高数B试题及答案1

PAGEPAGE54高数B(上)试题及答案1第一篇：高数B(上)试题及答案1高等数学B（上）试题1答案一、判断题（每题2分，共16分）（在括号里填写“√”或“×”分别表示“对”或“错”）（×）1.两个无穷大量之和必定是无穷大量.（×）2.闭区间上的间断函数必无界.（√）3.若f(x)在某点处连续，则f(x)在该点处必有极限.（×）4.单调函数的导函数也是单调函数.（√）5.无穷小量与有界变量之积为无穷小量.（×）6.yf(x)在点x0连续，则yf(x)在点x0必定可导.（×）7.若x0点为yf(x)的极值点，则必有f(x0)0.（×）8.若f(x)g(x)，则f(x)g(x).二、填空题（每题3分，共24分）1.设f(x1)x，则f(3)16.2．limxsinx21＝x1。x112x3.limxsinsinxxxxx1e2.4.曲线x6yy在(2,2)点切线的斜率为2323.5．设f(x0)A，则limh0f(x02h)f(x03h)＝h05A.6.设f(x)sinxcos31,(x0)，当f(0)x1处有极大值.时，f(x)在x0点连续.7.函数yx3x在x8.设f(x)为可导函数,f(1)1，F(x)f三、计算题（每题6分，共42分）12f(x)，则F(1)x1.(n2)(n3)(n4).3n5n(n2)(n3)(n4)解：limn5n31．求极限lim234lim111（3分）nnnn1（3分）xxcosx2.求极限lim.x0xsinxxxcosx解：limx0xsinx1cosxxsinx（2分）limx01cosx2sinxxcosx（2分）limx0sinx33.求y(x1)(x2)2(x3)3在(0,)内的导数.解：lnyln(x1)2ln(x2)3ln(x3)，y123yx1x2x3，故y(x1)(x2)2(x3)3123x1x2x34.求不定积分2x11x2dx.解：2x11x2dx11x2d(1x2)11x2dxln(1x2)arctanxC5.求不定积分xsinx2dx.解：xsinx2dx12sinx2dx212cosx2C6．求不定积分xsin2xdx.解：xsin2xdx12xsin2xd(2x)12xdcos2x12xcos2xcos2xdx2分）（2分）（2分）（2分）（3分）（3分）（3分）（3分）（2分）（2分）（11xcos2xsin2xC（2分）247.求函数ysinxcosx的导数.解：lnycosxlnsinx（3分）ysinxcosx1cot2xlnsinx（3分）四、解答题（共9分）某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋,现有存砖只够砌20XX的墙壁,问应围成的长方形的长,宽各为多少才能使这间小屋面积最大.解：设垂直于墙壁的边为x，所以平行于墙壁的边为20XXx，所以，面积为Sx(20XXx)2x20XX（3分）由S4x20XX，知（3分）当宽x5时，长y20XXx10，（3分）面积最大S51050（平方米）。五、证明题（共9分）若在(,)上f(x)0,f(0)0.证明：F(x)增加.证明：F(x)2f(x)在区间(,0)和(0,)上单调xxf(x)f(x)，令G(x)xf(x)f(x)（2分）2xG(0)0f(0)f(0)0，（2分）在区间(,0)上，G(x)xf(x)0，（2分）所以G(x)G(0)0，单调增加。（2分）在区间(0,)上，G(x)xf(x)0，所以0G(0)G(x)，单调增加。（1分）第二篇：高数试题1一、一、填空题(每小题3分，共15分)1．1．设u=x4+y4-4x2y2，则uxx2．2．设u=xy+y/x，则uy3．3．函数z=x2+4xy-y2+6x-8y+12的驻点是4．4．设幂级数n0的收敛半径是4，则幂级数n0的收敛半径是225．5．设Σ是柱面x+y=4介于1≤z≤3之间部分曲面，它的法向指向含oz轴的一侧，则=二、二、单选(每小题2分，共8分)1、函数zf(x,y)在点(x0,y0)处连续是它在该点偏导数存在的：(A)必要而非充分条件；(B)充分而非必要条件；(C)充分必要条件；(D)既非充分又非必要条件。答（）2、微分方程yyxy满足条件y’(2)=1,y(2)=1的解是(A)y=(x-1)2(B)y=(x+1/2)2-21/4(C)y=1/2(x-1)2+1/2(D)y=(x-1/2)2-5/4anxnanx2n1x2y2z2dxdy答（）3、若方程ypyqy0的系数p+qx=0，则该方程有特解(A)y=x(B)y=ex(C)y=e–x(D)y=sinx答（）4、微分方程yysinx的一个特解应具有形式答（）(A)Asinx(B)Acosx(C)Asinx+Bcosx(D)x(Asinx+Bcosx)三、三、解答下列各题1．1．(本小题6分)利用二重积分计算由曲面z=x2+y2，y=1，z=0，y=x2所围成的曲顶柱体的体积。2、(本小题7分)证明极限y0不存在。3、(本小题5分)2验证：y1=cosωx，y=sinωx都是微分方程y’’+ωy=0的解，并写出该方程的通解。4、(本小题5分)x2ylim4x0xy31cosx0xf(x)xx0若s(x)是以2为周期的函数f(x)的Fourier级数之和函x设数，求S(-3π)。四、四、解答下列各题：1、(本小题6分)12x更换积分次序：22、(本小题6分)dxf(x,y)dyx2求曲线五、五、解答下列各题：1、(本小题6分)xt1t,y,zt21tt在t=1处的切线及法平面方程。已知Σ是z=x2+y2上z≤1的部分曲面，试计算4zds2、(本小题6分)(zy)dxdy(yx)dxdz(xz)dzdy计算，其中光滑曲面∑围成的Ω的体积为V。六、六、解答下列各题1、(本小题5分)判别级数n12、(本小题5分)级数3、(本小题5分)nsinn的敛散性。1111325272是否收敛，是否绝对收敛？3n!xn2试求幂级数k1n!的收敛半径4、(本小题5分)试将函数y=1/(4-x4)展开为x的幂级数七、(本大题10分)已知上半平面内一曲线y=y(x)(x≥0)过点(0,1)，且曲线上任一点M(x0,y0)处切线斜率数值上等于此曲线与x轴，y轴，直线x=x0所围成的面积与该点纵坐标之和，求此曲线方程。七、一、填空题(每小题3分，共15分)1．1．设u=x4+y4-4x2y2，则uxx222．2．设u=xy+y/x，则uy3．3．函数z=x2+4xy-y2+6x-8y+12的驻点是4．4．设幂级数n0的收敛半径是4，则幂级数n0的收敛半径是R=2225．5．设Σ是柱面x+y=4介于1≤z≤3之间部分曲面，它的法向指向含oz轴的一侧，则=0八、二、单选(每小题2分，共8分)1、函数zf(x,y)在点(x0,y0)处连续是它在该点偏导数存在的：(A)必要而非充分条件；(B)充分而非必要条件；(C)充分必要条件；(D)既非充分又非必要条件。答（A）2、微分方程yyxy满足条件y’(2)=1,y(2)=1的解是(A)y=(x-1)2(B)y=(x+1/2)2-21/4(C)y=1/2(x-1)2+1/2(D)y=(x-1/2)2-5/4anxnanx2n1x2y2z2dxdy答（C）3、若方程ypyqy0的系数p+qx=0，则该方程有特解(A)y=x(B)y=ex(C)y=e–x(D)y=sinx答（A）4、微分方程yysinx的一个特解应具有形式答（D）(A)Asinx(B)Acosx(C)Asinx+Bcosx(D)x(Asinx+Bcosx)九、三、解答下列各题1．1．(本小题6分)利用二重积分计算由曲面z=x2+y2，y=1，z=0，y=x2所围成的曲顶柱体的体积。11Vdxx2y2dy1x22、(本小题7分)88105证明极限y0x2ylim4x0xy3不存在。[证明]：取不同的直线路径y=kxykx0沿不同的路径极限不同，故由定义二重极限不存在。3、(本小题5分)验证：y1=cosωx，y=sinωx都是微分方程y’’+ωy=0的解，并写出该方程的通解。222[验证]：y1’=-ωsinωx,y1’’=-ωcosωx代入方程左端-ωcosωx+ωcosωx=0满足方程。222y2’=ωcosωx,y2’’=--ωsinωx代入方程左端-ωsinωx+ωsinωx=0满足方程。故y1、y2皆是微分方程的解。又y1/y2=(cosωx)/(sinωx)≠常数，故y1与y2线性无关。方程的通解为y=C1cosωx+C2sinωx4、(本小题5分)x2kx1lim4x0xk3x3k21cosx0xf(x)xx0若s(x)是以2为周期的函数f(x)的Fourier级数之和函x设数，求S(-3π)。解：S(-3π)=-π/2十、四、解答下列各题：1、(本小题6分)更换积分次序：22、(本小题6分)dxf(x,y)dydyfx,ydxdyfx,ydxx2yy12x1y42yt1t,y,zt21tt求曲线在t=1处的切线及法平面方程。x2y2z111xy12z1012法线方程42解：切线方程：4x十一、五、解答下列各题：1、(本小题6分)2已知Σ是z=x+y上z≤1的部分曲面，计算:2、(本小题6分)4zdsd14r2rdr3(zy)dxdy(yx)dxdz(xz)dzdy计算，其中光滑曲面∑围成的Ω的体积为V。解：由高斯公式，原积分=十二、六、解答下列各题1、(本小题5分)3dvv=3V判别级数n1解：因为当n趋于∞时，一般项un的极限为1，其极限不为0，故级数发散。2、(本小题5分)级数nsinn的敛散性。1111222357是否收敛，是否绝对收敛？n(2n1)211(1)(2n1)2limn1/n4解：原级数=3、(本小题5分)原级数绝对收敛。3n!xn3n3!n!2lim22n3n!n1!试求幂级数k1n!的收敛半径。解4、(本小题5分)试将函数y=1/(4-x4)展开为x的幂级数R01y解：七、(本大题10分)已知上半平面内一曲线y=y(x)(x≥0)过点(0,1)，且曲线上任一点M(x0,y0)处切线斜率数值上等于此曲线与x轴，y轴，直线x=x0所围成的面积与该点纵坐标之和，求此曲线方程。x4n11x4x42x4n12nn1444x44n04142x2解：yyxdxyxyyy即yyy0特征方程：r2-r-1=0r1,21215x2通解：yc1ec2e1x2555初始条件：y(0)=1,y’(0)=1解得：C1=10，C2=1015x25特解是：ye1015x25e10第三篇：西安工业大学高数试题及答案高等数学（Ⅱ）期末参考答案一、填空题（每小题3分，共30分）1.已知a(1,1,2),b(0,1,2)，则ab1ij11k2(0,2,1).22.点(1,1,1)到平面3x6y2z140的距离为3.3.过点(3,0,1)且与平面3x7y5z120平行的平面方程为3x7y5z40.4.已知zf(xy,2xe2y)，则t4zxyf12f2.5.曲线x14413,yt3312,zt22在相应于t1处的法平面方程为(x)(y)(z)0.10y06.交换积分dxf(x,y)dy的积分次序为xdyf(x,y)dy.2237.设：zxy22(0z1)，则zdSxy12xy2222dxdy.8.设向量A(x2yz)i(y2zx)j(z2xy)k，则divAPxQyRz2(xyz).9.设函数f(x)以2为周期，且f(x)x(x)，其Fourier级数为a02n1(ancosnxbnsinnx)，则b221xsin2xdx1.10.函数f(x)12x的麦克劳林级数为2(1)2nnx.nn0二、（8分）求函数f(x,y)xxyyxy1的极值，并指出是极大值还是极小值.解：fx(x,y)2xy1，fy(x,y)2yx1，22fx(x,y)02xy10令，得驻点(1,1).由于,即f(x,y)02yx10yAfxx(x,y)2，Bfxy(x,y)1，Cfyy(x,y)2，且(BAC)x112230，A20,y1则(1,1)为极小值点，极小值为f(1,1)2.三、（8分）求级数(n1)xn的收敛域及它的和函数.n0解：由于lim|nan1an|lim|nnn1|1，则R1，当x1时，级数(n1)(1)n均n0发散，所以收敛域为(1,1).设s(x)(n1)xn0n，则于是x0s(t)dt[(n1)tdt]n0xnn0xn1x1x，dx1xs(t).s(t)dt20XXdx(1x)1x四、（8分）计算(5x43xyLy)dx(3xy3xy322其中L是抛物线yxy)dy，22上自点(0,0)到点(1,1)的一段弧.解：P(x,y)5x3xyy，Q(x,y)3xy3xy322y在xoy面偏导数连续，且PyQx6xy3y，则曲线积分与路径无关，取折线段(0,0)(1,0)(1,1)，则L(5x3xy42y)dx(3xy3xy322y)dy10(5x3x00)dx32113)11610222(31y31yy)dy1(.(zx)dzdx(xy)dxdy，其中是由五、（8分）计算曲面积分Ix(yz)dydz柱面x2y21，平面z0,z3所围立体表面的外侧.解：P(x,y,z)x(yz),Q(x,y,z)zx,R(x,y,z)xy在柱面x2y21，平面z0,z3所围立体上偏导数连续，则由高斯公式有Ix(yz)dydz(zx)dzdx(xy)dxdyRz(PxQy)dv(yz)dvydv30zdv（第一个积分为0，想想为什么？）0zdzdxdyz1dzDz92.六、（8分）求下列方程的通解：1.xyylnyxyxyyxlnyx解：xyyln，方程为齐次微分方程；设ududxxyx，则yuxu，代入得u(lnu1)，两端积分lnu1d(lnu1)xdx即ln(lnu1)lnxlnC或lnuCx1将uyx代回得yxe2xCx12.y4y3ye.解：方程为二阶非齐次线性微分方程，对应齐次线性微分方程的特征方程r4r30的特征根为r11,r23；f(x)e2x中2不是特征方程的根，则特解形式为y*Ae2x，代入得AyC1ex115，在由解的结构得方程的通解为3xC2e115e2x七、（10分）设vnunun，wnunun，证明：1.若级数un绝对收敛，则级数vn收敛；n1n1证：由于un绝对收敛，即|un|收敛，则un也收敛，又vnn1n1n112|un|12un，由性质知vn收敛.n12.若级数un条件收敛，则级数wn发散.n1n1证：（反证）假设wn收敛，已知un收敛，由wnn1n1unun，即|un|2wnun及性质知|un|收敛，即un绝对收敛，与已知条件矛盾.所以wn发散.n1n1n1八、（10分）一均匀物体是由抛物面zx2y2及平面z1所围成.1.求的体积；解：在xoy面投影域D:xy1，则所围体积为V[1(xDy)]dxdy20d(1r)rdr2(2.求的质心.1214).解：由于是均匀物体及几何体关于yoz面、xoz面对称，则质心坐标应为(0,0,)；而zdvdv2drdr11rzdzV23，所以质心坐标为(0,0,23).九、（10分）设D(x,y)|x2y2222,x0,y0,[1xy]表示不超过221xy的最大整数，计算二重积分xy[1xy]dxdy.22D解：设D1{(x,y)|x2y21,x0,y0}，D2{(x,y)|1xy2,x0,y0},则DD1D2,且当(x,y)D1时，[1x2y2]1，当(x,y)D2时，[1xy]2，所以Dxy[1xy]dxdyxy[1xy]dxdy22D1D1D2xy[1xy]dxdy22xydxdy2xydxdyD2drsincosdr2d20XXrsincosdr1821838第四篇：大学高数下册试题及答案《高等数学》（下册）测试题一一、选择题（每小题3分，本大题共15分）（在括号中填上所选字母）1．设有直线及平面，则直线（A）A．平行于平面；B．在平面上；C．垂直于平面；D．与平面斜交.2．二元函数在点处（C）A．连续、偏导数存在；B．连续、偏导数不存在；C．不连续、偏导数存在；D．不连续、偏导数不存在.3．设为连续函数，，则＝（B）A．；B．；C．D．.4．设是平面由，，所确定的三角形区域，则曲面积分＝（D）A．7；B．；C．；D．.5．微分方程的一个特解应具有形式（B）A．；B．；C．；D．.二、填空题（每小题3分，本大题共15分）1．设一平面经过原点及点，且与平面垂直，则此平面方程为；2．设，则＝；3．设为正向一周，则0；4．设圆柱面，与曲面在点相交，且它们的交角为，则正数；5．设一阶线性非齐次微分方程有两个线性无关的解，若也是该方程的解，则应有1.三、（本题7分）设由方程组确定了，是，的函数，求及与.解：方程两边取全微分，则解出从而四、（本题7分）已知点及点，求函数在点处沿方向的方向导数.解：，从而五、（本题8分）计算累次积分）.解：依据上下限知，即分区域为作图可知，该区域也可以表示为从而六、（本题8分）计算，其中是由柱面及平面围成的区域.解：先二后一比较方便，七．（本题8分）计算，其中是抛物面被平面所截下的有限部分.解：由对称性从而八、（本题8分）计算，是点到点在上半平面上的任意逐段光滑曲线.解：在上半平面上且连续，从而在上半平面上该曲线积分与路径无关，取九、（本题8分）计算，其中为半球面上侧.解：补取下侧，则构成封闭曲面的外侧十、（本题8分）设二阶连续可导函数，适合，求．解：由已知即十一、（本题4分）求方程的通解.解：解：对应齐次方程特征方程为非齐次项，与标准式比较得,对比特征根，推得，从而特解形式可设为代入方程得十二、（本题4分）在球面的第一卦限上求一点，使以为一个顶点、各面平行于坐标面的球内接长方体的表面积最小.解：设点的坐标为，则问题即在求最小值。令，则由推出，的坐标为附加题：（供学习无穷级数的学生作为测试）1．判别级数是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？解：由于，该级数不会绝对收敛，显然该级数为交错级数且一般项的单调减少趋于零，从而该级数条件收敛2．求幂级数的收敛区间及和函数.解：从而收敛区间为，3．将展成以为周期的傅立叶级数.解：已知该函数为奇函数，周期延拓后可展开为正弦级数。《高等数学》（下册）测试题二一、选择题（每小题3分，本大题共15分）（在括号中填上所选字母）1．设，且可导，则为（D）A．；；B．；C．；D．．2．从点到一个平面引垂线，垂足为点，则这个平面的方程是（B）A．；B．；C．；D．．3．微分方程的通解是（D）A．；B．；C．；D．．4．设平面曲线为下半圆周，则曲线积分等于（A）A．；B．；C．；D．．5．累次积分＝（A）A．；B．；C．；D．．二．填空题（每小题5分，本大题共15分）1．曲面在点处的切平面方程是；.2．微分方程的待定特解形式是；3．设是球面的外测，则曲面积分＝．三、一条直线在平面：上，且与另两条直线L1：及L2：（即L2：）都相交，求该直线方程．（本题7分）解：先求两已知直线与平面的交点，由由由两点式方程得该直线：四、求函数在点处的梯度及沿梯度方向上函数的方向导数．（本题7分）解：沿梯度方向上函数的方向导数五、做一个容积为1立方米的有盖圆柱形桶，问尺寸应如何，才能使用料最省？（本题8分）解：设底圆半径为，高为，则由题意，要求的是在条件下的最小值。由实际问题知，底圆半径和高分别为才能使用料最省六、设积分域D为所围成，试计算二重积分．（本题8分）解：观察得知该用极坐标，七、计算三重积分，式中为由所确定的固定的圆台体．（本题8分）解：解：观察得知该用先二后一的方法八、设在上有连续的一阶导数，求曲线积分，其中曲线L是从点到点的直线段．（本题8分）解：在上半平面上且连续，从而在上半平面上该曲线积分与路径无关，取折线九、计算曲面积分，其中，为上半球面：．（本题8分）解：由于，故为上半球面，则原式十、求微分方程的解．（本题8分）解：由，得十一、试证在点处不连续，但存在有一阶偏导数．（本题4分）解：沿着直线，依赖而变化，从而二重极限不存在，函数在点处不连续。而十二、设二阶常系数线性微分方程的一个特解为，试确定常数，并求该方程的通解．（本题4分）解：由解的结构定理可知，该微分方程对应齐次方程的特征根应为，否则不能有这样的特解。从而特征方程为因此为非齐次方程的另一个特解，故，，通解为附加题：（供学习