4.2.1 等差数列的概念（精讲）（解析版）

9/94.2.1等差数列的概念思维导图思维导图常见考法常见考法考点一判断是否为等差数列【例1】（2020·上海高二课时练习）下列数列中，不是等差数列的是（）A．1，4，7，10 B．C． D．10，8，6，4，2【答案】C【解析】根据等差数列的定义，可得：A中，满足（常数），所以是等差数列；B中，（常数），所以是等差数列；C中，因为，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列；D中，满足（常数），所以是等差数列.故选：C.根据等差数列的定义，只需任意相邻的后一项与前一项的差为定值即可根据等差数列的定义，只需任意相邻的后一项与前一项的差为定值即可【一隅三反】1．（2019·山西应县一中期末（理））若是等差数列，则下列数列中也成等差数列的是()A． B． C． D．【答案】C【解析】A:=（an+an+1）（an+1﹣an）=d[2a1+（2n﹣1）d]，与n有关系，因此不是等差数列．B:==与n有关系，因此不是等差数列.C:3an+1﹣3an=3（an+1﹣an）=3d为常数，仍然为等差数列；D:当数列{an}的首项为正数、公差为负数时，{|an|}不是等差数列；故选：C2．（2020·全国高一课时练习）已知下列各数列，其中为等差数列的个数为（）①4，5，6，7，8，…②3，0，-3，0，-6，…③0，0，0，0，…④…A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】第一个数列是公差为的等差数列.第二个数列是摆动数列，不是等差数列.第三个是公差为的等差数列.第四个是公差为的等差数列.故有个等差数列，所以选C.3．（2020·全国课时练习）已知数列，c为常数，那么下列说法正确的是（）A．若是等差数列时，不一定是等差数列B．若不是等差数列时，一定不是等差数列C．若是等差数列时，一定是等差数列D．若不是等差数列时，一定不是等差数列【答案】D【解析】当是等差数列时，由等差数列的性质可知，一定是等差数列，A错；对于数列：1，2，4，5，令，则为等差数列，B错；当c为0时，0，0，0，0是等差数列，但不是等差数列，C错．故选D．考点二求等差数列的项或通项【例2】（1）（2020·兴安县第三中学期中）由=4，确定的等差数列，当an=28时，序号等于（）A．9 B．10 C．11 D．12（2）（2020·广西南宁三中开学考试）在单调递增的等差数列中，若，，则（）A． B． C．0 D．【答案】（1）A（2）C【解析】（1）因为，，所以，所以，解得故选：A（2）因为是等差数列，所以，，解得：，故选：C【一隅三反】1．（2020·江苏江都·邵伯高级中学月考）等差数列中，，，则（）A．2 B．5C．11 D．13【答案】A【解析】因为，得①，又，得②，由①②得：，故.故选：A.2．（2020·兴安县第三中学期中）在数列中，=2，，则的值为（）A．96 B．98 C．100 D．102【答案】D【解析】因为=2，，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，所以故选：D3．（2020·广西南宁三中开学考试）数列中，，，那么这个数列的通项公式是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以数列是以5为首项，3为公差的等差数列，则.故选：B考点三等差中项【例2】（1）（2020·全国高一课时练习）已知，则a,b的等差中项为（）A． B． C． D．（2）（2020·昆明市官渡区第一中学开学考试（文））已知，并且成等差数列，则的最小值为_________.【答案】（1）A（2）16【解析】（1），，的等差中项为，故选A.（2）由题可得：，故【一隅三反】1.（2020·广东濠江·金山中学高一月考）在等差数列中，若，则___________．【答案】60；【解析】在等差数列中，，，解得，．故答案为：602．（2020·全国其他（理））已知数列为等差数列，若，且与的等差中项为6，则（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】设的公差为.数列为等差数列，，且与的等差中项为6，，解得，，．故选：D．3．（2019·兴安县第三中学期中）已知等差数列的前三项为，则此数列的首项=______．【答案】【解析】依题意可得，解得，故等差数列的前三项为，所以故答案为：考点四证明数列为等差数列【例4】（2019·全国高一课时练习）设数列{an}满足当n＞1时，an＝，且a1＝.(1)求证：数列为等差数列；(2)a1a2是否是数列{an}中的项？如果是，求出是第几项；如果不是，请说明理由．【答案】(1)见证明；(2)a1a2是数列{an}中的项，是第11项．【解析】(1)证明：根据题意a1＝及递推关系an≠0.因为an＝.取倒数得＋4，即＝4(n＞1)，所以数列是首项为5，公差为4的等差数列．(2)解：由(1)，得＝5＋4(n－1)＝4n＋1，.又，解得n＝11.所以a1a2是数列{an}中的项，是第11项．【一隅三反】1．（2020·全国高一课时练习）已知，在数列中，，。（1）证明：是等差数列。（2）求的值。【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）证明：当时，因为，所以，即。易知，所以，即。所以是首项为，公差为的等差数列。（2）由（1）知，所以，所以。2．（2019·全国课时练习）已知数列中，，数列满足．（1）求证：数列是等差数列；（2）求数列中的最大项和最小项．【答案】（1）证明见解析；（2）最小项为且，最大项为且．【解析】（1）因为，，所以又，所以数列是以为首项，1为公差的等差数列．（2）由（1）知，则．设，则在区间和上为减函数．所以当时，取得最小值为－1，当时，取得最大值为3．故数列中的最小项为且，最大项为且．3．（2020·全国高一课时练习）已知数列{an}满足(an＋1－1)(an－1)＝3(an－an＋1)，a1＝2，令bn＝.(1)证明：数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．【答案】(1)见证明；(2)an＝.【解析】(1)证明：，∴，即bn＋1－bn＝，∴{bn}是等差数列．(2)∵b1＝1，∴∴an＝.考点五等差数列的单调性【例5】（2020·黑龙江道里·哈尔滨三中高二期末（理））设是等差数列，则“”是“数列是递增数列”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】在是等差数列，若，可得，所以数列是递增数列，即充分性成立；若数列是递增数列，则必有，即必要性成立，所以“”是“数列是递增数列”的充分必要条件.故选：C.【一隅三反】1．（2020·全国高二）首项为﹣21的等差数列从第8项起开始为正数，则公差d的取值范围是（）A．d>3 B．d C．3≤d D．3<d【答案】D【解析】an＝﹣21+（n﹣1）d．∵从第8项起开始为正数，∴a7＝﹣21+6d≤0，a8＝﹣21+7d＞0，解得3＜d．故选：D．2．（2020·北京怀柔·高二期末）已知数列为等差数列，则下面不一定成立的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】D【解析】利用等差数列的单调性可得：若，所以公差，所以等差数列是递增