高数下课件-ch12-2二重积分计算

§12.2二重积分的.讨论连续

fx,y0时，fx,ydxdy的计算问D其中Dg1xyg2x)围成axabx0[ab，作平面xx0．abg1x0g2x0)]为底zfx0y为曲边的曲边梯其面积

g1(x),

x)A(x)

g2(x0

f(x,y) g(x 一般地，x[a,b]，则所得截A(x)

g2(xg1(x

f(x,y)曲顶柱体体积V

A(x)

bg2(x

f(x,y)dy

a

g1(x 即

f(x,y)dx

bg2(x

f(x,y)dy

aD

g1(x axb(1式称为先yx累次积二次积axb(1)式也可写f(x,y)dxD

g2(xbg1(xb

f(x,y)o bx若zf(x,y)在区域Do bx其中D：axb，g1x)yg2x)，且g1x),g2x)f(x,y)dxdy

dxg2(x

f(x,y)

b g1(xbydcox若zf(x,y)在区域D上连ydcox其中D：cy

(y)x2

(1y),2y)df(x,y)dxdycdD

2(1(

f(x,y)

oxbxoxboxbxoxbxxdcoxyX型区 Y型区

dDc 例例1计算二重积分dx ,其中D[3x4,1yD(x解 f(x,y)

(x

在Ddxy21O x(xy21O x

dx

(x4 4D1x1x3 4

1

ln

x2 2计算曲顶柱体的体积,RR[0xa,0y其其顶是定义在R上的曲面ze (p,q是常数yaOaxyaOaxaaVeR

dxdy0

0

epxqya e a

eqyep

aq0

1(epa1)(eaa0

1)．3计算四个平面xyz1,x0,y0,z0z解xOyxy0，xy1定义在D上的平面为：z1x

x 1V(1xy)dxdyD

dx

(1xy)2 2 [(1x)y

0

dx

1(1x)2dx1． 或V

(1xy)dxdy1D1

dy (1xy)dx 例例4计算二重积分 dxdy,其中区域D是由直线xD解

dxdy

dx

yx，及双曲线yx，及双曲线xy122y x2y

2 2

x2 122

(x

x)

9．5计算xydxdyDy2xDyx2yy2解由yx

得交点(11),(42)

y xydxdyD

dy

xy

yx2

y21 121 1

[y(yx

y5]dy4

8xxydxD

0dx

xydy

dxx2

xy6IsinxdxdyDD2y x和直线yx，y2y 由y y由yy由y

得交点(1得交(2得交点(4

ox222ycos 22DIsinD

dxdy

y2

dx 2 2

2 22ycosydy4(2 例 求x2ey2dxdy，其中D是以D(0,1)为顶点的三角形解ey2dy无法用初等函数

1

x dxdyD

x

y2 e

(1 计算积分I12yyedxx1422yyyyyy解 exdxyy先改变积分次序I

12

eydyx12 1x(eex)dx12

3e e注例 设f(x,y)是连续函数，则二次积 1dx f(x,y)dy y2 y2(

0

f(x,y)dx

f(x,y)dx (B)0 f(x,y)dxy2 y2(C

0

f(x,y)dx

f(x,y)dxy2y2(D)0 f(x,y)dx0解：0

dx

f(x, 1 1

y 1x2211 yx1y2 y20

f(x,y)dx

f(x,y)dx (C例例计算I1f(0x f(x)x21ey I

1

y1yxoxey1yxoxxx1xx0

21ey1xx2x1

y2e 0

2yey2

ey2101

e1注 若积分区域D关于y轴(或x轴)对称 f(x,y)关于x(或是偶函数(或奇函数 则f(x,y)dxdy等于对称半区域上积D的两倍(或为例计例计算二重积I(|x||yx2y2 由于D关于原点对称|x||y|关于x与y均是偶函

则有I

(|x||y|)dxdy4(xy)dx1x2y2 11x11x1

(x

40(

111x

)dx8．32xyyD1yexxe解xx1,2yex3xe1yexxe1O1xDxy|xy1,x1,y1},设例 yy1,

xey3yex1xeyyex

2

xy1x1,y1

2yex3xeydxdy 1 xey1 xe

2xey3yex1xeyye

2142D

212例例13求两个底圆半径相等 直交圆柱面所围成的立体体积解x2y2R2，x2z2R2，R2x2R2x2DR2R2x2

dxRR

dx(R2x2)dx

23故所求体

V8V1

163二二.将fx,yd转化为极坐标中的二重积分形iiiioxii根据n

f(x,y)dlimf(i,i)iD在极坐标系

0 1()2 1 1[2ii2

(i)2]

1(2ii)ii2i

(2

i

i

i在i内取圆周i上一点i,iiiioxii对应直iiioxii

iicosi，于

sininlimf(i,i)in0nlimf(icosi,isini)in0

f(x,y)df(cos,sin)d 其中将极坐标设积分D：1(2()，其中1(),2()在[,]上连续 E[

段上点的极径1()于

f(cos,sin)dd 2()f(cos,sin)dD注 若极点在D的内部

1

f(cos,sin)区域D{(,|02，0(f(cos,sin)dd

(

0 d

f(cos,sin)例 计算(x2y2)dxdy，其D为由圆x2y22yDx2y24y及直x闭区域

3y0y 3x0所围成的平解x2y22x2y24

4x 3yy 3x

16 (x2

y2

3d

2d15( 6 6x2y2dxdyD 22Dxy|1x2y2解D注意：被积函数也要有对称性x2y2x2x2y2x2x2y2x2

42

2sin

d 例例16x2y2z2R2x2y2Rx解由对称R2x2R2x2y2DRx其中D为半圆Rxx

dxYXYXx2y2作极坐标变xcos,ysin则积分区域D{(,)|0，0Rcos2R2R2D 0

dR2R20

0

1(R23

2

R323204R3

2(1sin3)04R3

2)． 例例17z3x2y2z1x2y2z31yx解将此z31yxz3x2z1x2投向xOy投影

x2y2z这正是该立xOy面投影D的边界线,即积分区域D．V(3x2y2)dxdy(1x2y2 0(22x22y2)dxdy0D

d

(222)d 例例18计算双纽线x2y222a2x2y2解作极坐标变xcos，ysin．则双纽线的极坐标方程为22a2cos 且其关于x轴及AdxD

y轴对

cos22a2sin20

说明：计算二重积分时，若被积函数中含有x2 或yx积分区域的边界曲线 含有x2 时常使用(x2

)dx例 I

x2y2

R(2cos2

2sin2) d 2(cos2

sin2 R

4

2(1cos

1cos

4

(11 解法二I

x2