多目标决策方法讲义 2

多目标决策方法

李小飞多目标决策的基本概念多目标决策的数学模型及其非劣解多目标决策建模的应用实例

用LINGO软件求解目标规划问题1.求解方法概述LINGO（或LINDO）不能直接求解目标规划问题，但可以通过逐级求解线性规划的方法，求得目标规划问题的满意解。2.示例例1

用LINGO求解目标规划问题解：首先对应于第一优先等级，建立线性规划问题：用LINGO求解，得最优解＝0，最优值为0。具体求解过程如下：启动LINGO软件，窗口如图1所示。图1在LINGO工作区中录入以下程序（参见图2）model:min=d1;10*x1+15*x2+d1_-d1=40;END其中x1、x2分别代表决策变量、；d1_、d1分别代表偏差变量、。图2在菜单LINGO下点选“Solve”，或按复合键“Ctrl+S”进行求解。LINGO弹出求解结果报告（参见图3）：

详细信息如下图3对应于第二二优先等级级，将＝＝0作为约束条条件，建立立线性规划划问题：用LINGO求解，得最最优解＝＝0，，，最最优值为6。具体LINGO程序及输出出信息如下下：LINGO程序为（参参见图4）：model:min=d2_;10*x1+15*x2+d1_-d1=40;x1+x2+d2_-d2=10;d1=0;END图4LINGO运算后输出出为（参见见图5）：图5对应于第三三优先等级级，将＝＝0，作作为约约束条件，，建立线性性规划问题题：用LINGO求解，得最最优解是，，，最优值为为7。具体LINGO程序及输出出信息如下下（参见图图6）：model:min=d3_;10*x1+15*x2+d1_-d1=40;x1+x2+d2_-d2=10;x2+d3_-d3=7;d1=0;d2_=6;END图6LINGO运算后输出出为：（参参见图7）图7因此，＝＝0，就就是目标标规划的满满意解。第一部分多目标决策策的基本概概况本章将从多多目标决策策（也称多多目标规划划）方法的的作用出发发，通过分分析简单的的多目标决决策问题的的几个案例例，阐述多多目标决策策的基本概概念。任何何决策问题题的解决主主要依赖于于所谓的决决策者和分分析者。决决策者一般般指有权挑挑选行动方方案，并能能够从中选选择满意方方案作为最最终决策的的人员。政政府官员、、企业行政政管理人员员均为某类类问题的决决策者。决策者的作作用是：评评价和判断断各目标的的相对重要要性；根据据目标的当当前水平值值以及主观观的判断和和经验，提提供关于决决策方案的的偏好信息息。分析者者一般指能能够提供可可行方案和和各目标之之间的折中中信息的人人或机器，，比如经济济学家、工工程师、系系统分析员员、社会学学家、计算算机等。只有一个目目标的决策策问题称为为单目标决决策（或单目标规划划）问题，，相应的解解题方法称称为单目标标方法。具有2个或2个以上目标标的决策问问题称为多多目标决策问题，，相应的求求解方法称称为多目标标方法。从从方法的特点来来看，单目目标方法强强调分析者者的作用，，忽视决策者的的作用。而而多目标方方法则由决决策者探寻寻和确定备选选的可行方方案范围，，评价目标标的相对价价值。从求求解解过过程程来来看看，，单单目目标标方方法法采采用用统统一一的的单单一一度度量量单位位，，向向决决策策者者提提供供唯唯一一的的最最优优方方案案。。由于于模模型型的的不不准准确确性性和和单单一一目目标标的的片片面面性性，，这这种所所谓谓最最优优的的方方案案并并不不一一定定是是决决策策者者满满意意的的。。自自然然，，用这这种种最最优优方方案案作作为为决决策策者者的的最最终终决决策策具具有有强强迫迫性性质，，往往往往难难以以为为决决策策者者接接受受。。另另一一方方面面，，多多目目标标方方法向向决决策策者者提提供供经经过过仔仔细细选选择择的的备备选选方方案案（（多多种种方方案））。。这这样样使使得得决决策策者者有有可可能能利利用用自自己己的的知知识识和和经经验对对这这些些方方案案进进行行评评价价和和判判断断，，从从中中找找出出满满意意方方案案或给给出出偏偏好好信信息息以以及及寻寻找找更更多多的的备备选选方方案案。。概括括起起来来，，多多目目标标决决策策方方法法处处理理实实际际决决策策问问题题有三三个个方方面面的的优优点点：：（（1）加加强强了了决决策策者者在在决决策策过过程程中的的作作用用；；（（2）可可以以得得到到范范围围更更为为广广泛泛的的备备选选决决策策方案案；；（（3）决决策策问问题题的的模模型型和和分分析析者者对对问问题题的的直直觉觉将更更加加现现实实。。多目目标标决决策策问问题题的的案案例例及及特特点点我们们介介绍绍两两个个日日常常生生活活中中常常见见的的决决策策问问题题。。第第一一个个是是顾顾客客到到商商店店购购买买衣衣服服。。对对于于顾顾客客而而言言，，购购买买衣衣服服就就是是一一个个决决策策问问题题，，顾顾客客本本人人是是决决策策者者，，各各种种各各样样的的衣衣服服是是行行动动方方案案集集。。该该决决策策问问题题的的解解就就是是顾顾客客最最终终买买到到一一件件合合适适的的衣衣服服（（或或选选择择一一个个满满意意的的方方案案））。。那那么么，，一一件件衣衣服服（（即即一一个个方方案案））合合适适否否（（满满意意否否））应应该该根根据据几几个个指指标标来来评评价价，，比比如如衣衣服服的的质质量量、、价价格格、、大大小小、、式式样样、、颜颜色色等等。。因此此，，顾顾客客购购买买衣衣服服的的问问题题是是多多目目标标决决策策问问题题。。又又如如，，公公务务人人员员外外出出办办事事总总要要乘乘某某种种交交通通工工具具。。这这也也是是一一个个决决策策问问题题，，决决策策者者是是公公务务员员，，备备选选方方案案是是可可利利用用的的交交通通工工具具。。公公务务员员为为了了选选择择合合适适的的交交通通工工具具，，需需要要考考虑虑几几个个指指标标，，比比如如：：时时间间、、价价格格、、舒舒适适性性、、方方便便程程度度等等。。显显然然这这也也是是一一个个多多目目标标决决策策问问题题。。在生生产产系系统统、、工工程程系系统统、、社社会会经经济济系系统统中中，，多多目目标标决决策策问问题题更更是是屡屡见见不不鲜鲜。。比比如如在在炼炼油油厂厂的的生生产产计计划划中中，，基基本本的的决决策策问问题题是是如如何何根根据据企企业业的的外外部部环环境境与与内内部部条条件件，，制制定定出出具具体体的的作作业业计计划划。。该该计计划划应应能能使使企企业业的的各各种种主主要要的的经经济济指指标标达达到到预预定定的的目目标标。。这这些些指指标标包包括括：：利利润润、、原原油油量量、、成成本本、、能能耗耗等等。。其其他他企企业业一一般般也也有有类类似似的的多多目目标标计计划划决决策策问问题题。。多目目标标决决策策问问题题有有两两个个共共同同的的特特点点，，即即各各目目标标的的不不可可公公度度性性和和相相互互之之间间的的矛矛盾盾性性。。所所谓谓目目标标的的不不可可公公度度性性指指各各目目标标之之间间没没有有统统一一的的量量纲纲，，因因此此难难以以作作相相互互比比较较。。目标之之间的的矛盾盾性是是指，，如果果改进进某一一目标标的值值，可可能会会使另另一个个或一一些目目标变变差。。正因因为各各目标标的不不可公公度性性和相相互之之间的的矛盾盾性，，多目目标决决策问问题不不能简简单的的作为为单目目标问问题来来处理理。必必须深深入研研究其其特征征，特特别是是解的的性质质。单单目标标决策策一般般有最最优解解，且且往往往是唯唯一的的，有有时可可能存存在无无限多多个解解。但但是这这里的的“最最优””往往往带有有片面面性，，不能能全而而准确确的反反映决决策者者的偏偏好信信息。。多目目标决决策问问题不不存在在所谓谓的““最优优”解解，只只存在在满意意解。。满意意解指指决策策者对对于有有关的的所有有目标标值都都认为为满意意。对于单单目标标决策策问题题的解解一般般具有有全序序最优优性，，而多多目标标决策策问题题的可可行方方案集集中的的各方方案只只有部部分序序而非非全序序，并并且一一般不不存在在满足足最优优性的的可行行解，，而只只有矛矛盾性性，即即，尽尽管某某一个个可行行解能能使n个目标标中的的某个个目标标最优优，但但不可可能使使其他他的n-1个目标标同时时最优优。各各目标标之间间的这这种矛矛盾性性是多多目标标问题题的基基本特特性，，不具具有这这种特特性的的问题题实质质上是是单目目标优优化问问题。。可行行解的的非劣劣性正正是多多目标标问题题矛盾盾性所所引起起的。。非劣性性的意意义可可解释释为：：设某某一可可行解解对对应应的目目标函函数值值为，，若若不存存在其其他可可行解解既能能在的的基础础上改改进某某一目目标的的值，，同时时又不不至于于使任任何别别的目目标的的值变变差。。在不不同的的研究究方向向，非非劣性性可能能有不不同的的说法法，比比如，，数学学家、、经济济学家家和统统计学学家又又称之之为““有效效性””或““最优优性””。下下面举举一个个简单单的例例子来来说明明非劣劣性。。例试试分分析下下表所所示四四个方方案的的非劣劣性。。方案目标函数方案的性质F1(x)F2(x)X11021非劣X21418非劣X31216劣X4820劣解：因因故。同理，。。因此四四个方方案的的优劣劣性见见表。。在图1中，max(f1,f2).就方案案①和和②来来说，，①的的f2目标值值比②②大，，但其其目标标值f1比②小小，因因此无无法确确定这这两个个方案案的优优与劣劣。在各个个方案案之间间，显显然：：④比①①好，，⑤比比④好好,⑥⑥比②好好,⑦比③好好……。非劣性性可以用用下图图说明明。图多多目目标规规划的的劣解解与非非劣解解第二部部分多多目标标决策策的数数学模模型及及其非非劣解解一、多多目标标决策策的数数学模模型（一））任何何多目目标决决策问问题，，都由由两个个基本本部分分组成成：（1）两个个以上上的目目标函函数；；（2）若干干个约约束条条件。。（二））对于于多目目标决决策问问题，，可以以将其其数学学模型型一般般地描描写为为如下下形式式：式中：为决策变量向量。缩写形形式：：有n个决策策变量量，k个目标标函数数，m个约束束方程程，则：Z=F(X)是k维函数数向量量，(X)是m维函数数向量量；G是m维常数数向量量；多目标标规划划问题题的求求解不不能只只追求求一个个目标标的最最优化化（最最大或或最小小），，而不不顾其其它目目标。。对于上上述多多目标标规划划问题题，求求解就就意味味着需需要做做出如如下的的复合合选择择：每一个个目标标函数数取什什么值值，原原问题题可以以得到到最满满意的的解决决？每一个个决策策变量量取什什么值值，原原问题题可以以得到到最满满意的的解决决？？如上例例的各各个方方案之之间，，④比比①好好，⑤⑤比④④好,⑥⑥比②好好,⑦比③好好。图多多目目标规规划的的劣解解与非非劣解解而对于于方案案⑤、、⑥、、⑦之之间则则无法法确定定优劣劣，而而且又又没有有比它它们更更好的的其他他方案案，所所以它它们就就被称称为多多目标标规划划问题题的非劣解解或有效解解，其余余方案案都称称为劣解。所有非非劣解解构成成的集集合称称为非劣解解集。当目标标函数数处于于冲突突状态态时，，就不不会存存在使使所有有目标标函数数同时时达到到最大大或最最小值值的最最优解解，于于是我我们只只能寻寻求非非劣解解。效用最优化模模型罚款模型约束模型目标规划模型型二、多目标决决策的非劣解解的求解方法法为了求得多目目标规划问题题的非劣解，，常常需要将将多目标规划划问题转化为为单目标规划划问题去处理理。实现这种种转化，有如如下几种建模模方法。是与各目标函函数相关的效效用函数的和和函数。方法一效效用最优化模型型（线性加权法）思想：规划问问题的各个目目标函数可以以通过一定的的方式进行求求和运算。这这种方法将一一系列的目标标函数与效用用函数建立相相关关系，各各目标之间通通过效用函数数协调，使多多目标规划问问题转化为传传统的单目标标规划问题：：但困难是要确确定合理的权权系数，以反反映不同目标标之间的重要要程度。在用效用函数数作为规划目目标时，需要要确定一组权权值i来反映原问题题中各目标函函数在总体目目标中的权重重，即：式中，i应满足：向量形式：方法二罚罚款模型（理想点法））思想:规划决策者对对每一个目标标函数都能提提出所期望的的值（或称满满意值）；通通过比较实际际值fi与期望值fi*之间的偏差来来选择问题的的解，其数学学表达式如下下：或写成矩阵形形式：式中，是与第i个目标函数相相关的权重；；A是由(i=1,2,……,k)组成的m×m对角矩阵。理论依据：：若规划问题题的某一目标标可以给出一一个可供选择择的范围，则则该目标就可可以作为约束束条件而被排排除出目标组组，进入约束束条件组中。。假如，除第一一个目标外，，其余目标都都可以提出一一个可供选择择的范围，则则该多目标规规划问题就可可以转化为单单目标规划问问题：方法三约约束模型（极极大极小法））方法四目目标规划模型型（目标规划划法）需要预先确定定各个目标的的期望值fi*，同时给每一一个目标赋予予一个优先因因子和权系数数，假定有K个目标，L个优先级(L≤K)，目标规划模模型的数学形形式为：式中：di+和di－分别表示与fi相应的、与fi*相比的目标超超过值和不足足值，即正、负偏差变变量；pl表示第l个优先级；lk+、lk-表示在同一优优先级pl中，不同目标标的正、负偏偏差变量的权权系数。1.基本思想：：给定若干目标标以及实现这这些目标的优先先顺序，在有有限的资源条条件下，使总总的偏离目标标值的偏差最最小。三、目标规划划方法假定有L个目标，K个优先级(K≤L)，n个变量。在同同一优先级pk中不同目标的的正、负偏差差变量的权系系数分别为kl+、kl-，则多目标规规划问题可以以表示为：2.目标规划模型型的一般形式式目标函数目标约束绝对约束非负约束在以上各式中中，kl+、kl-分别为赋予pl优先因子的第第k个目标的正、、负偏差变量量的权系数，gk为第k个目标的预期值值，xj为决策变量，，dk+、dk-分别为第k个目标的正、、负偏差变量量。目标函数目标约束绝对约束非负约束目标规划数学学模型中的有有关概念。(1)偏差变量在目标规划模模型中，除了了决策变量外外，还需要引引入正、负偏偏差变量d+、d-。其中，正偏偏差变量表示示决策值超过过目标值的部部分，负偏差差变量表示决决策值未达到到目标值的部部分。因为决策值不不可能既超过过目标值同时时又未达到目目标值，故有有d+×d-=0成立。(2)绝对约束和目目标约束绝对约束，必必须严格满足足的等式约束束和不等式约约束，譬如，，线性规划问问题的所有约约束条件都是是绝对约束，，不能满足这这些约束条件件的解称为非非可行解，所所以它们是硬硬约束。目标约束，目目标规划所特特有的，可以以将约束方程程右端项看作作是追求的目目标值，在达达到此目标值值时允许发生生正的或负的的偏差，可可加入正负偏偏差变量，是是软约束。线性规划问题题的目标函数数，在给定目目标值和加入入正、负偏差差变量后可以以转化为目标标约束，也可可以根据问题题的需要将绝绝对约束转化化为目标约束束。若要区别具有有相同优先因因子pl的目标的差别别，就可以分分别赋予它们们不同的权系系数i*(i=1,2,……,k)。这些优先因因子和权系数数都由决策者者按照具体情情况而定。(3)优先因子（优优先等级）与与权系数一个规划问题题,常常有若干个个目标，决策策者对各个目目标的考虑,往往是有主次次的。凡要求求第一位达到到的目标赋予予优先因子p1，次位的目标标赋予优先因因子p2，……，并规定pl>>pl+1(l=1,2,..)表示pl比pl+1有更大的优先先权。即:首先保证p1级目标的实现现，这时可以以不考虑次级级目标；而p2级目标是在实实现p1级目标的基础础上考虑的；；依此类推。。(4)目标函数目标规划的目目标函数（准准则函数）是是按照各目标标约束的正、、负偏差变量量和赋予相应应的优先因子子而构造的。。当每一目标标确定后，尽尽可能缩小与与目标值的偏偏离。因此，，目标规划的的目标函数只只能是：a)要求恰好达到到目标值，就就是正、负偏偏差变量都要要尽可能小,即b)要求不超过过目标值，，即允许达达不到目标标值，就是是正偏差变变量要尽可可能小，即即c)要求超过目目标值，也也就是超过过量不限，，但负偏差差变量要尽尽可能小，，即基本形式有有三种：对每一个具具体目标规规划问题，，可根据决决策者的要要求和赋于于各目标的的优先因子子来构造目目标函数。。（1）目标规划划数学模型型的形式有有：线性模模型、非线线性模型、、整数模型型、交互作作用模型等等；（2）一个目标标中的两个个偏差变量量di-、di+至少一个等等于零，偏偏差变量向向量的叉积积等于零：：d－×d＋=0；（3）一般目标标规划是将将多个目标标函数写成成一个由偏偏差变量构构成的函数数求最小值值，按多个个目标的重重要性，确确定优先等等级，顺序序求最小值值；（4）按决策者者的意愿，，事先给定定所要达到到的目标值值。当期望结果果不超过目目标值时，，目标函数数求正偏差差变量最小小；当期望结果果不低于目目标值时，，目标函数数求负偏差差变量最小小；当期望结果果恰好等于于目标值时时，目标函函数求正负负偏差变量量之和最小小。评注：（5）由目标构构成的约束束称为目标标约束，目目标约束具具有更大的的弹性，允允许结果与与所制定的的目标值存存在正或负负的偏差；；如果决策策者要求结结果一定不不能有正或或负的偏差差，这种约约束称为系系统约束；；（6）目标的排排序问题。。多个目标标之间有相相互冲突时时，决策者者首先必须须对目标排排序。排序序的方法有有两两比较较法、专家家评分等方方法，构造造各目标的的权系数，，依据权系系数的大小小确定目标标顺序；（7）合理的确确定目标数数。目标规规划的目标标函数中包包含了多个个目标，决决策者对于于具有相同同重要性的的目标可以以合并为一一个目标，，如果同一一目标中还还想分出先先后次序，，可以赋予予不同的权权系数，按按系数大小小再排序。。（8）多目标决决策问题．．多目标决决策研究的的范围比较较广泛，在在决策中，，可能同时时要求多个个目标达到到最优．例例如，企业业在对多个个项目投资资时期望收收益率尽可可能最大，，投资风险险尽可能最最小，属于于多目标决决策问题，，本章的目目标规划尽尽管包含有有多个目标标，但还是是按单个目目标求偏差差变量的最最小值，目目标函数中中不含有决决策变量，，目标规划划只是多目目标决策的的一种特殊殊情形．本本章不讨论论多目标规规划的求解解方法，只只给出利用用lingo软件求解线线性多目标标规划的简简单程序。。引例1生产计划问题

甲乙资源限额材料2324工时3226单位利润43

现在工厂领领导要考虑虑市场等一一系列其他他因素，提提出如下目目标：（1）根据据市场信息息，甲产品品的销量有有下降的趋趋势，而乙乙产品的销销量有上升升的趋势，，故考虑乙乙产品的产产量应大于于甲产品的的产量。（2）尽可可能充分利利用工时，，不希望加加班。（3）应尽尽可能达到到并超过计计划利润30元。现在在的的问问题题是是：：在在原原材材料料不不能能超超计计划划使使用用的的前前提提下下，，如如何何安安排排生生产产才才能能使使上上述述目目标标依依次次实实现现？？解：：（（1））决决策策变变量量：：设设每每天天生生产产甲甲、、乙乙两两种种产产品品各各为为x1和x2偏差差变变量量：：对对于于每每一一目目标标，，我我们们引引进进正正、、负负偏偏差差变变量量。。如对对于于目目标标1，，设设d1-表示示乙乙产产品品的的产产量量低低于于甲甲产产品品产产量量的的数数，，d1+表示示乙乙产产品品的的产产量量高高于于甲甲产产品品产产量量的的数数。。称称它它们们分分别别为为产产量量比比较较的的负负偏偏差差变变量量和和正正偏偏差差变变量量。。则则对对于于目目标标1，，可可将将它它表表示示为为等等式式约约束束的的形形式式-x1+x2+d1--d1+=0(目标标约约束束)同样样设设d2-和d2+分别别表表示示安安排排生生产产时时，，低低于于可可利利用用工工时时和和高高于于可可利利用用工工时时，，即即加加班班工工时时的的偏偏差差变变量量，，则则对对目目标标2，，有有3x1+2x2+d2--d2+=26对于于目目标标3，，设设d3-和d3+分别别表表示示安安排排生生产产时时，，低低于于计计划划利利润润30元元和和高高于于计计划划利利润润30元元的的偏偏差差变变量量，，有有：：4x1+3x2+d3--d3+=30（2））约束束条条件件：：有有资资源源约约束束和和目目标标约约束束资源源约约束束：：2x1+3x2≤24目标标约约束束：：为为上上述述各各目目标标中中得得出出的的约约束束（3））目目标标函函数数：：三三个个目目标标依依次次为为：：minZ1=d1-，minZ2=d2++d2-，minZ3=d3-因而该问题的数学模型可表述如下：

minZ1=d1-，minZ2=d2++d2-，minZ3=d3-2x1+3x2≤24s．t．-x1+x2+d1--d1+=03x1+2x2+d2--d2+=264x1+3x2+d3--d3+=30例某某企企业生生产甲甲、乙乙两种种产品品，需需要用用到A,B,C三种设设备，，关于于产品品的赢赢利与与使用用设备备的工工时及及限制制如下下表所所示。。问该该企业业应如如何安安排生生产，，才能能达到到下列列目标标：甲乙设备的生产能力（h）A(h/件)2212B(h/件)4016C(h/件)0515赢利（元/件）200300四、多多目标标规划划问题题求解解的LINGO程序（1）力求求使利利润指指标不不低于于1500元；（2）考虑虑到市市场需需求，，甲、、乙两两种产产品的的产量量比应应尽量量保持1:2；（3）设备备A为贵重重设备备，严严格禁禁止超超时使使用；；（4）设备备C可以适适当加加班，，但要要控制制；设设备B既要求充充分利利用，，又尽尽可能能不加加班。。在重重要性性上，，设备备B是设备备C的3倍。建立相相应的的目标标规划划模型型并求求解。。甲乙设备的生产能力（h）A(h/件)2212B(h/件)4016C(h/件)0515赢利（元/件）200300解：设设备A是刚性性约束束，其其余是是柔性性约束束。首首先，，最重重要的的指标标是企企业的的利润润，因因此，，将它它的优优先级级列为为第一一级；；其次次，甲甲、乙乙两种种产品品的产产量保保持1:2的比例例，列列为第第二级级；再再次，，设备备C,B的工作作时间间要有有所控控制，，列为为第三三级。。在第第三级级中，，设备备B的重要要性是是设备备C的三倍倍，因因此，，它们们的权权重不不一样样，设设备B前的系系数是是设备备C前系数数的3倍。由由此得得到相相应的的目标标规划划模型型。设设甲乙乙的产产量分分别为为。。求第一一级目目标。。LINGO程序如如下：：model:sets:variable/1..2/:x;S_Con_Num/1..4/:g,dplus,dminus;S_con(S_Con_Num,Variable):c;endsetsdata:g=150001615;c=2003002-14005;enddatamin=dminus(1);2*x(1)+2*x(2)<12;@for(S_Con_Num(i):@sum(Variable(j):c(i,j)*x(j))+dminus(i)-dplus(i)=g(i));end求得dminus(1)=0，即目目标函函数的的最优优值为为0，第一一级偏偏差为为0。求第二二级目目标，，LINGO程序如如下：：model:sets:variable/1..2/:x;S_Con_Num/1..4/:g,dplus,dminus;S_con(S_Con_Num,Variable):c;endsetsdata:g=150001615;c=2003002-14005;enddatamin=dplus(2)+dminus(2);!二级目目标函函数;2*x(1)+2*x(2)<12;@for(S_Con_Num(i):@sum(Variable(j):c(i,j)*x(j))+dminus(i)-dplus(i)=g(i));dminus(1)=0;!一级目目标约约束;@for(variable:@gin(x));end求得目目标函函数的的最优优值为为0，即第第二级级的偏偏差仍仍为0。求第三三级目目标，，LINGO程序如如下：：model:sets:variable/1..2/:x;S_Con_Num/1..4/:g,dplus,dminus;S_con(S_Con_Num,Variable):c;endsetsdata:g=150001615;c=2003002-14005;enddatamin=3*dplus(3)+3*dminus(3)+dplus(4);!三级目目标函函数;2*x(1)+2*x(2)<12;@for(S_Con_Num(i):@sum(Variable(j):c(i,j)*x(j))+dminus(i)-dplus(i)=g(i));dminus(1)=0;!一级目目标约约束;dplus(2)+dminus(2)=0;!二级目目标约约束;end目标函函数的的最优优值为为29，即第第三级级偏差差为29。分析计计算结结果，，。。因此，，目标标规划划的最最优解解为。。最优利利润为为1600。多目标标规划划的LINGO通用程程序model:sets:level/1..3/:p,z,goal;variable/1..2/:x;h_con_num/1..1/:b;s_con_num/1..4/:g,dplus,dminus;h_con(h_con_num,variable):a;s_con(s_con_num,variable):c;obj(level,s_con_num)/11,22,33,34/:wplus,wminus;endsetsdata:ctr=?;goal=??0;b=12;g=150001615;a=22;c=2003002-14005;wplus=0131;wminus=1130;enddatamin=@sum(level:p*z);p(ctr)=1;@for(level(i)|i#ne#ctr:p(i)=0);@for(level(i):z(i)=@sum(obj(i,j):wplus(i,j)*dplus(j)+wminus(i,j)*dminus(j)));@for(h_con_num(i):@sum(variable(j):a(i,j)*x(j))<b(i));@for(s_con_num(i):@sum(variable(j):c(i,j)*x(j))+dminus(i)-dplus(i)=g(i));@for(level(i)|i#lt#@size(level):@bnd(0,z(i),goal(i)));end当程序运行行时，会出出现一个对对话框。在做第一级级目标计算算时，ctr输入1，goal(1)和goal(2)输入两个较大的值值，表明这这两项约束束不起作用用。求得第第一级的最最优偏差为0，进行第二二轮计算。。在第二级目目标的运算算中，ctr输入2。由于第一一级的偏差差为0，因此goal(1)的输入值为为0，goal(2)输入一个较较大的值。。求得第二级的最优优偏差仍为为0，进行第三三级计算。。在第三级的的计算中，，ctr输入3。由于第一一级、第二二级的偏差差均是0，因此，goal(1)和goal(2)的输入值也也均是0。最终结果是是：，，最优优利润是1600元，第三级级的最优偏差差为29。第三部分多目标决策策建模的应应用实例例１考虑资资源消耗如如表1所示。x1、x2、x3分别为甲、、乙、丙的的产量。使企业在计计划期内总总利润最大大的线性规规划模型为为：

产品

资源甲乙丙现有资源设备A312200设备B224200材料C451360材料D235300利润（元/件）403050表1最优解X＝（50，30，10），Z＝3400现在决策者者根据企业业的实际情情况和市场场需求，需需要重新制制定经营目目标，其目目标的优先先顺序是：：（1）利润不少少于3200元；（2）产品甲与与产品乙的的产量比例例尽量不超超过1.5；（3）提高产品品丙的产量量使之达到到30件；（4）设备加工工能力不足足可以加班班解决，能能不加班最最好不加班班；（5）受到资金金的限制，，只能使用用现有材料料不能再购购进。解：设甲、、乙、丙产产品的产量量分别为x1、x2、x3。如果按线线性规划建建模思路，，最优解实实质是求下下列一组不不等式的解解通过计算不不等式无解解，即使设设备加班10小时仍然无无解．在实实际生产过过程中生产产方案总是是存在的，，无解只能能说明在现现有资源条条件下，不不可能完全全满足所有有经营目标标．这种情形是是按事先制制定的目标标顺序逐项项检查，尽尽可能使得得结果达到到预定目标标，即使不不能达到目目标也使得得离目标的的差距最小小，这就是是目标规划划的求解思思路，对应应的解称为为满意解．．下面建立立例1的目标规划划数学模型型．设d－为未达到目目标值的差差值，称为为负偏差变变量，d+为超过目标标值的差值值，称为正正偏差变量量，d－≥0、d＋≥0．(1)设d1－未达到利润润目标的差差值,d1+为超过目标标的差值当利润小于于3200时,d1－＞０且d1＋＝0,有40x1+30x2+50x3+d1－=3200成立当利润大于于3200时，d1＋＞０且d1－＝０，有40x1+30x2+50x3-d1+=3200成立当利润恰好好等于3200时，d1－=０且d1+=0,有40x1+30x2+50x3=3200成立实际利润只只有上述三三种情形之之一发生，，因而可以以将三个等等式写成一一个等式40x1+30x2+50x3+d1－－d1+=3200（2）设分别为未达到和超过产品比例要求的偏差变量,则产量比例尽量不超过1.5的数学表达式为：（3）设d3ˉ、d3＋分别为产品品丙的产量量未达到和和超过30件的偏差变变量，则产产量丙的产产量尽可能能达到30件的数学表表达式为：：利润不少于于3200理解为达到到或超过3200，即使不能能达到也要要尽可能接接近3200,可以表达成成目标函数数｛d1－｝取最小值值，则有（4）设d4ˉ、d4+为设备A的使用时间间偏差变量量,d5ˉ、d5+为设备B的使用时间间偏差变量量，最好不不加班的含含义是d4+和d5+同时取最小小值，等价价于d4++d5+取最小值，，则设备的的目标函数数和约束为为：（5）材料不能能购进表示示不允许有有正偏差，，约束条件件为小于等等于约束．．由于目标是是有序的并并且四个目目标函数非非负，因此此目标函数数可以表达达成一个函函数：式中：Pj（j=1,2,3,4）称为目标标的优先因因子，第一一目标优于于第二目标标，第二目目标优于第第三目标等等等，其含含义是按P1、P2、…的次序分别别求后面函函数的最小小值.则问题的目目标规划数数学模型为为：约束实际偏差目标1C13220=32002C2－2=03C330=304C4164=2005C5216=2006C6242－118<=3607C7266－34<=3001X1282X2203X3304d1-05d1+206d2-27d2+08d3-09d3+010d4-3611d4+012d5-013d5+16满意解：约束分析：：例2车间计划生生产I、II两种产品，，每种产品品均需经过过A、B、C三道工序加工工．工艺资资料如表2所示．

产品工序产品甲产品乙每天加工能力(小时)A22120B12100C2.20.890产品售价(元/件)5070产品利润(元/件)108（1）车间如何何安排生产产计划，使使产值和利利润都尽可可能高;（2）如果认为为利润比产产值重要，，怎样决策策。表2解：设x1、x2分别为产品品甲和产品品乙的日产产量，得到到线性多目目标规划模模型：（1）将模型化化为目标规规划问题．．首先，通通过分别求求产值最大大和利润最最大的线性性规划最优优解．产值最大的的最优解：：X(1)＝（20，40），Z1＝3800利润最大的的最优解：：X(2)＝（30，30），Z2＝540目标确定为为产值和利利润尽可能能达到3800和540，得到目标标规划数学学模型：．,等价于（2）给d2-

赋予一个比d1-的系数大的权系数,如，约束条件不变.权系数的大小依据重要程度给定，或者根据同一优先级的偏差变量的关系给定，例如，当利润d2-减少一个单位时，产值d1-减少3个单位，则赋予d2-权系数3，则目标函数为例3某单位领导导在考虑本本单位职工工的升级调调资方案时时，依次遵遵守以下规规定：(1)不超过年工工资总额60000；(2)每级的人数数不超过定定编规定的的人数；(3)Ⅱ,Ⅲ级的升级面面尽可能达达到现有人人数的20％，且无越越级提升；；(4)Ⅲ级不足编制制的人数可可录用新职职工，又Ⅰ级的职工有有10％要退休。。有关资料汇汇总下表3，问如何拟拟定满意的的方案？等级工资额（元/年）现有人数编制人数Ⅰ20001012Ⅱ15001215Ⅲ10001515合计3742表3解：1）设定决策策变量。假假设x1，x2，x3分别表示提提升到Ⅰ、Ⅱ级和录用到到Ⅲ级的新职工工人数。2）确定所需需考虑的各各个目标的的优先级及及权系数。。对各目标的的优先因子子确定为：：P1：不超过年年工资总额额60000元；P2:每级的人数数不超过定定编规定的的人数；P3：Ⅱ、Ⅲ级升级面尽尽可能达到到现有人数数的20％；3）将各个目目标写入目目标规划的的约束条件件。年工资总额额不超过60000元；每级的人数数不超过定定编规定的的人数Ⅱ、Ⅲ级的升级面面尽可能达达到现有人人数的20％，但尽可可能多提；；4）确定各个个目标约束束对于各自自正负偏差差量的的要要求。P1：不超过年年工资总额额60000元——d1+尽量小P2:每级的人数数不超过定定编规定的的人数——d2+，d3+，d4+尽量小P3：Ⅱ、Ⅲ级升级面尽尽可能达到到现有人数数的20％——d5-,d6-尽量小5）构造目标标函数6）决策变量量和偏差变变量的非负负要求例4企业计划生生产I、II两种产品，，这些产品品需要使用用两种材料料，要在两两种不同设设备上加工工．工艺资资料如表4所示．产品资源产品甲产品乙现有资源材料I3012(kg)材料II0414(kg)设备A2212(h)设备B5315(h)产品利润(元/件)2040表4解：设x1、x2分别为产品品甲和产品品乙的产量量，目标规规划数学模模型为：企业怎样安安排生产计计划，尽可可能满足下下列目标：：(1)力求使利润润指标不低低于80元；(2)考虑到市场场需求,Ｉ、II两种产品的的生产量需需保持1:1的比例；(3)设备A既要求充分分利用，又又尽可能不不加班；(4)设备B必要时可以以加班，但但加班时间间尽可能少少；(5)材料不能超超用。例5已知条件如如表5所示工序型号每周最大加工能力ABⅠ（小时/台）Ⅱ（小时/台）436215070利润（元/台）300450如果工厂经经营目标的的期望值和和优先等级级如下：p1:每周总利润润不得低于于10000元；p2:因合同要求求，A型机每周至至少生产10台，B型机每周至至少生生产15台；p3:希望工序Ⅰ的每周生产产时间正好好为150小时，工序序Ⅱ的生产时间间最好用足足，甚至可可适当加班班。试建立这个个问题的目目标规划模模型。表5例6在上题中，，如果工序序Ⅱ在加班时间间内生产出出来的产品品，每台A型机减少利利润20元，每台B型机减少利利润25元，并且工工序Ⅱ的加班时间间每周最多多不超过30小时，这是是p4级目标，试试建立这个个问题的目目标规划模模型。设x1,x2分别为在正正常时间