矩阵的特征值与特征向量课件

第五章矩阵的特征值与特征向量

在及其应用中常要求一个方阵的特征值和特征向量的问题数学中诸如方阵的对角化及解微分方程组的问题也都要用到特征值的理论

精选ppt1第五章矩阵的特征值与特征向量在及其应引言纯量阵lE

与任何同阶矩阵的乘法都满足交换律，即(lEn)An=An

(lEn)=lAn

．矩阵乘法一般不满足交换律，即AB≠

BA

．数乘矩阵与矩阵乘法都是可交换的，即l(AB)=(lA)B=A(lB)．Ax=lx?例：精选ppt2引言纯量阵lE与任何同阶矩阵的乘法都满足交换律，即精选p一特征值与特征向量定义:非零列向量X称为A

的对应于特征值的特征向量定义6设A是n阶矩阵如果对于数，存在n维非零列向量X,使AXX

成立则称为方阵A的一个特征值第一节矩阵的特征值与特征向量p117精选ppt3一特征值与特征向量定义:非零列向量X称为A的对应于特征AXX如何求特征值和特征向量?即齐次方程有非0解齐次方程有非0解的充要条件是系数行列式为0即|I

A|0精选ppt4AXX如何求特征值和特征向量?即齐次方程有非0解齐次方程(2)|I

A|0称为方阵A的特征方程二特征多项式与特征方程定义

设A为n阶方阵(1)f()|I

A|称为方阵A的特征多项式即即精选ppt5(2)|IA|0称为方阵A的特征方程二特征(3)方阵A的特征值就是特征方程|I

A|0的根所以方阵A的特征值也称为方阵A的特征根齐次线性方程组

的每一个非零解向量，都是方阵A的对应于特征值的特征向量所以方阵A对应于每一个不同特征值的特征向量都有无穷多个三特征向量定理1

如果非零向量X为矩阵A对应于特征值的特征向量则CX(C≠0为任意常数）也是A对应于特征值的特征向量定理2

如果X1，X2为矩阵A对应于特征值的特征向量，且X1+X2≠0，则X1+X2也是A对应于特征值的特征向量，

即:矩阵A对应于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍然为A对应于特征向量(不能为0)精选ppt6(3)方阵A的特征值就是特征方程|IA|0的根

综上所述,求矩阵A的特征值及特征向量的步骤如下:第一步计算矩阵A特征多项式|I

A|

;第二步求出矩阵A的特征方程|I

A|=0的全部根,即求得A的全部特征值1，1，---n，(其中可能有重根）第三步对于A的每个特征值i,求出对应的齐次线性方程组（iI

A）X=0的一个基础解系.矩阵A对应于特征值i的全部特征向量为精选ppt7综上所述,求矩阵A的特征值及特征向量的步骤如例1

求矩阵的特征值和特征向量

解(1)A的特征方程为所以A的特征值为14

2-2

(2)当14时其基础解系可取为则矩阵A对应于特征值14的全体特征向量为精选ppt8例1求矩阵的特征值和特征向量解(1例1

求矩阵的特征值和特征向量

解(3)当2-2时其基础解系可取为则矩阵A对应于特征值2-2的全体特征向量为精选ppt9例1求矩阵的特征值和特征向量解(3例2

求矩阵的特征值和特征向量

解(1)A的特征方程为所以A的特征值为12

24

(2)当12时其基础解系可取为则矩阵A对应于特征值12的全体特征向量为精选ppt10例2求矩阵的特征值和特征向量解(1例2

求矩阵的特征值和特征向量

解(3)当24时其基础解系可取为则矩阵A对应于特征值24的全体特征向量为精选ppt11例2求矩阵的特征值和特征向量解(3例3

求矩阵的特征值和特征向量

解(1)A的特征方程为所以A的特征值为124，

32精选ppt12例3求矩阵的特征值和特征向量解(1例3

求矩阵的特征值和特征向量

解A的特征值为1=2=4

32(2)当12=4其基础解系可取为则矩阵A对应于特征值12=4的全体特征向量为精选ppt13例3求矩阵的特征值和特征向量解A的例3

求矩阵的特征值和特征向量

解A的特征值为1=2=4

32(3)当3=2其基础解系可取为则矩阵A对应于特征值32的全体特征向量为精选ppt14例3求矩阵的特征值和特征向量解A的例4

求矩阵的特征值和特征向量

解(1)A的特征方程为所以A的特征值为1=2=1

32精选ppt15例4求矩阵的特征值和特征向量解(1例4

求矩阵的特征值和特征向量

解A的特征值为1=2=1

32(2)当12=1其基础解系可取为则矩阵A对应于特征值12=1的全体特征向量为精选ppt16例4求矩阵的特征值和特征向量解A的例4

求矩阵的特征值和特征向量解A的特征值为1=2=1

32(3)当32其基础解系可取为则矩阵A对应于特征值3=2的全体特征向量为精选ppt17例4求矩阵的特征值和特征向量解A的特征在复数范围内n阶矩阵A有n个特征值（重根按重数计算）．设n阶矩阵A的特征值为l1,l2,…,ln，则l1+l2+…+ln=a11+a22+…+ann

l1l2…ln=|A|（利用根与系数的关系可证，证明不要求。但性质本身需牢固掌握）四特征值与特征向量的性质精选ppt18在复数范围内n阶矩阵A有n个特征值（重根按重数计例5

设是方阵A的特征值证明

(1)2是A2的特征值

证明

因为是A的特征值故有X0使AXX于是(1)A2X2X(AX)A(X)A(AX)所以2是A2的特征值

因为X0

知0有XA1X由AXX(2)当A可逆时(2)当A可逆时,是的特征值是的特征值精选ppt19例5设是方阵A的特征值证明证明因为是A的特征例5：设l是方阵A

的特征值，证明(1)l2

是A2

的特征值；(2)当A

可逆时，1/l

是A−1

的特征值．结论：若非零向量p

是A对应于特征值l

的特征向量，则l2

是A2

的特征值，对应的特征向量也是p

．lk

是Ak

的特征值，对应的特征向量也是p

．当A

可逆时，1/l

是A−1

的特征值，对应的特征向量仍然是p

．一般地，令则精选ppt20例5：设l是方阵A的特征值，证明一般地，令则精选pp例6：设3阶方阵A

的特征值为1,−1,2，求A*+3A−2E的特征值．解：

A*+3A−2E=|A|A−1+3A−2E=−2A−1+3A−2E=j

(A)其中|A|=1×(−1)×2=−2．从而A*+3A−2E的特征值分别为例7

主对角线上的元素为1，2---n的n阶对角矩阵或三角形矩阵A的n个特征值就是其主对角线上的n个元素1，2---n精选ppt21例6：设3阶方阵A的特征值为1,−1,2，求例7定理4

n阶方阵A与它的转置矩阵AT有相同的特征值证明

转置矩阵AT的特征多项式为即方阵A与它的转置矩阵AT有相同的特征多项式所以方阵A与它的转置矩阵AT有相同的特征值精选ppt22定理4n阶方阵A与它的转置矩阵AT有相同的特征值证明转例8

证明:方阵A为奇异矩阵的充要条件是A有一个特征值为0证明

必要性则如果A为奇异阵所以A有一个特征值为0充分性如果A有一个特征值为0，对应的特征向量为X则有非0解所以|A|=0定理3

n阶方阵A可逆的充要条件是A的每一个特征值均不为0精选ppt23例8证明:方阵A为奇异矩阵的充要条件是A有一个特征值为p120定理2

设1

2

m(m≤n)是n阶方阵A的m个互不同特征值X1

X2

Xm分别是A对应于1

2

m的特征向量则X1

X2

Xm线性无关A

(k1X1k2X2

ksXs)0证明

设有常数k1

k2

ks1k1X12k2X2

sksXs0用数学归纳法

m=1时X1≠0显然成立

使k1X1k2X2

ksXs0设m=s-1时X1

X2

Xs-1线性无关现证明m=s时X1

X2

Xs线性无关精选ppt24p120定理2设12m(mk1X1k2X2

ksXs0sk1X1sk2X2

sksXs01k1X12k2X2

sksXs0两边同乘s两式相减(s-1)k1X1(s-

2)k2X2

(s-

s-1)ks-1

Xs-10所以

X1

X2

Xs线性无关由设m=s-1时X1

X2

Xs-1线性无关由数学归纳法知

对任意正整数m,结论成立精选ppt25k1X1k2X2ksXs0sk1p121例10

设1和2是矩阵A的两个不同的特征值对应的特征向量依次为X1和X2

证明X1X2不是A的特征向量

用反证法假设X1X2是A的特征向量则应存在数使A(X1X2)(X1X2)

于是证明

按题设有AX11X1

AX22X2

故A(X1X2)1X12X2即(1)X1(2)X20(X1X2)AX1AX2

1X12X2因此X1X2不是A的特征向量与题设12矛盾即12

120故由上式得因为X1

X2线性无关精选ppt26p121例10设1和2是矩阵A的两个不同的特征值定理6

设1

2

m是方阵A的m个互不同特征值为1的r1个线性无关特征向量为2的r2个线性无关特征向量………为m的rm个线性无关特征向量则向量组共r1+

r2+

+rm个线性无关精选ppt27定理6设12m是方阵A的m个互例3

求矩阵的特征值和特征向量

解(1)A的特征方程为所以A的特征值为124，

32(2)当12=4其基础解系可取为(3)当3=2其基础解系可取为由定理6可知X1，X2X3线性无关精选ppt28例3求矩阵的特征值和特征向量解(1定理7

设是n阶方阵A的一个k重特征值则A对应于的线性无关的特征向量的最大个数为l,则l≤k线性无关特征向量的个数不超过特征值的重数定理8

设是n阶方阵A的1重特征值则A对应于的线性无关的特征向量有且只有1个精选ppt29定理7设是n阶方阵A的一个k重特征值则A对应于的线此课件下载可自行编辑修改，供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！精选ppt30此课件下载可自行编辑修改，供参考！精选ppt30第五章矩阵的特征值与特征向量

在及其应用中常要求一个方阵的特征值和特征向量的问题数学中诸如方阵的对角化及解微分方程组的问题也都要用到特征值的理论

精选ppt31第五章矩阵的特征值与特征向量在及其应引言纯量阵lE

与任何同阶矩阵的乘法都满足交换律，即(lEn)An=An

(lEn)=lAn

．矩阵乘法一般不满足交换律，即AB≠

BA

．数乘矩阵与矩阵乘法都是可交换的，即l(AB)=(lA)B=A(lB)．Ax=lx?例：精选ppt32引言纯量阵lE与任何同阶矩阵的乘法都满足交换律，即精选p一特征值与特征向量定义:非零列向量X称为A

的对应于特征值的特征向量定义6设A是n阶矩阵如果对于数，存在n维非零列向量X,使AXX

成立则称为方阵A的一个特征值第一节矩阵的特征值与特征向量p117精选ppt33一特征值与特征向量定义:非零列向量X称为A的对应于特征AXX如何求特征值和特征向量?即齐次方程有非0解齐次方程有非0解的充要条件是系数行列式为0即|I

A|0精选ppt34AXX如何求特征值和特征向量?即齐次方程有非0解齐次方程(2)|I

A|0称为方阵A的特征方程二特征多项式与特征方程定义

设A为n阶方阵(1)f()|I

A|称为方阵A的特征多项式即即精选ppt35(2)|IA|0称为方阵A的特征方程二特征(3)方阵A的特征值就是特征方程|I

A|0的根所以方阵A的特征值也称为方阵A的特征根齐次线性方程组

的每一个非零解向量，都是方阵A的对应于特征值的特征向量所以方阵A对应于每一个不同特征值的特征向量都有无穷多个三特征向量定理1

如果非零向量X为矩阵A对应于特征值的特征向量则CX(C≠0为任意常数）也是A对应于特征值的特征向量定理2

如果X1，X2为矩阵A对应于特征值的特征向量，且X1+X2≠0，则X1+X2也是A对应于特征值的特征向量，

即:矩阵A对应于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍然为A对应于特征向量(不能为0)精选ppt36(3)方阵A的特征值就是特征方程|IA|0的根

综上所述,求矩阵A的特征值及特征向量的步骤如下:第一步计算矩阵A特征多项式|I

A|

;第二步求出矩阵A的特征方程|I

A|=0的全部根,即求得A的全部特征值1，1，---n，(其中可能有重根）第三步对于A的每个特征值i,求出对应的齐次线性方程组（iI

A）X=0的一个基础解系.矩阵A对应于特征值i的全部特征向量为精选ppt37综上所述,求矩阵A的特征值及特征向量的步骤如例1

求矩阵的特征值和特征向量

解(1)A的特征方程为所以A的特征值为14

2-2

(2)当14时其基础解系可取为则矩阵A对应于特征值14的全体特征向量为精选ppt38例1求矩阵的特征值和特征向量解(1例1

求矩阵的特征值和特征向量

解(3)当2-2时其基础解系可取为则矩阵A对应于特征值2-2的全体特征向量为精选ppt39例1求矩阵的特征值和特征向量解(3例2

求矩阵的特征值和特征向量

解(1)A的特征方程为所以A的特征值为12

24

(2)当12时其基础解系可取为则矩阵A对应于特征值12的全体特征向量为精选ppt40例2求矩阵的特征值和特征向量解(1例2

求矩阵的特征值和特征向量

解(3)当24时其基础解系可取为则矩阵A对应于特征值24的全体特征向量为精选ppt41例2求矩阵的特征值和特征向量解(3例3

求矩阵的特征值和特征向量

解(1)A的特征方程为所以A的特征值为124，

32精选ppt42例3求矩阵的特征值和特征向量解(1例3

求矩阵的特征值和特征向量

解A的特征值为1=2=4

32(2)当12=4其基础解系可取为则矩阵A对应于特征值12=4的全体特征向量为精选ppt43例3求矩阵的特征值和特征向量解A的例3

求矩阵的特征值和特征向量

解A的特征值为1=2=4

32(3)当3=2其基础解系可取为则矩阵A对应于特征值32的全体特征向量为精选ppt44例3求矩阵的特征值和特征向量解A的例4

求矩阵的特征值和特征向量

解(1)A的特征方程为所以A的特征值为1=2=1

32精选ppt45例4求矩阵的特征值和特征向量解(1例4

求矩阵的特征值和特征向量

解A的特征值为1=2=1

32(2)当12=1其基础解系可取为则矩阵A对应于特征值12=1的全体特征向量为精选ppt46例4求矩阵的特征值和特征向量解A的例4

求矩阵的特征值和特征向量解A的特征值为1=2=1

32(3)当32其基础解系可取为则矩阵A对应于特征值3=2的全体特征向量为精选ppt47例4求矩阵的特征值和特征向量解A的特征在复数范围内n阶矩阵A有n个特征值（重根按重数计算）．设n阶矩阵A的特征值为l1,l2,…,ln，则l1+l2+…+ln=a11+a22+…+ann

l1l2…ln=|A|（利用根与系数的关系可证，证明不要求。但性质本身需牢固掌握）四特征值与特征向量的性质精选ppt48在复数范围内n阶矩阵A有n个特征值（重根按重数计例5

设是方阵A的特征值证明

(1)2是A2的特征值

证明

因为是A的特征值故有X0使AXX于是(1)A2X2X(AX)A(X)A(AX)所以2是A2的特征值

因为X0

知0有XA1X由AXX(2)当A可逆时(2)当A可逆时,是的特征值是的特征值精选ppt49例5设是方阵A的特征值证明证明因为是A的特征例5：设l是方阵A

的特征值，证明(1)l2

是A2

的特征值；(2)当A

可逆时，1/l

是A−1

的特征值．结论：若非零向量p

是A对应于特征值l

的特征向量，则l2

是A2

的特征值，对应的特征向量也是p

．lk

是Ak

的特征值，对应的特征向量也是p

．当A

可逆时，1/l

是A−1

的特征值，对应的特征向量仍然是p

．一般地，令则精选ppt50例5：设l是方阵A的特征值，证明一般地，令则精选pp例6：设3阶方阵A

的特征值为1,−1,2，求A*+3A−2E的特征值．解：

A*+3A−2E=|A|A−1+3A−2E=−2A−1+3A−2E=j

(A)其中|A|=1×(−1)×2=−2．从而A*+3A−2E的特征值分别为例7

主对角线上的元素为1，2---n的n阶对角矩阵或三角形矩阵A的n个特征值就是其主对角线上的n个元素1，2---n精选ppt51例6：设3阶方阵A的特征值为1,−1,2，求例7定理4

n阶方阵A与它的转置矩阵AT有相同的特征值证明

转置矩阵AT的特征多项式为即方阵A与它的转置矩阵AT有相同的特征多项式所以方阵A与它的转置矩阵AT有相同的特征值精选ppt52定理4n阶方阵A与它的转置矩阵AT有相同的特征值证明转例8

证明:方阵A为奇异矩阵的充要条件是A有一个特征值为0证明

必要性则如果A为奇异阵所以A有一个特征值为0充分性如果A有一个特征值为0，对应的特征向量为X则有非0解所以|A|=0定理3

n阶方阵A可逆的充要条件是A的每一个特征值均不为0精选ppt53例8证明:方阵A为奇异矩阵的充要条件是A有一个特征值为p120定理2

设1

2

m(m≤n)是n阶方阵A的m个互不同特征值X1

X2

Xm分别是A对应于1

2

m的特征向量则X1

X2

Xm线性无关A

(k1X1k2X2

ksXs)0证明

设有常数k1

k2

ks1k1X12k2X2

sksXs0用数学归纳法

m=1时X1≠0显然成立

使k1X1k2X2

ksXs0设m=s-1时X1

X2

Xs-1线性无关现证明m=s时X1

X2

Xs线性无关精选ppt54p120定理2设12m(mk1X1k2X2

ksXs0sk1X1sk2X2

sksXs01k1X12k2X2

sksXs0两边同乘s两式相减(s-1)k1X1(s-

2)k2X2

(s-

s-1)ks-1

Xs-10所以

X