浙江省杭州市余杭区2022-2023学年数学九年级第一学期期末质量检测模拟试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题（每题4分，共48分）1．已知(x2+y2)(x2+y2-1)-6=0，则x2+y2的值是（）A．3或-2 B．-3或2 C．3 D．-22．两个全等的等腰直角三角形，斜边长为2，按如图放置，其中一个三角形45°角的项点与另一个三角形的直角顶点A重合，若三角形ABC固定，当另一个三角形绕点A旋转时，它的角边和斜边所在的直线分别与边BC交于点E、F，设BF=CE=则关于的函数图象大致是（）A． B． C． D．3．从，0，π，，6这五个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是()A． B． C． D．4．如图,在△ABC中,∠A=45°,∠C=90°,点D在线段AC上,∠BDC=60°,AD=1,则BD等于()A． B．+1 C．-1 D．5．如右图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在格点上，则的值为（）A． B． C． D．6．如图，在正方形ABCD中，AB=2，P为对角线AC上的动点，PQ⊥AC交折线于点Q，设AP=x，△APQ的面积为y，则y与x的函数图象正确的是（）A． B．C． D．7．二次函数的图象向上平移个单位得到的图象的解析式为（）A． B． C． D．8．如图，用一个半径为5cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P旋转了108°，假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（）A．πcm B．2πcm C．3πcm D．5πcm9．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，将△ABC绕C点按逆时针方向旋转角(0°＜＜90°)得到△DEC，设CD交AB于点F，连接AD，当旋转角度数为________，△ADF是等腰三角形．A．20° B．40° C．10° D．20°或40°10．一个圆锥的侧面展开图形是半径为8cm，圆心角为120°的扇形，则此圆锥的底面半径为（）A．cm B．cm C．3cm D．cm11．已知⊙O中最长的弦为8cm，则⊙O的半径为()cm．A．2 B．4 C．8 D．1612．如图1，图2是甲、乙两位同学设置的“数值转换机”的示意图，若输入的，则输出的结果分别为（）A．9，23 B．23，9 C．9，29 D．29，9二、填空题（每题4分，共24分）13．某化肥厂一月份生产化肥500吨，从二月份起，由于改进操作技术，使得第一季度共生产化肥1750吨，问二、三月份平均每月的增长率是多少？若设二、三月份平均每月的增长率为x，则可列方程为_______．14．已知圆锥的底面圆半径是1，母线是3，则圆锥的侧面积是______．15．在测量旗杆高度的活动课中，某小组学生于同一时刻在阳光下对一根直立于平地的竹竿及其影长和旗杆的影长进行了测量，得到的数据如图所示，根据这些数据计算出旗杆的高度为_________m．16．某企业2017年全年收入720万元，2019年全年收入845万元，若设该企业全年收入的年平均增长率为x，则可列方程____．17．如图，两个大小不同的三角板放在同一平面内，直角顶点重合于点，点在上，，与交于点，连接，若，，则_____．18．如图，绕着点顺时针旋转得到，连接，延长交于点，若，则的长为__________．三、解答题（共78分）19．（8分）已知（1）求的值；（2）若，求的值．20．（8分）定义：如果函数C：（）的图象经过点（m，n）、（-m，-n），那么我们称函数C为对称点函数，这对点叫做对称点函数的友好点．例如：函数经过点（1，2）、（-1，-2），则函数是对称点函数，点（1，2）、（-1，-2）叫做对称点函数的友好点．（1）填空：对称点函数一个友好点是（3，3），则b=，c=；（2）对称点函数一个友好点是（2b，n），当2b≤x≤2时，此函数的最大值为，最小值为，且=4，求b的值；（3）对称点函数（）的友好点是M、N（点M在点N的上方），函数图象与y轴交于点A．把线段AM绕原点O顺时针旋转90°，得到它的对应线段A′M′．若线段A′M′与该函数的图象有且只有一个公共点时，结合函数图象，直接写出a的取值范围．21．（8分）阅读下列材料，然后解答问题．经过正四边形(即正方形)各顶点的圆叫做这个正四边形的外接圆，圆心是正四边形的对称中心，这个正四边形叫做这个圆的内接正四边形．如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的面积为S1，正方形ABCD的面积为S1．以圆心O为顶点作∠MON，使∠MON＝90°．将∠MON绕点O旋转，OM、ON分别与⊙O交于点E、F，分别与正方形ABCD的边交于点G、H．设由OE、OF、及正方形ABCD的边围成的图形(阴影部分)的面积为S．（1）当OM经过点A时(如图①)，则S、S1、S1之间的关系为：(用含S1、S1的代数式表示)；（1）当OM⊥AB于G时(如图②)，则(1)中的结论仍然成立吗？请说明理由；（3）当∠MON旋转到任意位置时（如图③），则（1）中的结论任然成立吗：请说明理由.22．（10分）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用26m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设BC＝xm．（1）若矩形花园ABCD的面积为165m2，求x的值；（2）若在P处有一棵树，树中心P与墙CD，AD的距离分别是13m和6m，要将这棵树围在花园内（考虑到树以后的生长，篱笆围矩形ABCD时，需将以P为圆心，1为半径的圆形区域围在内），求矩形花园ABCD面积S的最大值．23．（10分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△OAB的三个顶点O（0，0）、A（4，1）、B（4，4）均在格点上．（1）画出△OAB绕原点顺时针旋转后得到的△，并写出点的坐标；（2）在（1）的条件下，求线段在旋转过程中扫过的扇形的面积．24．（10分）如图，等腰Rt△BPQ的顶点P在正方形ABCD的对角线AC上（P与AC不重合），∠PBQ=90°，QP与BC交于E,QP延长线交AD于F，连CQ.(1)①求证：AP=CQ；②求证：(2)当时，求的值.25．（12分）如图，A(8，6)是反比例函数y＝(x＞0)在第一象限图象上一点，连接OA，过A作AB∥x轴，且AB＝OA(B在A右侧)，直线OB交反比例函数y＝的图象于点M(1)求反比例函数y＝的表达式；(2)求点M的坐标；(3)设直线AM关系式为y＝nx+b，观察图象，请直接写出不等式nx+b﹣≤0的解集．26．将笔记本电脑放置在水平桌面上，显示屏OB与底板OA夹角为115°（如图1），侧面示意图为图2；使用时为了散热，在底板下面垫入散热架O′AC后，电脑转到AO′B′的位置（如图3），侧面示意图为图4，已知OA=OB=20cm，B′O′⊥OA，垂足为C．（1）求点O′的高度O′C；（精确到0.1cm）（2）显示屏的顶部B′比原来升高了多少？（精确到0.1cm）（3）如图4，要使显示屏O′B′与原来的位置OB平行，显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转多少度？参考数据：（sin65°=0.906，cos65°=0.423，tan65°=2.1．cot65°=0.446）

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、C【分析】设m=x2+y2，则有，求出m的值，结合x2+y20，即可得到答案．【详解】解：根据题意，设m=x2+y2，∴原方程可化为：，∴，解得：或；∵，∴，∴；故选：C．【点睛】本题考查了换元法求一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法和步骤．2、C【分析】由题意得∠B=∠C=45°，∠G=∠EAF=45°，推出△ACE∽△ABF，得到∠AEC=∠BAF，根据相似三角形的性质得到

，于是得到结论．【详解】解：如图：由题意得∠B＝∠C＝45°，∠G＝∠EAF＝45°，∵∠AFE＝∠C+∠CAF＝45°+∠CAF，∠CAE＝45°+∠CAF，∴∠AFB＝∠CAE，∴△ACE∽△ABF，∴∠AEC＝∠BAF，∴△ABF∽△CAE，∴，又∵△ABC是等腰直角三角形，且BC＝2，∴AB＝AC＝，又BF＝x，CE＝y，∴，即xy＝2，（1＜x＜2）．故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形对应边比例相等的性质，本题中求证△ABF∽△ACE是解题的关键．3、C【分析】根据有理数的定义可找出，0，π，，6这5个数中0，6为有理数，再根据概率公式即可求出抽到有理数的概率.【详解】解：在，0，π，，6这5个数中0，6为有理数，抽到有理数的概率是.故选C.【点睛】本题考查了概率公式以及有理数,根据有理数的定义找出五个数中有理数的个数是解题的关键.4、B【分析】设BC=x，根据锐角三角函数分别用x表示出AC和CD，然后利用AC－CD=AD列方程即可求出BC，再根据锐角三角函数即可求出BD.【详解】解：设BC=x∵在△ABC中,∠A=45°,∠C=90°,∴AC=BC=x在Rt△BCD中，CD=∵AC－CD=AD，AD=1∴解得：即BC=在Rt△BCD中，BD=故选：B.【点睛】此题考查的是解直角三角形的应用，掌握用锐角三角函数解直角三角形是解决此题的关键.5、A【分析】过作于，首先根据勾股定理求出，然后在中即可求出的值．【详解】如图，过作于，则，＝1．．故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．6、B【分析】因为点P运动轨迹是折线，故分两种情况讨论：当点P在A—D之间或当点P在D—C之间，分别计算其面积，再结合二次函数图象的基本性质解题即可．【详解】分两种情况讨论：当点Q在A—D之间运动时，，图象为开口向上的抛物线；当点Q在D—C之间运动时，如图Q1，P1位置，由二次函数图象的性质，图象为开口向下的抛物线，故选:B．【点睛】本题考查二次函数图象基本性质、其中涉及分类讨论法、等腰直角三角形的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．7、B【分析】直接根据“上加下减”的原则进行解答即可．【详解】由“上加下减”的原则可知,把二次函数y=x2的图象向上平移2个单位,得到的新图象的二次函数解析式是：y=x2+2.故答案选B.【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，解题的关键是熟练的掌握二次函数图象与几何变换.8、C【解析】试题分析：根据定滑轮的性质得到重物上升的即为转过的弧长，利用弧长公式得：l==3πcm，则重物上升了3πcm，故选C.考点：旋转的性质．9、D【分析】根据旋转的性质可得AC=CD，根据等腰三角形的两底角相等求出∠ADF=∠DAC，再表示出∠DAF，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠AFD，然后分①∠ADF=∠DAF，②∠ADF=∠AFD，③∠DAF=∠AFD三种情况讨论求解．【详解】∵△ABC绕C点逆时针方向旋转得到△DEC，∴AC=CD，∴∠ADF=∠DAC=（180°-α），∴∠DAF=∠DAC-∠BAC=（180°-α）-30°，根据三角形的外角性质，∠AFD=∠BAC+∠DCA=30°+α，△ADF是等腰三角形，分三种情况讨论，①∠ADF=∠DAF时，（180°-α）=（180°-α）-30°，无解，②∠ADF=∠AFD时，（180°-α）=30°+α，解得α=40°，③∠DAF=∠AFD时，（180°-α）-30°=30°+α，解得α=20°，综上所述，旋转角α度数为20°或40°．故选：D．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，难点在于要分情况讨论．10、A【解析】试题分析：设此圆锥的底面半径为r，根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得：r=cm．故选A．考点：弧长的计算．11、B【解析】⊙O最长的弦就是直径从而不难求得半径的长．【详解】∵⊙O中最长的弦为8cm，即直径为8cm，∴⊙O的半径为4cm．故选B.【点睛】本题考查弦，直径等知识，记住圆中的最长的弦就是直径是解题的关键．12、D【分析】根据题意分别把m=-2代入甲、乙两位同学设置的“数值转换机”求值即可．【详解】解：甲的“数值转换机”：当时，(-2)2+52=4+25=29，乙的“数值转换机”:当时，[(-2)+5]2=32=9，故选D.【点睛】本题考查了求代数式的值.解题关键是根据数值转换机的图示分清运算顺序.二、填空题（每题4分，共24分）13、500+500（1+x）+500（1+x）2＝1【解析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），根据二、三月份平均每月的增长为x，则二月份的产量是500（1+x）吨，三月份的产量是500（1+x）（1+x）=500（1+x）2，再根据第一季度共生产钢铁1吨列方程即可．【详解】依题意得二月份的产量是500（1+x），三月份的产量是500（1+x）（1+x）=500（1+x）2，∴500+500（1+x）+500（1+x）2=1．故答案为：500+500（1+x）+500（1+x）2=1．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，能够根据增长率分别表示出各月的产量，这里注意已知的是一季度的产量，即三个月的产量之和．14、3π．【解析】∵圆锥的底面圆半径是1，∴圆锥的底面圆的周长=2π，则圆锥的侧面积=×2π×3=3π，故答案为3π．15、12【分析】根据某物体的实际高度：影长=被测物体的实际高度：被测物体的影长即可得出答案.【详解】设旗杆的高度为xm,∵∴故答案为12【点睛】本题主要考查相似三角形的应用，掌握某物体的实际高度：影长=被测物体的实际高度：被测物体的影长是解题的关键.16、720（1+x）2=1．【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），参照本题，如果该企业全年收入的年平均增长率为x，根据2017年全年收入720万元，2019年全年收入1万元，即可得出方程．【详解】解：设该企业全年收入的年平均增长率为x，则2018的全年收入为：720×（1+x）2019的全年收入为：720×（1+x）2．那么可得方程：720（1+x）2=1．故答案为：720（1+x）2=1．【点睛】本题考查了一元二次方程的运用，解此类题的关键是掌握等量关系式：增长后的量=增长前的量×（1+增长率）．17、．【解析】过点C作CM⊥DE于点M，过点E作EN⊥AC于点N，先证△BCD∽△ACE，求出AE的长及∠CAE=60°，推出∠DAE=90°，在Rt△DAE中利用勾股定理求出DE的长，进一步求出CD的长，分别在Rt△DCM和Rt△AEN中，求出MC和NE的长，再证△MFC∽△NFE，利用相似三角形对应边的比相等即可求出CF与EF的比值．【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，∵，，∴，∵在中，，∴，在与中，∵，∴，∴，∵，∵，∴，∴∽，∴，∴，∴，，∴，在中，，在中，，∴，，在中，，在中，，∵，∴∽，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形等，解题关键是能够通过作适当的辅助线构造相似三角形，求出对应线段的比．18、【分析】根据题意延长交于点，则，延长交于点,根据已知可以得到CC´，B´C´，BF，B´F；求出，∵△MEC´∽△BEC，得到求出CE即可.【详解】Rt△ABC绕着点顺时针旋转得到，.又.如图，延长交于点，则，延长交于点，则.，，即，解得，∵△MEC´∽△BEC，，，解得∴CE=CC´+EC´=3+=【点睛】此题主要考查了旋转变化的性质和特征，相似三角形的性质，熟记性质是解题的关键，注意相似三角形的选择.三、解答题（共78分）19、（1）3；（2）a=-4，b=-6，c=-8.【解析】（1）设，可得，，，代入原式即可解答；（2）把，，，带入（2）式即可计算出k的值，从而求解.【详解】（1）设，则，，∴（2）由（1）解得，，，【点睛】本题考查比例的性质，设是解题关键.20、（1）b=1，c=9；（2）b=0或b=或b=；（3）或【分析】（1）由题可知函数图象过点（3，3），（-3，-3），代入即可求出b，c的值；（2）代入函数的友好点，求出函数解析式y=x2+2bx-4b2=（x+b）2-5b2，再根据二次函数的图象及性质分三种情况分析讨论；（3）由推出，再根据“友好点”是M（2，2）N（-2，-2）旋转后M′（2，-2）A′（-4a，0），将（-4a，0）代得出，根据图象即可得出结论．【详解】解：（1）由题可知函数图象过点（3，3），（-3，-3），代入函数（），得解得：b=1，c=9；（2）由题意得另一个友好数为（-2b，-n）∴-n=4b2-4b2+c∴c=-n∴y=x2+2bx-n把（2b，n）代入y=x2+2bx-nn=4b2+4b2-n∴n=4b2∴y=x2+2bx-4b2=（x+b）2-5b2当-b<2b即b>0时∵抛物线开口向上∴在对称轴右侧，y随x增大而增大∴当x=2b时，y1=4b2当x=2时，y2=-4b2+4b+4∵y1-y2=4∴-4b2+4b+4-4b2=4∴-8b2+4b=0∴b1=0（舍）b2=当2<-b，即b<-2时在对称轴左侧，y随x增大而减小∴当x=2b时，y1=4b2当x=2时，y2=-4b2+4b+4∵y1-y2=4∴4b2+4b2-4b-4=4∴8b2-4b-8=0∴2b2-b-2=0b=（舍）当2b≤-b≤2，即-2≤b≤0时y2=-5b2当x=2时，y1=-4b2+4b+4∵y1-y2=4∴-4b2+4b+4+5b2=4∴b2+4b=0∴b1=0，b2=-4（舍）当x=2b时，y1=4b2∵y1-y2=4∴9b2=4∴b=（舍）b=∴b=0或b=或b=；（3）推出“友好点”是M（2，2）N（-2，-2）旋转后M’（2，-2）A’（-4a，0）将（-4a，0）代入当a>0时当抛物线经过A′后有两个交点∴当a<0时，当抛物线经过A′点以后，开始于抛物线有一个交点∴综上：或．【点睛】本题是一道关于二次函数的综合题目，难度很大，理解“友好点”概念，综合利用二次函数的图象及其性质以是解此题的关键．解决此题还需要较强的数形结合的能力以及较强的计算能力．21、（1）；（1）（1）中的结论仍然成立，理由见解析；（1）（1）中的结论仍然成立，理由见解析.【解析】试题分析：（1）结合正方形的性质及等腰直角三角形的性质，容易得出结论；（1）仍然成立，可证得四边形OGHB为正方形，则可求出阴影部分的面积为扇形OEF的面积减去正方形OGBH的面积；（3）仍然成立，过O作OR⊥AB，OS⊥BC，垂足分别为R、S，则可证明△ORG≌△OSH，可得出四边形ORBS的面积=四边形OGBH的面积，再利用扇形OEF的面积减正方形ORBS的面积即可得出结论．试题解析：（1）当OM经过点A时由正方形的性质可知：∠MON=90°，∴S△OAB=S正方形ABCD=S1，S扇形OEF=S圆O=S1，∴S=S扇形OEF-S△OAB=S圆O-S正方形ABCD=S1-S1=（S1-S1），（1）结论仍然成立，理由如下：∵∠EOF=90°，∴S扇形OEF=S圆O=S1∵∠OGB=∠EOF=∠ABC=90°，∴四边形OGBH为矩形，∵OM⊥AB，∴BG=AB=BC=BH，∴四边形OGBH为正方形，∴S四边形OGBH=BG1=（AB）1=S1，∴S=S扇形OEF-S四边形OGBH=S1-S1=（S1-S1）；（3）（1）中的结论仍然成立，理由如下：∵∠EOF=90°，∴S扇形OEF=S圆O=，过O作OR⊥AB，OS⊥BC，垂足分别为R、S，由（1）可知四边形ORBS为正方形，∴OR=OS，∵∠ROS=90°，∠MON=90°，∴∠ROG=∠SOH=90°-∠GOS，在△ROG和△SOH中，，∴△ROG≌△SOH（ASA），∴S△ORG=S△OSH，∴S四边形OGBH=S正方形ORBS，由（1）可知S正方形ORBS=S1，∴S四边形OGBH=S1，∴S=S扇形OEF-S四边形OGBH=（S1-S1）．考点：圆的综合题．22、（1）x的值为11m或15m；（2）花园面积S的最大值为168平方米．【分析】（1）直接利用矩形面积公式结合一元二次方程的解法即可求得答案；（2）首先得到S与x的关系式，进而利用二次函数的增减性即可求得答案.【详解】（1）∵AB＝xm，则BC＝（26﹣x）m，∴x（26﹣x）＝165，解得：x1＝11，x2＝15，答：x的值为11m或15m；（2）由题意可得出：S＝x（26﹣x）＝﹣x2+26x＝﹣（x﹣13）2+169，由题意得：14≤x≤19，∵-1＜0，14≤x≤19，∴S随着x的增大而减小，∴x＝14时，S取到最大值为：S＝﹣（14﹣13）2+169＝168，答：花园面积S的最大值为168平方米．【点睛】本题考查了二次函数的应用以及一元二次方程的解法，正确结合二次函数的增减性求得最值是解题的关键.23、（1）图见解析，点A1坐标是（1，-4）；（2）【分析】（1）据网格结构找出点A、B绕点O按照顺时针旋转90°后的对应点A1、B1的位置，然后顺次O、A1、B1连接即可，再根据平面直角坐标系写出A1点的坐标；（2）利用扇形的面积公式求解即可，利用网格结构可得出．【详解】（1）点A1坐标是（1，-4）（2）根据题意可得出：∴线段在旋转过程中扫过的扇形的面积为：．【点睛】本题考查的知识点是旋转变换以及扇形的面积公式，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．24、（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）【分析】（1）①证出∠ABP=∠CBQ，由SAS证明△ABP≌△CBQ可得结论；

②根据正方形的性质和全等三角形的性质得到∠DAC=∠BAC，∠APF=∠ABP，即可证得△APF∽△ABP，再根据相似三角形的性质即可求解；（2）设正方形边长为，根据已知条件可求得PA的长，再根据第(1)②的结论可求得AF的长，从而求得答案.【详解】证明：（1）①∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=90°，∵△PBQ为等腰直角三角形，∴∠PBQ=90°，PB=BQ，∵∠ABP+∠BPC=∠BPC+∠CBQ=，∴∠ABP=∠CBQ，