结构动力计算多自由教案课件

会计学1结构动力计算多自由会计学1结构动力计算多自由8.5两自由度体系的振动分析一个特解对应一种振动形式。按每一特解形式作自由振动的特点是：1）体系上所有质量的振动频率相同。2）在振动的任一时刻，各质量位移的比值保持不变，即振动形状保持不变，将此振动形式称作主振型，简称为振型（modeshape）。第1页/共67页8.5两自由度体系的振动分析一个特解对应一种振动形8.5两自由度体系的振动分析运动方程的通解四个积分常数A、B、α1和α2，可由运动的初始条件、（）确定。第2页/共67页8.5两自由度体系的振动分析运动方程的通解8.5两自由度体系的振动分析8.5.2频率和振型第一频率或基本频率第二频率基本振型或第一振型第二振型体系的频率和振型是体系的固有属性（naturalproperty），与外界因素无关。振型向量第3页/共67页8.5两自由度体系的振动分析8.5.28.5两自由度体系的振动分析

柔度形式的方程第4页/共67页8.5两自由度体系的振动分析柔度形8.5两自由度体系的振动分析特例：刚度形式柔度形式第5页/共67页8.5两自由度体系的振动分析特例：刚度形式柔度形式8.5两自由度体系的振动分析例题8-15

试求图8-32(a)所示两层刚架的自振频率和振型。，已知横梁为刚性，各立柱的抗弯刚度，立柱的质量忽略不计，横梁的质量m1=m2=5000kg，每层的高度5m。解：两个自由度体系，设m1的位移为y1，m2的位移为y2第6页/共67页8.5两自由度体系的振动分析例题8-15试求8.5两自由度体系的振动分析1.28091第二主振型10.7808第一主振型第7页/共67页8.5两自由度体系的振动分析1.28091第二主振8.5两自由度体系的振动分析例题8-16图8-33(a)所示简支梁在三分点处有两个相等的集中质量，不计梁本身的自重，梁的抗弯刚度为常数。试用柔度法求其自振频率和振型。解：不计轴向变形，本例有两个自由度，设1、2两处质量的竖向位移分别为y1和y2。第8页/共67页8.5两自由度体系的振动分析例题8-16图8.5两自由度体系的振动分析第一主振型(正对称)第二主振型(反对称)

利用对称性对称两自由度体系的自由振动可通过求解两个单自由度问题来解决.正对称反对称第9页/共67页8.5两自由度体系的振动分析第一主振型第二主振型8.5两自由度体系的振动分析8.5.3振型的正交性及其应用两个自由度体系有两个振型向量，存在着对质量矩阵和刚度矩阵的正交性（orthogonality）：对应不同自振频率的振型向量对质量矩阵和刚度矩阵都是正交的。证明：第10页/共67页8.5两自由度体系的振动分析8.5.38.5两自由度体系的振动分析关于振型正交性的物理解释第i阶振型产生的惯性力在第j

阶振型的位移上所做的虚功为零，也即由某振型产生的惯性力在非自身振型上不做功第11页/共67页8.5两自由度体系的振动分析关于振型正交性的物理解3）振型正交性的利用（1）可用振型的正交性来检验所求得的振型是否正确。例题8-17

试检验例题8-15所求得振型的正确性。解：由此证明，所得振型具有较好的精度，是正确的。8.5两自由度体系的振动分析第12页/共67页3）振型正交性的利用例题8-17试检验例题8-18.5两自由度体系的振动分析（2）已知振型的情形下，可用以计算该振型对应的自振频率。证明：称为第i

振型的广义质量称为第i

振型的广义刚度小结:第13页/共67页8.5两自由度体系的振动分析（2）已知振型的情形下8.5两自由度体系的振动分析（3）位移的分解任意一个给定位移向量，利用振型的正交性，均可将其分解成2个振型的线性组合。

位移向量按振型的正则坐标变换（normalcoordinatestransform），组合系数称为位移向量的广义坐标（generalizedcoordinates或称正则坐标）第14页/共67页8.5两自由度体系的振动分析（3）位移的分解8.5两自由度体系的振动分析（4）将两自由度体系变成单自由度求解+=0两边同时左乘第15页/共67页8.5两自由度体系的振动分析（4）将两自由度体8.5两自由度体系的振动分析8.5.4简谐荷载作用下无阻尼的受迫振动分析幅值方程运动方程特解（稳态解）+A第16页/共67页8.5两自由度体系的振动分析8.5.4共振分析在两个自由度的振动中，当外界干扰力的频率等于体系的任意一阶自振频率时，都会出现共振，即体系存在两个共振点。8.5两自由度体系的振动分析第17页/共67页共振分析在两个自由度的振动中，当外界干扰力的频率等于体系的任特例分析8.5两自由度体系的振动分析第18页/共67页特例分析8.5两自由度体系的振动分析第18页/共6吸振原理2m128.5两自由度体系的振动分析第19页/共67页吸振原理2m128.5两自由度体系的振动分析第19m1EI1=∞m2k1k2EI1=∞hh解:(1)求刚度系数(2)求位移幅值例题8-18已知

。

试求：一、二层横梁的动位移幅值及柱子动弯矩幅值图。由已知条件知:8.5两自由度体系的振动分析第20页/共67页m1EI1=∞m2k1k2EI1=∞hh解:(1)求刚度系数（3）计算惯性力幅值（4）计算内力：将荷载幅值和惯性力幅值作用在结构上，按静力进行计算8.5两自由度体系的振动分析第21页/共67页（3）计算惯性力幅值（4）计算内力：将荷载幅值和惯性力幅值作8.5两自由度体系的振动分析第22页/共67页8.5两自由度体系的振动分析第22页/共67页12l/9图12l/9图m1m2l/3l/3l/3已知：EI=常数，解：(1)求柔度系数和自由项F2Fl/9MP图(2)振幅8.5两自由度体系的振动分析第23页/共67页12l/9图12l/9图m1m2l/3l/3l/3已知：EI（3）动弯矩幅值8.5两自由度体系的振动分析第24页/共67页（3）动弯矩幅值8.5两自由度体系的振动分析第24F动弯矩幅值图F荷载幅值的静弯矩图0.952F0.342F0.611F动剪力幅值图2F/3F/3荷载幅值的静剪力图8.5两自由度体系的振动分析第25页/共67页F动弯矩幅值图F荷载幅值的静弯矩图0.952F0.342F0（4）动力系数多自由度体系没有统一的动力系数位移放大系数：弯矩放大系数：8.5两自由度体系的振动分析第26页/共67页（4）动力系数多自由度体系没有统一的动力系数位移放大系数：弯8.6多自由度体系的振动分析振型正交性、任意位移向量可按正则坐标（振型）分解、两自由度体系可以化为两个单自由度求解等结论同样适用于多自由度体系。8.6.1无阻尼自由振动分析n个自由度体系无阻尼自由振动方程为振型或幅值方程为频率方程为n个主振型对应的频率通解为第27页/共67页8.6多自由度体系的振动分析振型正交性、任意位移向8.6多自由度体系的振动分析例题8-20

已知条件如图8-39所示，试求结构的频率和振型。解：(1)频率计算第28页/共67页8.6多自由度体系的振动分析例题8-20已知条8.6多自由度体系的振动分析第29页/共67页8.6多自由度体系的振动分析第29页/共67页8.6多自由度体系的振动分析(2)振型计算（归一化）第30页/共67页8.6多自由度体系的振动分析(2)振型计算（归一化8.6多自由度体系的振动分析例题8-21

已知例题8-20所示体系的第一、二两振型分别为；。试求结构的频率。解：(1)求第三振型设第31页/共67页8.6多自由度体系的振动分析例题8-21已知例8.6多自由度体系的振动分析(2)求广义质量(3)求广义刚度(4)求各振型频率（注意：）第32页/共67页8.6多自由度体系的振动分析(2)求广义质量(38.6多自由度体系的振动分析例题8-22

设有一位移向量，试用例题8-20的振型向量将其进行分解。解：广义坐标第33页/共67页8.6多自由度体系的振动分析例题8-22设有一8.6.2无阻尼受迫振动分析——振型分解法关于正则坐标n个独立运动方程，解答可由单自由度的杜哈梅积分给出。8.6多自由度体系的振动分析第34页/共67页8.6.2无阻尼受迫振动分析——振型分解法关于正振型分解法（modeanalysismethod）或振型叠加法（modesuperpositionmethod）。主要核心是：把位移向量按振型进行分解，利用振型的正交性，从而得到相互独立的关于正则坐标的单自由度运动方程。8.6多自由度体系的振动分析第35页/共67页振型分解法（modeanalysismethod）或振型振型分解法按以下步骤进行：（1）求体系的自振频率和对应的振型。（2）计算广义质量和广义荷载。（3）杜哈梅（Duhamel）积分求解正则坐标（4）计算体系的位移响应向量（5）如果是非零初始条件，则确定积分常数。（6）由体系的位移响应进一步求其他动力响应。8.6多自由度体系的振动分析第36页/共67页振型分解法按以下步骤进行：8.6多自由度体系的振动例题8-23分析图8-40(a)所示静止的结构，在质点2处受突加荷载作用时的位移响应。已知,荷载为，EI=常数。解：(1)自振频率和振型(2)计算广义质量8.6多自由度体系的振动分析第37页/共67页例题8-23分析图8-40(a)所示静止的结构(3)计算广义荷载(4)正则坐标的解答（杜哈梅积分）为(5)两个自由度的位移向量解答8.6多自由度体系的振动分析第38页/共67页(3)计算广义荷载(4)正则坐标的解答（杜哈梅积分）为(5)注意：动力位移一般主要由前几阶较低频率的振型组成，可只取少数几个振型进行计算。在求位移的幅值时，不能简单地由各振型幅值叠加。8.6多自由度体系的振动分析第39页/共67页注意：动力位移一般主要由前几阶较低频率的振型组成，可只取少数8.6.3有阻尼受迫振动分析1．多自由度体系的阻尼问题

C为阻尼矩阵（dampingmatrix）。在粘滞阻尼假设下，阻尼矩阵元素的物理意义为：第个位移方向有单位速度（其他质量位移方向的速度为零）所引起的第个位移方向的阻尼力，称为阻尼影响系数（dampinginfluencecoefficient）比例阻尼（proportiondamping也称Rayleigh阻尼），其表达式为第阶振型的广义阻尼系数(generalizeddampingcoefficient)8.6多自由度体系的振动分析第40页/共67页8.6.3有阻尼受迫振动分析1．多自由度体系的阻第j阶振型的广义阻尼比(generalizeddampingratio)钢筋混凝土结构实验测得的阻尼比来计算a、b的值8.6多自由度体系的振动分析第41页/共67页第j阶振型的广义阻尼比(generalizeddamp2．有阻尼受迫振动分析8.6多自由度体系的振动分析第42页/共67页2．有阻尼受迫振动分析8.6多自由度体系的振动分析8.7频率和振型的实用计算方法能量法求基本频率和迭代法求前几阶较低的频率及其相应的振型8.7.1能量法求基频变形能+动能=const.1．单自由度体系能量法（energymethod）或称为瑞利法(Rayleighmethod第43页/共67页8.7频率和振型的实用计算方法能量法求基本频率和迭8.7频率和振型的实用计算方法2.多自由度体系第44页/共67页8.7频率和振型的实用计算方法2.多自由度体系8.7频率和振型的实用计算方法例题8-24用能量法求两层刚架的基本频率。图中刚架各立柱的抗弯刚度，横梁的质量m1、m2均为5000kg，立柱的质量忽略不计，每层的高度。解法一：在质量m1上沿运动方向作用一个单位力基本频率为10.050(1/s),其误差为第45页/共67页8.7频率和振型的实用计算方法例题8-24用能8.7频率和振型的实用计算方法解法二：将运动质量对应的重量沿振动方向作用在结构上，误差仅为第46页/共67页8.7频率和振型的实用计算方法解法二：将运动质量对8.7频率和振型的实用计算方法8.7.2迭代法求频率和振型动力矩阵（dynamicmatrix）任意假设一个经过标准化（例如取第一个元素为1）的初始迭代向量，将其按振型分解可得标准化第一次迭代第47页/共67页8.7频率和振型的实用计算方法8.7.28.7频率和振型的实用计算方法第二次迭代第m次迭代第48页/共67页8.7频率和振型的实用计算方法第二次迭代第m次迭代8.7频率和振型的实用计算方法当m足够大时第49页/共67页8.7频率和振型的实用计算方法当m足够大时第49页用迭代法可求得第一频率和振型，具体的计算的步骤为：（1）计算并形成体系的质量和柔度（或刚度）矩阵；（2）由柔度（或刚度）和质量矩阵生成体系动力矩阵D；（3）假设第一振型的初始迭代向量A0；8.7频率和振型的实用计算方法（4）由用求迭代值并进行标准化（例如取第一个元素为1），得；（6）由计算第一频率，即为第一振型。（5）用代替，重复（4）进行反复迭代，直到满足精度要求为止;第50页/共67页用迭代法可求得第一频率和振型，具体的计算的步骤为：8.7迭代结果总是收敛于第一振型。如果初始迭代向量中，不包含第一主振型成分，，结果收敛于第二主振型。如果，结果将收敛于第三主振型。要想求出体系的高阶振型和频率，就必须在所假设的振型迭代向量中将低阶主振型的分量消除。这个步骤称为清型或滤型。8.7频率和振型的实用计算方法2.迭代法求高阶振型和频率第51页/共67页迭代结果总是收敛于第一振型。8.7频率和振型的实用8.7频率和振型的实用计算方法一阶滤型矩阵为了避免在迭代的过程中由于舍入误差而引入第一主振型的分量，必须在每次迭代前都重复进行上述的滤型过程，以保证迭代过程能收敛于第二主振型。第52页/共67页8.7频率和振型的实用计算方法一阶滤型矩阵为了避免经过滤型后的求第二主振型所需用的动力矩阵。8.7频率和振型的实用计算方法第53页/共67页经过滤型后的求第二主振型所需用的动力矩阵。8.7频8.7频率和振型的实用计算方法3.迭代法算例例题8-25试用迭代法求图8-42(a)所示简支梁的第一频率和振型。解：第54页/共67页8.7频率和振型的实用计算方法3.迭代法算例例题求第二主振型所需的动力矩阵如下：8.7频率和振型的实用计算方法第55页/共67页求第二主振型所需的动力矩阵如下：8.7频率和振型的8.7结论与讨论8.8.1结论(1)我国是地震多发国家，在当前综合国力条件下，对一般结构的抗震设计原则为“小震不坏、中震可修、大震不倒”，为此掌握结构动力学基本知识十分重要。(2)随时间变化的荷载作用是否作动力学问题分析，要看结构在这种荷载作用下所产生的惯性力大小。对于不同结构受同一荷载作用，结论可能是不同的。(3)实际结构都是无限自由度的，一般可用集中质量法将其简化为有限自由度问题进行分析。(4)体系的自由度数目既和体系的质量数目有关，又不完全取决于质量数目，自由度还和体系的可能变形状态有关，因此要根据具体问题“按自由度数定义”分析确定。第56页/共67页8.7结论与讨论8.8.1结论(1)(5)建立体系运动方程的方法很多，最常用的是动静法，这是将随时间变化的运动方程建立问题，在考虑惯性力和阻尼力后转化为瞬时平衡问题。(6)直接平衡法有两种建立方程的方法：刚度法和柔度法。但都是根据达朗伯尔原理和所采用的阻尼假设在体系上加惯性力和阻尼力。刚度法是考虑质量各自由度方向的平衡；柔度法是建立各自由度方向位移的协调条件。(7)动力自由度数是确定质量空间位置的独立坐标（参数）个数，它和结构超静定次数或独立位移个数没有关系。列运动方程时的刚度系数和柔度系数和解超静定问题时的对应系数之间也没有关系。(8)集中质量多自由度体系的质量矩阵是对角矩阵，其元素为各自由度方向的总质量。刚度矩阵元素为“仅j自由度发生单位位移时，i自由度方向所需施加的（附加）约束反力”，根据反力互等定理刚度矩阵是对称的。8.7结论与讨论第57页/共67页(5)建立体系运动方程的方法很多，最常用的是动静法，这是将随(9)等效干扰力向量的元素可由“刚度矩阵乘荷载位移向量计算”，也可由约束全部自由度的位移，求动荷载下附加约束上的反力来组成。用后一方案时要注意反力反向才是等效干扰力。(10)单自由度体系的频率、周期的计算公式；振幅、相位的算式和各种力的平衡关系；简谐荷载下纯受迫振动的动力放大系数与频率比、阻尼比间的关系等等。这些基本概念必须深刻理解、熟练掌握。(11)利用使结构产生初位移或初速度来获得自由振动记录，从而可用式（8-31a）由实测得到阻尼比。这是最常用方法之一。由于阻尼比一般很小，它对频率、周期的影响一般可忽略。(12)在共振区，阻尼的作用是不可忽略的。从能量角度看，阻尼使能量耗散，当不希望有能量耗散时应减少阻尼，而当希望尽可能使输入结构的能量减少时，应增大阻尼。8.7结论与讨论第58页/共67页(9)等效干扰力向量的元素可由“刚度矩阵乘荷载位移向量计算”(13)对于线性体系利用冲量叠加建立了Duhamel积分公式，利用Duhamel积分可获得结构在各种动荷载作用下的解析或数值响应。(14)利用Fourier级数展开，可将任意周期荷载变成常量荷载和一系列简谐荷载的叠加。(15)对于各种短期荷载作用，可以不考虑阻尼的影响，关键是要分时段进行分析。(16)不管运动方程用那种方法建立，多自由度体系自由振动最终归结为求解频率和振型方程，从数学上说属矩阵特征值问题。(17)多自由度体系的自振频率取决于结构的刚度矩阵（或柔度矩阵）和质量矩阵，频率方程为：

8.7结论与讨论第59页/共67页(13)对于线性体系利用冲量叠加建立了Duhamel积分公式(18)一般工程结构作多自由度无阻尼自由振动分析时，其自振频率个数等于自由度数，且各不相等。其中最小频率称为基本频率，简称为基频。全部频率由小到大排列的序列，称为体系的频率谱。如果相邻频率间隔较小，称为密集型频谱。否则，称为稀疏型频率。不同频率谱的结构受动荷载作用的响应是不同的，频率谱是结构的重要动力特性之一。(19)将频率代入振型方程，可求得每一个自振频率对应的振型向量，它反映了结构以该自振频率振动时所固有的变形形态。振型向量可用令向量中某个元素为一给定值（一般取为1）进行规格化。(20)不同自振频率的振型向量对质量矩阵和刚度矩阵都是正交的。8.7结论与讨论第60页/共67页(18)一般工程结构作多自由度无阻尼自由振动分析时，其自振频阻尼是一个复杂的问题，为简化一般结构的动力分析，常用Rayleigh比例阻尼，也即阻尼矩阵，显然这时振型对阻尼也将是正交的。其中a、b由已知的任意两频率及对应的阻尼比确定，对钢筋混凝土结构，一般假设第一和第二振型阻尼比都为0.05，由此可求得各振型的阻尼比。(21)多自由度体系可产生多种频率下的共振。简谐荷载作用下非共振的稳态位移响应，可通过求解如下幅值方程得到式中，为等效干扰力向量的幅值。实质为转换成线性代数方程求解问题。8.7结论与讨论第61页/共67页阻尼是一个复杂的问题，为简化一般结构的动力分析，常用Rayl(22)任意一个n维已知向量，均可按自由度体系的振型展开。因此，多自由度的任意荷载作用下的强迫振动，在假设体系阻尼为比例阻尼的条件下，可通过振型叠加法（或称振型分解法），作正则坐标变换将多自由度体系耦合的运动微分方程组转换成个独立正则坐标的单自由度运动方程，利用单自由度问题的杜哈梅积分，在获得正则坐标解答后，即可利用上式得到受迫振动的响应。(23)利用吸振器原理，在主体结构上附加调频质量阻尼器或调频液体阻尼器，使阻尼器的频率接近主体结构的基频，可达到减少主体结构振动的作用。8.7结论与讨论第62页/共67页(22)任意一个n维已知向量，均可按自由度体系的振型展开。(24)对无阻尼体系，根据能量守恒，可用能量法求体系自振频率，一般用以求基频。当将运动质量的重量沿自由度方向作用，以其所产生的静位移作为第一振型的近似值，按能量法计算可获得相当精确的结果。能量法结果是精确解的上限。(25)对频率稀疏型结构，用迭代法可方便地求得前几阶振型和频率。求第一振型时的动力矩阵为，不管初始假设的近似振型如何，也不管计算过程中是否有误，均能收敛与第一振型和频率。当要求频谱前几阶频率和振型时，得用考虑滤型的动力矩阵。8.7结论与讨论第63页/共67页(24)对无阻尼体系，根据能量守恒，可用能量法求体系自振频率8.7结论与讨论8.8.2讨论（1）当质量集中于杆系结构结点时，如果考虑杆件的轴向变形，集中质量的数目和体系的自由度数有何关系。（2）对于经受地震地面运动作用的结构，当不考虑地面运动转动分量时，以质量相对地面的运动参数作为体系的自由度，根据达朗伯尔原理加惯性力时考虑地面的牵连运动（惯性力由绝对加速度引起）即可（3）在给定动荷载的条件下，单自由度体系的最大响应只和周期、阻尼比有关。对不同的阻尼比做出最大响应随周期变化的曲线，这些曲线称为体系在给定荷载作用下的“反应谱”。位移的最大响应曲线叫位移反应谱、速度的叫速度反应谱、加速度的叫加速度反应谱。这一概念是结构抗震课程的基础。第64页/共67页8.7结论与讨论8.8.2讨论（1）当8.7结论与讨论（4）结构刚度较小的顶部附属部分鞭击效应（鞭梢效应）。（5）其他正交关系（6）可取少量低阶振型结果的叠加作近似解，使工作量减少。（7）人体和结构的共同作用结果，将使结构的刚度和阻尼都发生变化，使人-结构体系的频率比原结构的频率增高。第65页/共67页8.7结论与讨论（4）结构刚度较小的顶部附属部分鞭再见第8章结构动力计算第66页/共67页再见第8章结构动力计算第66页/共67页感谢您的观看。第67页/共67页感谢您的观看。第67页/共67页会计学69结构动力计算多自由会计学1结构动力计算多自由8.5两自由度体系的振动分析一个特解对应一种振动形式。按每一特解形式作自由振动的特点是：1）体系上所有质量的振动频率相同。2）在振动的任一时刻，各质量位移的比值保持不变，即振动形状保持不变，将此振动形式称作主振型，简称为振型（modeshape）。第1页/共67页8.5两自由度体系的振动分析一个特解对应一种振动形8.5两自由度体系的振动分析运动方程的通解四个积分常数A、B、α1和α2，可由运动的初始条件、（）确定。第2页/共67页8.5两自由度体系的振动分析运动方程的通解8.5两自由度体系的振动分析8.5.2频率和振型第一频率或基本频率第二频率基本振型或第一振型第二振型体系的频率和振型是体系的固有属性（naturalproperty），与外界因素无关。振型向量第3页/共67页8.5两自由度体系的振动分析8.5.28.5两自由度体系的振动分析

柔度形式的方程第4页/共67页8.5两自由度体系的振动分析柔度形8.5两自由度体系的振动分析特例：刚度形式柔度形式第5页/共67页8.5两自由度体系的振动分析特例：刚度形式柔度形式8.5两自由度体系的振动分析例题8-15

试求图8-32(a)所示两层刚架的自振频率和振型。，已知横梁为刚性，各立柱的抗弯刚度，立柱的质量忽略不计，横梁的质量m1=m2=5000kg，每层的高度5m。解：两个自由度体系，设m1的位移为y1，m2的位移为y2第6页/共67页8.5两自由度体系的振动分析例题8-15试求8.5两自由度体系的振动分析1.28091第二主振型10.7808第一主振型第7页/共67页8.5两自由度体系的振动分析1.28091第二主振8.5两自由度体系的振动分析例题8-16图8-33(a)所示简支梁在三分点处有两个相等的集中质量，不计梁本身的自重，梁的抗弯刚度为常数。试用柔度法求其自振频率和振型。解：不计轴向变形，本例有两个自由度，设1、2两处质量的竖向位移分别为y1和y2。第8页/共67页8.5两自由度体系的振动分析例题8-16图8.5两自由度体系的振动分析第一主振型(正对称)第二主振型(反对称)

利用对称性对称两自由度体系的自由振动可通过求解两个单自由度问题来解决.正对称反对称第9页/共67页8.5两自由度体系的振动分析第一主振型第二主振型8.5两自由度体系的振动分析8.5.3振型的正交性及其应用两个自由度体系有两个振型向量，存在着对质量矩阵和刚度矩阵的正交性（orthogonality）：对应不同自振频率的振型向量对质量矩阵和刚度矩阵都是正交的。证明：第10页/共67页8.5两自由度体系的振动分析8.5.38.5两自由度体系的振动分析关于振型正交性的物理解释第i阶振型产生的惯性力在第j

阶振型的位移上所做的虚功为零，也即由某振型产生的惯性力在非自身振型上不做功第11页/共67页8.5两自由度体系的振动分析关于振型正交性的物理解3）振型正交性的利用（1）可用振型的正交性来检验所求得的振型是否正确。例题8-17

试检验例题8-15所求得振型的正确性。解：由此证明，所得振型具有较好的精度，是正确的。8.5两自由度体系的振动分析第12页/共67页3）振型正交性的利用例题8-17试检验例题8-18.5两自由度体系的振动分析（2）已知振型的情形下，可用以计算该振型对应的自振频率。证明：称为第i

振型的广义质量称为第i

振型的广义刚度小结:第13页/共67页8.5两自由度体系的振动分析（2）已知振型的情形下8.5两自由度体系的振动分析（3）位移的分解任意一个给定位移向量，利用振型的正交性，均可将其分解成2个振型的线性组合。

位移向量按振型的正则坐标变换（normalcoordinatestransform），组合系数称为位移向量的广义坐标（generalizedcoordinates或称正则坐标）第14页/共67页8.5两自由度体系的振动分析（3）位移的分解8.5两自由度体系的振动分析（4）将两自由度体系变成单自由度求解+=0两边同时左乘第15页/共67页8.5两自由度体系的振动分析（4）将两自由度体8.5两自由度体系的振动分析8.5.4简谐荷载作用下无阻尼的受迫振动分析幅值方程运动方程特解（稳态解）+A第16页/共67页8.5两自由度体系的振动分析8.5.4共振分析在两个自由度的振动中，当外界干扰力的频率等于体系的任意一阶自振频率时，都会出现共振，即体系存在两个共振点。8.5两自由度体系的振动分析第17页/共67页共振分析在两个自由度的振动中，当外界干扰力的频率等于体系的任特例分析8.5两自由度体系的振动分析第18页/共67页特例分析8.5两自由度体系的振动分析第18页/共6吸振原理2m128.5两自由度体系的振动分析第19页/共67页吸振原理2m128.5两自由度体系的振动分析第19m1EI1=∞m2k1k2EI1=∞hh解:(1)求刚度系数(2)求位移幅值例题8-18已知

。

试求：一、二层横梁的动位移幅值及柱子动弯矩幅值图。由已知条件知:8.5两自由度体系的振动分析第20页/共67页m1EI1=∞m2k1k2EI1=∞hh解:(1)求刚度系数（3）计算惯性力幅值（4）计算内力：将荷载幅值和惯性力幅值作用在结构上，按静力进行计算8.5两自由度体系的振动分析第21页/共67页（3）计算惯性力幅值（4）计算内力：将荷载幅值和惯性力幅值作8.5两自由度体系的振动分析第22页/共67页8.5两自由度体系的振动分析第22页/共67页12l/9图12l/9图m1m2l/3l/3l/3已知：EI=常数，解：(1)求柔度系数和自由项F2Fl/9MP图(2)振幅8.5两自由度体系的振动分析第23页/共67页12l/9图12l/9图m1m2l/3l/3l/3已知：EI（3）动弯矩幅值8.5两自由度体系的振动分析第24页/共67页（3）动弯矩幅值8.5两自由度体系的振动分析第24F动弯矩幅值图F荷载幅值的静弯矩图0.952F0.342F0.611F动剪力幅值图2F/3F/3荷载幅值的静剪力图8.5两自由度体系的振动分析第25页/共67页F动弯矩幅值图F荷载幅值的静弯矩图0.952F0.342F0（4）动力系数多自由度体系没有统一的动力系数位移放大系数：弯矩放大系数：8.5两自由度体系的振动分析第26页/共67页（4）动力系数多自由度体系没有统一的动力系数位移放大系数：弯8.6多自由度体系的振动分析振型正交性、任意位移向量可按正则坐标（振型）分解、两自由度体系可以化为两个单自由度求解等结论同样适用于多自由度体系。8.6.1无阻尼自由振动分析n个自由度体系无阻尼自由振动方程为振型或幅值方程为频率方程为n个主振型对应的频率通解为第27页/共67页8.6多自由度体系的振动分析振型正交性、任意位移向8.6多自由度体系的振动分析例题8-20

已知条件如图8-39所示，试求结构的频率和振型。解：(1)频率计算第28页/共67页8.6多自由度体系的振动分析例题8-20已知条8.6多自由度体系的振动分析第29页/共67页8.6多自由度体系的振动分析第29页/共67页8.6多自由度体系的振动分析(2)振型计算（归一化）第30页/共67页8.6多自由度体系的振动分析(2)振型计算（归一化8.6多自由度体系的振动分析例题8-21

已知例题8-20所示体系的第一、二两振型分别为；。试求结构的频率。解：(1)求第三振型设第31页/共67页8.6多自由度体系的振动分析例题8-21已知例8.6多自由度体系的振动分析(2)求广义质量(3)求广义刚度(4)求各振型频率（注意：）第32页/共67页8.6多自由度体系的振动分析(2)求广义质量(38.6多自由度体系的振动分析例题8-22

设有一位移向量，试用例题8-20的振型向量将其进行分解。解：广义坐标第33页/共67页8.6多自由度体系的振动分析例题8-22设有一8.6.2无阻尼受迫振动分析——振型分解法关于正则坐标n个独立运动方程，解答可由单自由度的杜哈梅积分给出。8.6多自由度体系的振动分析第34页/共67页8.6.2无阻尼受迫振动分析——振型分解法关于正振型分解法（modeanalysismethod）或振型叠加法（modesuperpositionmethod）。主要核心是：把位移向量按振型进行分解，利用振型的正交性，从而得到相互独立的关于正则坐标的单自由度运动方程。8.6多自由度体系的振动分析第35页/共67页振型分解法（modeanalysismethod）或振型振型分解法按以下步骤进行：（1）求体系的自振频率和对应的振型。（2）计算广义质量和广义荷载。（3）杜哈梅（Duhamel）积分求解正则坐标（4）计算体系的位移响应向量（5）如果是非零初始条件，则确定积分常数。（6）由体系的位移响应进一步求其他动力响应。8.6多自由度体系的振动分析第36页/共67页振型分解法按以下步骤进行：8.6多自由度体系的振动例题8-23分析图8-40(a)所示静止的结构，在质点2处受突加荷载作用时的位移响应。已知,荷载为，EI=常数。解：(1)自振频率和振型(2)计算广义质量8.6多自由度体系的振动分析第37页/共67页例题8-23分析图8-40(a)所示静止的结构(3)计算广义荷载(4)正则坐标的解答（杜哈梅积分）为(5)两个自由度的位移向量解答8.6多自由度体系的振动分析第38页/共67页(3)计算广义荷载(4)正则坐标的解答（杜哈梅积分）为(5)注意：动力位移一般主要由前几阶较低频率的振型组成，可只取少数几个振型进行计算。在求位移的幅值时，不能简单地由各振型幅值叠加。8.6多自由度体系的振动分析第39页/共67页注意：动力位移一般主要由前几阶较低频率的振型组成，可只取少数8.6.3有阻尼受迫振动分析1．多自由度体系的阻尼问题

C为阻尼矩阵（dampingmatrix）。在粘滞阻尼假设下，阻尼矩阵元素的物理意义为：第个位移方向有单位速度（其他质量位移方向的速度为零）所引起的第个位移方向的阻尼力，称为阻尼影响系数（dampinginfluencecoefficient）比例阻尼（proportiondamping也称Rayleigh阻尼），其表达式为第阶振型的广义阻尼系数(generalizeddampingcoefficient)8.6多自由度体系的振动分析第40页/共67页8.6.3有阻尼受迫振动分析1．多自由度体系的阻第j阶振型的广义阻尼比(generalizeddampingratio)钢筋混凝土结构实验测得的阻尼比来计算a、b的值8.6多自由度体系的振动分析第41页/共67页第j阶振型的广义阻尼比(generalizeddamp2．有阻尼受迫振动分析8.6多自由度体系的振动分析第42页/共67页2．有阻尼受迫振动分析8.6多自由度体系的振动分析8.7频率和振型的实用计算方法能量法求基本频率和迭代法求前几阶较低的频率及其相应的振型8.7.1能量法求基频变形能+动能=const.1．单自由度体系能量法（energymethod）或称为瑞利法(Rayleighmethod第43页/共67页8.7频率和振型的实用计算方法能量法求基本频率和迭8.7频率和振型的实用计算方法2.多自由度体系第44页/共67页8.7频率和振型的实用计算方法2.多自由度体系8.7频率和振型的实用计算方法例题8-24用能量法求两层刚架的基本频率。图中刚架各立柱的抗弯刚度，横梁的质量m1、m2均为5000kg，立柱的质量忽略不计，每层的高度。解法一：在质量m1上沿运动方向作用一个单位力基本频率为10.050(1/s),其误差为第45页/共67页8.7频率和振型的实用计算方法例题8-24用能8.7频率和振型的实用计算方法解法二：将运动质量对应的重量沿振动方向作用在结构上，误差仅为第46页/共67页8.7频率和振型的实用计算方法解法二：将运动质量对8.7频率和振型的实用计算方法8.7.2迭代法求频率和振型动力矩阵（dynamicmatrix）任意假设一个经过标准化（例如取第一个元素为1）的初始迭代向量，将其按振型分解可得标准化第一次迭代第47页/共67页8.7频率和振型的实用计算方法8.7.28.7频率和振型的实用计算方法第二次迭代第m次迭代第48页/共67页8.7频率和振型的实用计算方法第二次迭代第m次迭代8.7频率和振型的实用计算方法当m足够大时第49页/共67页8.7频率和振型的实用计算方法当m足够大时第49页用迭代法可求得第一频率和振型，具体的计算的步骤为：（1）计算并形成体系的质量和柔度（或刚度）矩阵；（2）由柔度（或刚度）和质量矩阵生成体系动力矩阵D；（3）假设第一振型的初始迭代向量A0；8.7频率和振型的实用计算方法（4）由用求迭代值并进行标准化（例如取第一个元素为1），得；（6）由计算第一频率，即为第一振型。（5）用代替，重复（4）进行反复迭代，直到满足精度要求为止;第50页/共67页用迭代法可求得第一频率和振型，具体的计算的步骤为：8.7迭代结果总是收敛于第一振型。如果初始迭代向量中，不包含第一主振型成分，，结果收敛于第二主振型。如果，结果将收敛于第三主振型。要想求出体系的高阶振型和频率，就必须在所假设的振型迭代向量中将低阶主振型的分量消除。这个步骤称为清型或滤型。8.7频率和振型的实用计算方法2.迭代法求高阶振型和频率第51页/共67页迭代结果总是收敛于第一振型。8.7频率和振型的实用8.7频率和振型的实用计算方法一阶滤型矩阵为了避免在迭代的过程中由于舍入误差而引入第一主振型的分量，必须在每次迭代前都重复进行上述的滤型过程，以保证迭代过程能收敛于第二主振型。第52页/共67页8.7频率和振型的实用计算方法一阶滤型矩阵为了避免经过滤型后的求第二主振型所需用的动力矩阵。8.7频率和振型的实用计算方法第53页/共67页经过滤型后的求第二主振型所需用的动力矩阵。8.7频8.7频率和振型的实用计算方法3.迭代法算例例题8-25试用迭代法求图8-42(a)所示简支梁的第一频率和振型。解：第54页/共67页8.7频率和振型的实用计算方法3.迭代法算例例题求第二主振型所需的动力矩阵如下：8.7频率和振型的实用计算方法第55页/共67页求第二主振型所需的动力矩阵如下：8.7频率和振型的8.7结论与讨论8.8.1结论(1)我国是地震多发国家，在当前综合国力条件下，对一般结构的抗震设计原则为“小震不坏、中震可修、大震不倒”，为此掌握结构动力学基本知识十分重要。(2)随时间变化的荷载作用是否作动力学问题分析，要看结构在这种荷载作用下所产生的惯性力大小。对于不同结构受同一荷载作用，结论可能是不同的。(3)实际结构都是无限自由度的，一般可用集中质量法将其简化为有限自由度问题进行分析。(4)体系的自由度数目既和体系的质量数目有关，又不完全取决于质量数目，自由度还和体系的可能变形状态有关，因此要根据具体问题“按自由度数定义”分析确定。第56页/共67页8.7结论与讨论8.8.1结论(1)(5)建立体系运动方程的方法很多，最常用的是动静法，这是将随时间变化的运动方程建立问题，在考虑惯性力和阻尼力后转化为瞬时平衡问题。(6)直接平衡法有两种建立方程的方法：刚度法和柔度法。但都是根据达朗伯尔原理和所采用的阻尼假设在体系上加惯性力和阻尼力。刚度法是考虑质量各自由度方向的平衡；柔度法是建立各自由度方向位移的协调条件。(7)动力自由度数是确定质量空间位置的独立坐标（参数）个数，它和结构超静定次数或独立位移个数没有关系。列运动方程时的刚度系数和柔度系数和解超静定问题时的对应系数之间也没有关系。(8)集中质量多自由度体系的质量矩阵是对角矩阵，其元素为各自由度方向的总质量。刚度矩阵元素为“仅j自由度发生单位位移时，i自由度方向所需施加的（附加）约束反力”，根据反力互等定理刚度矩阵是对称的。8.7结论与讨论第57页/共67页(5)建立体系运动方程的方法很多，最常用的是动静法，这是将随(9)等效干扰力向量的元素可由“刚度矩阵乘荷载位移向量计算”，也可由约束全部自由度的位移，求动荷载下附加约束上的反力来组成。用后一方案时要注意反力反向才是等效干扰力。(10)单自由度体系的频率、周期的计算公式；振幅、相位的算式和各种力的平衡关系；简谐荷载下纯受迫振动的动力放大系数与频率比、阻尼比间的关系等等。这些基本概念必须深刻理解、熟练掌握。(11)利用使结构产生初位移或初速度来获得自由振动记录，从而可用式（8-31a）由实测得到阻尼比。这是最常用方法之一。由于阻尼比一般很小，它对频率、周期的影响一般可忽略。(12)在共振区，阻尼的作用是不可忽略的。从能量角度看，阻尼使能量耗散，当不希望有能量耗散时应减