北师版九年级上册第四章相似图形单元测试

菁优网 ©2010-2014菁优网 北师大版八年级下《第4章相似图形》2013年单元测试卷（2）

北师大版八年级下《第4章相似图形》2013年单元测试卷（2）一、试试你的身手（每小题3分，共30分）1．（3分）（2005•漳州）在比例尺为1：500000的福建省地图上，量得省会福州到漳州的距离约为46厘米，则福州到漳州实际距离约为_________千米．2．（3分）若线段a，b，c，d成比例，其中a=5cm，b=7cm，c=4cm，d=_________．3．（3分）已知4x﹣5y=0，（x+y）：（x﹣y）=_________．4．（3分）两个相似三角形面积比是9：25，其中一个三角形的周长为36cm，则另一个三角形的周长是_________．5．（3分）把一个菱形的各边都扩大到4倍，则其对角线扩大到_________倍，其面积扩大到_________倍．6．（3分）（2011•红桥区一模）厨房角柜的台面是三角形（如图所示），如果把各边中点连线所围成的三角形铺成黑色大理石（图中阴影部分），其余部分铺成白色大理石，则黑色大理石面积与白色大理石的面积之比是_________．7．（3分）（2005•嘉兴）顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形．如图，△ABC、△BDC、△DEC都是黄金三角形，已知AB=1，则DE=_________．8．（3分）（2005•襄阳）同一时刻，高为1.5m标杆影长为2.5m，一古塔在地面的影长为50m，那么古塔的高为_________m．9．（3分）（2013•婺城区二模）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=2，AE=3，BD=4，则AC=_________．10．（3分）（2009•长宁区一模）如图所示，在△ABC与△DBE中，=，且△ABC和△BDE周长之差为10cm，则△ABC的周长为_________cm．二、相信你的选择（每小题3分，共30分）11．（3分）（2005•上海）在下列命题中，真命题是（）A．两个钝角三角形一定相似B．两个等腰三角形一定相似C．两个直角三角形一定相似D．两个等边三角形一定相似12．（3分）（2005•盐城）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，DE∥BC，∠ADE=30°，∠C=120°，则∠A等于（）A．60°B．45°C．30°D．20°13．（3分）（2005•连云港）如果三角形的每条边都扩大为原来的5倍，那么三角形的每个角（）A．都扩大为原来的5倍B．都扩大为原来的10倍C．都扩大为原来的25倍D．都与原来相等14．（3分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，交AB于点D，若AD=1，BD=4，则CD等于（）A．2B．4C．D．315．（3分）（2005•宜昌）如图所示，BC=6，E、F分别是线段AB和线段AC的中点，那么线段EF的长是（）A．6B．5C．4.5D．316．（3分）如图，点E是▱ABCD的边BC延长线上的一点，AE和CD交于点G，AC是▱ABCD的对角线，则图中相似三角形共有（）A．2对B．3对C．4对D．5对17．（3分）（2012•淮滨县模拟）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A．B．C．D．18．（3分）（2004•苏州）如图，梯形ABCD的对角线交于点O，有以下四个结论：①△AOB∽△COD，②△AOD∽△ACB，③S△DOC：S△AOD=DC：AB，④S△AOD=S△BOC，其中始终正确的有（）个．A．1B．2C．3D．419．（3分）（2004•黑龙江）用作位似图形的方法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心位置可选在（）A．原图形的外部B．原图形的内部C．原图形的边上D．任意位置20．（3分）（2004•金华）如图是小孔成像原理的示意图，根据图中所标注的尺寸，这支蜡烛在暗盒中所成的像CD的长是（）A．6cmB．8cmC．10cmD．1cm三、挑战你的选择（本大题共60分）21．（8分）（2005•杭州）我们已经知道：如果两个几何图形形状相同而大小不一定相同，我们就把它们叫做相似图形．比如两个正方形，它们的边长，对角线等所有元素都对应成比例，就可以称它们为相似图形．现给出下列4对几何图形：①两个圆；②两个菱形；③两个长方形；④两个正六边形．请指出其中哪几对是相似图形，哪几对不是相似图形，并简单地说明理由．22．（8分）（2006•巴中）如图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，E为BC上一点，且AE⊥ED．若BC=12，DC=7，BE：EC=1：2，求AB的长．23．（8分）如图，已知△ABC中，点F是BC的中点，DE∥BC，则DG和GE有怎样的关系？请你说明理由．24．（8分）（2005•恩施州）某中学平整的操场上有一根旗杆（如图），一数学兴趣小组欲测量其高度，现有测量工具（皮尺、测角器、标杆）可供选用，请你用所学的知识，帮助他们设计测量方案．要求：（1）画出你设计的测量平面图；（2）简述测量方法，并写出测量的数据（长度用a、b、c…表示；角度用α、β…表示）；（3）根据你测量的数据，计算旗杆的高度．25．（14分）（2007•临夏州）阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下2.7m宽的亮区（如图所示），已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高BC．26．（14分）（2005•济南）如图，在一个长40m、宽30m的长方形小操场上，王刚从A点出发，沿着A⇒B⇒C的路线以3m/s的速度跑向C地．当他出发4s后，张华有东西需要交给他，就从A地出发沿王刚走的路线追赶．当张华跑到距B地2m的D处时，他和王刚在阳光下的影子恰好重叠在同一条直线上．此时，A处一根电线杆在阳光下的影子也恰好落在对角线AC上．（1）求他们的影子重叠时，两人相距多少米？（DE的长）（2）求张华追赶王刚的速度是多少？（精确到0.1m/s）

北师大版八年级下《第4章相似图形》2013年单元测试卷（2）参考答案与试题解析一、试试你的身手（每小题3分，共30分）1．（3分）（2005•漳州）在比例尺为1：500000的福建省地图上，量得省会福州到漳州的距离约为46厘米，则福州到漳州实际距离约为230千米．考点：比例线段．专题：计算题．分析：根据比例尺=图上距离：实际距离，列比例式直接求得实际距离．解答：解：设福州到漳州实际距离约为x，则=，解得x=23000000厘米=230千米．∴福州到漳州实际距离约为230千米．点评：能够根据比例尺进行计算，注意单位的转换．2．（3分）若线段a，b，c，d成比例，其中a=5cm，b=7cm，c=4cm，d=cm．考点：比例线段．分析：根据四条线段成比例的概念，得比例式a：b=c：d，再根据比例的基本性质，即可求得d的值．解答：解：∵四条线段a、b、c、d成比例，∴a：b=c：d，∴d=7×4÷5=（cm）．故答案为cm．点评：本题考查了成比例线段的概念，写比例式的时候，要注意单位统一，是一道基础题．3．（3分）已知4x﹣5y=0，（x+y）：（x﹣y）=9．考点：比例的性质．分析：由题干可得=，则可令x=5k，则y=4k，将它们代入计算即可求解．解答：解：∵4x﹣5y=0，∴=，令x=5k，则y=4k，∴（x+y）：（x﹣y）=（5k+4k）：（5k﹣4k）=9．故答案为9．点评：本题是基础题，考查了比例的基本性质，比较简单．4．（3分）两个相似三角形面积比是9：25，其中一个三角形的周长为36cm，则另一个三角形的周长是60或．考点：相似三角形的性质．分析：由两个相似三角形面积比是9：25，即可求得其相似比，继而求得其周长的比，继而求得答案．解答：解：∵两个相似三角形面积比是9：25，∴它们的相似比为：3：5，∴它们的周长比为：3：5，∵一个三角形的周长为36cm，∴若此三角形为大三角形，则另一个三角形的周长是：，若此三角形为小三角形，则另一个三角形的周长是：60．∴另一个三角形的周长是60或．故答案为：60或．点评：此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，注意掌握定理的应用是解此题的关键．5．（3分）把一个菱形的各边都扩大到4倍，则其对角线扩大到原来的4倍，其面积扩大到原来的16倍．考点：相似多边形的性质．分析：根据相似多边形对应线段之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方，即可解决．解答：解：把一个菱形的各边都扩大4倍，则新菱形和原来的菱形相似且相似比为4：1，则其对角线扩大到原来的4倍，其面积扩大到原来的16倍．故答案为：原来的4，原来的16．点评：此题主要考查相似多边形的性质，比较简单．用到的知识点：相似多边形对应线段之比等于相似比，相似多边形面积之比等于相似比的平方．6．（3分）（2011•红桥区一模）厨房角柜的台面是三角形（如图所示），如果把各边中点连线所围成的三角形铺成黑色大理石（图中阴影部分），其余部分铺成白色大理石，则黑色大理石面积与白色大理石的面积之比是1：3．考点：相似三角形的应用；三角形的面积．分析：利用相似三角形面积比等于相似比的平方进行求解．其中白色大理石的面积等于总面积减去黑色大理石面积．解答：解：∵各边中点连线所围成的三角形为黑色区域，∴黑色区域三角形与台面三角形相似且相似比=黑色区域三角形：台面三角形=1：2；故黑色区域面积：台面三角形面积=1：4；故黑色大理石面积与白色大理石的面积之比为1：3．点评：考查了三角形面积的计算．相似比的平方等于面积比．7．（3分）（2005•嘉兴）顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形．如图，△ABC、△BDC、△DEC都是黄金三角形，已知AB=1，则DE=．考点：黄金分割．专题：压轴题．分析：根据相似比求解．解答：解：∵△ABC、△BDC、△DEC都是黄金三角形，AB=1∴AB=AC，AD=BD=BC，DE=BE=CD，DE∥AB∴设DE=x，则CD=BE=x，AD=BC=1﹣x，∴EC=BC﹣BE=1﹣x﹣x=1﹣2x∴解得：DE=．点评：此题考查了相似三角形的性质与方程思想，相似三角形的对应边的比相等；解题时要注意方程思想的应用．8．（3分）（2005•襄阳）同一时刻，高为1.5m标杆影长为2.5m，一古塔在地面的影长为50m，那么古塔的高为30m．考点：相似三角形的应用．分析：在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．解答：解：设古塔的高度为xm，∵=，即，解得，x=30米．即古塔的高度为30米．点评：本题主要考查同一时刻物高和影长成正比及利用所学知识解决实际问题的能力．9．（3分）（2013•婺城区二模）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=2，AE=3，BD=4，则AC=9．考点：平行线分线段成比例．分析：根据平行线分线段成比例定理得出，得出CE的长度即可得出AC的长．解答：解：∵DE∥BC，∴，∵AD=2，AE=3，BD=4，∴，∴CE=6，∴AC=AE+EC=3+6=9．故答案为：9．点评：此题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据题意得出是解决问题的关键．10．（3分）（2009•长宁区一模）如图所示，在△ABC与△DBE中，=，且△ABC和△BDE周长之差为10cm，则△ABC的周长为25cm．考点：相似三角形的判定与性质．分析：先证△ABC∽△DBE，并且相似比是5：3，再根据相似三角形的性质，求出△ABC与△DBE的周长的比，即可求△ABC的周长．解答：解：在△ABC与△DBE中，=，则△ABC∽△DBE，并且相似比是5：3，相似三角形周长的比等于相似比，因而可以设△ABC的周长是5a，则△DBE的周长是3a，根据△ABC和△BDE周长之差为10cm，得到5a﹣3a=10解得：a=5，∴△ABC的周长为25cm．点评：本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形的周长的比等于相似比．正确注意到两三角形相似是解题关键．二、相信你的选择（每小题3分，共30分）11．（3分）（2005•上海）在下列命题中，真命题是（）A．两个钝角三角形一定相似B．两个等腰三角形一定相似C．两个直角三角形一定相似D．两个等边三角形一定相似考点：相似三角形的判定；命题与定理．专题：压轴题．分析：根据相似三角形的判定定理对各个选项进行分析，从而得到最后答案．解答：解：A不正确，不符合相似三角形的判定方法；B不正确，没有指明相等的角或边比例，故不正确；C不正确，没有指明另一个锐角相等或边成比例，故不正确；D正确，三个角均相等，能通过有两个角相等的三角形相似来判定；故选D．点评：考查相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等的两个三角形相似．（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．（3）三边对应成比例的两个三角形相似．12．（3分）（2005•盐城）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，DE∥BC，∠ADE=30°，∠C=120°，则∠A等于（）A．60°B．45°C．30°D．20°考点：三角形中位线定理；三角形内角和定理．分析：根据平行线的性质可以得到等角，即∠B=∠ADE，所以在△ABC中，再利用三角形内角和定理，即可求得∠A．解答：解：∵DE∥BC，∠ADE=30°，∴∠B=∠ADE=30°，在△ABC中，∠C=120°，∠B=30°，∴∠A=180°﹣∠C﹣∠B=180°﹣120°﹣30°=30°，故选C．点评：平行线的性质：两直线平行同位角相等；三角形内角和定理：三角形内角和等于180°．13．（3分）（2005•连云港）如果三角形的每条边都扩大为原来的5倍，那么三角形的每个角（）A．都扩大为原来的5倍B．都扩大为原来的10倍C．都扩大为原来的25倍D．都与原来相等考点：相似图形；相似三角形的性质．分析：三角形的每条边都扩大为原来的5倍，所得的三角形与原三角形相似，相似比是1：5，根据相似三角形的性质，相似三角形的对应角相等．解答：解：∵所得的三角形与原三角形相似∴三角形的每个角都与原来相等故选D．点评：本题主要考查相似三角形的性质，对应角相等．14．（3分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，交AB于点D，若AD=1，BD=4，则CD等于（）A．2B．4C．D．3考点：解直角三角形．分析：根据等角的余角相等，得到∠A=∠BCD；再根据锐角三角函数得到AD、CD、BD之间的关系，即可求解．解答：解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠A=∠BCD．∴tanA==tan∠BCD=，∴CD2=AD•BD=4，∴CD=2．故选A．点评：此题要能够根据等角的锐角三角函数建立要求的线段和已知的线段之间的关系．15．（3分）（2005•宜昌）如图所示，BC=6，E、F分别是线段AB和线段AC的中点，那么线段EF的长是（）A．6B．5C．4.5D．3考点：三角形中位线定理．分析：由E、F是ABAC的中点，可知EF是△ABC的中位线，再根据中位线定理，可知EF=BC，即可求出EF．解答：解：∵BC=6，E、F分别是线段AB和线段AC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF=BC=×6=3，故选D．点评：本题考查了三角形中位线的性质，比较简单，如果三角形中位线的性质没有记住，还可以利用△AEF与△ABC的相似比为1：2，得出正确结论．16．（3分）如图，点E是▱ABCD的边BC延长线上的一点，AE和CD交于点G，AC是▱ABCD的对角线，则图中相似三角形共有（）A．2对B．3对C．4对D．5对考点：相似三角形的判定；平行四边形的性质．分析：已知平行四边形的对边平行，平行线截三角形的两边或两边的延长线所得的三角形与原三角形相似．解答：解：∵AD∥BC，∴△ADG∽△ECG①，又∵AB∥CD，∴△ECG∽△EBA②，∴△ADG∽△EBA③，由平行四边形的性质可得：△ABC∽△CDA④；所以共有四对相似三角形．故选C．点评：本题考虑平行线截三角形的两边或两边的延长线所得的三角形与原三角形相似，注意要找全，不可漏掉任何一个．17．（3分）（2012•淮滨县模拟）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A．B．C．D．考点：相似三角形的判定．专题：网格型．分析：首先求得△ABC三边的长，然后分别求得A，B，C，D各三角形的三边的长，然后根据三组对应边的比相等的两个三角形相似，即可求得答案．解答：解：如图：AB==，AC==，BC=2，A、∵DE==，DF==，EF=1，∴，∴△DEF∽△BAC，故A选项正确；B、∵MN==，MK==，NK=3，∴，=1，，∴△MNK与△ABC不相似，故B选项错误；C、∵PQ==2，PR==，QR=1，∴==，=，=，∴△PQR与△ABC不相似，故C选项错误；D、∵GH==，GL==，HL=2，∴=，=，=，∴△GHL与△ABC不相似，故D选项错误．故选：A．点评：此题考查了相似三角形的判定．此题难度适中，三组对应边的比相等的两个三角形相似定理的应用是解此题的关键．18．（3分）（2004•苏州）如图，梯形ABCD的对角线交于点O，有以下四个结论：①△AOB∽△COD，②△AOD∽△ACB，③S△DOC：S△AOD=DC：AB，④S△AOD=S△BOC，其中始终正确的有（）个．A．1B．2C．3D．4考点：相似三角形的判定；梯形．专题：压轴题．分析：根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析从而得到最后答案．解答：解：∵AB∥CD，∴△AOB∽△COD（①正确），∴S△DOC：S△AOD==（③正确），∵△ABD与△ABC等高同底，∴S△ABD=S△ABC，∵S△ABD﹣S△AOB=S△ABC﹣S△AOB，∴S△AOD=S△BOC（④正确），∵梯形ABCD是任意梯形，∴△AOD和△ACB不可能相似，故②错误，∴共有3个正确的．故选C．点评：此题考查了相似三角形的判定和性质：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似．相似三角形的对应边成比例，对应角相等．相似三角形的对应高、对应中线，对应角平分线的比等于相似比，相似三角形的周长比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方．19．（3分）（2004•黑龙江）用作位似图形的方法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心位置可选在（）A．原图形的外部B．原图形的内部C．原图形的边上D．任意位置考点：位似变换．分析：画一个图形的位似图形时，位似中心的选取是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．解答：解：画一个图形的位似图形时，位似中心的选取是任意的．故选D．点评：本题考查的是位似中心选择的任意性．注意作已知图形的位似图形的结果是不唯一的．20．（3分）（2004•金华）如图是小孔成像原理的示意图，根据图中所标注的尺寸，这支蜡烛在暗盒中所成的像CD的长是（）A．6cmB．8cmC．10cmD．1cm考点：相似三角形的应用．分析：根据小孔成像原理可知△AOB∽△COD，利用它们的对应边成比例就可以求出CD之长．解答：解：如图过O作直线OE⊥AB，交CD于F，依题意AB∥CD，∴OF⊥CD，∴OE=12，OF=2，而AB∥CD可以得△AOB∽△COD∵OE，OF分别是它们的高，∴，∴CD=1（cm）．故选：D．点评：解题的关键在于理解小孔成像原理给我们带来的已知条件，还有会用相似三角形对应边成比例．三、挑战你的选择（本大题共60分）21．（8分）（2005•杭州）我们已经知道：如果两个几何图形形状相同而大小不一定相同，我们就把它们叫做相似图形．比如两个正方形，它们的边长，对角线等所有元素都对应成比例，就可以称它们为相似图形．现给出下列4对几何图形：①两个圆；②两个菱形；③两个长方形；④两个正六边形．请指出其中哪几对是相似图形，哪几对不是相似图形，并简单地说明理由．考点：相似图形；相似三角形的判定与性质．专题：新定义．分析：根据相似图形的定义，对题目条件进行一一分析，作出正确回答．解答：解：①两个圆，它们的所有对应元素都成比例，是相似图形；②两个菱形，边的比一定相等，而对应角不一定对应相等，不一定是相似图形；③两个长方形，对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等，不一定是相似图形；④两个正六边形，它们的边长、对应角等所有元素都对应成比例，是相似图形．∴①④是相似图形，②③不一定是相似图形．点评：本题考查的是相似形的识别，相似图形的形状相同，但大小不一定相同．22．（8分）（2006•巴中）如图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，E为BC上一点，且AE⊥ED．若BC=12，DC=7，BE：EC=1：2，求AB的长．考点：梯形；相似三角形的判定与性质．专题：计算题．分析：由题意易知AB和CD所在的两个三角形相似，再利用相似比即可求出所求线段的长度．解答：解：∵AB∥DC，且∠B=90°，∴∠AEB+∠BAE=90°及∠C=90度．（1分）∴∠AEB+∠CED=90度．故∠BAE=∠CED．（2分）∴△EAB∽△DEC．∴．（3分）又BE：EC=1：2，且BC=12及DC=7，故．（4分）则．（5分）点评：此题主要考查学生对梯形的性质及相似三角形的性质的理解及运用．23．（8分）如图，已知△ABC中，点F是BC的中点，DE∥BC，则DG和GE有怎样的关系？请你说明理由．考点：三角形中位线定理；相似三角形的判定与性质．分析：由平行线可以判定三角形相似，即△ADG∽△ABF，△AEG∽△ACF，根据相似三角形的性质，可证得DG=EG．解答：解：∵DE∥BC，∴AG：AF=GD：BF=GE：CF，∵点F是BC的中点∴BF=CF，∴DG=GE．点评：本题主要考查了相似三角形的判定和性质，应熟记相似三角形判定的几种方法和基本性质．24．（8分）（2005•恩施州）某中学平整的操场上有一根旗杆（如图），一数学兴趣小组欲测量其高度，现有测量工具（皮尺、测角器、标杆）可供选用，请你用所学的知识，帮助他们设计测量方案．要求：（1）画出你设计的测量平面图；（2）简述测量方法，并写出测量的数据（长度用a、b、c…表示；角度用α、β…表示）；（3）根据你测量的数据，计算旗杆的高度．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．专题：方案型．分析：本题利用皮尺可以测量距离，利用测角仪可以测量角度，可以把测角仪放在一定的高度，使它的一边水平，斜边与旗杆的顶端正好在一条直线上，能测出测角仪与旗杆的水平距离，就可利用三角函数求出旗杆的高．解答：解：（1）如图所示．（2）①在操场上选取一点D，用皮尺量出BD=a米．②在点D用测角器测出旗杆顶部A的仰角∠ACE=α．③用皮尺量出测角器CD=b米．（3）显然BE=CD=b，BD=CE=a∠AEC=90°．∴AE=CE×tanα．∴AB=AE+BE=atanα+b．点评：本题运用相似三角形的知识测量高度及考查学生的实践操作能力，应用所学知识解决问题的能力．本题实际是把直角梯形的问题转化为解直角三角形的问题．25．（14分）（2007•临夏州）阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下2.7m宽的亮区（如图所示），已