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文档简介
本科生考试试题本科生考试试题考试课程微积分（II）(期中考试 A纸2007年5月121．若对于任意的0N0，使得当nNanAnlimanA．[√fx在区间[abL0x1[abx2[ab]f(x1f(x2)Lx1x2成立．[×fx在区间[ab上不一致连续的充分必要条件是：存在0，对任意的正整数n]xn[ab],yn[ab]xnyn1与f(xnfyn)n立 5．设{Ind(InInIn1In(n1,2,3,limd(In0，则存在唯一的实数In(n1,2,3,．[×6．若数列{anbncn}满足anbncn，且liman,limcn存在，则limbnnn在 × f(x)dx收敛，那么广义积 f(x)dx也收敛 ×baba1pq0 11收敛的条件是p0且q0 第１页/二、解答题（68分
xk9（12
(1x2)(1xkdx0(1x2)(1xkdx (1
)(1xk
dxx10t0
(1x2)(1xk
dx
11)(1t t
(1 t
31 t1
0(1t2)(1tk)dt0(1x2)(1xk)dx 5
dx
…………810(1x2)(1xk1
(1x2)(1xk 0(1x2)(1xk)dx0(1x2)(1xk)dx01x2
10arctanx0
12410（12
anA
a2nA
n
a2n1A证：必要性：任给0
anAN，使得当nNanA这时由于2nnN2n1nN，从而又
成立 2a2nA和a2n1A
a2nA
n
a2n1A 6充分性：任给0
a2nAN1，使得当nN1a2nA
成立 8又因为lima2n1AN2，使得当nN2na2n1ANmax{2N1,2N21，则当nN时，
成立 10
limaAnn
anA
1211（12分）已知a11an11
n
an
1an2 2因为an2an
an1an1
an1an
anan2，所以an2
与an
同号 5
a3
10,
10，所以3
}单调递减数列。根据单调有界有极限定理可知lima2n1与lima2n都存在 8lima2n1Alima2nB，
A11，B11 解得AB12
10
lim
1 52
n
a存在，且limnnnn
1 5 12212（12分）用极限定义证明：若limg(xy0
f(y)
xx0g(x)y0则
f(g(x))A
证：任给0y
fyA，所以存在00，使得当0
y
0时，f(y)A
成立 4
00，由于limg(xy0，且xx0时g(xy0，所以存在0，使得0x
0g(x)
成立 10从而f(g(x))A成立
f(g(x))
12kk13（10nknk3kk1n1nk3nnk1knnk3nk1n1kn1nk 4且lim3n 3dx nk12nkn1x01nn1k3nnknnk12nn1k3n 3dx n1x 80k所以lim nk1kn 。 1014（10分）若区间[abfxf(xm01f在[a,b111f f( f(x)f(f(x)f(y)1f(xfy，所以对于区间[a11的任意划分axxxb，均有wf nk1 (k1,2,n，其中wfwfk 1ffx在k x 4因为函数f(x)在区
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