概率论与数理统计-课件

第三章

多维随机变量及其分布

§1二维随机变量

▲实际问题：确定炮弹位置的坐标；观察儿童的身高和体重等等，都会产生二维随机变量。

定义：设E是一个随机试验，其样本空间S={e}，设X=X(e)

和Y=Y(e)是定义在S上的随机变量，由它构成的一个向量(X,Y)叫做二维随机向量或二维随机变量。

▲为了研究随机向量的统计性质，引入如下定义

定义：设(X,Y)是二维随机变量，对于任意实数x,y，二元函数

称为二维随机变量(X,Y)的分布函数或X和Y的联合分布函数。

1ppt课件第三章多维随机变量及其分布§1二维随机变量▲▲随机向量(X,Y)落入矩形的概率为

(1.1)▲分布函数具有如下性质：

1.

单调性：F(x,y)是变量x和y的不减函数：

2.有界性：，且

对固定x,；

对固定y,3.

右连续性：

4.

如下不等式成立：

2ppt课件▲随机向量(X,Y)落入矩形▲二维随机变量分为两种：离散型和连续型

▲离散型随机变量

如果随机变量(X,Y)的全部可能取到的不同值是有限或可列无限多对，则称(X,Y)是离散型随机变量。

▲离散型随机变量的表示：

设二维离散型随机变量(X,Y)所有可能取值为

，

，记

，

称为二维离散随机变量(X,Y)的分布律，或X和Y的联合分布律。

显然有

，

3ppt课件▲二维随机变量分为两种：离散型和连续型▲离散型随机联合分布律可用二维表格表示：

4ppt课件联合分布律可用二维表格表示：4ppt课件例1设随机变量X在1，2，3，4四个整数中等可能地取一个值，另一个随机变量Y在1~X中等可能地取一整数值。试求(X,Y)的分布律。

解：由题意可知，(X,Y)所有可能取值为(i,j),i,j=1,2,3,4。由乘法公式，对于是(X,Y)的分布律为

X1234Y

11/41/81/121/16201/81/121/163001/121/1640001/165ppt课件例1设随机变量X在1，2，3，4四个整数中等可能地解：▲离散型随机变量的联合分布函数为

(1.2)

▲

连续型随机变量概念

对于二维随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y)，若存在非负的函数f(x,y)使对任意x,y，有

则称(X,Y)是连续型的二维随机变量，函数f(x,y)称为二维随机变量(X,Y)的概率密度或X与Y的联合概率密度

6ppt课件▲离散型随机变量的联合分布函数为(1.2)▲连续▲联合密度函数的性质

1.

非负性：

2.

规范性：

3.

概率的计算公式：设G是xOy平面上的区域，(X,Y)

落在G内的概率为

(1.3)

4.

若f(x,y)在点(x,y)连续，则

▲若f(x,y)在点(x,y)连续，当和很小时，有

7ppt课件▲联合密度函数的性质1.非负性：2.规范性：例2设二维随机变量(X,Y)具有概率密度

（1）求分布函数F(x,y)；（2）求概率。

解：（1）因

因此

8ppt课件例2设二维随机变量(X,Y)具有概率密度（1）求分布函（2）将(X,Y)看作是平面上随机点的坐标，即

，G为xOy平面上y=x及其下方的部分。因此

▲

n维随机变量

设E是一个随机试验，其样本空间是，设，，，是定义在S上的随机变量，由它们构成的一个n维向量叫做n维随机向量或n维随机变量。

9ppt课件（2）将(X,Y)看作是平面上随机点的坐标，即，G为xOy对于任意n个实数，n元函数

称为n维随机变量的分布函数或随机变量的联合分布函数。

§2边缘分布

▲二维随机变量（X,Y）作为一个整体具有分布函数F(x,y)。

X和Y作为单个随机变量也各有其分布函数，记为和，依次称为二维随机变量(X,Y)关于X和关于Y

的边缘分布函数。

10ppt课件对于任意n个实数，n元函数称为n容易知道

(2.1)

同样

(2.2)

▲

对于离散随机变量：

因此，进而得到X的分布律

,同样，Y的分布律为

,11ppt课件容易知道(2.1)同样(2.2)▲对于离散随机变▲

边缘分布律：记

,,分别称和为(X,Y)关于X和关于Y的边缘分布律。

▲

对于连续型随机变量(X,Y)，设它的密度函数为f(x,y)，因

因此

(2.3)

12ppt课件▲边缘分布律：记,,分别称和同样

(2.4)

分别称为(X,Y)关于X和关于Y的边缘概率密度。

例1一整数N等可能地在1,2,3,…,10十个值中取一个值。设D=D(N)是能整除N的正整数的个数，F=F(N)是能整除N的素数的个数，试写出D和F的联合分布律，并求边缘分布律。

13ppt课件同样(2.4)分别称为(X,Y解：该试验的样本空间及D,F取值的情况列出如下：

样本点12345678910D1223242434F0111121112D的所有可能取值为1,2,3,4;F的所有可能取值为0,1,2。由已知条件，(D,F)取(i,j),i=1,2,3,4,j=0,1,2的概率为

等

其联合分布律及边缘分布律如右表所示：

1/1000004/102/101/100002/10

1/107/102/10

1/104/102/103/10

P{D=i}

012

1234

P{F=j}

DF114ppt课件解：该试验的样本空间及D,F取值的情况列出如下：样本点即分布律为：D1234F012pk0.10.40.20.3pk0.10.70.2例3设二维随机变量(X,Y)的概率密度为

其中，都是常数，且，则(X,Y)称为服从参数为的二维正态分布，

15ppt课件即分布律为：D123记为。求二维正态随机变量的边缘概率密度。

解：，因因此

令，则

16ppt课件记为同理

注：单由关于X和Y的边缘分布，不能确定(X,Y)的联合分布。

17ppt课件同理注：单由关于X和Y的边缘分布，不能确定(X,Y)的联合§3条件分布▲

离散型随机变量的条件分布

设(X,Y)为离散型随机变量，其分布律为

,(X,Y)关于X和关于Y的边缘分布律分别为

,,设，下面考虑在事件已发生的条件下事件发生的概率，即求事件

18ppt课件§3条件分布▲离散型随机变量的条件分布设(X,Y,的条件概率。因此

,▲如上的条件概率满足性质：

1．

2．

19ppt课件,的条件概率。因此,▲如上的条件概率满足性质：1．2定义

设(X,Y)是二维离散型随机变量，对于固定的j，若，则称

(3.1)，为在条件下随机变量X的条件分布律。

同样地，对于固定的i，若，则称

(3.2)

，为在条件下随机变量Y的条件分布律。

20ppt课件定义设(X,Y)是二维离散型随机变量，对于固定的j，(例2

一射手进行射击，击中目标的概率为,

射击直至击中目标两次为止。设以X表示首次击中目标所进行的射击次数，以Y表示总共进行的射击次数，试求X和Y的联合分布律及条件分布律。

解：由题意，

{Y=n}={在第n次射击时击中目标，且在第1次至第n-1次射击中恰有一次击中目标}

因各次射击相互独立，只要，概率为

，得到X和Y的联合分布律为

，21ppt课件例2一射手进行射击，击中目标的概率为容易计算

于是所求的条件分布律为

当时，

当时，

22ppt课件容易计算于是所求的条件分布律为当▲

二维连续型随机变量的条件分布

设(X,Y)是二维连续型随机变量，由于，因此不能直接利用条件概率公式定义“条件分布函数”

设(X,Y)的概率密度为f(x,y)，（X,Y）关于Y的边缘概率密度为。给定y，对于任意x和固定，考察条件概率

设，则

(3.3)23ppt课件▲二维连续型随机变量的条件分布设(X,Y)是二定义

设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)，(X,Y)关于

Y的边缘密度为。若对于固定的y，，则称为在Y=y的条件下X的条件概率密度，记为

(3.4)

称为在Y=y条件下，X的条件分布函数，记为

(3.5)

24ppt课件定义设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)，

类似地，可定义条件密度和条件分布

例3

设G是平面上的有界区域，其面积为A。若二维随机变量(X,Y)具有概率密度

则称(X,Y)在G上服从均匀分布。

现设(X,Y)在圆域：上服从均匀分布，求条件概率密度

25ppt课件类似地，可定义条件密度例3设G是平面上的有界区解：二维随机变量(X,Y)具有概率密度

且具有边缘概率密度

于是当时，有

26ppt课件解：二维随机变量(X,Y)具有概率密度且具有边缘概率密度§4相互独立的随机变量

定义

设F(x,y)及分别是二维随机变量(X,Y)

的分布函数及边缘分布函数。若对于所有x,y有

(4.1)即

（4.2）

则称随机变量X和Y是相互独立的。

设(X,Y)是连续型随机变量，分别为(X,Y)的概率密度和边缘概率密度，则X和Y相互独立的条件(4.2)等价于

(4.3)

几乎处处成立。

▲27ppt课件§4相互独立的随机变量定义设F(x,y)及当(X,Y)是离散型随机变量时，X和Y相互独立的条件(4.2)式等价于：对于(X,Y)所有可能的取值,有

(4.4)

例如，设离散随机变量X,Y具有联合分布律

▲01P{Y=j}1/62/61/21/62/61/21/32/31

XY12P{X=i}则有

因此X,Y相互独立。

28ppt课件当(X,Y)是离散型随机变量时，X和Y相互独立的条件(4.2设（X,Y）是二维正态随机变量，其概率密度为

其边缘概率密度的乘积为

因此，若，则对于所有，有反之，若X,Y相互独立，则。当时，有因此，。

★

正态分布的一个结论

29ppt课件设（X,Y）是二维正态随机变量，其概率密度为其边缘概率密度对于二维正态随机变量（X,Y）:X和Y相互独立的充分必要条件是参数。▲

一个常用结论

★

例子

例

一负责人到达办公室的时间均匀分布在8~12时，他的秘书到达办公室的时间均匀分布在7~9时，设他们两人到达的时间相互独立，求他们到达办公室的时间相差不超过5分钟（1/12小时）的概率。

解：设X和Y分别是负责人和他的秘书到达办公室的时间，由假设X和Y的概率密度分别为

，30ppt课件对于二维正态随机变量（X,Y）:▲一个常用结论★例因X和Y相互独立，故(X,Y)的概率密度为

因此，所求概率为

▲n维随机变量

1）

n维随机变量的分布函数：

若存在非负函数，使得

则称为的概率密度函数。

31ppt课件因X和Y相互独立，故(X,Y)的概率密度为因此，所求概率为2）

n维随机变量的边缘分布

关于X1，关于(X1,X2)等的边缘分布函数：

关于X1，关于(X1,X2)等的边缘密度函数：

3）独立性

称随机变量是相互独立的，若对一切，有32ppt课件2）n维随机变量的边缘分布关于X1，关于(X1,X2)等称与是相互独立的，如果对一切，，有

4．一个结果：

定理

设与相互独立，则和相互独立。又若是连续函数，则与相互独立。

33ppt课件称与是§5两个随机变量的函数的分布

（一）

的分布

设(X,Y)的概率密度为f(x,y)，则Z=X+Y的分布函数为

设积分区域为。考虑到变量代换

，则34ppt课件§5两个随机变量的函数的分布（一）于是，随机变量的概率密度为

（5.1）

同理，由X,Y的对称性，又有

（5.2）

特别地，当X和Y独立时，则（5.1）和（5.2）式分别为

（5.3）

（5.4）

(5.3)和(5.4)称为卷积公式，记为，即

35ppt课件于是，随机变量的概率密度为（5.1）同理，由X,Y的对称◎

一个重要例子

例1设X和Y是两个相互独立的随机变量，它们服从

N(0,1)分布，其概率密度为

求Z=X+Y的概率密度。

解：由(5.4)式，得

即

36ppt课件◎一个重要例子例1设X和Y是两个相互独立的随机变一般结论：有限个相互独立的正态随机变量的

线性组合仍然服从正态分布。

（二）

及

的分布

设X和Y相互独立，其分布函数为FX(x)和FY(y)，则

因此

(5.7)

类似地，

因此

(5.8)37ppt课件一般结论：有限个相互独立的正态随机变量的（二）更一般地，

的分布

（5.9）

的分布

（5.10）

38ppt课件更一般地，的分布（5.9）的分布（5.10）38p小结1）基本概念：随机向量，联合分布；2）重点：二维联合分布分布、联合分布律、联合密度；3）边缘分布及其求法：边缘分布律、边缘密度；4）条件分布律与条件密度；5）随机变量的独立性6）两个随机变量和的分布，最大最小随机变量的分布。39ppt课件小结1）基本概念：随机向量，联合分布；2）重点：二维联合40ppt课件40ppt课件第三章

多维随机变量及其分布

§1二维随机变量

▲实际问题：确定炮弹位置的坐标；观察儿童的身高和体重等等，都会产生二维随机变量。

定义：设E是一个随机试验，其样本空间S={e}，设X=X(e)

和Y=Y(e)是定义在S上的随机变量，由它构成的一个向量(X,Y)叫做二维随机向量或二维随机变量。

▲为了研究随机向量的统计性质，引入如下定义

定义：设(X,Y)是二维随机变量，对于任意实数x,y，二元函数

称为二维随机变量(X,Y)的分布函数或X和Y的联合分布函数。

41ppt课件第三章多维随机变量及其分布§1二维随机变量▲▲随机向量(X,Y)落入矩形的概率为

(1.1)▲分布函数具有如下性质：

1.

单调性：F(x,y)是变量x和y的不减函数：

2.有界性：，且

对固定x,；

对固定y,3.

右连续性：

4.

如下不等式成立：

42ppt课件▲随机向量(X,Y)落入矩形▲二维随机变量分为两种：离散型和连续型

▲离散型随机变量

如果随机变量(X,Y)的全部可能取到的不同值是有限或可列无限多对，则称(X,Y)是离散型随机变量。

▲离散型随机变量的表示：

设二维离散型随机变量(X,Y)所有可能取值为

，

，记

，

称为二维离散随机变量(X,Y)的分布律，或X和Y的联合分布律。

显然有

，

43ppt课件▲二维随机变量分为两种：离散型和连续型▲离散型随机联合分布律可用二维表格表示：

44ppt课件联合分布律可用二维表格表示：4ppt课件例1设随机变量X在1，2，3，4四个整数中等可能地取一个值，另一个随机变量Y在1~X中等可能地取一整数值。试求(X,Y)的分布律。

解：由题意可知，(X,Y)所有可能取值为(i,j),i,j=1,2,3,4。由乘法公式，对于是(X,Y)的分布律为

X1234Y

11/41/81/121/16201/81/121/163001/121/1640001/1645ppt课件例1设随机变量X在1，2，3，4四个整数中等可能地解：▲离散型随机变量的联合分布函数为

(1.2)

▲

连续型随机变量概念

对于二维随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y)，若存在非负的函数f(x,y)使对任意x,y，有

则称(X,Y)是连续型的二维随机变量，函数f(x,y)称为二维随机变量(X,Y)的概率密度或X与Y的联合概率密度

46ppt课件▲离散型随机变量的联合分布函数为(1.2)▲连续▲联合密度函数的性质

1.

非负性：

2.

规范性：

3.

概率的计算公式：设G是xOy平面上的区域，(X,Y)

落在G内的概率为

(1.3)

4.

若f(x,y)在点(x,y)连续，则

▲若f(x,y)在点(x,y)连续，当和很小时，有

47ppt课件▲联合密度函数的性质1.非负性：2.规范性：例2设二维随机变量(X,Y)具有概率密度

（1）求分布函数F(x,y)；（2）求概率。

解：（1）因

因此

48ppt课件例2设二维随机变量(X,Y)具有概率密度（1）求分布函（2）将(X,Y)看作是平面上随机点的坐标，即

，G为xOy平面上y=x及其下方的部分。因此

▲

n维随机变量

设E是一个随机试验，其样本空间是，设，，，是定义在S上的随机变量，由它们构成的一个n维向量叫做n维随机向量或n维随机变量。

49ppt课件（2）将(X,Y)看作是平面上随机点的坐标，即，G为xOy对于任意n个实数，n元函数

称为n维随机变量的分布函数或随机变量的联合分布函数。

§2边缘分布

▲二维随机变量（X,Y）作为一个整体具有分布函数F(x,y)。

X和Y作为单个随机变量也各有其分布函数，记为和，依次称为二维随机变量(X,Y)关于X和关于Y

的边缘分布函数。

50ppt课件对于任意n个实数，n元函数称为n容易知道

(2.1)

同样

(2.2)

▲

对于离散随机变量：

因此，进而得到X的分布律

,同样，Y的分布律为

,51ppt课件容易知道(2.1)同样(2.2)▲对于离散随机变▲

边缘分布律：记

,,分别称和为(X,Y)关于X和关于Y的边缘分布律。

▲

对于连续型随机变量(X,Y)，设它的密度函数为f(x,y)，因

因此

(2.3)

52ppt课件▲边缘分布律：记,,分别称和同样

(2.4)

分别称为(X,Y)关于X和关于Y的边缘概率密度。

例1一整数N等可能地在1,2,3,…,10十个值中取一个值。设D=D(N)是能整除N的正整数的个数，F=F(N)是能整除N的素数的个数，试写出D和F的联合分布律，并求边缘分布律。

53ppt课件同样(2.4)分别称为(X,Y解：该试验的样本空间及D,F取值的情况列出如下：

样本点12345678910D1223242434F0111121112D的所有可能取值为1,2,3,4;F的所有可能取值为0,1,2。由已知条件，(D,F)取(i,j),i=1,2,3,4,j=0,1,2的概率为

等

其联合分布律及边缘分布律如右表所示：

1/1000004/102/101/100002/10

1/107/102/10

1/104/102/103/10

P{D=i}

012

1234

P{F=j}

DF154ppt课件解：该试验的样本空间及D,F取值的情况列出如下：样本点即分布律为：D1234F012pk0.10.40.20.3pk0.10.70.2例3设二维随机变量(X,Y)的概率密度为

其中，都是常数，且，则(X,Y)称为服从参数为的二维正态分布，

55ppt课件即分布律为：D123记为。求二维正态随机变量的边缘概率密度。

解：，因因此

令，则

56ppt课件记为同理

注：单由关于X和Y的边缘分布，不能确定(X,Y)的联合分布。

57ppt课件同理注：单由关于X和Y的边缘分布，不能确定(X,Y)的联合§3条件分布▲

离散型随机变量的条件分布

设(X,Y)为离散型随机变量，其分布律为

,(X,Y)关于X和关于Y的边缘分布律分别为

,,设，下面考虑在事件已发生的条件下事件发生的概率，即求事件

58ppt课件§3条件分布▲离散型随机变量的条件分布设(X,Y,的条件概率。因此

,▲如上的条件概率满足性质：

1．

2．

59ppt课件,的条件概率。因此,▲如上的条件概率满足性质：1．2定义

设(X,Y)是二维离散型随机变量，对于固定的j，若，则称

(3.1)，为在条件下随机变量X的条件分布律。

同样地，对于固定的i，若，则称

(3.2)

，为在条件下随机变量Y的条件分布律。

60ppt课件定义设(X,Y)是二维离散型随机变量，对于固定的j，(例2

一射手进行射击，击中目标的概率为,

射击直至击中目标两次为止。设以X表示首次击中目标所进行的射击次数，以Y表示总共进行的射击次数，试求X和Y的联合分布律及条件分布律。

解：由题意，

{Y=n}={在第n次射击时击中目标，且在第1次至第n-1次射击中恰有一次击中目标}

因各次射击相互独立，只要，概率为

，得到X和Y的联合分布律为

，61ppt课件例2一射手进行射击，击中目标的概率为容易计算

于是所求的条件分布律为

当时，

当时，

62ppt课件容易计算于是所求的条件分布律为当▲

二维连续型随机变量的条件分布

设(X,Y)是二维连续型随机变量，由于，因此不能直接利用条件概率公式定义“条件分布函数”

设(X,Y)的概率密度为f(x,y)，（X,Y）关于Y的边缘概率密度为。给定y，对于任意x和固定，考察条件概率

设，则

(3.3)63ppt课件▲二维连续型随机变量的条件分布设(X,Y)是二定义

设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)，(X,Y)关于

Y的边缘密度为。若对于固定的y，，则称为在Y=y的条件下X的条件概率密度，记为

(3.4)

称为在Y=y条件下，X的条件分布函数，记为

(3.5)

64ppt课件定义设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)，

类似地，可定义条件密度和条件分布

例3

设G是平面上的有界区域，其面积为A。若二维随机变量(X,Y)具有概率密度

则称(X,Y)在G上服从均匀分布。

现设(X,Y)在圆域：上服从均匀分布，求条件概率密度

65ppt课件类似地，可定义条件密度例3设G是平面上的有界区解：二维随机变量(X,Y)具有概率密度

且具有边缘概率密度

于是当时，有

66ppt课件解：二维随机变量(X,Y)具有概率密度且具有边缘概率密度§4相互独立的随机变量

定义

设F(x,y)及分别是二维随机变量(X,Y)

的分布函数及边缘分布函数。若对于所有x,y有

(4.1)即

（4.2）

则称随机变量X和Y是相互独立的。

设(X,Y)是连续型随机变量，分别为(X,Y)的概率密度和边缘概率密度，则X和Y相互独立的条件(4.2)等价于

(4.3)

几乎处处成立。

▲67ppt课件§4相互独立的随机变量定义设F(x,y)及当(X,Y)是离散型随机变量时，X和Y相互独立的条件(4.2)式等价于：对于(X,Y)所有可能的取值,有

(4.4)

例如，设离散随机变量X,Y具有联合分布律

▲01P{Y=j}1/62/61/21/62/61/21/32/31

XY12P{X=i}则有

因此X,Y相互独立。

68ppt课件当(X,Y)是离散型随机变量时，X和Y相互独立的条件(4.2设（X,Y）是二维正态随机变量，其概率密度为

其边缘概率密度的乘积为

因此，若，则对于所有，有反之，若X,Y相互独立，则。当时，有因此，。

★

正态分布的一个结论

69ppt课件设（X,Y）是二维正态随机变量，其概率密度为其边缘概率密度对于二维正态随机变量（X,Y）:X和Y相互独立的充分必要条件是参数。▲

一个常用结论

★

例子

例

一负责人到达办公室的时间均匀分布在8~12时，他的秘书到达办公室的时间均匀分布在7~9时，设他们两人到达的时间相互独立，求他们到达办公室的时间相差不超过5分钟（1/12小时）的概率。

解：设X和Y分别是负责人和他的秘书到达办公室的时间，