我们，在一定条件下，收敛性和稳定性是等价的；通过稳定性分析，即可确定差分格式的收敛条件。4.稳定性的意义452Lax等价性定理是计算流体力学中的一个重要定理。直接分析差分§2.4发展方程的稳定性分析2.4.1矩阵方法453§2.4发展方程的稳定性分析2.4.1矩阵方法1064541074551084561094571102.4.2VonNeumann稳定性理论4582.4.2VonNeumann稳定性理论1114591124601134611144621154631164641174651184661194671202.4.3稳定性分析实例4682.4.3稳定性分析实例121469122470123471124472125473126474127475128476129477130计算流体力学引论TheElementsofComputationalFluidDynamics478计算流体力学引论TheElementsofComput第三章发展型模型方程的有限差分

和有限体积方法§3.1一阶线性对流方程的差分格式§3.2抛物型模型方程——对流扩散方程的

差分格式§3.3有限体积方法§3.4差分格式数值解的性质479第三章发展型模型方程的有限差分§3.1一阶线性对§3.1一阶线性对流方程的差分格式讨论双曲型模型方程：一阶线性对流方程线性对流方程的差分格式和流体力学中Euler方程的差分格式以及Navier-Stokes方程中对流项的差分格式有密切的关系，因此，掌握其差分格式的构造方法具有非常重要的意义。本节中，介绍的差分格式构造方法包括：基于导数逼近基于特征理论基于时间展开基于算子分裂480§3.1一阶线性对流方程的差分格式讨论双曲型模型方程：一3.1.1基于导数逼近的差分格式构造差分格式的最简单的方法。采用前差、后差和中心差等离散方法，直接近似微分方程中的导数项。

1.

Euler显式格式时间方向：前差。空间方向：中心差。4813.1.1基于导数逼近的差分格式构造差分格式的最简单的方

2.

Euler隐式格式时间方向：后差。空间方向：中心差。4822.Euler隐式格式时间方向：后差。空间方向：

3.蛙跳(Leap-Frog)格式时间方向：中心差分。空间方向：中心差分。4833.蛙跳(Leap-Frog)格式时间方向：中心在满足稳定性的条件时，放大因子等于1，格式具有零耗散，称为中性稳定的。

4.一阶迎风(upwind)和顺风(downwind)格式时间方向：前差。空间方向：前差或后差。Courant–Friedrichs–Lewy484在满足稳定性的条件时，放大因子等于1，格式具有零耗散，称为中4851383.1.2基于特征线理论的差分格式，CFL条件特征性质是双曲型方程的重要特点。在构造差分格式时，考虑微分方程的数学物理性质，有助于得到性态较好的差分格式。4863.1.2基于特征线理论的差分格式，CFL条件特征性质是4871404881414891423.1.3基于时间展开的差分格式4903.1.3基于时间展开的差分格式1434911444921453.1.4基于算子分裂方法的格式4933.1.4基于算子分裂方法的格式1464941474951484961494971504981514991523.1.5边界条件的数值处理5003.1.5边界条件的数值处理153501154§3.2抛物型模型方程—对流扩散方程的差分格式502§3.2抛物型模型方程—对流扩散方程的差分格式1553.2.1求解域的离散和边界条件的处理5033.2.1求解域的离散和边界条件的处理1565041573.2.2差分格式5053.2.2差分格式1585061595071605081613.2.3近似因式分解方法5093.2.3近似因式分解方法1625101635111645121655131663.2.4多维问题差分格式的稳定性分析5143.2.4多维问题差分格式的稳定性分析167515168§3.3有限体积方法3.3.1积分型守恒方程516§3.3有限体积方法3.3.1积分型守恒方程1693.3.2空间控制体5173.3.2空间控制体1703.3.3有限体积方法的全离散形式5183.3.3有限体积方法的全离散形式1715191725201735211745221753.3.4有限体积方法的半离散形式5233.3.4有限体积方法的半离散形式176524177525178526179§3.4差分格式数值解的性质3.4.1修正方程527§3.4差分格式数值解的性质3.4.1修正方程1805281815291823.4.2差分格式的耗散和频散5303.4.2差分格式的耗散和频散183531184532185533186534187535188536189537190538191计算流体力学引论TheElementsofComputationalFluidDynamics539计算流体力学引论TheElementsofComput第五章可压缩流动数值模拟概述§5.1控制方程§5.2激波间断和广义解§5.3激波捕捉方法§5.4有限差分和有限体积方法§5.5Navier-Stokes方程中黏性项的离散§5.6时间步长的计算§5.7边界条件的处理540第五章可压缩流动数值模拟概述§5.1控制方程193§5.1控制方程541§5.1控制方程1945421955431965441975451