反比例函数的图象和性质 （知识建构迁移）九年级数学下册 （人教版）

反比例函数的图象和性质1.经历画反比例函数的图象、归纳得到反比例函数的图象特征和性质的过程.(重点、难点)2.会画反比例函数图象，了解和掌握反比例函数的图象和性质.(重点)3.能够初步应用反比例函数的图象和性质解题.(重点、难点)1.一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是_________，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是___________.2.用描点法画函数图象的步骤简单说是_____、_____、_____.一条直线一条抛物线列表描点连线画出反比例函数与的图象.解：列表表示几组x与y的对应值(填空)：-0.5-1-3-3-6-12361.520.5(1)每个函数的图象分别位于哪些象限？函数图象分别位于第一、第三象限.

(2)在每一个象限内，随着x的增大，y如何变化？你能由它们的解析式说明理由吗？在每一个象限内，y随x的增大而减小.对于反比例函数(k＞0)，考虑问题(1)(2)，你能得出同样的结论吗？一般地，当k＞0时，对于反比例函数，由函数图象，并结合解析式，我们可以发现：(1)函数图象分别位于第一、第三象限；(2)在每一个象限内，y随x的增大而减小.回顾前面我们利用函数图象，从特殊到一般研究反比例函数(k＞0)的性质的过程，你能用类似的方法研究反比例函数(k＜0)的图象和性质吗？画出反比例函数与的图象.(1)函数图象分别位于第二、第四象限；

(2)在每一个象限内，y随x的增大而增大.一般地，当k＜0时，对于反比例函数，由函数图象，并结合解析式，我们可以发现：反比例函数的图象是由两条曲线组成，它是双曲线.一般地，反比例函数图象是双曲线，它具有以下性质：(1)当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；(2)当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大.

2.已知反比例函数，在每一个象限内，y随x的增大而增大，求a的值.解：由题意得a2+a－7=－1，且a－1<0．解得a=－3.D

D

A例3.已知反比例函数的图象经过点A(2，6).(1)这个函数的图象位于哪些象限？y随x的增大如何变化？解：因为点A(2，6)在第一象限，所以这个函数的图象位于第一、三象限；在每一个象限内，y随x的增大而减小.(2)点B(3，4)，C(，)，D(2，5)是否在这个函数的图象上？解：设这个反比例函数的解析式为，因为点A(2，6)在其图象上，所以有，解得k=12.

因为点B，C的坐标都满足该解析式，而点D的坐标不满足，所以点B，C在这个函数的图象上，点D不在这个函数的图象上.

所以反比例函数的解析式为.

(1)图象的另一支位于哪个象限？常数m的取值范围是什么？Oxy例4.如图，是反比例函数图象的一支.根据图象，回答下列问题：解：因为这个反比例函数图象的一支位于第一象限，所以另一支必位于第三象限.由因为这个函数图象位于第一、三象限，所以m－5＞0，解得m＞5.(2)在这个函数图象的某一支上任取点A(x1，y1)和点B(x2，y2).如果x1＞x2，那么y1和y2有怎样的大小关系？解：因为m－5＞0，所以在这个函数图象的任一支上，y都随x的增大而减小，因此当x1＞x2时，y1＜y2.Oxy

BA

A

BA

A

k1k2＜0

-1<a<0

解:(1)∵反比例函数的图象位于第一、三象限∴4-k>0,∴k<4;(2)∵函数图象在每一个象限内，y随x的增大而增大∴4-k<0∴k>4.10.已知

点(a－1，y1)，(a＋1，y2)在反比例函数(k＞0)的图象上，若y1＜y2，求a的取值范围.解：由题意知，在图象的每一支上，y随x的增大而减小.

①当这两点在图象的同一支上时，∵y1＜y2，∴a－1＞a+1，无解；②当这两点分别位于图象的两支上时，∵y1＜y2，∴必有y1＜0＜y2.∴a－1＜0，a+1＞0，解得：－1＜a＜1.故a的取值范围为：－1＜a＜1．一般地，反比例函数图象是双曲线，它具有以下性质：(1