武汉大学20172018第一学期高等数学A1期末试题A

武汉大学2017-2018第一学期高等数学A1期末试题A1、（9分）求极限limtan3x3tanx．xcos(x)362、（9分）设函数yyx由参数方程xatsint所确立，求d22y.ya1costdx3、（9分）已知yt2sinx2tdt0，求dyedtcosdx004、（8分）5、（9分）设a0，求eaxsinxdx.06、（9分）依据以下导函数yf(x)的图像：yox1x2x3x4x5xx6填写对于函数f(x)的表格（此中f(0)0）：单增区间上凸区间单减区间下凸区间极大值点极小值点画出函数yf(x)的图像：yox1x2x3x4x5xx612x0各处可导。7、（8分）确立常数a,b，使函数f(x)x(e1)，xasinbx，x08、（9分）求由arctanxyx,0x1所确立的地区的面积。9、（8分）涵洞的断面为抛物线拱形。拱高1米，拱底宽2米，在水面超出涵洞极点0.5米时，求涵洞闸门上所受的水压力。10、（8分）用变量代换tsinx化简微分方程yytanxycos2x0，并求其知足y1,y2的特解。x0x011、（8分）求由曲线yx,x1,x2及x轴所围成的平面图形绕直线1轴旋转而成的旋转体的体积。12、（6分）设函数fx在区间0,1上连续，且11xf(t)dtf(t)dtaae1x2dx（此中a1为定常数）。000证明：最少存在一点(0,1)使得f()2f(x)dx.0武汉大学2017-2018第一学期高等数学A1期末试题A解答1、（9分）解方法一：原式tanx(tan2x3)tan2x3lim=3limxcos(x)x3cos(x)366=3lim2tanxsec2x24xsin(x)36方法二：原式tanx(tanx3)(tanx3)limxcos(x)36limtanx(tanx3)limtanx3xxcos(x)3366limsec2xxsin(x)36方法三：9分xatsint22、（9分）设函数yyx由参数方程dy.ya1所确立，求costdx2dyasintt2ycott1csc2tcsc2t解：d2222dxa1costcotdx2a1costa1cost2a1cost2yt2sinx20，求dy.3、（9分）已知edtcostdtdx00cos2sinxcosx解：方程两边对于x求导得y22sinxcosx0eycosyey2

分分4、（8分）解：方法一：由lim(arctan(x1)1x2limarctan(x1)4)xxx04x0limarctan(x1)4lim11x2x0x01(1x)2故由归纳原理lim(arctann1)n211nn42方法二：lim[(arctan(x1)arctan1)11]limx211x)x21(1x0x0lim

11故由归纳原理n1lim(arctan)

112n211nn4方法三：arctann1，则tann1nnn1tan11于是tan(n)

1

2，41tann11n原式lim(arctan1)n21n2n15、（9分）设a0，求eaxsinxdx.0

2n1arctan1n211lim2n112n18分n22n1解：原式ax1a1分ecosx1a2sinx91a201a26、（9分）依据以下导函数yf(x)的图像：yox1x2x3x4x5xx6填写对于函数f(x)的表格（此中f(0)0）：单增区间(0,x2),(x4,x6)凸区间(x1,x3)单减区间(x2,x4)凹区间(0,x1),(x3,x6)极大值点x2极小值点x4画出函数yf(x)的图像：yox1x2x3xxxx4569分12x0各处可导。7、（8分）确立常数a,b，使函数f(x)x(e1)，xasinbx，x0解：要使f(x)在x0可导,第一须在x0连续即limf(x)f(0)ax0即alime2x1lim2e2x2，要使f(x)在x0可导,须f(0)f(0)x0xx01f(x)f(0)1(ex1)2lime2x12x即f(0)limlimx2x0x0x0xx0x2则ab2时,f(x)在x0可导,进而各处可导。8分8、（9分）求由arctanxyx,0x1所确立的地区的面积。解：9分9、（8分）涵洞的断面为抛物线拱形。拱高1米，拱底宽2米，在水面超出涵洞极点0.5米时，求涵洞闸门上所受的水压力。解:设坐标系如图抛.物线方程为ykx2因为过(1,1)点,故k18分10、（8分）用变量代换t20，sinx化简微分方程yytanxycosx并求其知足y1,yx02的特解。x0解先将y,ydyd2y，再用二阶常系数线性微分方程的方法求解即可。转变为,dt2dt因为ydydtcosxdy，ydydtcos2xd2ysinxdy，dtdxdtdtdxdt2dt代入原方程，得d2yy0，解此微分方程，得yC1etC2etC1esinxC2esinxdt2将初始条件y01,yx02代入，有C13,C21.故知足条件的特解为x223esinxesinx8分y211、（8分）求由曲线yx,x1,x2及x轴所围成的平面图形绕直线x1轴旋转而成的旋转体的体积。解成立新的坐标系，原点o在原坐标的坐标点o(1,0)，则由yx1,x2,x3及x轴所围成的地区绕x0旋转而成体积。8分12、（6分）设函数fx在区间10,1上连续，且f(t)dt0

1aae1x20

xf(t)dtdx（其0中a1为定常数）。证明最少存在一点(0,1)使得f()2f(x)dx.0证明：令F(x)e1x2xf(t)dt，则F'(x)e1x2