高三数学一轮复习第八章立体几何第四节直线平面垂直的判定与性质课件理

理数课标版第四节直线、平面垂直的判定与性质理数第四节直线、平面垂直的判定与性质1.直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义直线l与平面α内的①

任意一条

直线都垂直,就说直线l与平面α互相

垂直.(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理教材研读

文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的②

两条相交直线

都垂直,则该直线与此平面垂直

⇒l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线⑦

平行

⇒a∥b1.直线与平面垂直教材研读文字语言图形语言符号语言判定一条2.直线与平面所成的角(1)定义:平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的

锐角

,叫做这条直线和这个平面所成的角.一条直线垂直于平面,就说它们所成的角是直角;一条直线和平面平行,或在平面内,就说它们所成的角是0°的角.如图所示,

∠PAO

就是斜线AP与平面α所成的角.(2)线面角θ的范围:θ∈

.2.直线与平面所成的角(1)定义:平面的一条斜线和它在这个平3.二面角的有关概念(1)二面角:从一条直线出发的

两个半平面

所组成的图形叫做二面角.(2)二面角的平面角:以二面角的棱上任一点为端点,在两个半平面内分

别作

垂直于棱

的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.3.二面角的有关概念4.平面与平面垂直的判定定理

4.平面与平面垂直的判定定理 1.(2016浙江,2,5分)已知互相垂直的平面α,β交于直线l.若直线m,n满足m

∥α,n⊥β,则

()A.m∥l

B.m∥nC.n⊥l

D.m⊥n答案

C对于A,m与l可能平行或异面,故A错;对于B、D,m与n可能平

行、相交或异面,故B、D错;对于C,因为n⊥β,l⊂β,所以n⊥l,故C正确.故

选C.1.(2016浙江,2,5分)已知互相垂直的平面α,β交于直2.已知直线a,b和平面α,且a⊥b,a⊥α,则b与α的位置关系为()A.b⊂α

B.b∥αC.b⊂α或b∥α

D.b与α相交答案

C由a⊥b,a⊥α知b⊂α或b∥α,但直线b不与平面α相交.2.已知直线a,b和平面α,且a⊥b,a⊥α,则b与α的位置3.如图,O为正方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD的中心,则下列直线中与

B1O垂直的是

()

A.A1D

B.AA1

C.A1D1

D.A1C1答案

D易知AC⊥平面BB1D1D.∵A1C1∥AC,∴A1C1⊥平面BB1D1D.又B1O⊂平面BB1D1D,∴A1C1⊥B1O,故选D.3.如图,O为正方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD4.一平面垂直于另一平面的一条平行线,则这两个平面的位置关系是

.答案垂直解析由线面平行的性质定理知,若一直线平行于一平面,则该面内必

有一直线与已知直线平行,再根据“两平行线中一条垂直于一平面,另

一条也垂直于该平面”得出结论.4.一平面垂直于另一平面的一条平行线,则这两个平面的位置关系5.如图,已知PA⊥平面ABC,BC⊥AC,则图中直角三角形的个数为

.

答案4解析题图中直角三角形为△PAC、△PAB、△BCP、△BCA,故直角

三角形的个数为4.5.如图,已知PA⊥平面ABC,BC⊥AC,则图中直角三角形考点一直线与平面垂直的判定与性质典例1如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,

∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.

(1)证明:CD⊥AE;(2)证明:PD⊥平面ABE.考点突破考点一直线与平面垂直的判定与性质考点突破证明(1)在四棱锥P-ABCD中,∵PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴PA⊥CD.∵AC⊥CD,PA∩AC=A,∴CD⊥平面PAC.而AE⊂平面PAC,∴CD⊥AE.(2)由PA=AB=BC,∠ABC=60°,可得AC=PA.∵E是PC的中点,∴AE⊥PC.由(1)知,AE⊥CD,且PC∩CD=C,∴AE⊥平面PCD.而PD⊂平面PCD,∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD,∴PD在底面ABCD内的射影是AD,又∵AB⊥AD,∴AB⊥PD.又AB∩AE=A,∴PD⊥平面ABE.证明(1)在四棱锥P-ABCD中,方法技巧证明直线与平面垂直的常用方法(1)利用线面垂直的判定定理.(2)利用“两平行线中的一条与一平面垂直,则另一条也与这个平面垂

直”.(3)利用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个,则该直线与另一个

平面也垂直”.(4)利用面面垂直的性质定理.1-1

S是Rt△ABC所在平面外一点,且SA=SB=SC,D为斜边AC的中点.(1)求证:SD⊥面ABC;(2)若AB=BC,求证:BD⊥面SAC.方法技巧证明(1)如图所示,取AB的中点E,连接SE,DE,

在Rt△ABC中,D、E分别为AC、AB的中点,∴DE∥BC,∴DE⊥AB,∵SA=SB,∴△SAB为等腰三角形,∴SE⊥AB.又SE∩DE=E,证明(1)如图所示,取AB的中点E,连接SE,DE,∴AB⊥面SDE.又SD⊂面SDE,∴AB⊥SD.在△SAC中,SA=SC,D为AC的中点,∴SD⊥AC.又AC∩AB=A,∴SD⊥面ABC.(2)由于AB=BC,则BD⊥AC,由(1)知,SD⊥面ABC,又BD⊂面ABC,∴SD⊥BD,又SD∩AC=D,∴BD⊥面SAC.∴AB⊥面SDE.又SD⊂面SDE,∴AB⊥SD.考点二平面与平面垂直的判定与性质典例2

(2016天津,17改编)如图,四边形ABCD是平行四边形,平面AED

⊥平面ABCD,EF∥AB,AB=2,BC=EF=1,∠BAD=60°,G为BC的中点.(1)求证:FG∥平面BED;(2)求证:平面BED⊥平面AED.

考点二平面与平面垂直的判定与性质证明(1)取BD的中点O,连接OE,OG.在△BCD中,因为G是BC的中点,所

以OG∥DC且OG=

DC=1,又因为EF∥AB,AB∥DC,EF=1,所以EF∥OG且EF=OG,即四边形OGFE是平行四边形,所以FG∥OE.又FG⊄平面BED,OE⊂平面BED,所以FG∥平面BED.

证明(1)取BD的中点O,连接OE,OG.在△BCD中,因(2)在△ABD中,AD=1,AB=2,∠BAD=60°,由余弦定理可得BD=

,进而∠ADB=90°,即BD⊥AD.又因为平面AED⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,平面AED∩平面ABCD=AD,所以BD⊥平面AED.又因为BD⊂平面BED,所以平面BED⊥平面AED.(2)在△ABD中,AD=1,AB=2,∠BAD=60°,由方法技巧面面垂直的证明方法(1)定义法:利用面面垂直的定义,即判定两平面所成的二面角为直二面

角,将证明面面垂直问题转化为证明二面角的平面角为直角的问题.(2)定理法:利用面面垂直的判定定理,即证明其中一个平面经过另一个

平面的一条垂线,进而把问题转化成证明线线垂直加以解决.方法技巧2-1如图所示,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB∥DC,△PAD是等边三角形,已知AD=4,BD=4

,AB=2CD=8.(1)设M是PC上的一点,证明:平面MBD⊥平面PAD;(2)求四棱锥P-ABCD的体积.2-1如图所示,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面A解析(1)证明:在△ABD中,∵AD=4,BD=4

,AB=8,∴AD2+BD2=AB2.∴AD⊥BD.又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,BD⊂平面ABCD,∴BD⊥平面PAD.又BD⊂平面MBD,∴平面MBD⊥平面PAD.(2)过点P作PO⊥AD于O,∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,∴PO⊥平面ABCD.即PO为四棱锥P-ABCD的高.解析(1)证明:在△ABD中,平面PAD∩平面ABCD=A又△PAD是边长为4的等边三角形,∴PO=4×

=2

.在Rt△ADB中,斜边AB上的高为

=2

,此即为梯形ABCD的高.∴S梯形ABCD=

×2

=12

.∴VP-ABCD=

×12

×2

=24.

又△PAD是边长为4的等边三角形,∴PO=4× =2 .∴V考点三平行与垂直的综合问题命题角度一平行与垂直关系的证明典例3

(2016江苏,16,14分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为

AB,BC的中点,点F在侧棱B1B上,且B1D⊥A1F,A1C1⊥A1B1.求证:(1)直线DE∥平面A1C1F;(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.

考点三平行与垂直的综合问题证明(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C1∥AC.在△ABC中,因为D,E分别为AB,BC的中点,所以DE∥AC,于是DE∥A1C1.又因为DE⊄平面A1C1F,A1C1⊂平面A1C1F,所以直线DE∥平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A⊥平面A1B1C1.因为A1C1⊂平面A1B1C1,所以A1A⊥A1C1.又因为A1C1⊥A1B1,A1A⊂平面ABB1A1,A1B1⊂平面ABB1A1,A1A∩A1B1=A1,所以A1C1⊥平面ABB1A1.因为B1D⊂平面ABB1A1,所以A1C1⊥B1D.又因为B1D⊥A1F,A1C1⊂平面A1C1F,A1F⊂平面A1C1F,A1C1∩A1F=A1,所以B1D⊥平面A1C1F.因为直线B1D⊂平面B1DE,所以平面B1DE⊥平面A1C1F.证明(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C1∥AC命题角度二平行与垂直关系中的探索性问题典例4如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是矩形,AD=2AB,SA=SD,

SA⊥AB,N是棱AD的中点.(1)求证:AB∥平面SCD;(2)求证:SN⊥平面ABCD;(3)在棱SC上是否存在一点P,使得平面PBD⊥平面ABCD?若存在,求出

的值;若不存在,请说明理由.

命题角度二平行与垂直关系中的探索性问题解析(1)证明:因为ABCD是矩形,所以AB∥CD,又因为AB⊄平面SCD,CD⊂平面SCD,所以AB∥平面SCD.(2)证明:因为AB⊥SA,AB⊥AD,SA∩AD=A,所以AB⊥平面SAD,又因为SN⊂平面SAD,所以AB⊥SN.因为SA=SD,且N为AD的中点,所以SN⊥AD.又因为AB∩AD=A,所以SN⊥平面ABCD.解析(1)证明:因为ABCD是矩形,所以AB∥CD,(3)在棱SC上存在一点P,使得平面PBD⊥平面ABCD.理由:如图,连接BD交NC于点F,在△SNC中,过F作FP∥SN,交SC于点P,

连接PB,PD.

因为SN⊥平面ABCD,所以FP⊥平面ABCD.又因为FP⊂平面PBD,(3)在棱SC上存在一点P,使得平面PBD⊥平面ABCD.所以平面PBD⊥平面ABCD.在矩形ABCD中,因为ND∥BC,且N为AD的中点,所以

=

=

.在△SNC中,因为FP∥SN,所以

=

=

.所以在棱SC上存在一点P,使得平面PBD⊥平面ABCD,此时

=

.所以平面PBD⊥平面ABCD.命题角度三平行与垂直关系中的折叠问题典例5

(2016课标全国Ⅱ,19,12分)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交

于点O,点E,F分别在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于点H.将△DEF沿EF折

到△D'EF的位置.(1)证明:AC⊥HD';(2)若AB=5,AC=6,AE=

,OD'=2

,求五棱锥D'-ABCFE的体积.

命题角度三平行与垂直关系中的折叠问题解析(1)证明:由已知得AC⊥BD,AD=CD.又由AE=CF得

=

,故AC∥EF.

(2分)由此得EF⊥HD,EF⊥HD',所以AC⊥HD'.

(4分)(2)由EF∥AC得

=

=

.

(5分)由AB=5,AC=6得DO=BO=

=4.所以OH=1,D'H=DH=3.于是OD'2+OH2=(2

)2+12=9=D'H2,故OD'⊥OH.由(1)知AC⊥HD',又AC⊥BD,BD∩HD'=H,所以AC⊥平面BHD',于是AC

⊥OD'.又由OD'⊥OH,AC∩OH=O,所以OD'⊥平面ABC.

(8分)解析(1)证明:由已知得AC⊥BD,AD=CD.又由

=

得EF=

.五边形ABCFE的面积S=

×6×8-

×

×3=

.

(10分)所以五棱锥D'-ABCFE的体积V=

×

×2

=

.

(12分)又由 = 得EF= .方法技巧平行与垂直的综合应用问题的处理策略(1)探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明,探索点存

在问题,点多为中点或三等分点中的某一个,也可以根据相似知识取点.(2)折叠问题中的平行与垂直关系的处理关键是结合图形弄清折叠前后

变与不变的数量关系及位置关系.3-1如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥

底面ABCD,PA⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点.求证:(1)PA⊥底面ABCD;(2)BE∥平面PAD;(3)平面BEF⊥平面PCD.方法技巧证明(1)因为平面PAD⊥底面ABCD,且PA垂直于这两个平面的交线

AD,所以PA⊥底面ABCD.(2)因为AB∥CD,CD=2AB,E为CD的中点,所以AB∥DE,且AB=DE.所以四边形ABED为平行四边形.所以BE∥AD.又因为BE⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,所以BE∥平面PAD.(3)因为AB⊥AD,且四边形ABED为平行四边形,所以BE⊥CD,AD⊥CD.证明(1)因为平面PAD⊥底面ABCD,且PA垂直于这两个由(1)知PA⊥底面ABCD,所以PA⊥CD,又PA∩AD=A,所以CD⊥平面PAD.所以CD⊥PD.因为E和F分别是CD和PC的中点,所以PD∥EF,故CD⊥EF.又因为EF⊂平面BEF,BE⊂平面BEF,且EF∩BE=E,所以CD⊥平面BEF.又因为CD⊂平面PCD,所以平面BEF⊥平面PCD.由(1)知PA⊥底面ABCD,3-2如图,在长方形ABCD中,AB=2,BC=1,E为CD的中点,F为AE的中点.

现在沿AE将三角形ADE向上折起,在折起的图形中解答下列问题:

(1)在线段AB上是否存在一点K,使BC∥平面DFK?若存在,请证明你的结

论;若不存在,请说明理由;(2)若平面ADE⊥平面ABCE,求证:平面BDE⊥平面ADE.3-2如图,在长方形ABCD中,AB=2,BC=1,E为C解析(1)如图,线段AB上存在一点K,且当AK=

AB时,BC∥平面DFK.证明如下:设H为AB的中点,连接EH,则BC∥EH,∵AK=

AB,F为AE的中点,∴KF∥EH,∴KF∥BC,∵KF⊂平面DFK,BC⊄平面DFK,∴BC∥平面DFK.

解析(1)如图,线段AB上存在一点K,且当AK= AB时,(2)证明:∵在折起前的图形中E为CD的中点,AB=2,BC=1,∴在折起后的图形中,AE=BE=

,从而AE2+BE2=4=AB2,∴AE⊥BE.∵平面ADE⊥平面ABCE,平面ADE∩平面ABCE=AE,∴BE⊥平面ADE,∵BE⊂平面BDE,∴平面BDE⊥平面ADE.(2)证明:∵在折起前的图形中E为CD的中点,AB=2,BC编后语老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何抓住老师的思路。①根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。②根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。③根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等，这些用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网④紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。⑤搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网⑥利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。2022/12/30最新中小学教学课件38编后语老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学2022/12/30最新中小学教学课件39谢谢欣赏！2022/12/29最新中小学教学课件39谢谢欣赏！理数课标版第四节直线、平面垂直的判定与性质理数第四节直线、平面垂直的判定与性质1.直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义直线l与平面α内的①

任意一条

直线都垂直,就说直线l与平面α互相

垂直.(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理教材研读

文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的②

两条相交直线

都垂直,则该直线与此平面垂直

⇒l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线⑦

平行

⇒a∥b1.直线与平面垂直教材研读文字语言图形语言符号语言判定一条2.直线与平面所成的角(1)定义:平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的

锐角

,叫做这条直线和这个平面所成的角.一条直线垂直于平面,就说它们所成的角是直角;一条直线和平面平行,或在平面内,就说它们所成的角是0°的角.如图所示,

∠PAO

就是斜线AP与平面α所成的角.(2)线面角θ的范围:θ∈

.2.直线与平面所成的角(1)定义:平面的一条斜线和它在这个平3.二面角的有关概念(1)二面角:从一条直线出发的

两个半平面

所组成的图形叫做二面角.(2)二面角的平面角:以二面角的棱上任一点为端点,在两个半平面内分

别作

垂直于棱

的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.3.二面角的有关概念4.平面与平面垂直的判定定理

4.平面与平面垂直的判定定理 1.(2016浙江,2,5分)已知互相垂直的平面α,β交于直线l.若直线m,n满足m

∥α,n⊥β,则

()A.m∥l

B.m∥nC.n⊥l

D.m⊥n答案

C对于A,m与l可能平行或异面,故A错;对于B、D,m与n可能平

行、相交或异面,故B、D错;对于C,因为n⊥β,l⊂β,所以n⊥l,故C正确.故

选C.1.(2016浙江,2,5分)已知互相垂直的平面α,β交于直2.已知直线a,b和平面α,且a⊥b,a⊥α,则b与α的位置关系为()A.b⊂α

B.b∥αC.b⊂α或b∥α

D.b与α相交答案

C由a⊥b,a⊥α知b⊂α或b∥α,但直线b不与平面α相交.2.已知直线a,b和平面α,且a⊥b,a⊥α,则b与α的位置3.如图,O为正方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD的中心,则下列直线中与

B1O垂直的是

()

A.A1D

B.AA1

C.A1D1

D.A1C1答案

D易知AC⊥平面BB1D1D.∵A1C1∥AC,∴A1C1⊥平面BB1D1D.又B1O⊂平面BB1D1D,∴A1C1⊥B1O,故选D.3.如图,O为正方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD4.一平面垂直于另一平面的一条平行线,则这两个平面的位置关系是

.答案垂直解析由线面平行的性质定理知,若一直线平行于一平面,则该面内必

有一直线与已知直线平行,再根据“两平行线中一条垂直于一平面,另

一条也垂直于该平面”得出结论.4.一平面垂直于另一平面的一条平行线,则这两个平面的位置关系5.如图,已知PA⊥平面ABC,BC⊥AC,则图中直角三角形的个数为

.

答案4解析题图中直角三角形为△PAC、△PAB、△BCP、△BCA,故直角

三角形的个数为4.5.如图,已知PA⊥平面ABC,BC⊥AC,则图中直角三角形考点一直线与平面垂直的判定与性质典例1如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,

∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.

(1)证明:CD⊥AE;(2)证明:PD⊥平面ABE.考点突破考点一直线与平面垂直的判定与性质考点突破证明(1)在四棱锥P-ABCD中,∵PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴PA⊥CD.∵AC⊥CD,PA∩AC=A,∴CD⊥平面PAC.而AE⊂平面PAC,∴CD⊥AE.(2)由PA=AB=BC,∠ABC=60°,可得AC=PA.∵E是PC的中点,∴AE⊥PC.由(1)知,AE⊥CD,且PC∩CD=C,∴AE⊥平面PCD.而PD⊂平面PCD,∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD,∴PD在底面ABCD内的射影是AD,又∵AB⊥AD,∴AB⊥PD.又AB∩AE=A,∴PD⊥平面ABE.证明(1)在四棱锥P-ABCD中,方法技巧证明直线与平面垂直的常用方法(1)利用线面垂直的判定定理.(2)利用“两平行线中的一条与一平面垂直,则另一条也与这个平面垂

直”.(3)利用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个,则该直线与另一个

平面也垂直”.(4)利用面面垂直的性质定理.1-1

S是Rt△ABC所在平面外一点,且SA=SB=SC,D为斜边AC的中点.(1)求证:SD⊥面ABC;(2)若AB=BC,求证:BD⊥面SAC.方法技巧证明(1)如图所示,取AB的中点E,连接SE,DE,

在Rt△ABC中,D、E分别为AC、AB的中点,∴DE∥BC,∴DE⊥AB,∵SA=SB,∴△SAB为等腰三角形,∴SE⊥AB.又SE∩DE=E,证明(1)如图所示,取AB的中点E,连接SE,DE,∴AB⊥面SDE.又SD⊂面SDE,∴AB⊥SD.在△SAC中,SA=SC,D为AC的中点,∴SD⊥AC.又AC∩AB=A,∴SD⊥面ABC.(2)由于AB=BC,则BD⊥AC,由(1)知,SD⊥面ABC,又BD⊂面ABC,∴SD⊥BD,又SD∩AC=D,∴BD⊥面SAC.∴AB⊥面SDE.又SD⊂面SDE,∴AB⊥SD.考点二平面与平面垂直的判定与性质典例2

(2016天津,17改编)如图,四边形ABCD是平行四边形,平面AED

⊥平面ABCD,EF∥AB,AB=2,BC=EF=1,∠BAD=60°,G为BC的中点.(1)求证:FG∥平面BED;(2)求证:平面BED⊥平面AED.

考点二平面与平面垂直的判定与性质证明(1)取BD的中点O,连接OE,OG.在△BCD中,因为G是BC的中点,所

以OG∥DC且OG=

DC=1,又因为EF∥AB,AB∥DC,EF=1,所以EF∥OG且EF=OG,即四边形OGFE是平行四边形,所以FG∥OE.又FG⊄平面BED,OE⊂平面BED,所以FG∥平面BED.

证明(1)取BD的中点O,连接OE,OG.在△BCD中,因(2)在△ABD中,AD=1,AB=2,∠BAD=60°,由余弦定理可得BD=

,进而∠ADB=90°,即BD⊥AD.又因为平面AED⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,平面AED∩平面ABCD=AD,所以BD⊥平面AED.又因为BD⊂平面BED,所以平面BED⊥平面AED.(2)在△ABD中,AD=1,AB=2,∠BAD=60°,由方法技巧面面垂直的证明方法(1)定义法:利用面面垂直的定义,即判定两平面所成的二面角为直二面

角,将证明面面垂直问题转化为证明二面角的平面角为直角的问题.(2)定理法:利用面面垂直的判定定理,即证明其中一个平面经过另一个

平面的一条垂线,进而把问题转化成证明线线垂直加以解决.方法技巧2-1如图所示,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB∥DC,△PAD是等边三角形,已知AD=4,BD=4

,AB=2CD=8.(1)设M是PC上的一点,证明:平面MBD⊥平面PAD;(2)求四棱锥P-ABCD的体积.2-1如图所示,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面A解析(1)证明:在△ABD中,∵AD=4,BD=4

,AB=8,∴AD2+BD2=AB2.∴AD⊥BD.又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,BD⊂平面ABCD,∴BD⊥平面PAD.又BD⊂平面MBD,∴平面MBD⊥平面PAD.(2)过点P作PO⊥AD于O,∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,∴PO⊥平面ABCD.即PO为四棱锥P-ABCD的高.解析(1)证明:在△ABD中,平面PAD∩平面ABCD=A又△PAD是边长为4的等边三角形,∴PO=4×

=2

.在Rt△ADB中,斜边AB上的高为

=2

,此即为梯形ABCD的高.∴S梯形ABCD=

×2

=12

.∴VP-ABCD=

×12

×2

=24.

又△PAD是边长为4的等边三角形,∴PO=4× =2 .∴V考点三平行与垂直的综合问题命题角度一平行与垂直关系的证明典例3

(2016江苏,16,14分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为

AB,BC的中点,点F在侧棱B1B上,且B1D⊥A1F,A1C1⊥A1B1.求证:(1)直线DE∥平面A1C1F;(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.

考点三平行与垂直的综合问题证明(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C1∥AC.在△ABC中,因为D,E分别为AB,BC的中点,所以DE∥AC,于是DE∥A1C1.又因为DE⊄平面A1C1F,A1C1⊂平面A1C1F,所以直线DE∥平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A⊥平面A1B1C1.因为A1C1⊂平面A1B1C1,所以A1A⊥A1C1.又因为A1C1⊥A1B1,A1A⊂平面ABB1A1,A1B1⊂平面ABB1A1,A1A∩A1B1=A1,所以A1C1⊥平面ABB1A1.因为B1D⊂平面ABB1A1,所以A1C1⊥B1D.又因为B1D⊥A1F,A1C1⊂平面A1C1F,A1F⊂平面A1C1F,A1C1∩A1F=A1,所以B1D⊥平面A1C1F.因为直线B1D⊂平面B1DE,所以平面B1DE⊥平面A1C1F.证明(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C1∥AC命题角度二平行与垂直关系中的探索性问题典例4如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是矩形,AD=2AB,SA=SD,

SA⊥AB,N是棱AD的中点.(1)求证:AB∥平面SCD;(2)求证:SN⊥平面ABCD;(3)在棱SC上是否存在一点P,使得平面PBD⊥平面ABCD?若存在,求出

的值;若不存在,请说明理由.

命题角度二平行与垂直关系中的探索性问题解析(1)证明:因为ABCD是矩形,所以AB∥CD,又因为AB⊄平面SCD,CD⊂平面SCD,所以AB∥平面SCD.(2)证明:因为AB⊥SA,AB⊥AD,SA∩AD=A,所以AB⊥平面SAD,又因为SN⊂平面SAD,所以AB⊥SN.因为SA=SD,且N为AD的中点,所以SN⊥AD.又因为AB∩AD=A,所以SN⊥平面ABCD.解析(1)证明:因为ABCD是矩形,所以AB∥CD,(3)在棱SC上存在一点P,使得平面PBD⊥平面ABCD.理由:如图,连接BD交NC于点F,在△SNC中,过F作FP∥SN,交SC于点P,

连接PB,PD.

因为SN⊥平面ABCD,所以FP⊥平面ABCD.又因为FP⊂平面PBD,(3)在棱SC上存在一点P,使得平面PBD⊥平面ABCD.所以平面PBD⊥平面ABCD.在矩形ABCD中,因为ND∥BC,且N为AD的中点,所以

=

=

.在△SNC中,因为FP∥SN,所以

=

=

.所以在棱SC上存在一点P,使得平面PBD⊥平面ABCD,此时

=

.所以平面PBD⊥平面ABCD.命题角度三平行与垂直关系中的折叠问题典例5

(2016课标全国Ⅱ,19,12分)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交

于点O,点E,F分别在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于点H.将△DEF沿EF折

到△D'EF的位置.(1)证明:AC⊥HD';(2)若AB=5,AC=6,AE=

,OD'=2

,求五棱锥D'-ABCFE的体积.

命题角度三平行与垂直关系中的折叠问题解析(1)证明:由已知得AC⊥BD,AD=CD.又由AE=CF得

=

,故AC∥EF.

(2分)由此得EF⊥HD,EF⊥HD',所以AC⊥HD'.

(4分)(2)由EF∥AC得

=

=

.

(5分)由AB=5,AC=6得DO=BO=

=4.所以OH=1,D'H=DH=3.于是OD'2+OH2=(2

)2+12=9=D'H2,故OD'⊥OH.由(1)知AC⊥HD',又AC⊥BD,BD∩HD'=H,所以AC⊥平面BHD',于是AC

⊥OD'.又由OD'⊥OH,AC∩OH=O,所以OD'⊥平面ABC.

(8分)解析(1)证明:由已知得AC⊥BD,AD=CD.又由

=

得EF=

.五边形ABCFE的面积S=

×6×8-

×

×3=

.

(10分)所以五棱锥D'-ABCFE的体积V=

×

×2

=

.

(12分)又由 = 得EF= .方法技巧平行与垂直的综合应用问题的处理策略(1)探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明,探索点存

在问题,点多为中点或三等分点中的某一个,也可以根据相似知识取点.(2)折叠问题中的平行与垂直关系的处理关键是结合图形弄清折叠前后

变与不变的数量关系及位置关系.3-1如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥

底面ABCD,PA⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点.求证:(1)PA⊥底面ABCD;(2)BE∥平面PAD;(3)平面BEF⊥平面PCD.方法技巧证明(1)因为平面PAD⊥底面ABCD,且PA垂直于这两个平面的交线

AD,所以PA⊥底面ABCD.(2)因为AB∥CD,CD=2AB,E