物理习题指导

第一章习题指导1－13由于风向变化，一帆船不断改变航向。它先沿北偏东行驶，然后北偏西行驶，最后又沿北偏东行驶。上述航程经历了hmin。

求：(1)此期间帆船的总位移；

(2)此期间帆船的平均速度；

(3)如果在整个航程中速率不变，求速率。指导：解此题应先建立平面直角坐标系，将每一段位移用坐标分量、表示，然后叠加

总位移为；再由定义式求平均速度和速率，式中。

1－14根据例1－1算出的运动学方程，计算小船在该坐标系中的速度和加速度。指导：此题由例1－1算出的运动学方程对时间求一阶导数

二阶导数

可得速度和加速度。

1－15

一质点的初始位置为，它的初速度。此质点以恒加速度运动。

(1)什么时刻质点的坐标为最大值？

(2)求该时刻质点的位置矢量。

[提示：此质点在和坐标轴上的投影点都是匀变速直线运动。]指导：(1)这是求极值的问题，要求坐标的最大值，则，即，由匀变速直线运动的公式解出坐标为最大值时的时间。

(2)将代入式，中，求出时刻和质点的位置。1－16某质点的运动学方程为

(1)写出此质点的速度矢量式；

(2)求它的速率表达式；

(3)求此质点在前内走过的路程；

(4)求它的加速度矢量式；

(5)求该质点的法向加速度和切向加速度。指导：从运动方程可知，质点作圆周运动。可直接由定义式，

，，，，求出各量。1－17

(1)设题1－14中船的质量为，求船所受的合力的大小；

(2)设题1－15中质点的质量为，求该质点所受的合力的矢量式；

(3)设题1－16中质点的质量为，求该质点所受的法向力和切向力。指导：由于各物体的加速度均已知，所以可直接由，，

求解。1－18有一定滑轮，半径为，沿轮周绕着一根绳子，设悬在绳子一端的物体按的规律运动，绳子和滑轮之间没有滑动。求轮周上任一点在时刻的速度、切向加速度、法向加速度和总加速度。指导：由于轮周上任一点速度大小和物体的速率相同，所以可由定义式速度，切向加速度，法向加速度，总加速度求解。1－19将质量为小球系在倾角为的光滑斜面上，如图所示。当斜面以加速度沿水平向左运动时,求：

(1)绳的张力；

(2)斜面对球的支持力；

(3)当加速度至少多大时,斜面对球的支持力为零；

(4)当加速度至少多大时,绳的张力为零。指导：显然，此题应以地面为参照系由牛顿第二定律求解。应先受力分析，在平行于斜面和垂直于斜面两个方向列出动力学方程

式中重力，可

(1)求解出绳的张力，

(2)解出斜面给小球的正压力，

(3)将代入可得斜面运动的加速度，

(4)将代入可得绳的张力为零时斜面运动的最小加速度。

1－20质量为的物体系于长度为的绳的一端，在竖直平面内绕绳子的另一端作圆周运动。设时刻物体速度的大小为,绳子与竖直方向成角,如图所示。求时刻绳中的张力和物体的切向加速度。指导：此题应以小球为研究对象，小球作圆周运动，用切向坐标和法向坐标讨论较为方便。在切向和法向上列出动力学方程和，解出与，绳对小球的拉力与绳中的张力是一对作用力和反作用力，大小相等方向相反。1－21

有一飞机在俯冲后沿一竖直圆周轨道飞行，设飞机的速率恒定为。为使飞机的加速度不超过重力加速度的倍，此圆周轨道的最小半径应为多少？设驾驶员的质量为，在最小圆周轨道的最低点，他对座椅的压力为多大？指导：(1)飞机在竖直平面作匀速圆周运动，其加速度沿法向，由可知，

当飞机的加速度取最大值时，圆周轨道半径最小，为；

(2)在轨道最低点驾驶员受的正压力(支撑力)和重力都沿法向，由求出正压力，它与驾驶员对座椅的压力大小相等，是一对作用力与反作用力。*1－22一质量为的质点沿直线运动。开始时刻速度为。设它所受阻力与速度的大小成正比，即为正的常量。求速度随时间变化的函数关系。

[提示：由牛顿第二定律，得，再将上式变换为，然后等式两边分别积分。]指导：此题质点受变力运动，其加速度是变量，不可用匀变速直线运动的公式求解。应由牛顿第二定律，得，再将上式变换为，因时速度为，上式两边分别积分，，得，。第二章习题指导2－15用蒸汽锤对金属加工，锤的质量为，打击时的速度为，打击时间为。求汽锤对金属的打击力。指导：在打击中，锤因受到工件的反冲击，速度发生了变化，打击结束时速度为零,由质点的动量定理，可求得锤受到的冲击力

，汽锤对金属的打击力与锤受到的冲击力是一对作用力与反作用力，。2—16一质量为的人，以的速度跳上一辆迎面开来速度为的小车，小车的质量为。求人跳上小车后，人和车共同运动的速度。指导：显然，此题用动量守恒定律解，但解此题需先选定坐标轴的正方向，确定各物体速度的正负，若以人的动量的指向为坐标轴的正方向，由动量守恒定律，式中，，可解出结果。式中“－”表示方向与人上车前的速度的方向相反，而与小车原来的运动方向相同。

2－17高空走钢丝演员的质量为，为安全起见,演员腰上系一根长的弹性的安全带，弹性缓冲时间为，当演员不慎跌下时，在缓冲时间内安全带给演员的平均作用力有多大？若缓冲时间为,平均作用力为多大？指导：该题分两个过程讨论，演员先从高度为处作自由落体运动，由求出安全带刚拉直时演员的速度，再由动量定理求出演员所受的合力，注意，此时演员受向上的拉力和向下的重力作用，以速度的方向为正方向，合力，所以，题中要求的平均作用力仅为安全带给演员的平均拉力为。2－18一静止物体，由于内部作用而炸裂成三块，其中两块质量相等，并以相同的速率沿互相垂直的方向分开，第三块的质量倍于其他任一块的质量。求第三块的速度大小和方向。指导：物体炸裂时的内力远大于物体所受的外力重力，所以系统动量守恒。三块的动量和为。可用两种方法求解，

一是解析法：以互相垂直的两块的动量方向为坐标轴的、轴方向，则第三块的动量，

得第三块的速度大小为，其方向用动量与轴夹角表示。

二是矢量法：用矢量三角形解，如图，第三块速度的方向与其他两块的速度方向均成角，由矢量图可得，可求出第三块的速度大小。

2－19一个不遵守虎克定律的实际弹簧,它的弹性力与形变的关系为

式中，。

求弹簧由伸长到时，弹性力所作的功。点击查看指导

指导：这是一道典型的变力作功的问题，应用定义

代入数据即可。

2－20一人从深的井中提水，起始时，桶中装有的水，桶的质量为，由于水桶漏水，每升高要漏去的水，求水桶匀速地从井中提到井口，人所作的功。点击查看指导

指导：水桶匀速上升，由牛顿第二定律，水桶所受合力为0，人的拉力等于水桶的重力，但因水的质量随高度减少，所以这是变力作功问题。选井中水面为坐标原点，向上为轴正向，在处水桶和水的总质量为，由定义积分，可求出人所作的功。

2－21质量为的物体沿轴作直线运动，所受合外力，如果在处时速度，试求该物体移动到处时速度的大小。点击查看指导

指导：已知物体受力与位置的关系，求运动速度，可用动能定理求解。其中，，故可得。

2－22质量为的小球系于绳的一端，另一端固接于点。绳长。将小球拉至水平位置，然后放手。求小球经过圆弧上、、点时的(1)速度；(2)加速度；(3)绳中的张力。假定不计空气阻力,并且已知点击查看指导

指导：(1)取小球和地球为研究系统，系统所受外力为绳的拉力，但在小球运动过程中，小球的位移与外力垂直，拉力不作功，系统机械能守恒，，即，为时刻绳与水平方向的夹角，由此可求出小球在各位置的速率。

(2)由牛顿第二定律，切向力，。法向力，而，(3)绳中的张力。代入数据可得小球经过、、各点时的速度、加速度和绳中的张力

2－23质量为的子弹，在枪筒中前进时受到的合力大小为

子弹在枪口的速度是。计算枪筒的长度。点击查看指导

指导：此题是已知物体受力与位置的关系和物体速度变化求物体所走过的距离的问题，可用动能定理解。由功的定义式求出功与距离的关系，再由，，解出距离。

2－24一弹簧，原长，劲度系数为，上端固定，下端挂一质量为的物体。先用手托住，使弹簧保持原长。

(1)如将物体托住慢慢放下，达静止(平衡位置)时，弹簧的最大伸长和弹性力是多少？

(2)如突然松手释放物体，物体达到最大位移，弹簧的最大伸长和弹性力是多少？物体经平衡位置时的速度时多少？

[提示：(1)平衡位置，合力等于零；(2)最大位移时，瞬时速度等于零，也就是动能等于零。]点击查看指导

指导：取弹簧、物体和地球为研究系统，系统所受合外力为0，机械能守恒。此题中势能有两部分，一是物体、地球系统的重力势能，另一是弹簧、物体系统的弹性势能。

(1)由平衡位置合力为零，，求出物体在平衡位置时

弹性力和弹簧伸长量；

(2)由物体从突然松手时到最大位移时机械能守恒，

其中，求出弹簧的最大伸长

和弹性力；

(3)由物体从初始位置到平衡位置机械能守恒，

即，且，即求出物体经

平衡位置时的速度。2－25弹簧下面悬挂质量分别为和的两个物体。最初，它们处于静止状态，突然剪断和之间的连线，使脱落。试用动能定理或功能原理计算，的最大速率是多少？已知，，。点击查看指导

指导：先建坐标，若以弹簧的原长端点的位置为原点，向下为轴正向，的初始位置为，剪断后，到达新的平衡位置时速度最大，受力，由动能定理，式中，可得

解出最大速率。

*2－26如图所示，质量为的小球，系在绳的一端，绳的另一端固定在点，绳长。今将小球以水平初速从点抛出，使小球在竖直平面内绕一周(不计空气阻力)。

(1)求证必须满足的条件：。

(2)设，求小球在圆周上点

()时,绳子对小球的拉力。点击查看指导

指导：取小球和地球为系统，系统所受外力为绳的拉力，但在小球运动过程中，小球的位移与拉力垂直，拉力不作功，系统机械能守恒，设绳与成角时，小球的速度为，则，由此求出小球速度与初速度的关系。

(1)小球在最高点处有，而，从而证出，

(2)由机械能守恒代入已知条件时,在

的点，由牛顿第二定律,

在法向，可得绳子对小球的拉力。

第三章习题指导3－16细棒长为,质量为，设转轴通过棒上离中心为一点并与棒垂直，则棒对此轴的转动惯量为(用平行轴定理计算)指导：细棒对过质心的垂直轴的转动惯量为，由平行轴定理，,可求出结果。

3－17在半径为的均匀薄圆盘中挖出一直径为的圆形面积，所剩部分质量为，圆形空面积的中心距圆盘的中心为，求所剩部分对通过盘心且与盘面垂直的轴的转动惯量。指导：此题用补偿法解，先求未挖过的半径为实心大圆盘对轴线的转动惯量，再由平行轴定理求半径为的小圆盘对边缘且垂直于盘的轴的转动惯量（），即

两者之差即为所要求的剩余部分转动惯量。式中各部分质量可这样求：

小圆盘的面积，实心大圆盘的面积，

，，又所以挖出小圆盘质量，

而实心大圆盘的质量3－18如图所示，两个物体质量分别为和，定滑轮的质量为，半径为，可看成圆盘。已知与桌面的摩擦系数为。设绳与滑轮无相对滑动，且可不计滑轮轴的摩擦力矩。求下落的加速度和两段绳中的张力。指导：此题中定滑轮的质量为不可忽略，滑轮为刚体，因此要对滑轮和两个物体分别进行受力分析。如图，由牛顿第二定律、转动定律立出各物体的动力学方程

1）

对，由牛顿第二定律

（2）

对，由定轴转动定律

（3）

而

（4）

（5）

（6）

由此可解得物体的加速度与绳中的张力3－19如图所示，一质量为、半径为的圆盘，可绕垂直通过盘心的无摩擦的水平轴转动。圆盘上绕有轻绳，一端悬挂质量为的物体。求物体由静止下落高度时，其速度的大小。指导：此题用机械能守恒解。以圆盘、物体和地球为系统，外力和非保守内力不作功，所以由即，其中，，可解得物体速度。3－20如图所示，一物体质量为，从一倾角为的斜面滑下，物体与斜面的摩擦系数为。一飞轮装在定轴处，绳的一端绕在飞轮上，另一端与物体相连。若飞轮可看成实心圆盘，质量为，半径为，其所受的摩擦阻力矩忽略不计。求：

（1）物体沿斜面下滑的加速度；

（2）绳中的张力。指导：设物体的质量为，滑轮的质量为，滑轮的半径为。隔离物体分析受力如图，图中，因物体沿斜面方向运动，所以在该方向和与之垂直的方向上列动力学方程：

对物体，，由牛顿第二定律，沿张力方向（平行于斜面）

（1）

在垂直于斜面的方向

（2）

对滑轮，由转动定律

（3）

而

（4）

（5）

（6）

联立这些方程可解得物体的加速度和绳中的张力。

3－21如图所示，连在一起大小不同的鼓轮，其质量分别为和，半径分别为和。两鼓轮各绕有绳索，两绳索各挂有质量分别为和的物体。求鼓轮的角加速度和绳的张力。（各鼓轮可看成质量均匀分布的圆盘，绳索质量和轴承摩擦不计。）指导：隔离物体分析受力如图，显然，，由牛顿第二定律和转动定律列出动力学方程：

对质量为的物体，

由牛顿第二定律

（1）

对质量为的物体

（2）

对鼓轮，由定轴转动定律

（3）

而

（4）

（5）

（6）

联立这些方程可解得鼓轮的角加速度、二物体的加速度和绳中的张力。3－22如图所示，一质量为、长为的均匀直棒，以铰链固定于一端点。可绕点作无摩擦的转动。此棒原来静止，今在端作用一与棒垂直的冲量，求此棒获得的角速度。指导：此题由角动量定理解，冲量矩，，，可解出棒的角速度，其转向为逆时针。3－23如图所示，与两飞轮的轴杆可由摩擦啮合器使之连接，轮的转动惯量为。开始时，轮静止，轮以的转速转动。然后使和连接，连接后两轮的转速。

求：（1）轮的转动惯量；

（2）在啮合过程中损失的机械能。指导：、两飞轮组成的系统在啮合过程中无外力矩的作用，角动量守恒，由式解出轮的转动惯量；再由啮合过程中转动动能的减少求出最后结果。3－24质量为，长为的均匀细棒，在水平面内绕通过棒中心并与棒垂直的固定轴转动。棒上套有两个可沿棒滑动的小物体，它们的质量都是。开始时，两个小物体分别被固定在棒中心的两侧，距棒中心都是。此系统以每分钟15圈的转速转动。

求:(1)当两小物体到达棒端时系统的角速度；

(2)两小物体飞离棒端后，系统的角速度。指导：在本题中，小物体从开始位置到离开棒的过程中，棒和小物体组成的系统不受外力矩的作用，角动量守恒。开始时，棒和小物体的角速度相同为，，两小物体在处角动量均为，，由角动量守恒，解出。小物体离开棒的瞬时，棒仍以的角速度转动，而小物体的切向速度为。第四章习题指导

4－17一系统从状态沿过程到达状态，吸收了的热量，同时对外作功。

(1)如沿过程，做功为，问系统吸收多少热量？

(2)系统从状态沿图示曲线所示过程返回状态，外界对系统做功，问系统是吸热还是放热？数值多少？

指导：此题中几个过程的始状态和终状态均为图中点和点，内能仅是状态的函数，因此，我们可由过程利用热力学第一定律求出、状态的内能的增量，

(1)沿过程从状态到状态系统吸收的热量为

，

(2)系统从状态沿图示曲线所示过程返回状态，吸收的热量为

。

4－18如图所示，一定量的空气，开始在状态,其压强为，体积为，沿直线变化到状态后，压强变为，体积变为。求此过程中气体所作的功。指导：此题利用气体所作功在量值上等于图上过程曲线下的

面积求解，在此过程中气体作正功，即

4－19

压强为，体积为的氮气，摩尔定体热容为,从加热到。

(1)体积不变时，气体内能增量是多少？吸收热量是多少？

(2)压强不变时，气体内能增量是多少？吸收热量是多少？

指导：此题应先由理想气体状态方程求出气体的摩尔数，

(1)体积不变的过程，气体不做功，内能的增量等于吸收热量

；

(2)是等压升温过程，内能仅是温度的函数，，

吸收热量，式中，

所以。

4－20理想气体盛于气缸中,设气缸活塞与气缸壁间无摩擦。其等压摩尔热容为，开始时压强为，体积为。将此气体在等压下加热，使气体体积增大一倍。然后在等体下加热至压强增大一倍。最后绝热膨胀使温度降为起始温度。请将全过程在图中画出，并求内能的增量和对外所做的功。

指导：全过程如图，此理想气体系统开始状态为Ⅰ,从Ⅰ到Ⅱ为等压过程，从Ⅱ到Ⅲ是等体过程，从Ⅲ到Ⅳ是绝热膨胀过程。由于初态和末态温度相等，所以，从状态Ⅰ到状态Ⅳ的内能增量。由热力学第一定律，，全过程吸收的热量等于对外做的功。绝热过程无热量交换，所以全过程系统对外所做的功为，而，

再利用理想气体状态方程和

将T换为已知的、，即得。

而，，可解出全过程气体外所做的功。

4－21有、理想气体。在等温过程体积膨胀为原来的3倍，求气体对外作的功。指导：在等温过程中，理想气体状态方程中的温度是常量

（），因而压强与体积的函数关系为

，从等温膨胀到，气体对外做功为

，，利用理想气体状态方程解出代入积分即可。

4－22的氮气，温度为，压强为。将气体绝热压缩，使其体积变为原来的。求(1)压缩后的压强和温度；(2)在压缩过程中气体所作的功。

指导：设初始压强、体积和温度分别为、和，压缩后的压强、体积和温度分别为、和。

(1)由绝热方程、

解出、；

(2)由求出，而气体绝热过程作功等于内能的减少，即。

4－23

一卡诺机，在温度和的两个热源间运转。

(1)若一次循环，热机从的热源吸进的热量，问应向

的热源放出多少热量？

(2)若此循环逆向工作（按制冷循环工作），从的热源吸进

热量,

问应向的热源放出多少热量？

指导：(1)对卡诺热机，，故向低温热源放出的热量为；

(2)对卡诺制冷机，有，故向高温热源放出的热量

由卡诺制冷机求出向高温热源放出的热量。

4－24

一卡诺机低温热源温度为，效率为，若要把它的效率提高到，高温热源的温度应提高多少度？指导：由分别解出两个不同效率时高温热源的温度，再求其差。

4－25

有一以理想气体为工作物质的热机，其循环过程如图所示。试证明热机效率为指导：这是由三个过程组成的循环过程，其中绝热过程，等体过程为吸热过程，等压过程为放热过程。将二式代入化简即可。

4－26

一定量的理想气体经图示循环，请填写表中的空格。指导：对各过程应用热力学第一定律，由各过程的特征可得下表（表中方框内的数字如是已知的。）

内能增量作功吸热量

*4－27

质量为，摩尔质量为的理想气体，在等体过程中温度从升高到。试证这一过程中熵变为

指导：在气体的初态和末态间作等体可逆曲线。在气体沿此曲线温度升高的元过程中，气体吸热为

熵增为

*4－28

质量为，摩尔质量为的理想气体，摩尔定压热容为。在等压过程中温度从升高到。试求这一过程中熵变。指导：在气体的初态和末态间作等压可逆曲线。在气体沿此曲线温度升高的元过程中，气体吸热为