高考数学二轮复习真题源讲义高考新题型(四)　情境应用题

高考新题型(四)情境应用题数学应用就是在实际问题情境中,发现问题并转化为数学问题,继而选择合适的数学模型表达所要解决的数学问题.数学应用范围广泛,在历年高考中以不同的题型和形式进行考查,常考常新,极具创新性,特别是近年高考数学试题不断贯彻落实新课标对数学应用的要求,贴近生活实际、关注社会热点,考查学生数学建模的核心素养,引导学生由“解题”向“解决问题”方向转变.[解题策略]数学应用问题情景新,紧跟社会热点,信息量大,难就难在第一为审题,从比较长的题目中提取有效信息,第二为对情景问题的抽象建模上.数学建模是对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程.主要包括:在实际情况中从数学的视角发现问题、提出问题、分析问题、构建模型、求解结论、验证结果并改进模型,最终解决实际问题.高中数学建模的一般流程:[类型例析]1.“五育并举”问题从近年全国卷中的试题可以看出,高考落实“五育并举”教育方针,因此有关体现德育、智育、体育、美育、劳动教育的考题成为高考中亮丽的“风景题”,这类问题常以数学文化或现实生活为背景,命制与核心考点相关联的题目,意在考查直观想象、逻辑推理和数学运算等核心素养.典例1(2020·全国Ⅱ卷)在新冠肺炎疫情防控期间,某超市开通网上销售业务,每天能完成1200份订单的配货,由于订单量大幅增加,导致订单积压.为解决困难,许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货,预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05.志愿者每人每天能完成50份订单的配货,为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95,则至少需要志愿者()A.10名 B.18名 C.24名 D.32名解析:由题意知超市第二天能完成1200份订单的配货,如果没有志愿者帮忙,则超市第二天共会积压超过500+(1600-1200)=900(份)订单的概率为0.05,因此要使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95,至少需要志愿者90050[名师点评]本题以新冠肺炎疫情期间,志愿者参加某超市配货工作为背景设计问题,考查统计与概率知识,体现了数据分析、数学运算等核心素养,弘扬社会正能量.典例2(2020·新高考Ⅰ卷)某中学开展劳动实习,学生加工制作零件,零件的截面如图所示.O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心,A是圆弧AB与直线AG的切点,B是圆弧AB与直线BC的切点,四边形DEFG为矩形,BC⊥DG,垂足为C,tan∠ODC=35,BH∥DG,EF=12cm,DE=2cm,A到直线DE和EF的距离均为7cm,圆孔半径为1cm,则图中阴影部分的面积为cm2解析:如图,连接OA,作AQ⊥DE,交ED的延长线于Q,AM⊥EF于M,交DG于E′,交BH于F′,记过O且垂直于DG的直线与DG的交点为P,设OP=3m,则DP=5m,可得AQ=7,AM=7,于是AE′=5,E′G=5,所以∠AGE′=∠AHF′=π4,△AOH为等腰直角三角形,又AF′=5-3m,OF′=7-5m,AF′=OF′,所以5-3m=7-5m,得m=1,所以AF′=5-3m=2,OF′=7-5m=2,所以OA=22,则阴影部分的面积S=135360×π×(22)2+12×22×22-π2=答案:5π2[名师点评]本题立足学生劳动实习的场景,引导学生关注劳动,运用所学知识解决生产实践中的问题,体现了劳动教育的重要性.2.多学科的交叉与融合问题多学科交叉与融合的考题在近年高考中成为“新宠”,此类考题常与物理、化学、音乐等其他学科知识交汇呈现,考查考生综合应用知识的能力和创新意识.典例3为了衡量星星的明暗程度,古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小,星星就越亮;星等的数值越大,它的光就越暗.到了1850年,由于光度计在天体光度测量中的应用,英国天文学家普森又提出了衡量天体亮度的单位.天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述,两颗星星的星等与亮度满足m1-m2=2.5(lgE2-lgE1),其中星等为mi的星星的亮度为Ei(i=1,2).已知星星A的星等是1.00,星星B的星等是1.25,星星A的亮度是星星B的r倍,则与r最接近的是(当|x|较小时,10x≈1+2.3x+2.7x2)()A.1.24 B.1.25 C.1.26 D.1.27解析:设星星A的亮度为E1,星星B的亮度为E2.根据题意可得1.00-1.25=2.5(lgE2-lgE1),可得lgE1E2=1解得r=10110,根据参考公式可得r≈1+2.3×110+2.7故与r最接近的是1.26.故选C.[名师点评]本题以物理知识为载体考查对数运算.解题的关键是理解两颗星星的星等与亮度满足的关系式m1-m2=2.5(lgE2-lgE1)中各个参数的意义,并会利用赋值法代入.典例4(2022·重庆巴蜀中学月考)已知C60是一种由60个碳原子构成的分子,它形似足球,因此又名足球烯,C60是单纯由碳原子结合形成的稳定分子,它有60个顶点和若干个面,各个面的形状为正五边形或正六边形,结构如图所示.已知其中正六边形的面为20个,则正五边形的面的个数为()A.10 B.12 C.16 D.20解析:由题图知,每个顶点同时在3个面内,所以五边形的面的个数为60×3-[名师点评]本题以化学分子为背景考查立体几何模型,解题的关键是认真读题,构建立体几何模型.3.以社会、科技前沿热点为背景的概率统计问题统计与概率试题已经成为高考解答题的热点,求解这类问题的方法与思想都在提升,体现了较高的思维能力,难度一般为中档,有时可能成为压轴题.此类试题注重考查考生的应用意识、阅读能力及化归与转化能力.统计与概率的交汇试题常以现实生活中的前沿热点问题为背景.典例5(多选题)近年来,某市为促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱.为调查居民生活垃圾的分类投放情况,现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000t生活垃圾,经分拣以后统计数据如表(单位:t).根据样本估计本市生活垃圾的分类投放情况,则下列说法正确的是()“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060A.“厨余垃圾”投放正确的概率为2B.居民生活垃圾投放错误的概率为3C.该市三类垃圾中投放正确的概率最高的是“可回收物”D.“厨余垃圾”在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量的方差为18000解析:由题意可得,“厨余垃圾”投放正确的概率为400400+100+100=23,“可回收物”投放正确的概率为240240+30+30=45,“其他垃圾”投放正确的概率为对于B,生活垃圾投放错误的有100+100+30+30+20+20=300(t),故生活垃圾投放错误的概率为3001000对于D,“厨余垃圾”在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量的平均数为400+100+1003=200,可得方差s2=13×[(400-200)2+(100-200)2+(100-200)[名师点评]破解以垃圾分类为背景的概率与方差相交汇的本题的关键:一是认真读题,读懂题意;二是会观察图表,会利用数据;三是会利用频率估计概率,会利用公式求方差.典例6目前,青蒿素作为一线抗疟药得到大力推广.某农科所为了深入研究海拔因素对黄花蒿的青蒿素产量的影响,在山上和山下的试验田中分别种植了100株黄花蒿进行对比试验.现从山上和山下的试验田中各随机选取了4株黄花蒿作为样本,每株提取的青蒿素产量(单位:g)如表所示.编号位置①②③④山上5.03.83.63.6山下3.64.44.43.6(1)根据样本数据,估计山下试验田中黄花蒿的青蒿素的总产量;(2)记山上与山下两块试验田中单株黄花蒿的青蒿素产量的方差分别为s12,s22,根据样本数据,估计(3)从样本中的山上与山下的黄花蒿中各随机选取1株,记这2株黄花蒿的青蒿素的产量总和为n,求n>8的概率.解:(1)由山下试验田中4株黄花蒿样本的青蒿素产量数据,得样本平均数为3.6+4.(2)由样本中山上、山下的单株黄花蒿的青蒿素产量的离散程度知s12>(3)记n>8为事件A,列表如下(单位:g).山上总和山下5.03.83.63.63.68.67.47.27.24.49.48.2884.49.48.2883.68.67.47.27.2由表可以看出,按题目要求抽取2株黄花蒿共有16种抽法,其中这2株黄花蒿的青蒿素的产量总和n>8的情况共有6种,故P(A)=616=3[名师点评]本题以青蒿素为背景考查古典概型,求解的关键是理解古典概型的两个特征:①试验中所有可能出现的基本事件为有限个;②每个基本事件出现的可能性相等.4.新定义、新信息迁移问题新定义、新信息迁移问题是指在现有的运算法则和运算律的基础上定义一种新的概念或运算或规则或性质等的问题.新定义、新信息可能以文字的形式出现,也可能以数学符号或数学表达式的形式出现,有的甚至举例说明.在高考卷中,有关新定义的考题偶尔会出现,要么在小题压轴题的位置出现,要么在解答题中出现,主要考查数学抽象、直观想象、数学运算和逻辑推理等核心素养.典例7已知函数f(x)的定义域为D,若存在闭区间[a,b]⊆D,使得f(x)满足①f(x)在[a,b]上是单调函数,②f(x)在[a,b]上的值域为[2a,2b],则称区间[a,b]为f(x)的“倍增区间”.下列函数存在“倍增区间”的是()A.f(x)=x+1(x∈R) B.f(x)=x2(x≥0)C.f(x)=x+1x(x>0) D.f(x)=3x解析:f(x)=x+1(x∈R)在[a1,b1](a1<b1)上单调递增,但x+1=2x没有两个不同的解,所以A不正确;f(x)=x2(x≥0)在[a2,b2](0≤a2<b2)上单调递增,可知x2=2x在x≥0时有两个不同的解,解得x1=0,x2=2,符合题意,所以B正确;f(x)=x+1x(x>0)在[a3,b3](1≤a3<b3)上单调递增,但x+1x=2x在x≥1时没有两个不同的解;同理得,f(x)=x+f(x)=3x(x∈R)在[a4,b4](a4<b4)上单调递增,但曲线y=3x与直线y=2x没有交点,即3x=2x没有两个不同的解,所以D不正确.故选B.[名师点评]本题以函数的单调性和值域为背景“包装”新概念——“倍增区间”,注意新概念需满足的两个条件都得验证,有一个条件不满足,就不是“倍增区间”.典例8对于任意的两个实数对(a,b)和(c,d),规定(a,b)=(c,d),当且仅当a=c,b=d时,等号成立.定义运算“⊗”:(a,b)⊗(c,d)=(ac-bd,b