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§1拉普拉斯变换的定义第14章拉普拉斯变换一.拉氏变换的定义时域f(t)称为原函数复频域F(s)称为象函数1.双边拉氏变换复频率f(t)与F(s)一一对应积分下限从0开始，称为0拉氏变换。积分下限从0+开始，称为0+拉氏变换。f(t)=(t)时此项02.单边拉氏变换f(t)t[0,)F(s)称为f(t)的象函数，用大写字母表示，如I(s)、U(s)。f(t)为原函数用小写字母表示，如i(t),u(t)。3.拉氏变换存在条件电工中常见信号为指数阶函数，指二.常用函数的拉氏变换=11f1(t)e-tt01f2(t)e-tt0三个函数的拉氏变换式相同1f3(t)e-tt0§2.拉普拉斯变换的基本性质一.线性性质二.时域导数性质三.时域的积分性质四.时域平移(延迟定理)f(t)(t)ttf(t-t0)(t-t0)t0f(t)(t-t0)tt0例1：1Ttf(t)TTf(t)例2：例3：周期函数的拉氏变换...tf(t)1T/2T设f1(t)为第一个周期的函数波形的特殊性...tf(t)1T/2T五.复频域平移性质六.复频域导数性质七.初值定理和终值定理初值定理若L[f(t)]=F(s)，且f(t)在t=0处无冲激则终值定理：f(t)，f(t)的导数可进行拉氏变换例1例2例3e(t)RC+u-+-用初值定理和终值定理验证§3拉普拉斯反变换一.由象函数求原函数(1)利用公式(2)经数学处理后查拉普拉斯变换表象函数的一般形式：二.将F(s)进行部分分式展开f(t)=L-1[F(s)]ki也可用分解定理求例1例2用分解定理求原函数例3k1,k2也是一对共轭复根例法二：用配方法例1例2一般多重根情况相量形式KCL、KVL元件复阻抗、复导纳相量形式电路模型14.4复频域中的电路定律、电路元件与模型类似地元件运算阻抗、运算导纳运算形式KCL、KVL运算形式电路模型一.电路元件的运算形式R：u=Ri+u-iR+U(s)

-I(s)RL:iL+

uL

-L+

-sLUL(s)IL(s)sL+-UL(s)IL(s)C:

1/sCCuC(0-)IC(s)UC(s)IC(s)1/sCuC(0-)/sUC(s)+uC-iCM:ML1L2i1i2+u1-+u2-L1i1(0-)Mi2(0-)Mi1(0-)L2i2(0-)+U2(s)-+U1(s)-I1(s)I2(s)sL1sL2+-sM+_++__受控源：(s)+-U+1(s)-

RI1(s)U2U1(s)+u1-+u2-Ri1u1二.电路定律的运算形式+u-iRLC运算阻抗运算形式欧姆定律+U(s)-I(s)RsL1/sC三.运算电路模型运算电路时域电路1.电压、电流用象函数形式2.元件用运算阻抗或运算导纳3.电容电压和电感电流初始值用附加电源表示RRLLCi1i2E(t)+-RRLsL1/sCI

1(s)E/sI

2(s)+-时域电路例5Ω2F20Ω10Ω10Ω0.5H50V+-uc+

-iLt=0时打开开关uC(0-)=25ViL(0-)=5At>0运算电路200.5s-++-1/2s25/s2.55IL(s)UC(s)14.5

拉普拉斯变换法分析电路步骤：1.由换路前电路计算uC(0-),iL(0-)。2.画运算电路模型3.应用电路分析方法求象函数。4.反变换求原函数。t=0时闭合k,求iL，uL。例1：200V30Ω0.1H10Ω-uc+1000μFiL+-uL(2)画运算电路200/s300.1s0.5101000/s100/sI1(s)I2(s)例1：200V30Ω0.1H10Ω-uc+1000μFiL+-uL200/s300.1s0.5101000/s100/sIL(s)I2(s)(4)反变换求原函数求UL(s)UL(S)200/s300.1s0.5101000/s100/sI1(s)I2(s)例2求冲激响应RC+ucisicR1/sC+Uc(s)Is(s)Ic(s)tuc(V)0tic例3

+-UskR1L1L2R2i1i20.3H0.1H10V2Ω3Ωt=0时打开开关k,求电流i1,i2。10/s20.3s1.530.1sI1(s)ti523.750UL1(s)10/s20.3s1.530.1sI1(s)uL1-6.56t-0.375(t)0.375(t)uL2t-2.19ti1523.750小结：1、运算法直接求得全响应3、运算法分析动态电路的步骤2、用0-初始条件，跳变情况自动包含在响应中1).由换路前电路计算uC(0-),iL(0-)。2).画运算电路图3).应用电路分析方法求象函数。4).反变换求原函数。磁链守恒：14.6

网络函数一.定义单个独立源作用的线性网络零状态e(t)r(t)E(s)R(s)RC+_+_uS例：uCR1/sC+_+_Us(s)UC(s)网络函数是由网络的结构和参数决定，与激励无关网络函数是实系数的有理函数1.策动点函数策动点阻抗策动点导纳2.转移函数(传递函数)转移导纳转移阻抗转移电压比转移电流比U2(s)I2(s)U1(s)I1(s)U(s)I(s)二.网络函数的具体形式三.单位冲激响应、单位阶跃响应与网络函数的关系零状态(t)h(t)e(t)r(t)若h(t)已知，则任意激励产生的响应零状态(t)g(t)1/sG(s)初值定理终值定理单位阶跃响应初值单位阶跃响应终值14.7网络函数的极点和零点一.复频率平面j极点用“”表示，零点用“。”表示。。j。2-3例：绘出其极零点图-1j-j0二.极点分布与冲激响应极点位置不同，响应性质不同。j极点的位置决定冲激响应的波形极点和零点共同决定冲激响应的的幅值网络函数极点的位置决定了系统的稳定性

全部极点在左半平面系统是稳定的，只要有一个极点在右半平面系统不稳定，极点在虚轴上是临界稳定。网络函数极点是该网络变量的固有频率

R(s)=H(s)E(s)设D(s)和E(s)没有相同的极点由网络函数极点形成的

自由分量由激励函数极点形成的

强制分量系数Ai和Aj有零点和极点共同决定1.由网络函数能求同一网络的正弦稳态响应