射影几何在中学数学的应用剖析课件

射影几何的初等应用射影几何的初等应用1目录仿射变换交比的应用Desargues透视定理123提纲目录仿射变换交比的应用Desargues透视定理1232其中(x,y)与(x',y')为任一对对应点P,P'的坐标,矩阵满足|A|0,称为仿射变换的矩阵.仿射变换明显，椭圆在仿射变换下可变换为圆，平行四边形在仿射变换下可变换为正方形其中(x,y)与(x',y')为任一对对应点P,P'3仿射变换的基本性质:(1)保持直线的平行线；(2)保持同素性和结合性；(3)保持共线三点的单比,从而保持两平行线段的比值不变.仿射变换定理：两个三角形的面积之比是仿射不变量；推论1：两个多边形的面积之比是仿射不变量；推论2：两个封闭图形的面积之比是仿射不变量；仿射变换的基本性质:仿射变换定理：两个三角4椭圆变为圆的变换不是唯一的，并且在这些变换下，椭圆中原有直线变换为直线，原点变换为原点，切线变换为切线，直线与直线之间的关系保持不变（平行直线变换为平行直线，相交直线变换为相交直线），点与线的关系保持不变，同一直线上的两条线段之比不变（单比不变），从而线段的中点保持不变，面积之比在变换下不变，两直线斜率只比不变，等等；但是直线的倾斜角、斜率，两点间的距离，两直线间的夹角等则发生改变仿射变换椭圆变为圆的变换不是唯一的，并且在这些变换下5仿射变换例1在平行四边形ABCD中，点E、F分别在线段BC、CD上，且EF//BD,求证：仿射变换例1在平行四边形ABCD中，点6仿射变换

例2求椭圆的面积仿射变换例2求椭圆的7仿射变换

半径为a的圆的内接三角形的面积的最大值是多少呢？

椭圆的内接四边形面积的最大值是多少呢？一般的，椭圆的内接n边形的面积的最大值多少呢？

例3求椭圆内接△ABC的面积的最大值思考一思考二一般的，椭圆的外切n边形的面积的最小值是多少呢？仿射变换半径为a的圆的内接三角形的面积的最大值8椭圆变为圆的变换不是唯一的，并且在这些变换下，椭圆中原有直线变换为直线，原点变换为原点，切线变换为切线，直线与直线之间的关系保持不变（平行直线变换为平行直线，相交直线变换为相交直线），点与线的关系保持不变，同一直线上的两条线段之比不变（单比不变），面积之比在变换下不变，两直线斜率只比不变，等等；但是直线的倾斜角、斜率，两点间的距离，两直线间的夹角等则发生改变仿射变换椭圆变为圆的变换不是唯一的，并且在这些变换下9仿射变换例5设A、B是椭圆长轴的两个端点，C是椭圆的中心，椭圆在其上的一点P处的切线与点A处的切线相交于点Y，则CY//BP仿射变换例5设A、B是椭圆长轴的两个端10仿射变换例4求证：椭圆的任意一组平行弦的中点的轨迹是一条经过中心的线段，并且在这线段的两个端点处的切线平行于这些弦仿射变换例4求证：椭圆的任意一组平行弦11仿射变换例6（2009年辽宁卷数学理第20题）已知椭圆的方程为，点A的坐标为（1,3/2），右焦点为F，设M、N是椭圆上的两个动点，如果直线AM的斜率与AN的斜率互为相反数，证明直线MN的斜率为定值，并求出这个定值仿射变换例6（2009年辽宁卷数学理第12仿射变换仿射变换13目录仿射变换交比的应用Desargues透视定理123提纲目录仿射变换交比的应用Desargues透视定理12314交比的初等几何意义

注：如果P4=P,而P1,P2,P3为通常点,则可合理地规定：于是有,(P1P2,P3P)=(P1P2P3)为前三个通常点的简单比.交比交比的初等几何意义注：如果P4=P,而P1,15

定理1

平面上五点(其中无三点共线)唯一确定一条非退化二阶曲线。

定理2二阶曲线上四个定点与其上任意一点连线所得四直线的交比为定值。

注：定理2对于解析几何中的各种二次曲线都适用。二次曲线的射影定义定理1平面上五点(其中无三点共线)唯一确定一16

例7过圆的弦AB的中点O任作另外两弦CE,DF，连结EF,CD交AB于G,H。求证：GO=OH。(蝴蝶定理)交比例7过圆的弦AB的中点O任作另外两弦CE17交比

如图：AD平分BC于点O，即OB=OD，过O的两条直线EF和GH，与四边交于E、F、G、H，连接GF和EH，分别交BD于点I、J则有OI=OJ

椭圆的长轴与x轴平行，短轴在y轴上，中心在y轴的正半轴上,过原点的两条直线分别交椭圆于点Ｃ,D和点Ｇ,Ｈ,设CH交X轴于点P，GD交X轴于点Q,则有OP=OQ交比如图：AD平分BC于点O，即OB=OD，过O的两18

例7过圆的弦AB的中点O任作另外两弦CE,DF，连结EF,CD交AB于G,H。求证：GO=OH。(蝴蝶定理)交比例7过圆的弦AB的中点O任作另外两弦CE19

例7过圆的弦AB的中点O任作另外两弦CE,DF，连结EF,CD交AB于G,H。求证：GO=OH。(蝴蝶定理)

证明因为A,F,C,B为圆上四定点,则由二次曲线的定义，有以直线AB截这两个线束，得由交比的初等几何表示式，有所以同理可证，G'O=OH'.交比例7过圆的弦AB的中点O任作另外两弦CE20调和比是最重要的交比！对于(P1P2,P3P4)=–1,则称点组为调和点组此时,若P4=P,而P1,P2,P3为通常点,则这表示P3为P1P2的中点.

定理

设P1,P2,P为共线的通常点，P为此直线上的无穷远点，则P为P1P2的中点交比利用初等几何意义,有调和比是最重要的交比！对于(P1P2,P3P4)=–1,21定理

在完全四点形的每条边上有一个调和点组，其中一对为顶点，另一对中一个为对边点，一个为该边与对边三点形的边的交点。比如在边AB上，有完全四点形的调和性比如在边CD上，有考察完全四点形ABCD定理在完全四点形的每条边上有一个调和点组，22

例8证明：梯形两腰延长线的交点与对角线的交点连线平分上下底。几何证明题

证明如图，ABCD为梯形，AD//BC,E,F分别为两腰和对角线的交点。EF交AD,BC于P,Q。只要证明P,Q分别是AD,BC的中点。考察完全四点形ABCD。设ADBC=G，由上述定理，有(BC,QG)=–1，从而得出Q为BC的中点。同理有，(AD,PG)=–1，所以P为AD的中点。完全四点形的调和性例8证明：梯形两腰延长线的交点与对角线的23目录仿射变换交比的应用Desargues透视定理123提纲目录仿射变换交比的应用Desargues透视定理123242、Desargues透视定理Desargues透视定理迪沙格定理

如果两个三点形对应顶点的连线交于一点，则对应边的交点共线。

注:Desargues定理与其逆定理实际是一对对偶命题.迪沙格定理的逆定理如果两个三线形的对应边的交点共线，则对应顶点的连线交于一点。2、Desargues透视定理Desargues透视定理25作图题

例9.已知平面上二直线a,b,P为不在a,b上的一点.不定出a,b的交点ab,过P求作直线c,使c经过ab.作法：(1)在a,b外取异于P的一点O.过O作三直线l1,l2,l3.设l1,l2,分别交a,b于A1,A2;B1,B2.(2)连PA1,PB1分别交l3于A3,B3.(3)连A2A3,B2B3交于Q.(4)PQ=c为所求直线.

证明：由作法,三点形A1A2A3,B1B2B3有透视中心O.故其对应边的交点P=A1A3B1B3,Q=A2A3B2B3以及ab三点共线,即c=PQ经过ab.Desargues透视定理作图题例9.已知平面上二直线a,b,P26例10已知直线a,b,c,d如图，试作一直线经过a×b和c×d。Desargues透视定理例10已知直线a,b,c,d如图，试作一直线27用笛沙格定理作图两次使用上例的思想思想Desargues透视定理用笛沙格定理作图两次使用上例的思想思想Desargues透视28例11证明三角形的三条中线共点Desargues透视定理证明如图，设△ABC的三边中点分别是D,E,F,则EF//BC,DE//AB,DF//AC，对△ABC和△DEF,它们的对应边交点共无穷远直线，由Desargues定理可知，其对应顶点的连线AD,BE,CF共点O例11证明三角形的三条中线共点Desargues透29射影几何的初等应用射影几何的初等应用30目录仿射变换交比的应用Desargues透视定理123提纲目录仿射变换交比的应用Desargues透视定理12331其中(x,y)与(x',y')为任一对对应点P,P'的坐标,矩阵满足|A|0,称为仿射变换的矩阵.仿射变换明显，椭圆在仿射变换下可变换为圆，平行四边形在仿射变换下可变换为正方形其中(x,y)与(x',y')为任一对对应点P,P'32仿射变换的基本性质:(1)保持直线的平行线；(2)保持同素性和结合性；(3)保持共线三点的单比,从而保持两平行线段的比值不变.仿射变换定理：两个三角形的面积之比是仿射不变量；推论1：两个多边形的面积之比是仿射不变量；推论2：两个封闭图形的面积之比是仿射不变量；仿射变换的基本性质:仿射变换定理：两个三角33椭圆变为圆的变换不是唯一的，并且在这些变换下，椭圆中原有直线变换为直线，原点变换为原点，切线变换为切线，直线与直线之间的关系保持不变（平行直线变换为平行直线，相交直线变换为相交直线），点与线的关系保持不变，同一直线上的两条线段之比不变（单比不变），从而线段的中点保持不变，面积之比在变换下不变，两直线斜率只比不变，等等；但是直线的倾斜角、斜率，两点间的距离，两直线间的夹角等则发生改变仿射变换椭圆变为圆的变换不是唯一的，并且在这些变换下34仿射变换例1在平行四边形ABCD中，点E、F分别在线段BC、CD上，且EF//BD,求证：仿射变换例1在平行四边形ABCD中，点35仿射变换

例2求椭圆的面积仿射变换例2求椭圆的36仿射变换

半径为a的圆的内接三角形的面积的最大值是多少呢？

椭圆的内接四边形面积的最大值是多少呢？一般的，椭圆的内接n边形的面积的最大值多少呢？

例3求椭圆内接△ABC的面积的最大值思考一思考二一般的，椭圆的外切n边形的面积的最小值是多少呢？仿射变换半径为a的圆的内接三角形的面积的最大值37椭圆变为圆的变换不是唯一的，并且在这些变换下，椭圆中原有直线变换为直线，原点变换为原点，切线变换为切线，直线与直线之间的关系保持不变（平行直线变换为平行直线，相交直线变换为相交直线），点与线的关系保持不变，同一直线上的两条线段之比不变（单比不变），面积之比在变换下不变，两直线斜率只比不变，等等；但是直线的倾斜角、斜率，两点间的距离，两直线间的夹角等则发生改变仿射变换椭圆变为圆的变换不是唯一的，并且在这些变换下38仿射变换例5设A、B是椭圆长轴的两个端点，C是椭圆的中心，椭圆在其上的一点P处的切线与点A处的切线相交于点Y，则CY//BP仿射变换例5设A、B是椭圆长轴的两个端39仿射变换例4求证：椭圆的任意一组平行弦的中点的轨迹是一条经过中心的线段，并且在这线段的两个端点处的切线平行于这些弦仿射变换例4求证：椭圆的任意一组平行弦40仿射变换例6（2009年辽宁卷数学理第20题）已知椭圆的方程为，点A的坐标为（1,3/2），右焦点为F，设M、N是椭圆上的两个动点，如果直线AM的斜率与AN的斜率互为相反数，证明直线MN的斜率为定值，并求出这个定值仿射变换例6（2009年辽宁卷数学理第41仿射变换仿射变换42目录仿射变换交比的应用Desargues透视定理123提纲目录仿射变换交比的应用Desargues透视定理12343交比的初等几何意义

注：如果P4=P,而P1,P2,P3为通常点,则可合理地规定：于是有,(P1P2,P3P)=(P1P2P3)为前三个通常点的简单比.交比交比的初等几何意义注：如果P4=P,而P1,44

定理1

平面上五点(其中无三点共线)唯一确定一条非退化二阶曲线。

定理2二阶曲线上四个定点与其上任意一点连线所得四直线的交比为定值。

注：定理2对于解析几何中的各种二次曲线都适用。二次曲线的射影定义定理1平面上五点(其中无三点共线)唯一确定一45

例7过圆的弦AB的中点O任作另外两弦CE,DF，连结EF,CD交AB于G,H。求证：GO=OH。(蝴蝶定理)交比例7过圆的弦AB的中点O任作另外两弦CE46交比

如图：AD平分BC于点O，即OB=OD，过O的两条直线EF和GH，与四边交于E、F、G、H，连接GF和EH，分别交BD于点I、J则有OI=OJ

椭圆的长轴与x轴平行，短轴在y轴上，中心在y轴的正半轴上,过原点的两条直线分别交椭圆于点Ｃ,D和点Ｇ,Ｈ,设CH交X轴于点P，GD交X轴于点Q,则有OP=OQ交比如图：AD平分BC于点O，即OB=OD，过O的两47

例7过圆的弦AB的中点O任作另外两弦CE,DF，连结EF,CD交AB于G,H。求证：GO=OH。(蝴蝶定理)交比例7过圆的弦AB的中点O任作另外两弦CE48

例7过圆的弦AB的中点O任作另外两弦CE,DF，连结EF,CD交AB于G,H。求证：GO=OH。(蝴蝶定理)

证明因为A,F,C,B为圆上四定点,则由二次曲线的定义，有以直线AB截这两个线束，得由交比的初等几何表示式，有所以同理可证，G'O=OH'.交比例7过圆的弦AB的中点O任作另外两弦CE49调和比是最重要的交比！对于(P1P2,P3P4)=–1,则称点组为调和点组此时,若P4=P,而P1,P2,P3为通常点,则这表示P3为P1P2的中点.

定理

设P1,P2,P为共线的通常点，P为此直线上的无穷远点，则P为P1P2的中点交比利用初等几何意义,有调和比是最重要的交比！对于(P1P2,P3P4)=–1,50定理

在完全四点形的每条边上有一个调和点组，其中一对为顶点，另一对中一个为对边点，一个为该边与对边三点形的边的交点。比如在边AB上，有完全四点形的调和性比如在边CD上，有考察完全四点形ABCD定理在完全四点形的每条边上有一个调和点组，51

例8证明：梯形两腰延长线的交点与对角线的交点连线平分上下底。几何证明题

证明如图，ABCD为梯形，AD//BC,E,F分别为两腰和对角线的交点。EF交AD,BC于P,Q。只要证明P,Q分别是AD,BC的中点。考察完全四点形ABCD。设ADBC=G，由上述定理，有(BC,QG)=–1，从而得出Q为BC的中点。同理有，(AD,PG)=–1，所以P为AD的中点。完全四点形的调和性例8证明：梯形两腰延长线的交点与对角线的52目录仿射变换交比的应用Desargues透视定理123提纲目录仿射变换交比的应用Desargues透视定理123532、Desargues透视定理Desargues透视定理迪沙格定理

如果两个三点形对应顶点的连线交于一点，则对应边的交点共线。

注:Desargues定理与其逆定理实际是一对对偶命题.迪沙格定理的逆定理如果两个三线形的对应