小学奥数 数论导引

数论（导引五、六年级共计45页）数论问题第1讲 整除一、内容概述：的构成问题等。二、典型例题（一）兴趣篇1.★下面有9个自然数:14，35，80，152，650，434，4375，9064，24125.在这些自然数中，请问：248整除？525125整除？2.★有如下9个三位数：452，387，228，975，525，882，715，775，837.这些数中哪些能被3整除？哪些能被9整除？哪些能同时被2和3整除？3.★★有如下4个自然数：2695，1804，1963，23205.11713整除？★★一个三位数的十位数字未知，请分别根据下列要求找出“□”中合适的取值：如果要求这个三位数能被3如果要求这个三位数能被4这个三位数有没有可能同时被3和4119（一样多读者们，你们能算出这个数字是多少吗？3511811★★★一个各位数字各不相同的四位数能被94（二）拓展篇11个数的整除性：23487，3568，8875，6765，5880，7538，198954，6512，93625，864，407.48整除？25125整除？39整除？11整除？数学老师说33个四位311整除，满足条件的n最小是多少？1125整除，这个五位数是多少？45.但是记账的那张纸被香67 8烟烧了两个洞，上面只剩下“67 8

.牛叔叔记得每名工人的工资都一样，并且都是整数元.请问：这45名工人的总工资有可能是多少元呢？911整除，这个六位数是多少？1，2，3，4，5，6，775个组成一个五位数，使它是99的倍数.这个五位数最大是多少？★★★卡莉娅写了一个两位数59，墨莫写了一个两位数8959897.请问：小高写的数是多少？5113?★★★（1）一个多位数（两位及两位以上111311整除，那么这个多位数最少是多少？6，7，86，7，8..★★★墨莫和小高玩一个数字游戏.墨莫先将一个三位数的百位和个位填好，然后小高如果最后这个三位数能被11获胜请问：墨莫想到的办法是什么？★★★★对于一个自然数N，如果具有以下的性质就称为“破坏数一个自然数的右端，形成的新数都不能被N1.10的破坏数？999.23是多少？（三）超越篇1. ★★★在所有各位数字互不相同的五位数中，能被45整除的数最小是多少？2. ★★★将自然数1，2，3123456789101112N时，所形成的多位数恰好第一次能被90整除是多少？117.127（□，△，○，

四个数字已辨认不清，但是它们互不相同）.99A75B型杯子，每只杯子的价格都是整数分.但是爸爸记不清每个价签具体是多少钱，也记不得哪个箱子装AB.爸爸知道萱萱的数学水平很厉害，于是他.萱萱看了看，说.”同学们，你能像萱萱一样把价签上的数分辨出来吗？2，3，4，5，6，7位数.卡莉娅把这张纸条撕成了三节，这三张纸条上的数加起来得到的和（如图，三节纸条上的和为234567486）能被55整除的这张纸？★★★★将一个自然数N（例如将2接在13的右面的到13NN17和19.的两位数是多少？A1，3，5，7，9AA.A..95的商也是回文数，那么这个六位数是多少？数论问题第2讲质数与合数一、内容概述：掌握质数与合数的概念;熟悉常用的质数，并掌握质数的判定方法；能够利用分解质因数的方法解决相关的整数问题;学会计算乘积末尾零的个数.二、典型问题:（一）兴趣篇50.★（1）16，这两个质数有可能等于多少？25，这两个质数有可能等于多少？29，这样的两个质数存在吗？7.5个质数，使得它们正好构成一个公差为12.5. ★请把下面的数分解质因数（）162）59）211.84.330.?9. 2,5,14,24,27,55,56,998.10. ★★请问：算式的计算结果的末尾有几个连续的0？（二）拓展篇.★★★9个连续的自然数中，最多有多少个质数？★★（1）39，这两个质数的差多少？（2）三个互不相同的质数相加，和为40，这三个质数分别是多少？4. ★★请把下面的数分解质因数（1360（53337（12660.140小到大排列，其中第三个分数是多少？★★★小高在做一道计算两位数乘以两位数的乘法题时5看成了8，由此得乘积为1104，正确的乘积是多少？39270.这三个连续自然数的和等于多少？.三人各自中靶的环数之积都是60，且环数是不超过10.4环的那一枪是谁打的？9. 975935什么数？

40.方框内最小应填10. ★★★（1）算式120？（2）算式31 的计算结果的末尾有几个连续的0?★★★请问：两个连续两位数乘积的末尾最多有几个连续的0？11，2，3.13位恰好都是0.请问：在相乘时最后出现的自然数最小应该是多少？★★★168乘以一个大于0得乘积又是多少的平方？★★★（1）60.这个三位数至少是多少？（2）72乘以一个三位数后，正好得到一个立方数.这样的三位数一共有多少个？（三）超越篇1.（次）拼成质数，一共可以拼成多少个不同的质数？2. 9.★★★三个质数的乘积恰好等于它们和的5?10员各射了55箭得到的环数的积都是1764环.求甲、.每局先得1110220分，把每人每局得分乘在一起恰为480480.请问：各局比分分别是多少？（写出）13，12，15，25，205.443322个数每相邻的两个数相乘得1.请问：最后这个数从个位起向左数，可以连续地数0？7. 1!，2!，3!，…，100!100请问：被去掉的那个数是什么？8. 8.22n22(222)(2222)(2221002)

nnn, 求分数

100!

化成最简分数后的分母.数论问题第3讲约数与倍数一、内容概述：掌握约数与倍数的概念;学会约数个数与约数和的计算方法；掌握最大公约数、最小公倍数的常用计算方法;能够利用最大公约数与最小公倍数的性质解决相关的整数问题.二、典型问题:（一）兴趣篇（1请写出4个24请写出4个243请写出24.★（）请写出1052）请写出72.3. ★★（1）20000的约数有多少个？4. 1（2，7，[272284，260[2，4，260].6?★★（1）10851178的最大公约数和最小公倍数；（2）求3553,3910和1411的最大公约数.★★教师节到了，校工会买了320240200.各有多少个？★★★一块长方形草地，长120米，宽90米..请问：最少要种多少棵树？★★甲数和乙数的最大公约数是90如果甲数是1★★墨莫和小高在黑板上各写了一个自然数，它们的最大公约数是42168.那么这两个数的和是多少？（二）拓展篇★★72共有多少个约数？其中有多少个约数是3的倍数？★★★5400?.27倍12，14，16的倍数，但不是18的倍数；乙数是两位数.乙数是多少？★★★两数乘积为28001.个数分别是多少？5. 1（39，35，[39，357（（12，3[1，2，36].★★1547，1573，1859这三个数的最大公约数是多少？最小公倍数是多少？225350150个橘子平均分给小朋友们，最后剩下9果、266.请问：每个小朋友分了多少个苹果？16880.这个数是多少？18，最小公倍数是216.数分别是多少？★★★两个数的最大公约数是6，最小公倍数是420，如果这两个数相差18的数是多少？35，最小公倍数是70.这三个数的和可能是多少？4?90，乙、丙两个数的最小公倍数是105126.请问：甲数是多少？.212.它们的最大公约数是12.请问：甲、乙两数之和是多少？（三）超越篇★★★360共有多少个奇约数？所有这些奇约数的和是多少？10.★★★★已知a与b的最大公约数是a与b与c的最小公倍数都是100ab.满足条件的自然数a、b、c共有多少组？70的倍数中，共有多少个数恰有70个约数？n1，2，3，„，1072.n多少？1 154千3米，外圈跑道长8千米..开始31千米，乙每小时跑4千米，丙每小时跑25千米.他们同时出发，请问：几小时后，三人第一次同时回到出发点？600600ABCDACD，…分别相连，得到599.请问，在这些线段中：不会与其他格点相交的线段共有多少条？经过格点最多的线段共经过多少个格点（不包括它的端点）？29个格点的线段有多少条？1和9.

数论问题第4讲 余数计算方法.学会利用余数的可加性、可减性和可乘性计算余数;问题.二、典型问题:（一）兴趣篇★727.商可能是多少？★★97797，那么这个数可能是多少？★★10084除以同一个数，得到的余数相同，但余数不为0.这个除数可能是多少？★20080808982511多少？5. ★★（1）135137139535791357135799的余数是多少？★★★4个运动员进行乒乓球比赛，他们的号码分别为101，126，173，193.规定每两人之间比赛的盘数是他们号码的和除以3.了多少盘？12823300.17个一包的规格打包，最后发现一包不够17个.请问：最后一包有多少个零件？8. 22071128除13的余数是多少？21172017.这个数最小是多少？341.12余数是几？（二）拓展篇1. ★111166..2. ★（1）421421421421个421（2）80880880821个8083. 3651234个1919个.请问：最后一包有多少个零件？4. ★★自然数1的个位数字是多少？67个25. ★★★算式220073200720062007计算结果的个位数字是多少？6. ★★★88810个8

除以5的余数是多少？49234823.14除的余数是多少？199237.这个自然数最小是多少？★★★刘叔叔养了400.如果每32只;5只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有4只;7只5只★★★100.从第一人开始依次按的顺序循环报数，最后一名同学报的数是9请问：一共有多少名小朋友？11. ★★★2123除以99的余数是多少？123个1236325.请问：剩下个数最多的水果剩下多少个？1300，262，205.619021，那么这个数是多少？（三）超越篇1.112345…979899.11数是多少？2. ★★★算式77777?2008个73. ★★★算式12007计算结果的末两位数字是多少？988，7，6，57，6，5，4.原来一共有牙签多少根？★★★有三个连续的自然数，它们从小到大依次是5，7，9最小是多少？★★★★请找出所有的三位数，使它除以.7. ★★★已知21!AB0909421717094CD000ABCD是多少？8. n2nn33nn55nn2的倍数.请问;这样的n中最小的是多少?（以下内容为六年级导引）数论问题第5讲数论综合一一、内容概述：运用已学过的数论知识，解决综合性较强的各类数论问题;学会利用简单代数式处理数论问题.二、典型问题:（一）兴趣篇★★如果某整数同时具备如下三条性质：1的差是质数；2所得的商也是质数；95.那么我们称这个整数为“幸运数”.求出所有的两位幸运数.★★一个五位数8 25 ，方格中的数未请问：72整除，这个五位数是多少？55整除，这个五位数是多少？50001113的数共有多少个？08字分别划去后可以得到三个两位数（例如，按此方法由247将得到567★★264606互质的有多少个？N9N18小的和第二小的分别是多少？★★★一个自然数，它最大的约数和次大的约数之和是8.★★★有一个算式61，小明在上式中把一些“”换成“果还是自然数，那么这个自然数最小是多少？78、920.问：这个两位数是多少？密文由三个三位数连在一起组成，每个三位数的三个数字互不相同；12（二）拓展篇★★★已知3a7b0c495的倍数，其中c是多少？★★114011个数的总和最小是多少？3.★★★有一个算式9.小明在上式中把一些“”换成“、23、4各一个组成四位数abcdab、abcabcd这四个自3的倍数，那么最大是多少，最小是多少？100236?15115号.1号同学写了2号说2,3号接着说依次下去，.1（号是连续的）问：说的不对的两位同学他们的编号是哪两个连续的自然数？1号同学写的自然数是一个五位数，那么这个自然数为多少？7.2008120082008120082008.11（也就是说他把所有开关都按了一遍，第2个人按的开关的编号是2的倍数，第33……20082008.的时候，灯全是亮着的，那么这2008个人按完后，还有多少盏灯是亮着的？★★★狐狸与黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳41米，黄鼠狼每次跳23米，它们每2 4秒钟都只跳一次.在比赛道路上，从起点开始每隔123米设有一个陷阱.请问：当它们之8中有一个掉进陷阱时，另一个跳了多少米?6385.偶数是多少？★★★一个合数，其最大的两个约数之和为.aba>请问：36，那么这两个正整数有多少种情况？120，那么这两个正整数有多少种情况？ab14，ac350，bc的最小公350.ab、c共有多少组？55657的余数之和是1.求这两个两位数.（100个）.A沿着逆时针方向，每隔几个孔跳一步，希望一圈以后能跳回到A.2个孔跳一步，结果只能跳到B孔4个孔跳一步，也只能跳到B孔6A孔.问：这个圆圈上共有多少个空？（三）超越篇1. 60574个数的和都是6的倍数.请问：这6个数的和最小是多少？2. N301,请问：（1）N的末尾一共会出现多少个连续的数字“0”？（2）用N不断除以12，直到结果不能被12整除为止，一共可以除以多少次12？★★★★老师告诉贝贝和晶晶一个小于5000.这个四位数是5贝贝计算出它与5!的最小公倍数，晶晶计算出它与10!5倍。请问：这个四位数是多少？7548120120.请问：这个正整数最小是多少？★★★★ac.ab300，abc的最大20a>b>c.c共有多少组？★★★★有一类三位数，它们除以346所得到的余数互不相同（可以含这样的三位数中最小的三个是多少？15、17、191，那么这个自然数是多少？★★★★★有43.4个数.数论问题第6讲 进位制与取整符号一、内容概述：掌握进位制的概念及相关计算，掌握自然数在不同进位制之间的转化方法，并学会恰当利用进位制解决一些数论问题.掌握取整符号的算式与方程.二、典型问题:（一）兴趣篇.★请在下面算式的每个空格中填入01.（1）20

4

3

2

；（2）83

6

5

4

3

2 ★★将下面的数转化为十进制的数：(1111)2

，(1010010)2

，(4301)5

，(B08) .1690转化成二进制、七进制和十六进制的数．4. ★★请将七进制数(403)7

化成五进制的数；将五进制数(403)5

化成七进制的数.5. ★★（1）在二进制下进行加法：(101010)2

(1010010)；2在七进制下进行加法：(1203)7

(64251)；7在九进制下进行加法：(178)9

(8803).96. ★★记号(25)k数是多少？

表示k进制数，如果(52)k

是(25)k

2(123)k

在十进制表示的7. 请问：这个自然数的十进制表示是多少？ 8. 27252725 26

269. 16116216151616.17

17

17 10. ★★★求方程2x0.（二）拓展篇、12.（1）88

4

3

2

；（2）999

5

4

3

2 3

、(7C1)16

请将十进制数101转化为二进制的数，641转化为三进制的数，1949转化为十六进制的数.★★请将三进制数(12021)化成九进制的数，将八进制数

化成二进制的数.3 84. ★★★（1）在七进制下计算：(326)(402)、(326)(402)；7 7 7 7（2）在十六进制下计算：(35E6)16

(78910) .165. ★★★算式(4567) (768) (5446) 是几进制数的加法？算式m m m(53

4

(25) 几进制数的乘法？n n ne5(ade)、(adc)、5 5(aab)是由小到大排列的连续正整数，那么(cde)所表示的整数写成十进制的表示是5 5多少？x(abc)10

化为二进制后是一个7位数(1abcabc)2

.请问：x等于多少？?★★★某出版社在印刷一本数学科普书的时候051，2，3，4，5，10，11，12，13，14，15，20365页的页码是多少？10. ★★★如果x3y0z1.求：y的所有可能值；yz.11. ★★计算（结果用表示：1）；212. 231232

23392340.4141

41 41 13. （）x23x；(2)3x5x490.14. xxxx110x.126（三）超越篇、b进制数(47)b进制数(74)ab的最a b小值是多少？★★★现有一个百位为3的三位数（十进制4和5.小的是多少？一共有多少个？6五进制的表示中，这三个数的数字和是依次减少的.请问：符合这样要求的等差数列有多少个？4.★★★★现有六个筹码，上面分别标有数值：1，3，9，27，81，243.任意搭配这些筹（也可以只选择1个筹码可以得到多少个不同的和？将这些和加起来45个是多少？5. 131132

13821383.2121

21 21 6. 1222

210.3 3 3 3 121、216…204812个数.2008，则小梁最多可能抽取了多少张牌？183，则小梁共有多少种抽取牌的方法？3nn的值. 22 200828. ★★★★★(1)在200820082008

2008

中共出现了多少个互不 相同的数？

2008 2007 2006 1 在

2

3 „2008中共出现了多少个互不相同的数？数论问题第7讲数论综合二一、内容概述：二、典型问题:（一）兴趣篇4223个数的和都是3的倍数.要使这4个数的和尽可能小，请问：这4个数应该分别是多少?2. ★★★己知算式(123n2007n(n1)个连续自然数的和.请问：共有多少个满足要求的自然数n?★★★有些自然数能够写成一个质数与一个合数之和的形式4种请问:?★★甲、乙两个自然数的乘积比甲数的平方小2008.??★★★n个自然数，它们的和乘以它们的平均数后得到2008.清问：n?★★★一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个数为“智慧数”，比如16523212008?8. ★★★将100!52，3，4，„，10099(0).99?24天去一次，墨莫每隔6.1?★★★有三个连续的自然数，它们的平方从小到大依次是.?（二）拓展篇100168?abc满足a2b2c2(a，5有关的勾股数组有两组13有关的勾股?.1234106.?★★★已知两个自然数的最大公约数是6，两数之和为1998.?★★数学老师把一个两位数的约数个数告诉了墨莫?1„9?★★★甲、乙两个三位数的乘积是一个五位数，这个五位数的后四位数是3456.814?n，使得20067n..★★★有一些自然数，它们不能用三个不相等的合数之和来表示.?567.:105就满足上述要求，1051920212223；10515161718192010512131415161718.请问：在1至1000中一共有多少个满足上述要求的数?★★★★一个特殊的圆形钟表只有一根指针，指针每秒转动的角度为连续自然数数列.现在设定指针第一秒转动的角度为a度a为小于360的整数a1第三秒转动a2度„„如果指针在第一圈内恰好能指回出发位置，那么a??121，2，3，„，12.他们的电话号码依次是12个连续的六位自然数，并且每家的电话号码都能被这家的门牌号码整除.6913除.:?14. 1，8，15，22，29，36，43n0的个数比前n103n?（三）超越篇20(2个)20?(写)★★★★★有些自然数可以表示成两个合数相乘再加一个合数的形式，例如：33469.?★★★★在给定的圆周上有100.任取一点标上1的点往后22233上标出100.请100?★★★★三个聪明的初中生聚在一起玩一个推理的游戏.小强与小花各选了一个自然数并分别将它告诉小安.小安告诉小强和小花，他将分别把这两个数的和与乘积写在不同的纸上，小安写好后，将其中一张纸藏起来，把另一张纸亮出来给小强和小花看(这张纸上写着2008).选的数，小花听完小强的话后，也说她无法确定小强所选的数.请问：小花所选的数是??(.★★★★★有一根均匀木棍，先用红色刻度线将它分成m等份nn.170根长短不一的100根mn.?.数论问题第8讲数论综合三一、内容概述：需要运用代数式来处理的复杂数论问题;数论证明题.二、典型问题:（一）兴趣篇★★★(1):40(2)求满足条件的最小自然数：在它左边写上80.★★已知n!3n.（n1