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文档简介

高等院校非数学类本科数学课程——一元微积分学大学数学（一）第七讲无穷小量的比较设,是同一个极限过程中的两个无穷小量.第七节无穷小量的比较则称是的若记为高阶无穷小,此时,

也可称是的低阶无穷小.若为常数,记为则称与是同阶无穷小,若为常数,则称为的k阶无穷小,记为则称是的若记为等阶无穷小,

等价无穷小必是同阶无穷小,但反之不真.不存在,但又不是无穷大,若则称与是不能比较的无穷小.x0时的几个无穷小量的比较：例1有何想法？例2证所以1cosx=O(x2)(x0).例3

x0时,不可比较的无穷小.不存在,但不是无穷大,与x是例4二.关于等阶无穷小的性质和定理1.定理定理设在某一极限过程中,证综上所述,限过程中的第三个变量.2.定理z是该极

设在某极限过程中,(或为

),则若定理由定理1,得,故limz=.综上所述,设则则设证设在某极限过程中,

~

,

~

,则

~

.3.定理传递性定理无穷小量可以用其等价无穷小量替代.定理告诉我们:在计算只含有乘、除法的极限时,例

如果在加减法中用等价无穷小量替代,则会产生错误:将常用的等阶无穷小列举如下:

当

x0时求例5解求例6解求例7解求例8解求

和差化积例9解

此题也可先在分子处加1减1求例10解由于例11解解例12

变量代换

四则运算

等价无穷小解例13

连续两次使用等价无穷小替代.

等价无穷小替代解例14

函数的性质

等价无穷小替代

重要极限

也可再用等价无穷小替代请看下面的定理.定理证等价无穷小替代解例

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