直线的斜率与方程复习教师版优质讲义

PAGE第二章平面解析几何初步直线直线方程的一般式直线直线方程的一般式两直线位置关系：：平行于坐标轴的直线方程平行于轴平行于轴直线方程的几种形式点斜式斜截式两点式截距式垂直k1k2=-1平行k1=k2相交k1≠k2求交点点到直线的距离公式圆的方程圆的方程标准方程：一般方程：直线与圆的位置关系圆与圆的位置关系相交、相切、相离相离、相交、外切、内切、内含空间直角坐标系空间直角坐标系空间直角坐标系中点的坐标表示空间两点间的距离公式二、重点难点重点：直线的斜率和倾斜角的概念，过两点的直线的斜率的计算公式；直线的方程的几种形式，会根据已知条件选择恰当的形式表示直线；两点间的距离公式，点到直线的距离公式，会求两条平行线间的距离；根据斜率判定两直线的平行或垂直关系，会求两直线的交点坐标；圆的标准方程与一般方程的概念，会根据条件选择恰当的形式求圆的方程；能根据给定直线与圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系；会用空间直角坐标系刻画点的位置，会用距离公式求空间两点间的距离．难点：几种形式的直线方程的推导；圆的标准方程的推导；直线与圆、圆与圆的位置关系中有关问题的探索．§2.1直线与方程2.1.1直线的斜率【课时目标】1．理解直线的倾斜角和斜率的概念．2．掌握求直线斜率的两种方法．3．了解在平面直角坐标系中确定一条直线的几何要素．【知识整合】1．在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按________________旋转到和直线重合时所转过的____________称为这条直线的__________，并规定：与x轴平行或重合的直线的倾斜角为________，直线的倾斜角α的范围是__________．2．已知直线l上两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，若x1≠x2，则____________为直线l的斜率．当直线l与x轴不垂直时，直线的斜率k与倾斜角α之间满足________，斜率的取值范围为________，当直线l与x轴垂直时，直线的斜率__________．【例题精讲】倾斜角例1：若直线的倾斜角满足，则的取值范围是______________．斜率例2：已知三点在一条直线上，求实数的值．例3：如图所示，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，求菱形ABCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率．解αAD＝αBC＝60°，αAB＝αDC＝0°，αAC＝30°，αBD＝120°．kAD＝kBC＝eq\r(3)，kAB＝kCD＝0，kAC＝eq\f(\r(3),3)，kBD＝－eq\r(3)．例4：一条光线从点A(－1,3)射向x轴，经过x轴上的点P反射后通过点B(3,1)，求P点的坐标．解设P(x,0)，则kPA＝eq\f(3－0,－1－x)＝－eq\f(3,x＋1)，kPB＝eq\f(1－0,3－x)＝eq\f(1,3－x)，依题意，由光的反射定律得kPA＝－kPB，即eq\f(3,x＋1)＝eq\f(1,3－x)，解得x＝2，即P(2,0)．例5：已知实数x，y满足y＝－2x＋8，当2≤x≤3时，求eq\f(y,x)的最大值和最小值．解eq\f(y,x)＝eq\f(y－0,x－0)其意义表示点(x，y)与原点连线的直线的斜率．点(x，y)满足y＝－2x＋8，且2≤x≤3，则点(x，y)在线段AB上，并且A、B两点的坐标分别为A(2,4)，B(3,2)，如图所示．则kOA＝2，kOB＝eq\f(2,3)．所以得eq\f(y,x)的最大值为2，最小值为eq\f(2,3)．例6：已知函数f(x)＝log2(x＋1)，a>b>c>0，则eq\f(fa,a)，eq\f(fb,b)，eq\f(fc,c)的大小关系是________________．eq\f(fc,c)>eq\f(fb,b)>eq\f(fa,a)解析画出函数的草图如图，eq\f(fx,x)可视为过原点直线的斜率．【规律总结】1．利用直线上两点确定直线的斜率，应从斜率存在、不存在两方面入手分类讨论，斜率不存在的情况在解题中容易忽视，应引起注意．2．三点共线问题：(1)已知三点A，B，C，若直线AB，AC的斜率相同，则三点共线；(2)三点共线问题也可利用线段相等来求，若AB＋BC＝AC，也可断定A，B，C三点共线．3．斜率公式的几何意义：在解题过程中，要注意开发“数形”的转化功能，直线的倾斜角与斜率反映了某一代数式的几何特征，利用这种特征来处理问题更直观形象，会起到意想不到的效果．2.1.2直线的方程(一)——点斜式【课时目标】1．掌握坐标平面内确定一条直线的几何要素．2．会求直线的点斜式方程与斜截式方程．3．了解斜截式与一次函数的关系．【知识整合】直线的点斜式方程和斜截式方程名称已知条件示意图方程使用范围点斜式点P(x0，y0)和斜率k斜率存在斜截式斜率k和在y轴上的截距b斜率存在【例题精讲】例1：写出下列直线的点斜式方程．(1)经过点A(2,5)，且与直线y＝2x＋7平行；(2)经过点C(－1，－1)，且与x轴平行；(3)经过点D(1,1)，且与x轴垂直．例2：已知直线l的斜率为eq\f(1,6)，且和两坐标轴围成三角形的面积为3，求l的方程．例3：等腰△ABC的顶点A(－1,2)，AC的斜率为eq\r(3)，点B(－3，2)，求直线AC、BC及∠A的平分线所在直线方程．例4：求过点(2,1)和点(a,2)的直线方程．例5：求斜率为eq\f(3,4)，且与坐标轴所围成的三角形的周长是12的直线l的方程．【规律总结】1．已知直线l经过的一个点和直线斜率就可用点斜式写出直线的方程．用点斜式求直线方程时，必须保证该直线斜率存在．而过点P(x0，y0)，斜率不存在的直线方程为x＝x0．直线的斜截式方程y＝kx＋b是点斜式的特例．2．求直线方程时常常使用待定系数法，即根据直线满足的一个条件，设出其点斜式方程或斜截式方程，再根据另一条件确定待定常数的值，从而达到求出直线方程的目的．但在求解时仍然需要讨论斜率不存在的情形．2．1．2直线的方程(一)——点斜式答案知识梳理名称已知条件示意图方程使用范围点斜式点P(x0，y0)和斜率ky－y0＝k(x－x0)斜率存在斜截式斜率k和在y轴上的截距by＝kx＋b斜率存在9．解(1)由题意知，直线的斜率为2，所以其点斜式方程为y－5＝2(x－2)．(2)由题意知，直线的斜率k＝tan0°＝0，所以直线的点斜式方程为y－(－1)＝0，即y＝－1．(3)由题意可知直线的斜率不存在，所以直线的方程为x＝1．10．解设直线l的方程为y＝eq\f(1,6)x＋b，则x＝0时，y＝b；y＝0时，x＝－6b．由已知可得eq\f(1,2)·|b|·|6b|＝3，即6|b|2＝6，∴b＝±1．故所求直线方程为y＝eq\f(1,6)x＋1或y＝eq\f(1,6)x－1．11．解AC：y＝eq\r(3)x＋2＋eq\r(3)．∵AB∥x轴，AC的倾斜角为60°，∴BC的倾斜角为30°或120°．当α＝30°时，BC方程为y＝eq\f(\r(3),3)x＋2＋eq\r(3)，∠A平分线倾斜角为120°，∴所在直线方程为y＝－eq\r(3)x＋2－eq\r(3)．当α＝120°时，BC方程为y＝－eq\r(3)x＋2－3eq\r(3)，∠A平分线倾斜角为30°，∴所在直线方程为y＝eq\f(\r(3),3)x＋2＋eq\f(\r(3),3)．12．解当a＝2时，过点(2,1)和(2,2)的直线斜率不存在，故直线方程为x＝2；当a≠2时，斜率k＝eq\f(2－1,a－2)＝eq\f(1,a－2)，∵直线过(2,1)点，∴由直线的点斜式可得方程为y－1＝eq\f(1,a－2)(x－2)．综上所述，所求直线方程为x＝2或y－1＝eq\f(1,a－2)(x－2)．13．解由已知直线的斜率为eq\f(3,4)，可设直线l的方程为：y＝eq\f(3,4)x＋b．令x＝0，得y＝b；令y＝0，得x＝－eq\f(4,3)b．由题意得：|b|＋|－eq\f(4,3)b|＋eq\r(b2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)b))2)＝12．∴|b|＋eq\f(4,3)|b|＋eq\f(5,3)|b|＝12，∴b＝±3．∴所求直线方程为y＝eq\f(3,4)x±3．2.1.2直线的方程(二)——两点式【课时目标】1．掌握直线方程的两点式及其使用条件．2．理解直线方程的截距式和直线在x轴与y轴上的截距的概念．【知识整合】直线方程的两点式和截距式名称已知条件示意图方程使用范围两点式P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)斜率存在且不为0截距式在x，y轴上的截距分别为a，b且ab≠0斜率存在且不为0，不过原点【例题精讲】例1：已知直线l的斜率为6，且被两坐标轴所截得的线段长为eq\r(37)，求直线l的方程．例2：一条光线从点A(3,2)发出，经x轴反射后，通过点B(－1,6)，求入射光线和反射光线所在的直线方程．例3：已知点A(2,5)与点B(4，－7)，点P在y轴上，若PA＋PB的值最小，则点P的坐标是________．例4：已知直线l经过点(7,1)且在两坐标轴上的截距之和为零，求直线l的方程．【规律总结】1．直线方程的几种形式，都可以用来求直线的方程，但各有自己的限制条件，应用时要全面考虑．(1)点斜式应注意过P(x0，y0)且斜率不存在的情况．(2)斜截式，要注意斜率不存在的情况．(3)两点式要考虑直线平行于x轴和垂直于x轴的情况．(4)截距式要注意截距都存在的条件．2．直线方程的几种特殊形式都有明显的几何意义，在求直线方程时，应抓住这些几何特征，求直线方程．3．强调两个问题：(1)截距并非距离，另外截距相等包括截距均为零的情况，但此时不能用截距式方程表示，而应用y＝kx表示．不是每条直线都有横截距和纵截距，如直线y＝1没有横截距，x＝2没有纵截距．(2)方程y－y1＝eq\f(y2－y1,x2－x1)(x－x1)(x1≠x2)与eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)(x1≠x2，y1≠y2)以及(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)代表的直线范围不同(想一想，为什么？)．2．1．2直线的方程(二)——两点式答案知识梳理eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝110．解方法一设所求直线l的方程为y＝kx＋b．∵k＝6，∴方程为y＝6x＋b．令x＝0，∴y＝b，与y轴的交点为(0，b)；令y＝0，∴x＝－eq\f(b,6)，与x轴的交点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,6)，0))．根据勾股定理得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,6)))2＋b2＝37，∴b＝±6．因此直线l的方程为y＝6x±6．方法二设所求直线为eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，则与x轴、y轴的交点分别为(a,0)、(0，b)．由勾股定理知a2＋b2＝37．又k＝－eq\f(b,a)＝6，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝37，,－\f(b,a)＝6.))解此方程组可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－6))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝6.))因此所求直线l的方程为x＋eq\f(y,－6)＝1或－x＋eq\f(y,6)＝1．即6x－y±6＝0．11．解∵点A(3,2)关于x轴的对称点为A′(3，－2)，∴由两点式得直线A′B的方程为eq\f(y－6,－2－6)＝eq\f(x＋1,3＋1)，即2x＋y－4＝0．同理，点B关于x轴的对称点B′(－1，－6)，由两点式可得直线AB′的方程为eq\f(y－2,－6－2)＝eq\f(x－3,－1－3)，即2x－y－4＝0．∴入射光线所在直线方程为2x－y－4＝0，反射光线所在直线方程为2x＋y－4＝0．12．(0,1)解析要使PA＋PB的值最小，先求点A关于y轴的对称点A′(－2,5)，连结A′B，直线A′B与y轴的交点P即为所求点．13．解当直线l经过原点时，直线l在两坐标轴上截距均等于0，故直线l的斜率为eq\f(1,7)，∴所求直线方程为y＝eq\f(1,7)x，即x－7y＝0．当直线l不过原点时，设其方程eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，由题意可得a＋b＝0，①又l经过点(7,1)，有eq\f(7,a)＋eq\f(1,b)＝1，②由①②得a＝6，b＝－6，则l的方程为eq\f(x,6)＋eq\f(y,－6)＝1，故所求直线l的方程为x－7y＝0或x－y－6＝0．2.1.2直线的方程(三)——一般式【课时目标】1．掌握直线方程的一般式．2．根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式之间的关系．【知识整合】1．关于x，y的二元一次方程____________(其中A，B____________)叫做直线的一般式方程，简称一般式．2．比较直线方程的五种形式形式方程局限各常数的几何意义点斜式不能表示k不存在的直线(x0，y0)是直线上一定点，k是斜率斜截式不能表示k不存在的直线k是斜率，b是y轴上的截距两点式x1≠x2，y1≠y2(x1，y1)、(x2，y2)是直线上两个定点截距式不能表示与坐标轴平行及过原点的直线a是x轴上的非零截距，b是y轴上的非零截距一般式无当B≠0时，－eq\f(A,B)是斜率，－eq\f(C,B)是y轴上的截距【例题精讲】例1：根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：(1)斜率为eq\r(3)，且经过点A(5,3)；(2)过点B(－3,0)，且垂直于x轴；(3)斜率为4，在y轴上的截距为－2；(4)在y轴上的截距为3，且平行于x轴；(5)经过C(－1,5)，D(2，－1)两点；(6)在x轴，y轴上截距分别是－3，－1．例2：设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6，根据下列条件分别确定m的值．(1)l在x轴上的截距是－3；(2)l的斜率是－1．例3：已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0．(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；(2)为使直线不经过第二象限，求a的取值范围．例4：对直线l上任一点(x，y)，点(4x＋2y，x＋3y)仍在此直线上，求直线方程．【规律总结】1．在求解直线的方程时，要由问题的条件、结论，灵活地选用公式，使问题的解答变得简捷．2．直线方程的各种形式之间存在着内在的联系，它是直线在不同条件下的不同的表现形式，要掌握好各种形式的适用范围和它们之间的互化，如把一般式Ax＋By＋C＝0化为截距式有两种方法：一是令x＝0，y＝0，求得直线在y轴上的截距B和在x轴上的截距A；二是移常项，得Ax＋By＝－C，两边除以－C(C≠0)，再整理即可．2．1．2直线的方程(三)——一般式知识梳理1．Ax＋By＋C＝0不同时为02．形式方程局限各常数的几何意义点斜式y－y0＝k(x－x0)不能表示k不存在的直线(x0，y0)是直线上一定点，k是斜率斜截式y＝kx＋b不能表示k不存在的直线k是斜率，b是y轴上的截距两点式eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)x1≠x2，y1≠y2(x1，y1)、(x2，y2)是直线上两个定点截距式eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不能表示与坐标轴平行及过原点的直线a是x轴上的非零截距，b是y轴上的非零截距一般式Ax＋By＋C＝0无当B≠0时，－eq\f(A,B)是斜率，－eq\f(C,B)是y轴上的截距10．解(1)由点斜式方程得y－3＝eq\r(3)(x－5)，即eq\r(3)x－y＋3－5eq\r(3)＝0．(2)x＝－3，即x＋3＝0．(3)y＝4x－2，即4x－y－2＝0．(4)y＝3，即y－3＝0．(5)由两点式方程得eq\f(y－5,－1－5)＝eq\f(x－－1,2－－1)，即2x＋y－3＝0．(6)由截距式方程得eq\f(x,－3)＋eq\f(y,－1)＝1，即x＋3y＋3＝0．11．解(1)由题意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－2m－3≠0，①,\f(2m－6,m2－2m－3)＝－3.②))由①可得m≠－1，m≠3．由②得m＝3或m＝－eq\f(5,3)．∴m＝－eq\f(5,3)．(2)由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m2＋m－1≠0，③,－\f(m2－2m－3,2m2＋m－1)＝－1.④))由③得：m≠－1，m≠eq\f(1,2)，由④得：m＝－1或m＝－2．∴m＝－2．12．解(1)将直线l的方程整理为y－eq\f(3,5)＝a(x－eq\f(1,5))，∴l的斜率为a，且过定点A(eq\f(1,5)，eq\f(3,5))．而点A(eq\f(1,5)，eq\f(3,5))在第一象限，故l过第一象限．∴不论a为何值，直线l总经过第一象限．(2)直线OA的斜率为k＝eq\f(\f(3,5)－0,\f(1,5)－0)＝3．∵l不经过第二象限，∴a≥3．13．解设直线方程Ax＋By＋C＝0，∴A(4x＋2y)＋B(x＋3y)＋C＝0，整理得(4A＋B)x＋(2A＋3B)y＋C＝0，∴上式也是l的方程，当C≠0时，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A＝4A＋B，,B＝2A＋3B，))∴A＝B＝0，此时直线不存在；当C＝0时，两方程表示的直线均过原点，应有斜率相等，故－eq\f(A,B)＝－eq\f(4A＋B,2A＋3B)，∴A＝B或B＝－2A，所以所求直线方程为x＋y＝0或x－2y＝0．【课堂练习】1．对于下列命题①若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°；②若k是直线的斜率，则k∈R；③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中正确命题有________个．2．斜率为2的直线经过点A(3,5)、B(a,7)、C(－1，b)三点，则a、b的值分别为________和________．3．直线经过原点和点(－1，－1)，它的倾斜角是______________________________．4．直线l过原点(0,0)，且不过第三象限，那么l的倾斜角α的取值范围是______________．5．若图中直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则k1、k2、k3的大小关系为______________．6．若直线平行于y轴，其倾斜角为α，则α＝________．7．若直线AB与y轴的夹角为60°，则直线AB的倾斜角为________，斜率为________．8．如图，已知△ABC为等腰三角形，且底边BC与x轴平行，则△ABC三边所在直线的斜率之和为________．9．已知直线l的倾斜角为α－20°，则α的取值范围是____________．答案知识梳理1．逆时针方向最小正角倾斜角0°0°≤α<180°2．k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)k＝tanαk∈R不存在作业设计1．3解析①②③正确．2．4－3解析由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(kAC＝2，,kAB＝2，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b－5,－1－3)＝2，,\f(7－5,a－3)＝2.))解得a＝4，b＝－3．3．45°4．90°≤α<180°或α＝0°解析倾斜角的取值范围为0°≤α<180°，直线过原点且不过第三象限，切勿忽略x轴和y轴．5．k1<k3<k2解析由图可知，k1<0，k2>0，k3>0，且l2比l3的倾斜角大．∴k1<k3<k2．6．90°7．30°或150°eq\f(\r(3),3)或－eq\f(\r(3),3)8．09．20°≤α<200°解析因为直线的倾斜角的范围是[0°，180°)，所以0°≤α－20°<180°，解之可得20°≤α<200°．【课后作业】1．经过点(0，－1)，倾斜角为60°的直线的一般式方程为____________．2．直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角为45°，则m的值为________．3．若a＋b＝1，则直线ax＋by＋1＝0过定点________________________________．4．直线l1：2x＋y＋5＝