对非齐次偏微分方程的求解 齐次边界条件下非齐次发展方程的混合问题

wordwordPAGEPAGE11/11对非齐次偏微分方程的求解齐次边界条件下非齐次开展方程的混合问题〔一〕冲量定理法〔二〕傅立叶级数法齐次边界条件下非齐次场位方程的混合问题〔一〕方程和边界条件同时齐次化非齐次方程的求解思路用分解原理得出对应的齐次问题解出齐次问题求出任意非齐次特解叠加成非齐次解方法一冲量定理法取零值)。根本思路：利用叠加原理将受迫振动的问题转化为〔无穷多个〕自由振动问题的叠加.u a2u f(x,t)tt xxu 0, ux0

0xlu

t

(x),

tt0

(x)试设uuu1 22u11

2u

2u

22u 222t

a2

1,x2

t

a2

x2

x,t, (x

u(x,0) 11

，

(x,0) .1u ,0) (x), t (x), u(x,0)0, 1

0, 2 tu(0,t)0,u1

(l,t)0

u(0,t)0,u2

(l,t)0物理意义：在时间0—t多前后相继〔无穷多个〕的“瞬时〞力引起的物理过程的线性叠加。2t2

a2

2x2

, t

2vt2

a2

2vx2

, t0,

f(x,)d,

v 0,v

f(x,), t

tt

t

tt

0, 0

v0,v0x0

xl

x0

xl相应的，我们也可以把位移u(x,t)也表示为u(x,t)tv(x,t;)d，2 0如此v(x,t;)v(x,t,)就是定解问题2t2

a2

2x2

, t

2vt2

a2

2vx2

, t0,

f(x,)d,

v 0,v

f(x,), t

tt

t

tt

0, 0

v0,v0x0

xl

x0

xl时刻，其全部效果只是使得弦在时刻获得一个瞬时速度.那么由偏微分方程的积分02

dta2

02vdt

f(x,(t)d0

t

0x2

0vv(x,t,)t令t1

t

t

f(x,)如此定解问题就可以写成这种形式〔t0简写成t〕2vt1

a2

2vx2

, tv 0,v

f(x,), t0 t 1

t01v0,v0x0 xl解方程的其次项，又算入初速度！总结一下，在上面的过程中，冲量定理就把求解非齐次方程、齐次边界条求解，最后将其叠加v(x,t)

a t sin xBn 1 Bn1

l 1 lv(x,t)

B

asinxn其中

n1)

n llf(,)sin

ldn a 0 lu(x,t)tv(x,t;tB)sinat)sin

xd2 0 0 n l l)n1)u(x,t)

cosat

sinat)sin

x (n1,2,3,1uu1

n n1u2

n l l例题1求定解问题2ut2

a2

2ux2

Asint，0xl， t0，0ux0u

0， ut0ut

xl

0， t0，0，0xl,t0aA0

t0、均为常数解：用冲量定理法进展求解，此时的v(x,t;)应当满足定解问题2vt2

a2

2vx2

， 0xl， t，vx0

0，v

xl

0， t，vt

0

vtvt

Asin ，0xl，0即可得出定解问题的一般解v(x,t;)Csin

a(t)Dcosna(t)sinnx n ln1

n l l根据题意条件可得D0，nC

2 Asinl

xdx

2Al0

1(1nsinn a 0 0 l )2a所以，综上可得u(x,t)tv(x,t;)d04Al 10

sin2n1xtsinsin2n1at)2

n0

(2n1)2 l 0 l4Al2 1 100

sin2n1x2

n0

(2n1)2

(2n1a2l)2 l(2nasin(l)sin

2n1atl 方法二：傅立叶级数法前提条件：齐次边界条件下非齐次开展方程的混合问题，必须是齐次的边界条件中心思想：首先要想方法找到一组本证函数Xn

(x),n函数是完备的，那么就可以将u(x,t)以与原非齐次方程的非齐次项f(x,t)，都按照本征函数展开n

(x),n为为u(x,t)Tn

(t)Xn

(x)n根本函数族Xn(x)为该定解问题的齐次方程在所给齐次边界条件下的本征函数注意：傅里叶系数Tn

(t)不是常数，是时间t的函数。设 u(x,t)Vx,tWx,t2V

a2

2V

f(x,t), 0xl,t

2W

a2

2W2 x2

2 x2(0,t)V(l,t)

t0,

(0,t)W(l,t)0,

x,0)

V(x,0)t

0, 0

xl,

x,0)(

x),(x,0)t

(x)W(x,t)的解可以直接由别离变量法求得W(x,t)Ccosat

sinat)sinx (n1,2,3,n ln1

n l l)由于V)n

(t)是一元函数，满足常微分方程，比求偏微分方程简单，因此只需设法求出V(t即可.n2Vt2

a2

2Vx2

f(x,t), 0xl,t0,(0,t)V(l,t) V(x,0)

t0,V(x,0)

t 0, 0xl,解：①相应的齐次问题的固有函数X(x)sinxn l②设Vn1

v(t)sinn

l3代入定解问题中vt)sinx

a

n22

v(t)sin

xf(x,t)n l

l2 n l n1 n1

n22

n1

a2

v(t)sinl2 n

xl

n1

f(t)sin xn lf(x,t)n1

f(t)sinn

lf(t)2lf(x,t)sinnxdxn l 0 l再根据本征函数的正交性，就可以得到Vn

(t)所满足的常微分方程v(t)a2n

n22vl2

(t)fn

(t)0将代入初始条件V(x,0)

v

x

V(x,0)

v

nx0n l t n ln1 n1根据本征函数的正交性，得v(0)0v(0)0n n运用求解非齐次常微分方程的常数变易法解出vn

(t).例题1求如下定解问题u

2ut

a2

x2

sin

0xl,t0u(0,t)

u(l,t)

0, t0 x xu(x,0)0,解：先解对应的齐次问题

0xlut

a2

2ux2

0xl,t0u(0,t)u(l,t)

0, t0 x xu(x,0)0,设 u(x,t)X(x)T(t)代入 Ta2TX

0xl令 T XXXX0， Ta2T0XX0 0xl代入边界条件 X(0)0, X(l)0当20XAexBexAB0X0当0XAxBXB0当20XAsinxBcosxn22l ,n1,2,3,n n X Bn

cosnx,n1,2,3,lut

a2

2ux2

sin

0xl,t0u(0,t)u(l,t)

0, t0 x xu(x,0)0,

0xlX Bn

cosx,n0,1,2,3,lun0

v(t)cosn

l v(t)a2

n22

v(t)cosnxsintnn0

l2 n lu(x,0)n0

vn

nx0lv(0)0n当n0v(t)sint0v(t)10

costCv(t)10

cost当n0v(t)a2n

n22vl2

(t)0v(t)n

n22tl2v(t)0n得 u

1cost方法三：方程和边界条件同时齐次化齐次方程的特解之和。将偏微分方程和边界条件同时齐次化。u(x,t)v(x,t)(x,t)，界条件不变。解方程求得的特解v(x,t)f(xt)解：通常，首先求出原非齐次方程的一个特解v(x,t)2u2

a2

2ux2

f(x,t).试设 u(x,t)v(x,t)(x,t)，如此(x,t)便是对应齐次偏微分方程的解,即 2t2

a2

20x2为便于用别离变量法求解，让(x,t)满足如下条件(x,t)x00, (x,t)xl0.所以，我们要寻求的特解v(x,t)还应满足齐次边界条件,v(x,t)x00, v(x,t)xl0。一旦求得了这样的特解，就可以求出(x,t)的一般解(x,t)

sinn

at

cosn

at)sin

x，n ln1所以

n l lu(x,t)v(x,t)

sinn

at

cosn

at)sin

x，代入初始条件，

n ln1

n l ln1

Dsinxv(x,t) ，n l t0利用本证函数的正交归一性，定出叠加系数n

2 a

v(xv(x,t)t

sinnl

xdx，2lv(x,0)sinxdx.n l 0 l这种解法便是方程和边界条件同时齐次化.13求定解问题2ut2

Psinta2

2ux2

， 0xl，t0，u 0， ututu 0，t0

0， t0，xl0，0xl，t0其中aA与均为常数.0解：设u(x,t)v(x,t)(x,t)，根据题意，将齐次化函数v(x,t)化为v(x,t)f(x)sint.使得v(x,t)满足非齐次方程与齐次边界条件，2v

Psinta2

2v

，0xlt0，t2 x2v 0， v 0，t0，x0 xlf(x，使得2f(x)a2f''(x)P，f(0)0， f(l)0 .如此这个非齐次常微分方程的通解为f(x)P2

M

xNcosxa a代入齐次边界条件可以得出NP2于是

，MP2

tanl.2aP f(x)21cosaxtan2asinaxcos(cos((xl)a))22aP21 . 这样就能导出(x,t)所满足的定解问题，2t2

a2

2x2

，0xl，t0， 0, 0，t0x0 xlt0

0

tt

f(x)，0xl，它的一般解为(x,t)Csin

atDcosnatsinnx， n ln1

n l l利用上面的初始条件就可以定出D0，nC n a

f(x)sin l可