解决分数问题的教学策略研究

PAGEPAGE12分数乘法的意义是解决分数实际问题的法宝——宜秀区大龙山镇永林小学姚承进解决分数的应用问题，一直是小学生感到棘手的学习难点。这是因为它与“分数”具有特定的意义有关。分数既可以表示一个具体的“数值”，也可以表示两个量之间的关系——分率。这给我们小学生多年来学到的，而且已经习惯了的整数相关运算带来极大的反差。所以，同学们习惯用以前的定式思维，来理解分数问题的应用，这直接影响学生对解决分数问题的学习，对建立新的数学模型造成困难。为此，我在教学实践中，在寻找有效教学策略方面，做了一些尝试。一、调查与分析分数应用问题的学习，在内容编排上，相对于过去的教材，显得有点集中，而且把解决问题又糅合在分数乘除法的运算当中，这给教师在教材把握上增加了难度。但细细琢磨一下，我们发现，不管分数问题有多复杂，而分数乘法的意义，都是解决分数应用问题的基础。为此，我首先对学生运用分数乘法知识解决问题的能力做了一次调查。以下是对六年级不同的两个班共40人，对此知识的掌握情况，作了抽样调查。我设计了以下三道试题让学生作答：⑴一代面粉重180千克，吃了它的EQEQEQ\F(3,5),还剩多少千克？⑵一块平行四边形的钢板，底是EQ\F(5,8)米，高是底的EQ\F(4,5)，它的面积是多少？⑶一批水果共120千克，上午卖出了EQ\F(1,3)，下午卖出余下水果的EQ\F(1,2)，下午卖出了多少千克？（统计结果如下）：题目编号参加人数/人答案正确人数/人正确率错误列式第1题40923%180×EQ\F(3,5)第2题401948%EQ\F(5,8)×EQ\F(4,5)第3题401845%20×EQ\F(1,3)×EQ\F(1,2)（其它错4人）学生答完题后并进行个别询问，我们发现存在的问题，主要是不能正确理解题意，对“求一个数的几分之几用乘法”这个数学模型的理解比较模糊，以至看到“一个数”和“几分之几”，便毫不犹豫的列出乘法算式。没有看清楚“问题”与“一个数”之间的关系，从而导致错误。归因分析有以下几点：（一）、学生“读懂”题目是一个薄弱环节。“读懂”包括读题和审题两个步骤。首先把题目读一遍，目的是了解事件，明了“条件”和“问题”。但这远没有达到“读懂”的目的。所谓“读懂”就是把问题情境所展示的故事性，内化成学生自己的认识，用自己的语言说说题目的意思。而我们调查的学生在读题时，只是把文字念一遍，没有养成关键字句的圈划等分析习惯，以至于老师多次提醒读题，还是对影响列式的关键词视而不见。其次是审题策略的掌握不够灵活。审题是解决问题的关键，目的是要弄清解决问题的“算理”，最终找到解决问题的策略。在调查的学生当中，很少有学生运用简化和数行结合等数学思想方法来分析题意，解决问题的严密性和科学性等良好的思维品质没有养成。（二）、学生对分数乘法的意义理解停留在表面上。当学生看见“一个数”的“几分之几”之后，立刻就想到用“乘法”。完全不考虑单位“1”的量和所求问题之间的联系，没有理解分数中，“总量”与“部分量”，或“标准量”与‘比较量“之间的“对应”关系，也没有很好地区分分数所表示的到底是“值”还是“率”。学生只知道机械记忆“求一个数的几分之几是多少用乘法”，而对这一数学模型的建立缺乏实践基础和探索的过程。正与弗赖登塔尔所言：“理解算法的最好途径是发现它，没有什么比依靠自己的发现更令人信服。如果不给儿童必要的时间，如果算法是生硬地灌输的，随之而来的必然是一个糟糕的反应。”二、探索与实践（一）、以学生为主体，探究学习分数乘法的拓展意义通过对已经学过分数乘法应用知识的六年级同学的调查，在接下来的五年级的教学活动中，我做了一些探索与实践。因为分数乘法的意义，除了与整数乘法的意义相同外，还有其拓展意义，那就是“表示一个数的几分之几是多少”。而且这个意义乃是后面继续学习分数乘除法应用题的基础，是解决此类分数实际问题的“模型”。在教学此内容时，关键要让学生弄明白两点：一是“一个数的几分之几”的问题。这个问题看似简单，其实学生遇到特定的问题情境时，往往把“一个数”与它对应的“几分之几”，不能准确的联系起来，而是随意“挂钩”，这实际就是找准单位“1”的量。为了让学生直接感悟“一个数的几分之几”的实际意义，我做了如下实践。【案例1】教师出示题目：妈妈拿来三种水果，草莓12颗，苹果6个，梨4个。小红、淘气和笑笑每人拿一种，但只能拿走它的EQ\F(1,2)。①小红拿了几颗草莓？②淘气拿了几个苹果？③笑笑拿了几个梨？学生通过图片操作，或画实物图等方法很快得出答案。讨论：都是拿了EQ\F(1,2)，为什么每人拿的数量不同呢？学生交流：①小红拿的是草莓，草莓12颗，它的EQ\F(1,2)是6颗；②淘气拿的是苹果，苹果有6个，6个苹果的EQ\F(1,2)是3个，所以淘气拿了3个苹果；③笑笑拿的是梨，梨是4个，它的EQ\F(1,2)就是2。④我知道了，因为单位“1”不同，那么它的EQ\F(1,2)结果也不同。师：谁说说他们的单位“1”？生：小红拿草莓的EQ\F(1,2)，是把12颗草莓看作单位“1”；淘气拿的是苹果，那么就把6个苹果看作单位“1”；笑笑拿梨的EQ\F(1,2)，4个梨就是单位“1”。【案例1】的教学片断，目的是感受“一个数的几分之几”的含义，从中体会“分率”与单位“1”的联系，避免了学生靠“是”“占”等重点词来判断单位“1”的机械做法。而是让学生从具体情境中，切身体会“一个数的几分之几是多少的实际意义”。接下来，就是要解决“为什么求一个数的几分之几是多少用乘法计算？”这个核心问题。以往我们听课时发现学生在探究此问题时，很少有弄明白的，最后，只好按老师给出的结语，死记硬背，遇到应用问题时，只能是套用格式，稍微变通一下，就会出错。【案例2】师：老师这儿有一个苹果，分EQ\F(1,2)给小明，小明得多少？生：半个，也就是EQ\F(1,2)个，师：（拿出2个苹果卡片）1个苹果分EQ\F(1,2)给小明，小明得到的是1个EQ\F(1,2)，现在老师拿出两个苹果，分EQ\F(1,2)给小明，小明能得到几个“EQ\F(1,2)”？（同时老师把苹果卡片粘在黑板上）生：2个EQ\F(1,2)（并要求学生把苹果分开进行演示）师：2个EQ\F(1,2)是多少？怎么列式？生：2×EQ\F(1,2)=1（个）师：（老师又拿出4个苹果卡片）老师这儿还有呢，其实老师一共有6个苹果，干脆把这6个苹果全部分EQ\F(1,2)给小明，算算小明分得几个？（出示卡片粘在黑板上，然后根据回答依序在苹果卡片上画一画）生：3个师：怎么得来的？这一题把多少看作单位“1”？生：6个苹果是单位“1”师：对！实际就是求6的EQ\F(1,2)是多少？也就是把每个苹果的EQ\F(1,2)给小明，想一想：小明得到几个？（把一个苹果分开）生：有6个EQ\F(1,2)，师：6个EQ\F(1,2)怎么列式？生：6×EQ\F(1,2)=3（个）师：对！也可以这样列式：EQ\F(1,2)×6=3（个）。老师今天不仅带来了苹果，还带来了梨，想知道有多少吗？生：想！师：好！梨没有苹果多，只有苹果的EQ\F(2,3)，猜猜看，是几个？谁猜对了，梨归谁。生：（有的画，有的写，还有的摆）（交流）生：我把卡片摆的，在6个苹果下面摆梨。梨是苹果的EQ\F(2,3)，苹果有6个，分3份，每份2个，“EQ\F(2,3)”就是说梨有2份，是4个；师：很好！，这一题梨的数量和谁比？把哪个做标准？生：和苹果比。把苹果的数做标准。师：实际上要我们找出什么数？生：6个苹果的EQ\F(2,3)是多少？师：对啊！6的EQ\F(2,3)到底是多少呢？“EQ\F(2,3)”是什么意思？生：就是把6个苹果平均分成3份，表示其中的2份。师：能不能列式求？生：能。我是先把6÷3＝2，再把2×2=4，所以梨有4个；师：很好！综合算式6÷3×2＝EQ\F(6,3)×2=EQ\F(6×2,3)=6×EQ\F(2,3)=4，同学们发现了吗？求6的EQ\F(2,3)可以怎么列式？刚才我们是把“EQ\F(2,3)”转化成整数理解来计算的，能不能直接列式？（观察上面的算式转换）生：可以直接列出算式6×EQ\F(2,3)师：（小结）哦！通过刚才的探索，你发现求一个数的几分之几是多少可以怎样列式？（生：乘法）是不是都可以这样列式呢？我们把前面的问题列式验证一下好吗？（列式验证案例1的问题）【案例2】的教学是在具体的问题情境中，通过两种策略，得出“求一个数的几分之几是多少用乘法计算”这个结论。为了让学生进一步理解，在发现的基础上，加以验证，巩固这一“探究的成果”。课程标准明确指出：“有效的教学活动是学生学与教师教的统一，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者”。只有学生自己发现和主动建构的知识模型，才会真正植入学生的灵魂深处，才会运用自如。（二）以单位“1”为立足点，多种策略并进理解数量关系解决问题活动的价值不只是获得具体问题的解，更重要的是学生在分析问题和解决问题过程中获得发展，重要一点在于使学生学习一些分析问题和解决问题的基本策略，体验策略多样性。由于分数乘法基础性很强，而分数除法的实际应用，同样是建立在“求一个数的几分之几是多少用乘法”的基本模型上，因为数量关系相同，只是“问题”和“条件”调换而已。因此，分数乘法问题的数量关系分析，找准单位“1”的量是重中之重。要让学生根据具体情境判断谁是单位“1”，掌握审题策略和方法，是教师教学的首要任务。1、读懂题意是前提。一般读题要经过两个过程，首先是把题目念一遍，然后把题目“骨架”拎出来，也就是简化文字，理解实质内容的过程。通过前面的调查，我们发现学生读题很表面化，不细致。尤其是不能把故事化的问题情境，内化为自己的语言。不能用独特的数学语言来表达题目的意思。如下面的案例【案例3】出示例题：我的年龄是妈妈的EQ\F(1,4)我的年龄是妈妈的EQ\F(1,6)我今年48岁妈妈 我的年龄是妈妈的EQ\F(1,4)我的年龄是妈妈的EQ\F(1,6)我今年48岁 小芳小芳今年几岁？小丽今年几岁？师：谁把题目意思说一下？刚开始学生只会一个框一个框念一下题目，老师提示把她们的语言，换成自己的话简要的说一下题意。这时经过多个学生回答后才越来越简要，最后说成：“妈妈48岁，小丽年龄是妈妈的EQ\F(1,6)，小芳是EQ\F(1,4)，求小丽和小芳各几岁？”通过这样的读题后，大概知道了小丽和小芳的年龄都和妈妈有关，至于有什么样的数量关系，则是下一步要做的事情。这是一道以图文方式出现的问题情境，对文字出现的问题情境，一般可采取重点词圈划、提纲式摘录等办法，帮助理解题意，教学时要多加练习，培养学生的口头表达能力。2、找单位“1”是关键。由于分数问题的特征与整数问题的特征有着天然之别，它不是一般整数意义上的和、差、积、商的关系，而是“总数”与“部分数”，“标准量”与“比较量”的关系，找准了单位“1”的量，也就顺理成章的找到了相联系的“量”以及与之对应的“分率”，从而找到它们之间的数量关系。如下例：【案例4】农庄饲养场，养鸡120只，养猪160头，养的鸭的只数是鸡的EQ\F(4,5)，养的鹅的只数是鸭的EQ\F(1,3)，养的牛的头数是猪的一半。养鸭多少只？养牛多少头？还可以提出什么数学问题？读完题后，由于文字很长，开始感到一脑子雾水。如果从单位“1”着手，很快就能理出思路：①鸭和鸡有关，“120只鸡”是单位“1”，“鸭”是“鸡”的EQ\F(4,5)，求“鸭”就是求120的EQ\F(4,5)是多少？②“牛”和“猪”有联系，160头猪是单位“1”，“牛”是“猪”的EQ\F(1,2)，160的EQ\F(1,2)就是牛的头数。③发现还有一条信息没有用，于是想到“鹅的只数是鸭的EQ\F(1,3)”，可以求出鹅的只数。这一题很好地体现了，要求的“比较量”靠“几分之几”的分率，找到与之对应的单位“1”的量，让学生从中体会到“值”与“率”的对应关系。160头3、线段图是桥梁。数行结合向来都是分析数量关系的重要策略。尤其是分数问题的抽象性，很难用语言描述清楚，也不能模拟操作，而线段图，它能够一目了然的，使抽象问题具体化，复杂关系明朗化。如上例读题后，如果用线段图表示出来很快就能看出它们之间关系。【案例4线段图】160头120只鸡：猪：120只？头？只只、？鸭： 牛： ？头？只只、？虽然画图策略的应用很有效，但是在实际解决问题时，学生的画图意识很淡薄，往往在老师的提示下，才想到用。这主要是画图麻烦，还有一个原因是不会画。要解决这个问题，一个要加强训练，再就是画法指导。分数问题的线段图画法指导要注意两点：一是先画单位“1”的量，再画与之对应的量；二是弄清楚用一条线段还是用多条线段来表示题中的量。请看下例：【案例5】出示下面两