两条直线的位置关系、距离公式（重难点突破） 【含答案】 高二数学上学期对点训练（人教A版2019选择性必修第一册）

两条直线的位置关系、距离公式一、考情分析二、考点梳理知识点一：直线的交点求两直线与的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组的解即可.若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有，则方程组无解，此时两直线平行；若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标.知识点诠释：求两直线的交点坐标实际上就是解方程组，看方程组解的个数.知识点二：过两条直线交点的直线系方程一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数．由于参数取法不同，从而得到不同的直线系．过两直线的交点的直线系方程：经过两直线，交点的直线方程为，其中是待定系数．在这个方程中，无论取什么实数，都得不到，因此它不能表示直线．知识点三：两点间的距离公式两点间的距离公式为.知识点诠释：此公式可以用来求解平面上任意两点之间的距离，它是所有求距离问题的基础，点到直线的距离和两平行直线之间的距离均可转化为两点之间的距离来解决.另外在下一章圆的标准方程的推导、直线与圆、圆与圆的位置关系的判断等内容中都有广泛应用，需熟练掌握.知识点四：点到直线的距离公式点到直线的距离为.知识点诠释：（1）点到直线的距离为直线上所有的点到已知点的距离中最小距离；（2）使用点到直线的距离公式的前提条件是：把直线方程先化为一般式方程；（3）此公式常用于求三角形的高、两平行线间的距离及下一章中直线与圆的位置关系的判断等.知识点五：两平行线间的距离本类问题常见的有两种解法：①转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离；②距离公式：直线与直线的距离为.知识点诠释：(1)两条平行线间的距离，可以看作在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离，此点一般可以取直线上的特殊点，也可以看作是两条直线上各取一点，这两点间的最短距离；(2)利用两条平行直线间的距离公式时，一定先将两直线方程化为一般形式，且两条直线中，的系数分别是相同的以后，才能使用此公式.知识点六、对称问题对称问题包括点关于点的对称、点关于直线的对称、直线关于点的对称.1．点关于点对称点关于点的对称是对称问题中最基本的问题,是解决其他对称问题的基础，一般用中点坐标公式解决这种对称问题.设点关于点M(a,b)的对称点为P′(x,y),则有，所以，即点.特别地,点P关于坐标原点O的对称点为.2．点关于直线对称对于点关于直线的对称问题，若点P关于直线l的对称点为,则直线l为线段的中垂线，于是有等量关系:①（直线l的斜率存在且不为零）；②线段的中点在直线l上；③直线l上任意一点M到P，的距离相等，即.常见的点关于直线的对称点：①点关于x轴的对称点；②点关于y轴的对称点；③点关于直线y=x的对称点；④点关于直线y=−x的对称点；⑤点关于直线x=m(m≠0)的对称点；⑥点关于直线y=n(n≠0)的对称点.三、题型突破重难点题型突破(一)直线的交点问题例1．（1）、（2022·贵州·高二学业考试）直线与直线的交点坐标为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接解方程求出两直线交点坐标即可.【详解】由解得，则直线与直线的交点坐标为.故选：A.（2）、（2021·江苏·高二专题练习）两条直线与的交点坐标就是方程组的实数解，给出以下三种说法：①若方程组无解，则两直线平行；②若方程组只有一解，则两直线相交；③若方程组有无数多解，则两直线重合．其中说法正确的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．0【答案】C【解析】【分析】根据两直线交点即方程组的解，则方程组的解的个数即两直线的交点个数，可以判断每个选项.【详解】①若方程组无解，则两条直线无交点，两直线平行；正确；②若方程组只有一解，说明两条直线只有一个交点，则两直线相交；正确；③若方程组有无数多解，说明两条直线有无数多个交点，则两直线重合．正确.故答案为C.【点睛】在同一平面内，两条直线有三种位置关系，即相交、平行、重合．相应地由直线的方程组成的二元一次方程组的解有三种情况，即有唯一解、无解、有无数解．当的解只有一组时，这两条直线和有一个公共点，它们的位置关系为相交．当的解有无数组时，这两条直线和有无数个公共点，它们的位置关系为重合．当无解时，这两条直线和没有公共点，它们的位置关系为平行．【变式训练1-1】、（2022·全国·高二专题练习）过原点和直线与的交点的直线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先求出两直线的交点，从而可得所求的直线方程.【详解】由可得，故过原点和交点的直线为即，故选：C.【变式训练1-2】、（2022·上海市控江中学高三阶段练习）若关于，的方程组有无穷多组解，则的值为______【答案】4【解析】【分析】当方程组有无穷多解时,可得到两直线重合,则可求出,,计算即可得解.【详解】若方程组有无穷多组解，即两条直线重合,即,则故答案为：4

重难点题型突破(二)距离公式的应用例2.（1）、（2022·全国·高二专题练习）已知点，，那么A，B两点之间的距离等于（

）A．8 B．6 C．3 D．0【答案】C【分析】利用平面内两点间的距离公式直接计算作答.【详解】因点，，则，所以A，B两点之间的距离等于3.故选：C（2）、（2022·全国·高二课时练习）已知两直线与，则与间的距离为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据平行线间距离公式即可求解.【详解】直线的方程可化为（使用两条平行直线间的距离公式时，x，y的系数要对应相等），显然，所以与间的距离为．故选:D．（3）、（2022·全国·高二课时练习）已知点且，则的一个值为________．（写出符合题意的一个答案即可）【答案】（答案不唯一，符合，即可）【分析】由两点间距离公式求解．【详解】根据两点间的距离公式，得，即，即，所以可以为．故答案为：（答案不唯一，符合，即可）【变式训练2-1】、（2022·江苏·高二）直线，为直线l上动点，则的最小值为___________.【答案】【分析】根据点到直线的距离即可求解.【详解】可看成是直线上一点到点的距离的平方，当时，距离最小.故点到直线的距离为，所以的最小值为故答案为：【变式训练2-2】、（2022·全国·高二专题练习）已知点到直线的距离为1，则m的值为（

）A．或 B．或15 C．5或 D．5或15【答案】D【分析】利用点到直线距离公式即可得出.【详解】解：点到直线的距离为1，解得：m=15或5．故选：D.【变式训练2-3】、（2022·湖北·荆门市龙泉中学高二阶段练习）点到直线距离的最大值为（

）A．1 B． C．2 D．【答案】D【分析】利用点到直线的距离公式可得，令，利用导数讨论函数的单调性进而求出函数的最大值，即可得出结果.【详解】点到直线的距离为，设，则，令，令或，所以函数在上单调递增，在和上单调递减，如图，由图可知，所以，所以距离的最大值为.故选：D重难点题型突破(三)对称问题例3．（1）、（2022·全国·高二）点关于直线对称的点坐标为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设出对称点的坐标为，结合对称性可得，解方程组即可求出结果.【详解】设点关于直线对称的点坐标为，由题意可得：解得：，所以点关于直线对称的点坐标为，故选：A．（2）、（2021·安徽省亳州市第一中学高二阶段练习）光线从点射到轴上，经轴反射以后过点，光线从A到B经过的路程为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出点关于轴的对称点为，再计算即为所求.【详解】点关于轴的对称点为，则光线从A到B经过的路程为的长度，即.故选：C.【变式训练3-1】、（2022·江苏·高二专题练习）直线关于点对称的直线方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为,代入已知直线即可求得结果.【详解】设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为，以代换原直线方程中的得，即.故选：D.【变式训练3-2】、（2022·内蒙古巴彦淖尔·高一期末）若一束光线从点射入，经直线反射到直线上的点，再经直线反射后经过点，则点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题可求A关于直线的对称点为及关于直线的对称点为，可得直线的方程，联立直线，即得.【详解】设A关于直线的对称点为，则，解得，即，设关于直线的对称点为，则，解得，即，∴直线的方程为：代入，可得，故.故选：C.重难点题型突破(四)三角形问题例4．（1）、（2022·江苏·高二）已知三条直线：，：，：所围成的图形为直角三角形，则该三角形的面积为（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】根据题意，分和两种情况讨论求解即可得答案.【详解】解：由题意知，若，则，与的交点坐标为，则此时三角形的面积为，若，则，与的交点坐标为，所以此时三角形的面积为．所以该三角形的面积为或．故选：C（2）、（2022·江苏·连云港高中高二开学考试）（多选题）下列的值中，不能使三条直线和构成三角形的有（

）A．4 B． C． D．【答案】ACD【分析】根据题意，可分、、和三条直线经过一个点，四种情况分类讨论，即可求解.【详解】由题意，当三条直线和，若时，可得；当时，可得；当时，则满足，无解；当三条直线经过一个点时，把和的交点为，代入直线中，可得，解得或，综上可得，满足条件的为或或或.故选：ACD.【变式训练4-1】、（2022·山东淄博·高二期末）已知：，，，，，一束光线从F点出发射到BC上的D点经BC反射后，再经AC反射，落到线段AE上（不含端点），则FD斜率的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据光线的入射光线和反射光线之间的规律，可先求F点关于直线BC的对称点P，再求P关于直线AC的对称点M,由此可确定动点D在直线BC上的变动范围，进而求的其斜率的取值范围.【详解】由题意可知：直线的方程为，直线的方程为，如图：设关于直线的对称点为，则,解得，故，同理可求关于直线的对称点为,连接,交于N，而MN方程为y=2,联立得N点坐标为，连接，分别交于,方程为：，和直线方程联立，解得H点坐标为,PN的方程为x=2,和直线方程联立解得，连接,则之间即为动点D点的变动范围，而,故FD斜率的取值范围是，故选B.【变式训练1-2】、（2022·湖南·高二期末）（多选题）已知平面上三条直线，，不能构成三角形，则实数k的值可以为（

）A． B． C．0 D．1【答案】ABC【分析】即找三直线其中两条平行或三线交于一点时实数k的值,【详解】依题：三条直线交于一点或其中两条平行且与第三条直线相交，①当直线经过直线与直线的交点时，，解得.②当直线与直线平行时，，解得；当直线与直线平行时，可得，综上：或或.故选:ABC.重难点题型突破(五)直线的综合问题例5．（1）、（2022·江苏徐州·高二期末）瑞士数学家欧拉1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点，，其欧拉线方程为，则顶点的坐标可以是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设出点C的坐标，求出的重心并代入欧拉线方程，验证并排除部分选项，余下选项再由外心、垂心验证判断作答.【详解】设顶点的坐标为，则的重心坐标为，依题意，，整理得：，对于A，当时，，不满足题意，排除A；对于D，当时，，不满足题意，排除D；对于B，当时，，对于C，当时，，直线AB的斜率，线段AB中点，线段AB中垂线方程：，即，由解得：，于是得的外心，若点，则直线BC的斜率，线段BC中点，该点与点M确定直线斜率为，显然，即点M不在线段BC的中垂线上，不满足题意，排除B；若点，则直线BC的斜率，线段BC中点，线段BC中垂线方程为：，即，由解得，即点为的外心，并且在直线上，边AB上的高所在直线：，即，边BC上的高所在直线：，即，由解得：，则的垂心，此时有，即的垂心在直线上，选项C满足题意.故选：C【点睛】结论点睛：的三顶点，则的重心为.（2）、（2022·全国·高三专题练习）如图已知，若光线从点射出，直线反射后到直线上，在经直线反射回原点，则光线所在的直线方程为________．【答案】【分析】反射问题的本质还是对称问题，分别求点关于和的对称点，即可求得直线的方程，利用直线方程联立，求得点的坐标，再求直线的方程.【详解】由题意知直线的方程为，设光线分别射在上的处，作出点关于的对称点，作出点关于的对称点，则∠∠∠，∠∠∠，共线，易得点关于轴的对称点，∠，，的横坐标为，由对称性可知，可得的纵坐标为，，直线方程，即，联立，得，，则，直线：，即光线所在的直线方程为．【变式训练5-1】、（2022·江苏·高二专题练习）（多选题）瑞士数学家欧拉（LeonharEuler）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心､重心､垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.若已知的顶点，，其欧拉线方程为，则下列正确的是（

）A．重心的坐标为或B．垂心的坐标为或C．顶点C的坐标为或D．欧拉线将分成的两部分的面积之比为【答案】BCD【分析】由题意先求出AB的中垂线方程，再与欧拉线方程联立可求出的外心，设，则可得三角形的重心为，代入欧拉线方程，再结合三角形的外心可求出顶点的坐标是或，从而可得三角形的重心坐标，结合图形可求出垂心的坐标和欧拉线将分成的两部分的面积之比【详解】AB的中点为，AB的中垂线方程为，即，联立，解得.∴的外心为，设，由重心坐标公式得，三角形的重心为，代入欧拉线方程得：，整理得：①又外心为，所以，整理得：②联立①②得：，或，，所以顶点的坐标是或.重心的坐标为或；由于或，所以垂心的坐标为或.因为直线与欧拉线平行，所以两部分的面积之比是或.故选：BCD【变式训练5-2】、（2022·全国·高二专题练习）已知，从点射出的光线经x轴反射到直线上，又经过直线反射回到时点，则光线所经过的路程为_____．【答案】【分析】求出关于轴对称点坐标，再求得关于直线的对称点坐标，线段的长即为所求路程．【详解】直线的方程为：点关于轴的对称点，设点关于直线的对称点，则，，解得，．，光线所经过的路程．故答案为：．

例6．（2022·江苏·高二专题练习）数学家欧拉在年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线．在中，已知，，若其欧拉线的方程为．求：(1)外心的坐标；(2)重心的坐标；(3)垂心的坐标．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）将直线垂直平分线方程与欧拉线方程联立即可解得外心坐标；（2）设，由此可得重心坐标，将其代入欧拉线可得关于方程；由可得关于的另一方程，由此联立可得的值，进而得到重心坐标；（3）将边上的高所在直线方程与欧拉线方程联立即可解得垂心坐标.(1)中点为且，垂直平分线方程为：，即，由得：，即外心.(2)设，则重心，将代入欧拉线得：，即…①；由得：…②；由①②得：或（与重合，不合题意），，重心.(3)由（2）知：；由（1）知：，边的高所在直线方程为：，即；由得：，垂心.例7．（2023·全国·高三专题练习）设直线l的方程为(1)求证：不论a为何值，直线l必过一定点P；(2)若直线l分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于点，，当面积为12时，求的周长；【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）将直线方程整理成关于的式子，再令其系数为0，解关于和的方程组，即可；（2）易知，，由，求出参数的值，从而可得的坐标，即可求出答案.（1）证明：将整理成，令，解得，，所以定点为，故不论为何值，直线必过一定点；（2）解：由题意知，，由，当时，，当时，，由，得，所以面积，解得，此时，，，所以的周长为，故当面积为12时，的周长为.四、定时训练（30分钟）1．（2022·全国·高二专题练习）若直线：与：垂直，则实数（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据，代入运算求解．【详解】由题意可得：，则故选：D．2．（2013·甘肃·模拟预测）点（2，5）关于y轴的对称点的坐标是（

）A．(5，2) B．(2，－5) C．(－2，5) D．(－2，－5)【答案】C【分析】根据坐标对称关系即可求解．【详解】点关于y轴的对称点的坐标是故选：C3．（2022·江苏·连云港高中高二开学考试）（多选题）一光线过点（2，4），经倾斜角为135°的直线l：反射后经过点（5，0），则反射光线还经过下列哪些点（

）A． B．（14，1） C．（13，2） D．（13，1）【答案】AD【分析】先求点关于直线的对称点，得出反射后的直线，再对选项逐一检验【详解】由题意知，，设点（2，4）关于直线的对称点为（m，n），则，解得，所以反射光线所在的直线方程为，所以当x＝13时，y＝1；当x＝14时，，故选：AD4．（2022·吉林松原·高二阶段练习）（多选题）已知直线m：与直线n平行，且两条直线之间的距离为，则直线n的方程可为（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】根据题意可设直线n的方程为，结合平行线之间的距离公式求出即可.【详解】根据题