两向量的混和积-课件

三、两向量的混和积1.定义2称

与

的向量积

再与向量

的数量积为向量,,[

]＝()即的混合积，记作[

]设有三个向量,,,三、两向量的混和积1.定义21则有设向量=(ax,ay,az),=(cx,cy,cz),=(bx,by,bz),2.混合积的坐标表示式ijk,cxcycz,ijk则有设向量=(ax,ay,az),=(2混合积性质：(1)[

]=[

]=[

]=–[

]=–[

]=–[

]06305整理发布混合积性质：(1)[]=[]3事实上，若,,

在同一个平面上，则

垂直于它们所在的平面，故

垂直于

,即(

)

=0(2),,

共面

[

]=0事实上，()=0(2),4混合积(

)

的绝对值等于以,,

为棱的平行六面体的体积V的数值。h平行六面体所以，=|(

)|3、混合积(

)的几何意义hV=Sh=底面积高h为

在

上的投影的绝对值ab=|a|

Prjab混合积()的绝对值等于以,5例5:已知空间内不在一个平面上的四点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3),D(x4,y4,z4)求四面体ABCD的体积。解：四面体ABCD的体积等于以AB,AC和AD

为棱的平行六面体体积的六分之一，AB=(x2–x1,y2–y1,z2–z1),AC=(x3–x1,y3–y1,z3–z1),AD=(x4–x1,y4–y1,z4–z1),即例5:已知空间内不在一个平面上的四点解：四面体ABCD6所以，V=其中行列式前的符号必须与行列式的符号一致。所以，V=其中行列式前的符号必须与行列式的符号一致。7§3平面及其方程(一)平面的点法式方程1.

法向量:若一非零向量n垂直于一平面.则称向量n为平面的法向量.注:1对平面,法向量n不唯一;2平面的法向量n与上任一向量垂直.一、平面方程§3平面及其方程(一)平面的点法式方程1.法向量:若一82.平面的点法式方程设平面

过定点M0(x0,

y0,z0),且有法向量n=(A,B,C).对于平面上任一点M(x,

y,z),向量M0M与n垂直.

yxzM0MnOn

M0M=0而M0M=(xx0,yy0,zz0),得:A(xx0)+B(yy0)+C(zz0)=0称方程(1)为平面的点法式方程.(1)2.平面的点法式方程设平面过定点M0(x0,y09例1:求过点(2,3,0)且以n=(1,2,3)为法向量的

平面的方程.解:根据平面的点法式方程(1),可得平面方程为:1(x2)2(y+3)+3(z0)=0即:

x2y+3z8=0例1:求过点(2,3,0)且以n=(1,210nM3M2M1解:

先找出该平面的法向量n.由于n与向量M1M2,M1M3都垂直.而M1M2=(3,4,6)M1M3=(2,3,1)可取n=M1M2M1M3=14i+9j

k例2:求过三点M1(2,1,4),M2(1,3,2)和M3(0,2,3)的平面的方程.所以,所求平面的方程为:14(x2)+9(y+1)(z4)=0即:14x+9yz15=0nM3M2M1解:先找出该平面的法向量n.由于n与向量M111M1M3M1M2，共面M1M，即(二)平面的三点式方程设平面过不共线的三点M2(x2,y2,z2),M3

(x3,y3,z3),M1

(x1,y1,z1),对于平面上任一点M

(x,y,z),平面的三点式方程.(2)M1M3M1M2，共面M1M，即(二)平面的三点式方程设平12设平面与x,y,z轴的交点依次为P(a,0,0),Q(0,b,0),R(0,0,c)三点oyPxzQR(三)平面的截距式方程则有得当非零时(3)设平面与x,y,z轴的交点依次为P(a,0,0),13(四)平面的一般方程1、定理1:任何x,y,z的一次方程.Ax+By+Cz

+D=0都表示平面,且此平面的一个法向量是:n=(A,B,C)证:

A,B,C不能全为0,不妨设A

0,则方程可以化为它表示过定点,且法向量为n=(A,B,C)的平面.注：一次方程:Ax+By+Cz+D=0(4)称为平面的一般方程.(四)平面的一般方程1、定理1:任何x,y,z的一次方14例3:已知平面过点M0(1,2,3),且平行于平面2x3y+4z1=0,求其方程.解:所求平面与已知平面有相同的法向量n=(23,4)2(x+1)3(y2)+4(z3)=0即:2x3y+4z4=0例3:已知平面过点M0(1,2,3),且平行于平面152.平面方程的几种特殊情形(1)过原点的平面方程由于O(0,0,0)满足方程,所以D=0.于是,过原点的平面方程为:Ax+By+Cz=0Ax+By+Cz+D=02.平面方程的几种特殊情形(1)过原点的平面方程由于O16(2)平行于坐标轴的平面方程考虑平行于x轴的平面Ax+By+Cz+D=0,它的法向量n=(A,B,C)与x轴上的单位向量i=(1,0,0)垂直,所以n·i=A·1+B·0+C·0=A=0于是:平行于x轴的平面方程是By+Cz+D=0;平行于y轴的平面方程是Ax+Cz+D=0;

平行于z轴的平面方程是Ax+By+D=0.特别:

D=0时,平面过坐标轴.(2)平行于坐标轴的平面方程考虑平行于x轴的平面Ax+17(3)平行于坐标面的平面方程平行于xOy面的平面方程是Cz+D=0;平行于xOz面的平面方程是By+D=0;

平行于yOz面的平面方程是Ax+D=0.(即z=k)(即y=k)(即x=k)(3)平行于坐标面的平面方程平行于xOy面的平面方程是18例4:求通过x轴和点(4,3,1)的平面方程.解:由于平面过x轴,所以A=D=0.设所求平面的方程是By+Cz=0又点(4,3,1)在平面上,所以3BC=0C=3B所求平面方程为By

3Bz=0即:

y

3z=0例4:求通过x轴和点(4,3,1)的平面方程.解191n1n22若已知两平面方程是:1:A1x+B1y+C1z+D1=0法向量n1

=(A1,B1,C1)2:A2x+B2y+C2z+D2=0法向量n2

=(A2,B2,C2)1.定义1两平面的法向量的夹角(通常指锐角)称为两平面的夹角.二、两平面的夹角1n1n22若已知两平面方程是:1:A1x+20所以1n1n22所以1n1n2221平面1与2相互平行规定:若比例式中某个分母为0,则相应的分子也为0.平面1与2相互垂直A1A2+B1B2+C1C2=0特别:平面1与2相互平行规定:若比例式中某个分母为0,则22例5:一平面通过两点M1(1,1,1)和M2(0,1,1),且垂直于平面x+y+z=0,求它的方程.解:设所求平面的一个法向量n=(A,B,C)已知平面

x+y+z=0的法向量n1=(1,1,1)所以:nM1M2

且nn1

而M1M2=(1,0,2)于是:A

(1)+B

0+C(2)=0

A

1+B

1+C1=0例5:一平面通过两点M1(1,1,1)和M2(0,123解得:B=CA=2C取C=1,得平面的一个法向量n=(2,1,1)所以,所求平面方程是2(x1)+1(y1)+1(z1)=0即:2xyz=0M1(1,1,1),M2(0,1,1)解得:B=C取C=1,得平面的一个法向量n=(24设P0(x0,y0,z0)是平面Ax+By+Cz+D=0外一点,求

P0到这平面的距离d.在平面上任取一点P1(x1,y1,z1)P0P1Nn则P1P0=(x0x1,y0y1,z0z1)过P0点作一法向量n=(A,B,C)于是:三、点到平面的距离设P0(x0,y0,z0)是平面Ax+25又A(x0x1)+B(y0y1)+C(z0z1)=Ax0+By0+Cz0+D(Ax1+By1+Cz1+D)=Ax0+By0+Cz0+D所以,得点P0到平面Ax+By+Cz+D=0的距离:(5)又A(x0x1)+B(y0y1)+C(z0z1)=26例6:求点A(1,2,1)到平面:x+2y

+2z

10=0的距离例6:求点A(1,2,1)到平面:x+2y+227(一)空间直线的一般方程已知平面1:A1x+B1y+C1z+D1=02:A2x+B2y+C2z+D2=0那末,交线L上的任何点的坐标满足:A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0不在交线L上的点不满足方程组(1)(1)称方程组(1)空间直线的一般方程.xyzO12L§4空间直线及其方程一.空间直线的方程空间直线可看成是两个不平行平面与的交线12(一)空间直线的一般方程已知平面1:A1x+28(二)空间直线的对称式方程而s的坐标m,n,p称为直线L的一组方向数.sL1.定义1与空间直线L平行的向量s=(m,n,p),称为该直线的方向向量.(二)空间直线的对称式方程而s的坐标m,n,p称292.直线的对称式方程已知直线L过M0(x0,y0,z0)点方向向量s=(m,n,p)在L上任取一点M(x,y,z),有M0M//s.而M0M=(xx0,yy0,

zz0)所以得比例式(2)称为空间直线的对称式方程或点向式方程.sM0LM2.直线的对称式方程已知直线L过M0(x0,y0,z030得:x=x0+mty=y0+ntz=z0+pt称为空间直线的参数方程.(3)(三)空间直线的参数式方程得:x=x0+mt称为空间直线的参数方程.(3)(31例1:写出直线x+y+z+1=02xy+3z+4=0的对称式方程.解:(1)先找出直线上的一点

M0(x0,y0,z0)令z0=0,代入方程组,得x+y+1=02xy+4=0解得:所以,点在直线上.例1:写出直线x+y+z+1=0的对称式方程32(2)再找直线的方向向量s

.由于平面1:x+y+z+1=0的法线向量

n1=(1,1,1)平面2:2xy+3z+4=0的法线向量

n2=(2,1,3)所以,可取=4ij3k于是,得直线的对称式方程:(2)再找直线的方向向量s.由于平面1:x+y33例2:求通过点A(2,3,4)与

B(4,1,3)的直线方程.所以,直线的对称式方程为解:直线的方向向量可取AB=(2,2,1)例2:求通过点A(2,3,4)与B(4,1,34s1s2已知直线L1,L2的方程s1=(m1,n1,p1)s2=(m2,n2,p2)定义2两直线的方向向量间的夹角称为两直线的夹角,常指锐角.二.两直线的夹角s1s2已知直线L1,L2的方程s1=(m1,n1,351.L1与L2的夹角

的余弦为:2.L1垂直于L2m1m2+n1n2+p1p2=03.L1平行于L21.L1与L2的夹角的余弦为:2.L1垂直于36解:直线L1,L2的方向向量s1=(1,4,1)s2=(2,2,1)有:所以:例3:解:直线L1,L2的方向向量s1=(1,4,137当直线与平面垂直时,规定夹角已知:直线的方向向量s=(m,n,p)平面的法向量n=(A,B,C)那末,LLns称为L与平面

的夹角.定义3直线L与它在平面上投影直线L的夹角,三.直线与平面的夹角当直线与平面垂直时,规定夹角已知:直线的方向向量s=38(1)L与的夹角的正弦为:sin即:Am+Bn+Cp=0(2)L与垂直s//n(3)L与平行s与n垂直(1)L与的夹角的正弦为:sin即:39例4.判定下列各组直线与平面的关系.解:

L的方向向量s=(2,7,3)的法向量n=(4,2,2)s

n

=(2)4+(7)(2)+3(2)=0又M0(3,4,0)在直线L上,但不满足平面方程,所以L与平行,但不重合.例4.判定下列各组直线与平面的关系.解:L的方向向40解:

L的方向向量s=(3,2,7)的法向量n=(6,4,14)L与垂直.解:L的方向向量s=(3,2,7)41解:

L的方向向量s=(3,1,4)的法向量n=(1,1,1)s

n

=31+1

1+(4)

1=0又L上的点M0(2,2,3)满足平面方程,所以,L与重合.解:L的方向向量s=(3,1,4)421.点到直线的距离例5.求点p0(1,2,1)到直线的距离d.p0slp1分析：过p0作l的垂线，垂足为p1,则d=|p0p1|关键：求出p1的坐标方法：过点p0作平面与l垂直，设l与平面的交点为p1，则线段p0p1与l垂直。p1即为垂足。四.点到直线的距离及平面束方程1.点到直线的距离例5.求点p0(1,2,1)到直线43解:(1)直线l的方向向量s

=(2,1,1)过p0(1,2,1),以s为法向量作平面:2(x–1)+(y–2)+(z–1)=0即:2x+y+z–5=0(2)求l与的交点将直线l方程写出参数方程形式：x=2+2ty=3+tz=4+t,代入平面的方程：2(2+2t)+(3+t)+(4+t)–5=0即6t+6=0,t=–1,交点p1(0,2,3)slp1p0(1,2,1)解:(1)直线l的方向向量s=(2,1,1442.平面束方程设直线

l：1:A1x+B1y+C1z+D1=0(1)2:A2x+B2y+C2z+D2=0(2)其中A1,B1,

C1与A2,B2,

C2不成比例，即1//2建立三元一次方程::(A1x+B1y+C1z+D1)+(A2x+B2y+C2z+D2)=0(3)2.平面束方程设直线l：1:A1x+B1y+C145l：1:A1x+B1y+C1z+D1=0(1)2:A2x+B2y+C2z+D2=0(2):(A1x+B1y+C1z+D1)+(A2x+B2y+C2z+D2)=0(3)考查直线l与平面

的关系：(1)直线l上的任何点p(x,y,z)满足方程(1)、(2)，也满足方程(3)。故：方程(3)表示通过直线l的平面，且对于不同的值，方程(3)表示通过直线l的不同平面。(2)通过直线l的任何平面(除2以外)都包含在方程(3)的一族平面内。这是因为：对于直线l外任意一点p0(x0,y0,z0)若不在2:A2x+B2y+C2z+D2=0上令：l：1:A1x+B1y+C1z+D1=0(46l：1:A1x+B1y+C1z+D1=0(1)2:A2x+B2y+C2z+D2=0(2)p0(x0,y0,z0)过直线l与点p0的平面为:故：对于直线l,方程(3)包含了(除2外的)过直线l的全体平面。:(A1x+B1y+C1z+D1)+(A2x+B2y+C2z+D2)=0(3)l：1:A1x+B1y+C1z+D1=0(47定义：对于直线l,通过l的平面的全体称为平面束。对于直线l:1:A1x+B1y+C1z+D1=0(1)2:A2x+B2y+C2z+D2=0(2)方程

(A1x+B1y+C1z+D1)+(A2x+B2y+C2z+D2)=0(3)称为l的平面束方程(表示缺少一个平面2的平面束)定义：对于直线l,通过l的平面的全体称为平面束。对48例6:一平面通过直线l:x+y–z=0x–

y+z–1=0和点p0(1,1,–1)建立它的方程.解：过直线l的平面束方程为(x+y–z

)+(x–

y+z–1)=0

点p0(1,1,–1)在平面上，代入方程，得3–2=0,

所求平面为：(x+y–z

)+

(x–

y+z–1)=0即：5x

–

y+z–3=0

例6:一平面通过直线l:x+y–z=0x49例7.求直线

l:

x+y1=0,

y+z+1=0.在平面

:2x+y+2z=0上的投影直线方程.解：设投影直线为l'，则由l与l'决定的平面'与平面垂直。过l的平面束方程为即与平面

:2x+y+2z=0垂直的平面满足：代入平面束方程，得'll'例7.求直线l:x+y1=0,y+z50'：故:投影直线l':

xz2=02x+y+2z=0即'll':2x+y+2z=0'：故:投影直线l':xz2=02x+y51两向量的混和积-课件52三、两向量的混和积1.定义2称

与

的向量积

再与向量

的数量积为向量,,[

]＝()即的混合积，记作[

]设有三个向量,,,三、两向量的混和积1.定义253则有设向量=(ax,ay,az),=(cx,cy,cz),=(bx,by,bz),2.混合积的坐标表示式ijk,cxcycz,ijk则有设向量=(ax,ay,az),=(54混合积性质：(1)[

]=[

]=[

]=–[

]=–[

]=–[

]06305整理发布混合积性质：(1)[]=[]55事实上，若,,

在同一个平面上，则

垂直于它们所在的平面，故

垂直于

,即(

)

=0(2),,

共面

[

]=0事实上，()=0(2),56混合积(

)

的绝对值等于以,,

为棱的平行六面体的体积V的数值。h平行六面体所以，=|(

)|3、混合积(

)的几何意义hV=Sh=底面积高h为

在

上的投影的绝对值ab=|a|

Prjab混合积()的绝对值等于以,57例5:已知空间内不在一个平面上的四点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3),D(x4,y4,z4)求四面体ABCD的体积。解：四面体ABCD的体积等于以AB,AC和AD

为棱的平行六面体体积的六分之一，AB=(x2–x1,y2–y1,z2–z1),AC=(x3–x1,y3–y1,z3–z1),AD=(x4–x1,y4–y1,z4–z1),即例5:已知空间内不在一个平面上的四点解：四面体ABCD58所以，V=其中行列式前的符号必须与行列式的符号一致。所以，V=其中行列式前的符号必须与行列式的符号一致。59§3平面及其方程(一)平面的点法式方程1.

法向量:若一非零向量n垂直于一平面.则称向量n为平面的法向量.注:1对平面,法向量n不唯一;2平面的法向量n与上任一向量垂直.一、平面方程§3平面及其方程(一)平面的点法式方程1.法向量:若一602.平面的点法式方程设平面

过定点M0(x0,

y0,z0),且有法向量n=(A,B,C).对于平面上任一点M(x,

y,z),向量M0M与n垂直.

yxzM0MnOn

M0M=0而M0M=(xx0,yy0,zz0),得:A(xx0)+B(yy0)+C(zz0)=0称方程(1)为平面的点法式方程.(1)2.平面的点法式方程设平面过定点M0(x0,y061例1:求过点(2,3,0)且以n=(1,2,3)为法向量的

平面的方程.解:根据平面的点法式方程(1),可得平面方程为:1(x2)2(y+3)+3(z0)=0即:

x2y+3z8=0例1:求过点(2,3,0)且以n=(1,262nM3M2M1解:

先找出该平面的法向量n.由于n与向量M1M2,M1M3都垂直.而M1M2=(3,4,6)M1M3=(2,3,1)可取n=M1M2M1M3=14i+9j

k例2:求过三点M1(2,1,4),M2(1,3,2)和M3(0,2,3)的平面的方程.所以,所求平面的方程为:14(x2)+9(y+1)(z4)=0即:14x+9yz15=0nM3M2M1解:先找出该平面的法向量n.由于n与向量M163M1M3M1M2，共面M1M，即(二)平面的三点式方程设平面过不共线的三点M2(x2,y2,z2),M3

(x3,y3,z3),M1

(x1,y1,z1),对于平面上任一点M

(x,y,z),平面的三点式方程.(2)M1M3M1M2，共面M1M，即(二)平面的三点式方程设平64设平面与x,y,z轴的交点依次为P(a,0,0),Q(0,b,0),R(0,0,c)三点oyPxzQR(三)平面的截距式方程则有得当非零时(3)设平面与x,y,z轴的交点依次为P(a,0,0),65(四)平面的一般方程1、定理1:任何x,y,z的一次方程.Ax+By+Cz

+D=0都表示平面,且此平面的一个法向量是:n=(A,B,C)证:

A,B,C不能全为0,不妨设A

0,则方程可以化为它表示过定点,且法向量为n=(A,B,C)的平面.注：一次方程:Ax+By+Cz+D=0(4)称为平面的一般方程.(四)平面的一般方程1、定理1:任何x,y,z的一次方66例3:已知平面过点M0(1,2,3),且平行于平面2x3y+4z1=0,求其方程.解:所求平面与已知平面有相同的法向量n=(23,4)2(x+1)3(y2)+4(z3)=0即:2x3y+4z4=0例3:已知平面过点M0(1,2,3),且平行于平面672.平面方程的几种特殊情形(1)过原点的平面方程由于O(0,0,0)满足方程,所以D=0.于是,过原点的平面方程为:Ax+By+Cz=0Ax+By+Cz+D=02.平面方程的几种特殊情形(1)过原点的平面方程由于O68(2)平行于坐标轴的平面方程考虑平行于x轴的平面Ax+By+Cz+D=0,它的法向量n=(A,B,C)与x轴上的单位向量i=(1,0,0)垂直,所以n·i=A·1+B·0+C·0=A=0于是:平行于x轴的平面方程是By+Cz+D=0;平行于y轴的平面方程是Ax+Cz+D=0;

平行于z轴的平面方程是Ax+By+D=0.特别:

D=0时,平面过坐标轴.(2)平行于坐标轴的平面方程考虑平行于x轴的平面Ax+69(3)平行于坐标面的平面方程平行于xOy面的平面方程是Cz+D=0;平行于xOz面的平面方程是By+D=0;

平行于yOz面的平面方程是Ax+D=0.(即z=k)(即y=k)(即x=k)(3)平行于坐标面的平面方程平行于xOy面的平面方程是70例4:求通过x轴和点(4,3,1)的平面方程.解:由于平面过x轴,所以A=D=0.设所求平面的方程是By+Cz=0又点(4,3,1)在平面上,所以3BC=0C=3B所求平面方程为By

3Bz=0即:

y

3z=0例4:求通过x轴和点(4,3,1)的平面方程.解711n1n22若已知两平面方程是:1:A1x+B1y+C1z+D1=0法向量n1

=(A1,B1,C1)2:A2x+B2y+C2z+D2=0法向量n2

=(A2,B2,C2)1.定义1两平面的法向量的夹角(通常指锐角)称为两平面的夹角.二、两平面的夹角1n1n22若已知两平面方程是:1:A1x+72所以1n1n22所以1n1n2273平面1与2相互平行规定:若比例式中某个分母为0,则相应的分子也为0.平面1与2相互垂直A1A2+B1B2+C1C2=0特别:平面1与2相互平行规定:若比例式中某个分母为0,则74例5:一平面通过两点M1(1,1,1)和M2(0,1,1),且垂直于平面x+y+z=0,求它的方程.解:设所求平面的一个法向量n=(A,B,C)已知平面

x+y+z=0的法向量n1=(1,1,1)所以:nM1M2

且nn1

而M1M2=(1,0,2)于是:A

(1)+B

0+C(2)=0

A

1+B

1+C1=0例5:一平面通过两点M1(1,1,1)和M2(0,175解得:B=CA=2C取C=1,得平面的一个法向量n=(2,1,1)所以,所求平面方程是2(x1)+1(y1)+1(z1)=0即:2xyz=0M1(1,1,1),M2(0,1,1)解得:B=C取C=1,得平面的一个法向量n=(76设P0(x0,y0,z0)是平面Ax+By+Cz+D=0外一点,求

P0到这平面的距离d.在平面上任取一点P1(x1,y1,z1)P0P1Nn则P1P0=(x0x1,y0y1,z0z1)过P0点作一法向量n=(A,B,C)于是:三、点到平面的距离设P0(x0,y0,z0)是平面Ax+77又A(x0x1)+B(y0y1)+C(z0z1)=Ax0+By0+Cz0+D(Ax1+By1+Cz1+D)=Ax0+By0+Cz0+D所以,得点P0到平面Ax+By+Cz+D=0的距离:(5)又A(x0x1)+B(y0y1)+C(z0z1)=78例6:求点A(1,2,1)到平面:x+2y

+2z

10=0的距离例6:求点A(1,2,1)到平面:x+2y+279(一)空间直线的一般方程已知平面1:A1x+B1y+C1z+D1=02:A2x+B2y+C2z+D2=0那末,交线L上的任何点的坐标满足:A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0不在交线L上的点不满足方程组(1)(1)称方程组(1)空间直线的一般方程.xyzO12L§4空间直线及其方程一.空间直线的方程空间直线可看成是两个不平行平面与的交线12(一)空间直线的一般方程已知平面1:A1x+80(二)空间直线的对称式方程而s的坐标m,n,p称为直线L的一组方向数.sL1.定义1与空间直线L平行的向量s=(m,n,p),称为该直线的方向向量.(二)空间直线的对称式方程而s的坐标m,n,p称812.直线的对称式方程已知直线L过M0(x0,y0,z0)点方向向量s=(m,n,p)在L上任取一点M(x,y,z),有M0M//s.而M0M=(xx0,yy0,

zz0)所以得比例式(2)称为空间直线的对称式方程或点向式方程.sM0LM2.直线的对称式方程已知直线L过M0(x0,y0,z082得:x=x0+mty=y0+ntz=z0+pt称为空间直线的参数方程.(3)(三)空间直线的参数式方程得:x=x0+mt称为空间直线的参数方程.(3)(83例1:写出直线x+y+z+1=02xy+3z+4=0的对称式方程.解:(1)先找出直线上的一点

M0(x0,y0,z0)令z0=0,代入方程组,得x+y+1=02xy+4=0解得:所以,点在直线上.例1:写出直线x+y+z+1=0的对称式方程84(2)再找直线的方向向量s

.由于平面1:x+y+z+1=0的法线向量

n1=(1,1,1)平面2:2xy+3z+4=0的法线向量

n2=(2,1,3)所以,可取=4ij3k于是,得直线的对称式方程:(2)再找直线的方向向量s.由于平面1:x+y85例2:求通过点A(2,3,4)与

B(4,1,3)的直线方程.所以,直线的对称式方程为解:直线的方向向量可取AB=(2,2,1)例2:求通过点A(2,3,4)与B(4,1,86s1s2已知直线L1,L2的方程s1=(m1,n1,p1)s2=(m2,n2,p2)定义2两直线的方向向量间的夹角称为两直线的夹角,常指锐角.二.两直线的夹角s1s2已知直线L1,L2的方程s1=(m1,n1,871.L1与L2的夹角

的余弦为:2.L1垂直于L2m1m2+n1n2+p1p2=03.L1平行于L21.L1与L2的夹角的余弦为:2.L1垂直于88解:直线L1,L2的方向向量s1=(1,4,1)s2=(2,2,1)有:所以:例3:解:直线L1,L2的方向向量s1=(1,4,189当直线与平面垂直时,规定夹角已知:直线的方向向量s=(m,n,p)平面的法向量n=(A,B,C)那末,LLns称为L与平面

的夹角.定义3直线L与它在平面上投影直线L的夹角,三.直线与平面的夹角当直线与平面垂直时,规定夹角已知:直线的方向向量s=90(1)L与的夹角的正弦为:sin即:Am+Bn+Cp=0(2)L与垂直s//n(3)L与平行s与n垂直(1)L与的夹角的正弦为:sin即:91例4.判定下列各组直线与平面的关系.解:

L的方向向量s=(2,7,3)的法向量n=(4,2,2)s

n

=(2)4+(7)(2)+3(2)=0又M0(3,4,0)在直线L上,但不满足平面方程,所以L与平行,但不重合.例4.判定下列各组直线与平面的关系.解:L的方向向92解:

L的方向向量s=(3,2,7)的法向量n=(6,4,14)L与垂直.解:L的方向向量s=(3,2,7)93解:

L的方向向量s=(3,1,4)的法向量n=(1,1,1)s

n

=31+1

1+(4)

1=0又L上的点M0(2,2,3)满足平面方程,所以,L与重合.解:L的方向向量s=(3,1,4)941.点到直线的距离例5.求点p0(1,2,1)到直线的距离d.p0slp1分析：过p0作l的垂线，垂足为p1,则d=|p0p1|关键：求出p1的坐标方法：过点p0作平面与l垂直，设l与平面的交点为p1，则线段p0p1与l垂直。p1即为垂足。四.点到直线的距离及平面束方程1.点到直线的距离例5.求点p0(1,2,1)到直线95解:(1)直线l的方向向量s

=(2,1,1)过p0(1,2,1),以s为法向量作平面:2(x–1)+(y–2)+(z–1)=0即:2x+y+z–5=0(2)求l与的交点将直线l方程写出参数方程形式：x=2+2