2022-2023学年北师大版九年级数学上册《1-1菱形的性质与判定》期中综合复习测评(附答案)

2022-2023学年北师大版九年级数学上册《1.1菱形的性质与判定》期中综合复习测评（附答案）一．选择题（共9小题，满分27分）平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，添加以下条件，不能判定平行四形ABCD为菱形的是（ ）A．AC⊥BD B．∠ABD＝∠CBD C．AB＝BC D．AC＝BD已知菱形的两条对角线的长分别为6cm和8cm，则这个菱形的面积是（ ）A．20cm2 B．24cm2 C．48cm2 D．100cm23角的度数是（ ）A．150° B．135° C．120° D．100°4ABCDOAC＝612，则菱形ABCD的周长等于（ ）A．4 B．2√3 C．√13 D．4√135ABCDBDEOE，若∠ABC＝140°，则∠OED的度数为（ ）A．15° B．20° C．25° D．30°ABCD中，ACBDO，AB＝ACEBC15°，AE与BD相交于F，下列结论不正确的是（ ）A．∠EBF＝30° B．BE＝BF D．OE⊥BCABCD中，AB＝3，AC＝2，则四边形ABCD的面积为（ ）A．4√2 B．6√2 C．8√2 D．5ABCDAGBCA为圆心长为半径画弧交AD于F，若BF＝12，AB＝10，则AE的长为（ ）A．16 B．15 C．14 D．13如图菱形ABCD的对角线ACBD相交于点过点C作CE⊥AD于点连接，若8S菱9，则E的长为（ ）A．2√3 B．2√5 C．6 D．8二．填空题（共9小题，满分27分）如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠B＝60°，E、F分别为BCCD的中点，则的周长为 ．如图四边形D是菱形＝21⊥B于点H则线段H的长为 ．如图，已知点A的坐标√，2，点B的坐标是（−√，菱形D的对角线交于坐标原点O，则点D的坐标是 ．如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝70°，延长BC到E，在∠DCE内作射线CM，使得∠ECM＝15°，过点D作垂足为F．若DF=√6，则对角线BD的长为 ．ABCDAB＝4，CE＝1，则DF的长为 ．ABCDEABCEBDF，AB＝4，CE＝2√3，则BD的长是 ．中，AB＝AC＝4，∠B＝30°，DBCAD，作菱形ADEF，且∠DAF＝60°，连接CE，当BD＝ 时，△CDE为等腰三角形．ABCD，ACEABEAC的垂D交于点FM＝12＝＝．ABCD中，AB＝BDEFABAD上任意的点（不与端点重合BFDECGBDCG＝2√3，BCDG的面积为．三．解答题（866分）ABCDADBD，BE，∠ABD＝90°BCDE为菱形．AC⊥BE，BC＝2BD的长．如图，在四边形ABCD平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点F，连接OEABCD是菱形；若√10，BD＝2，请直接写出的面积为 ．ABCDF上的两个动点AE+CF＝2．的形状，并说明理由．ABCD是菱形，过ABEACADM，CDF．DF＝3ABCD的周长．ABCDACBDOE，FBD和DB的延长线上，且DE＝BF，连接AE，CF．BDACAFCE是菱形？请说明理由．ABCDACBD且∠1＝∠2．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）E为AO上一点，连接BE，若AE＝4，AB＝6，EB＝2√3，求AO的长．如图，在四边形ABCDBDADBC分别相交、N．BNDM是菱形；BD＝12，MN＝4BNDM的周长．如图1，在菱形DF分别是边，C＝F＝6°，（Ⅱ）如图2，若点，F分别移动到边C想∠BAE与∠CEF的大小关系，并给予证明．一．选择题（927分

参考答案ABCD∴平行四边形ABCD是菱形，故选项A不符合题意；B、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB，∴∠CDB＝∠CBD，∴BC＝DC，∴平行四边形ABCD是菱形，故选项B不符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，∴平行四边形ABCD是菱形，故选项C不符合题意；D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形，故选项D不符合题意；故选：D．解：∵菱形的两条对角线的长分别为6cm8cm，2=1×682（，2故选：B．AAE⊥BC，AE⊥BCEBC则△ABC为等腰三角形即AB＝AC，即AB＝AC＝BC，∴∠ABC＝60°，∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝180°﹣60°＝120°．故选：C．12，1∴AC•BD＝12，2∵AC＝6，∴BD＝4，∵菱形ABCD对角线互相垂直平分，∴BO＝OD＝2，AO＝OC＝3，∴AB=√𝑂𝐵2+𝑂𝐴2=√22+32=√13，∴菱形的周长为4√13．故选：D．ABCD是菱形，∠ABC＝140°，2∠∴∠ABD＝∠CBD=2∠

ABC＝70°，BO＝DO，∵DE⊥BC，∴OE＝OD＝OB，∠BDE＝20°，∴∠ODE＝∠OED＝20°，故选：B．ABCD中，AB＝CB＝AD＝CD，∵AB＝AC，∴AB＝CB＝AD＝CD＝AC，∴△ABC和△ADC都是等边三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，∵BD＝BD（公共边）∴D≌DSSS，2∠∴∠ABD＝∠CBD=2∠

ABC＝30°；∴∠EBF＝30°．∴A正确；∵∠ABC＝∠BAC＝60°，∠CAE＝15°，∴∠BAE＝60°﹣15°＝45°，∴∠BEF＝180°﹣60°﹣45°＝75°，∴∠BFE＝180°﹣30°﹣75°＝75°，∴∠BEF＝∠BFE，∴BE＝BF．∴B正确；过点F作FG∥BC，交AD于点G，∵∠GFB＝∠FBE＝∠GBF，∴GF＝BG，𝐴𝐺∴ 𝐴𝐵𝐴𝐺∴ 𝐵𝐺𝐹𝐴∴ =E𝐹

𝐵𝐺𝐵E，𝐴𝐵𝐵E，𝐴𝐵𝐵E，∵AB＝BC＞BE，∴FA＞EF，∴C正确；假设OE⊥BC正确，则∠BEO＝90°，∵∠BEF＝75°，∴∠OEA＝90°﹣75°＝15°＝∠CAE，∴OE＝OA＝OC，∴∠OEC＝∠OCE＝60°，∵∠OEC＝60°与OE⊥BC相矛盾，∴假设不成立，∴OE⊥BC错误，∴D不正确．故选：D．AAE⊥CDE，AF⊥BCFAC，BDO，∵两条纸条宽度相同，∴AE＝AF．∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．∵S•．＝．∴BC＝CD，∴四边形ABCD是菱形，∴AO＝CO＝1，BO＝DO，AC⊥BD，∴BO=√𝐴𝐵 2−𝐴𝑂 2=√9−1∴BD＝4√2，2∴四边形ABCD的面积=4√2×2=4√2，2故选：A．EF，AEBFO，如图，∵AO平分∠BAD，∴∠1＝∠2，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AF∥BE，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴AB＝EB，同理：AF＝BE，又∵AF∥BE，∴四边形ABEF是平行四边形，∴四边形ABEF是菱形，∴AE⊥BF，OB＝OF＝6，OA＝OE，在Rt△AOB中，由勾股定理得：OA=√𝐴𝐵2−𝑂𝐵2=√102−62=8，∴AE＝2OA＝16．故选：A．ABCD是菱形，2BD∴= ，，2BD∴BD＝16，∵S =1＝9，菱形 2∴AC＝12，∵CE⊥AD，∴∠AEC＝90°，2∴OE=1AC＝6，故选：C．2二．填空题（共9小题，满分27分）AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝2，∠D＝∠B＝60°，∴△ABC与△ACD是等边三角形，∵E、F分别为BC、CD的中点，∴AE⊥BC，AF⊥CD，∴AE＝AF=√3，∠BAE＝∠CAE＝∠DAF＝∠CAF＝30°，∴∠EAF＝60°，∴AE＝AF＝EF=√3，∴△AEF的周长为3√3．故答案为3√3．ABCD是菱形，AC＝24，BD＝10，∴S =1＝12，12D，菱形 2∴AD＝AB=√𝐴𝑂2+𝑂𝐷2=13，∵DH⊥AB，∴AO×BD＝DH×AB，∴12×10＝13×DH，∴DH=120．120故答案为：13．ABCD为菱形，∴OB＝OD，又∵点O为坐标原点，∴点B和点D关于原点对称，∵点B的坐标为（1−√，∴D点坐标为1√．ACBDH，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝70°，2∴BH＝DH，AC⊥BD，CB＝CD，∠CBD=1∠ABC＝35°，AB∥CD，2∴∠DHC＝90°，∠CDB＝∠CBD＝35°，∠DCE＝∠ABC＝70°，∵∠ECM＝15°，∴∠DCF＝∠DCB﹣∠ECM＝70°﹣15°＝55°，∵DF⊥CM，∴∠DFC＝90°，∴∠CDF＝90°﹣∠DCF＝35°，∴∠CDH＝∠CDF，在△CDH和△CDF中，∠𝐷H𝐶=∠𝐷𝐹𝐶=90°{∠𝐶𝐷H=∠𝐶𝐷𝐹 ，𝐶𝐷=𝐶𝐷∴≌（，∴DH＝DF=√6，∴BD＝2DH＝2√6，故答案为：2√6．ABCD为菱形，∴AB＝AD＝CD＝4，∠DAB＝∠DCB，∴∠DAF＝∠DCE，∵DE⊥BC，DF⊥AB，∴∠F＝∠E＝90°，在△ADF和△CDE∠𝐹=∠E=90°{∠𝐷𝐴𝐹=∠𝐷𝐶E，𝐴𝐷=𝐶𝐷∴F≌E，∴AF＝CE＝1，∴DF=√𝐴𝐷2−𝐴𝐹2=√42−12=√15．故答案为：√15．ABCD是菱形，∴BC＝AB＝4．∵E是AB的中点，2∴BE=1𝐴𝐵=2．2∵BE2+EC2=22+(2√3)2=16，BC2＝42＝16，∴BE2+EC2＝BC2．∴∠BEC＝90°．即CE⊥AB．连接AC，AC与BD交与点O，如图，∵四边形ABCD是菱形，∴AO⊥BD，BO＝OD=1BD，AO=1AC．2 2∴∠ABC＝60°．∴△ABC为等边三角形．∴AC＝4．∴AO＝2．∴BO=√𝐴𝐵2−𝐴𝑂2=2√3．∴BD＝2BO＝4√3．故答案为：4√3．AAG⊥BCGEEH⊥BCHDDK⊥AB于点K，在Rt△ABG中，∠AGB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，2∴AG=1AB＝2，2∴BG=√𝐴𝐵2−𝐴𝐺2=√42−22=2√3，∵AB＝AC，AG⊥BC，2∴BC＝2BG＝4√3，∠BAG＝∠CAG=1∠BAC，2∵AB＝AC，∠B＝30°，∴∠C＝∠B＝30°，∴∠BAC＝120°，∴∠BAG＝∠CAG＝60°，∵四边形ADEF是菱形，且∠DAF＝60°，∴AD＝DE，设BD＝x，则CD＝4√3−x，DG＝2√3−x，∴AD2＝AG2+DG2＝22+（2√3−x）2＝x2﹣4√3x+16，∴DE2＝x2﹣4√3x+16，在Rt△BDK中，∠B＝30°，∴DK=1BD=1x，2 2∴BK=√𝐵𝐷2−𝐷𝐾2=√𝑥2−(1𝑥)2=√3x，2 22∴AK＝AB﹣BK＝4−√3x，2∵∠DAF＝60°，∴∠EDH+∠ADG＝120°，∵∠ADG+∠DAG＝90°，∠DAK+∠DAG＝∠BAG＝60°，∴∠ADG＝∠DAK+30°，∴∠EDH+∠DAK＝90°，∵∠ADK+∠DAK＝90°，∴∠EDH＝∠ADK，在△EDH和△ADK中，∠𝐷HE=∠𝐷𝐾𝐴=90°{∠E𝐷H=∠𝐴𝐷𝐾 ，𝐷E=𝐷𝐴∴≌（，∴EH＝AK＝4−√3x，DH＝DK=1x，2 2∴CH＝CD﹣DH＝4√3−x−1x＝4√3−3x，2 2在Rt△CEH中，CE2＝CH2+EH2＝（4√3−3x）2+（4−√3x）2＝3x2﹣16√3x+64，2 2∵△CDE为等腰三角形，∴CD2＝CE2或CD2＝DE2或CE2＝DE2，当22（√3−）3﹣1√，解得：x＝2√3−2x＝2√3+2，∴BD＝2√3−2或2√3+2；3当22（√3−＝﹣√，=833∴BD=8√3 4√33，DC= 3，此时点在点G的右侧，DG＝BD﹣BG=8√3−2√3=2√3，𝐷𝐺∴tan∠ADG=𝐴𝐷𝐷𝐺∴∠ADG＝60°，∴∠ADC＝120°，

22√33

3 3=√3，∵四边形ADEF是菱形，且∠DAF＝60°，∴DE＝AD=4√3

ADE＝∠ADC＝120°3，且∠即点E与点C重合，△CDE不存在，83∴BD= ∴BD= 当CE2＝DE2时，3x2﹣16√3x+64＝x2﹣4√3x+16，化简得：x2﹣6√3x+24＝0，解得：x＝2√3或x＝4√3，当x＝4√3，即BD＝4√3时，点D与点C重合，△CDE不存在，故舍去，∴BD＝2√3．8√3综上所述，BD＝2√3−2或2√3+2或3或2√3时，△CDE为等腰三角形．故答案为：2√3−2或2√3+2或2√3．MMN⊥ADN，∵四边形ABCD是菱形，AB＝8，∴∠DAC＝∠BAC=1∠BAD=1×120°＝60°，2 2∵EF⊥AC，∴AE＝AF＝4，∠AFM＝30°，∴AM＝2，Rt△AMN中，∠AMN＝30°，∴AN＝1，MN=√3，∵AD＝AB＝2AE＝8，∴DN＝8﹣1＝7，=√𝐷𝑁2+M𝑁2=72+(√3)2=2√13，CCM⊥GBM，CN⊥GDN，则∠CMG＝∠CNG＝90°，∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝AD．∴△ABD为等边三角形．∴∠A＝∠BDF＝60°．∴D≌SA，∴∠ADE＝∠DBF，∴∠BGE＝∠BDG+∠DBG＝∠BDG+∠ADE＝60°，∴∠BGD＝120°，又∵菱形ABCD中，∠BCD＝∠A＝60°，∴∠BGD+∠BCD＝180°，∴∠CBM+∠CDG＝180°，∴∠CDN＝∠CBM，又∵CD＝CB，∠CMB＝∠CNG＝90°，∴≌（，∴CN＝CM，又∵CM⊥GB，CN⊥GD，∴CG平分∠BGD，∴∠MGC＝60°，∵△CBM≌△CDN，∴S四边形BCDG＝S四边形CMGN，∵CG＝CG，CM＝CN，∠CMG＝∠CNG＝90°，∴≌L，△∴S四边形CMGN＝2SCMG，△∵∠CGM＝60°，CM⊥GM，∴∠GCM＝30°，∴GM=1CG=√3，CM=2∴S

2＝2S

＝2×1×√3×3＝3√3．四边形BCDG

四边形CMGN

△CMG 2故答案为：3√3．三．解答题（共8小题，满分66分）1（）＝90E是D的中点，∴BE＝DE＝AE，∵AD＝2BC，∴BC＝DE，∵AD∥BC，∴四边形BCDE为平行四边形，∵BE＝DE，∴四边形BCDE为菱形；（2）解：由（1）得：四边形BCDE为菱形，∴BC＝BE，∵AD∥BC，∴四边形ABCE为平行四边形，∵AC⊥BE，∴四边形ABCE为菱形，∴BC＝AB＝2，AD＝2BC＝4，∵∠ABD＝90°，∴BD=√𝐴𝐷2−𝐴𝐵2=√42−22=2√3．2（）∥，∴∠CAB＝∠DCA，∵AC为∠BAD的平分线，∴∠CAB＝∠DAC，∴∠DCA＝∠DAC，∴CD＝AD，∵AB＝AD，∴AB＝CD，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB＝AD，∴平行四边形ABCD是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，2∴OA＝OC，BD⊥AC，OB=1BD＝1，2∴∠AOB＝90°，∴OA=√𝐴𝐵2−𝑂𝐵2=√(√10)2−12=3，∴AC＝2OA＝6，∵CE⊥AB，∴∠AEC＝90°＝∠AOB，又∵∠OAB＝∠EAC，5∴：EA=9√10，55 ∴BE＝EA﹣AB=9√10−√10=4√10，5 过O作OP⊥AE于P，则OP=𝑂𝐴×𝑂𝐵=3×1=3√10， 𝐴𝐵 √10 10∴△OBE的面积=1𝐵E×𝑂𝑃=1×4√10×3√10=6，26故答案为：．5

2 5 10 52（）证明：∵菱形D的边长为2，对角线，∴AB＝AD＝BD＝2，BC＝CD＝BD＝2，∴△ABD与△BCD都是等边三角形，∴∠BDE＝∠C＝60°，∵AE+CF＝2，∴CF＝2﹣AE，又∵DE＝AD﹣AE＝2﹣AE，∴DE＝CF，在△BDE和△BCF中，𝐷E=𝐶𝐹{∠𝐵𝐷E=∠𝐶=60°，𝐵𝐷=𝐵𝐶∴E≌（SA；（2）解：△BEF由（1）∴BE＝BF，∠DBE＝∠CBF，∴∠EBF＝∠DBE+∠DBF＝∠CBF+∠DBF＝∠DBC＝60°，∴△BEF是等边三角形．2（）证明：连接，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，AB∥CD，∵EF⊥AC，∴EF∥BD，∴四边形EFDB是平行四边形，∴DF＝EB，∵E是AB中点，∴AE＝EB，∴AE＝DF，∵AB∥CD，∴∠EAM＝∠ADF，在△AEM和△DMF中，∠E𝐴M=∠𝐹𝐷M{∠𝐴ME=∠𝐷M𝐹，𝐴E=𝐷𝐹∴≌，∴AM＝DM；（2）解：由（1）知△AME≌△DMF，∴AE＝DF＝3，.∵E为AB的中点，∴AB＝2AE＝6，∴菱形ABCD的周长为6×4＝24．2（）证明：∵四边形D是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∴∠ADE＝∠CBF，在△ADE和△CBF中，𝐴𝐷=𝐵𝐶{∠𝐴𝐷E=∠𝐶𝐵𝐹，𝐷E=𝐵𝐹∴E≌（SA；（2）解：当AC⊥BD时，四边形AFCE是菱形，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，∴AC⊥BD，∵△ADE≌△CBF，∴AE＝CF，∠AED＝∠CFB，∴AE∥CF，∴四边形AFCE是平行四边形，∵AC⊥BD，∴▱AFCE是菱形．2（），∴四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠2＝∠ACB，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠ACB∴AB＝CB，∴平行四边形ABCD是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，Rt△ABORt△EBOOE＝x，∵