Chapter 6 理想不可压缩流体无旋运动

Chapter6理想不可压缩流体无旋运动本章内容：研究定常不可压缩理想流体的无旋流动1、无旋流动的速度势及一般求解方法2、平面无旋流动的复势及一般求解方法§6.1不可压缩理想流体无旋运动的基本方程组一、不可压缩理想流体无旋运动模型1）理想：粘性力惯性力的区域例如绕流问题中边界层以外区域的流动。不脱体绕流流动在研究压力场和速度场时可不计边界层，近似看成理想流体绕流固体的流动。2）不可压缩：液体，通常情况下。气体，低速绕流运动（流速声速），例如飞机速度<100m/s时。3）无旋运动：在以上近似下，有势体力场中流体涡旋运动性质具有保持性，即初始无旋则永远无旋。在流体从静止开始的运动中（如浸没在静止流体中的小球膨胀引起的运动）和无穷远均匀来流绕流物体的运动等，流动均无旋。此模型是对一类广泛存在的流动问题的理想近似。二、速度势无旋运动可设，。速度势的单值和多值问题：单连通区域单值；复连通区域多值，相差的整数倍，其中是内边界上的速度环量。例如定义在环形区域上的平面无旋流动（点涡诱导的流动）。三、基本方程组或关于速度场的求解化为求解满足一定边界条件的Laplace方程问题，是否线性问题取决于边界条件。在线性边界条件下此方法已将原本非线性的求速度场的问题化为线性问题。若速度势满足的边界条件是线性的，在满足迭加原理，可由基本解迭加求得。例如若和均为无穷远均匀来流绕流某一固壁边界C的流动，即，则均匀来流绕流该固壁边界的流动其速度势为。反之，流动也可分解为和流动的合成。附：无旋运动的一般特性空间D内的不可压缩无旋流动速度势满足：，因而是调和函数，具备调和函数的一般性质，包括：=1\*GB3①=2\*GB3②在D无极值，在D无最大值，在D不能达到最小值；=3\*GB3③动能表达式单连通区域：双连通区域：=4\*GB3④由=3\*GB3③可得出以下结论有界单连通区域若边界上有则流体静止，流体内处处有；有界单连通区域若边界上有则流体静止，流体内处处有；有界单连通区域若部分边界上有，其余边界上有，则流体静止，全流场有。=5\*GB3⑤开尔文最小能量原理：在单连通区域内的不可压缩流动，如果给定边界上流体的法向速度，则在所有可能的运动形式中，将以无旋流动的总动能为最小，即有旋运动总动能大于无旋运动总动能。附Laplace方程解的唯一性关于Laplace方程的解，其一般形式，存在性和唯一性在数学上有一整套的理论，在以下条件下，该方程有唯一解：=1\*GB3①有界单连通区域给定边界上或，或给定部分边界上的和其余边界上的。证明：设同一边界条件下有两个解和，则满足=2\*GB3②有界双连通区域：单连通域条件+给定内边界速度环量（或给定分隔面上的流量）例如两柱壳间区域内的旋转流动。=3\*GB3③无界双连通区域：例如物体外流动、点源的场等。设无穷远为的大球面，可将=2\*GB3②直接推广过来。§6.2理想不可压缩流体平面定常无旋流动一、平面运动模型流动参数沿三维空间的某一方向（取为轴）不变，并且速度矢量落在与该方向垂直的平面内：。最简单的模型：均匀来流绕流无限长柱体。可近似看成平面流动的实例：河水绕流桥墩，空气绕流烟囱，机翼绕流等。在这些流动中，物体的某一方向的尺度>>其它两方向的尺度（细长物体），且物体垂直于该方向的截面大小、形状变化很小，故被绕流的物体可近似看成是均匀截面的细长柱体。均匀截面的细长柱体的横向绕流流动，除柱体两端外，在柱体周围的大部分区域有，任一垂直于的平面上的流动可表征除两端以外的区域内的流动。此模型使问题进一步简化，更易于求解，研究平面运动还具有重要的理论意义，通过它的研究可以对流动的性质有更多的了解，并积累处理问题的方法，所有这些都是处理复杂流动问题所必需的。二、不可压缩平面流动的流函数1、不可压缩流体平面流动流函数的引入设流动在平面内,证明：若则可以表示为某一函数的全微分，设此函数为，则于是有。若存在函数，速度分量可以表示为，则代入即可证明。函数被称为流函数，此积分因是全微分的积分而与路径无关，只取决于、点的位置。若取为参考点可设。2、流函数的物理意义：二维流动流体体积通量的意义：通过平面上与连线的流体体积通量通过曲线沿平移单位距离时扫过的曲面上的流体体积通量。对不可压缩流体的流动，在无源或汇的区域，此通量与连线形状无关，只取决于与两点的位置。设通量向右为正，代表线元向右的法向，通过的向右的流体体积通量I=通过沿两坐标轴的投影线元上的向右的流体体积通量II+III，即。可见：是上的流体体积通量，代表流体向右流过。讨论：=1\*GB3①沿某曲线此曲线是流线证明：若沿某曲线，在该曲线上取线元，上有，即，可见该曲线是流线。若某曲线是流线，在该曲线上取线元，则有，于是该线元上流函数的增量，可见沿该曲线。画图从的物理意义上分析亦可证明上述定理（此时可表述为沿流线的曲线上的流体体积通量=0）。由=1\*GB3①还可知与流线处处正交。=2\*GB3②对于二维不可压缩无旋流动，由，即是调和函数。=3\*GB3③任意线元处的法向速度与的关系：，向右为正。极坐标下有，若取为沿流线法向的线元，其方向取为的方向，如图所示，则，或。矢量关系式：=4\*GB3④沿流线且垂直于等速度势线，故流线与等速度势线正交。=5\*GB3⑤定义在单连通区域上的平面无旋不可压缩流动，是单值函数（可含一任意常数）；定义在复连通区域上的平面无旋不可压缩流动，可能是多值函数，其中为内边界上的流体体积通量。例题：均匀流动的流函数和势函数，取原点为参考点，设。设有一均匀流动沿方向，此流动流函数；另有一均匀流动沿方向，此流动流函数；若空间均匀流动，则此流动流函数。三、复位势及复速度III-1预备知识——复变函数的一些概念解析函数和调和函数复变函数，是实函数，。若函数在区域内点点可微，则在内解析。在内解析的充要条件：和满足柯西—黎曼条件：，，且和在内连续可微。由柯西—黎曼条件知解析函数的实部和虚部均为调和函数：。解析函数的导数2、奇点，留数，留数定理内不解析的点叫奇点，若在某个奇点的有限小邻域内（不包括该奇点）解析则该奇点是孤立奇点，例如：的点。设点是复函数的孤立奇点，代表圆周：，设足够小，只包围一个奇点。称积分的值为函数在孤立奇点处的留数，记为。与无关。函数在孤立奇点处的留数=在邻域内罗朗展开式中负一次幂的系数，。留数计算法则：=1\*GB3①是的一阶奇点则=2\*GB3②是的阶奇点则留数定理：如果在闭曲线的内部内除了有限个孤立奇点外解析（并且在上除外连续），那么证明(定性)：=1\*GB3①柯西积分公式在内解析，上连续，则沿区域的边界有.=2\*GB3②积分，为以为心任意半径的圆周，则时时=3\*GB3③在孤立奇点附近展开成罗朗级数，，闭合曲线包围孤立奇点=4\*GB3④。III-2复势和复速度在除孤立奇点（点涡，点源，点汇）以外的不可压缩平面无旋运动流场中，函数和满足柯西—黎曼条件，并满足连续可微条件，故二者可构成一个解析函数，，被称为复势。几个重要关系式：1）复速度，引入复速度。因为，所以共轭复速度。2）。和分别代表闭曲线上的速度环量和流体体积通量。IV定常理想不可压缩平面无旋流动问题的数学提法引入复势后，可以利用复变函数这一有力的数学工具解决这一类流动问题。以绕流流动为例，设固体静止，固壁边界c，固壁外无界空间，求解速度场的问题转化为寻找满足边界条件的复势，即说明：1）复势与平面无旋运动一一对应（可含有一个任意常数，在复连通区域为多值函数）任一给定的解析函数都代表了一个不可压缩平面无旋流动，而该解析函数是否与某一特定流动对应则取决于它是否满足该流动的特定边界条件。因而求解流动就是寻找满足一定边界条件的复势。2）复势迭加原理解析函数之和仍为解析函数，即复势迭加所得到的复势仍对应一个平面无旋运动。至此，我们得到描述不可压缩理想流体平面无旋运动的三组控制方程组，以无穷远来流绕流固体问题为例，分别表述为1）；2）3）V基本流动的复势（反问题：简单复势对应的流动）1、线性函数，为复常数，说明该复势对应均匀直线流动。故均匀流动对应复势或，其中和分别代表速度大小和方向。2、对数函数，为实数，是奇点。将代入得，于是可知，，可见流线是发自原点（奇点）的辐射线。则为点源激发的流动，则为点汇激发的流动。。，闭合曲线代表包围原点的圆周。故强度为的点源（汇）的流场：。3、对数函数，为实数，为奇点。，于是知，，可见流线为同心圆周。。若则速度方向在从方向顺时针转过的方向上。该速度代表一个轴对称圆周运动，绕行方向取决于的正负。。上式也说明在处有点涡存在（轴为涡丝，强度为），也就是说该复势对应直线涡丝诱导的流动或点涡诱导的平面流动。故点涡的场复势为。4、幂函数，为实数且（不代表有实际意义的流动），；，；零流线：对应和（一般有，为整数）。若此二流线处是固壁边界，则表示绕此角形固壁边界的“绕角流动”。设，处，；处，，则流线图如右侧各图所示。特例：=1\*GB3①代表凹角内流动。时，处，角点为驻点。特别当，代表驻点附近的流动或绕直角形边界的流动。，流线是一族双曲线。=2\*GB3②代表均匀流动=3\*GB3③表示绕平板前缘的流动=4\*GB3④代表绕凸角的流动。5、反比例函数，为常数。一对靠近的等强度的点源和点汇诱导的流动，对于远场而言，这一对点源和点汇可以看成无限靠近，即点源间距趋近于零，但点源强度和间距的乘积的是确定的，，将这样的一对点源和点汇称为偶极子，为偶极子强度。偶极子诱导的流动的复势等于点源和点汇诱导的流动复势的迭加，。如图所示的偶极子（图中箭头连接源和汇并指向源）诱导的流动的复式为O。O两个解析函数的和仍为解析函数，解析函数的迭加不会产生新的奇点，因而在除去两个孤立奇点（点源和点汇）以外的无界空间内解析，因而对应该空间内的上述点源和点汇诱导的不可压缩平面无旋流动。计算极限（上下同时对求导）可见反比例函数代表偶极子诱导的流动。设，，则流线方程为，即，可见流线族为与轴相切、圆心在轴上的圆族。远场流速。点源的场∝，相比之下偶极子场随增大衰减更快。§6-5圆柱绕流无环量圆柱绕流通过基本流动复势的迭加可以获得较复杂流动的复势。下面讨论均匀流动与偶极子流动复势的迭加。均匀来流沿轴，速度，偶极子逆轴方向放置于原点。设。。。。。流线方程：。零流线：和如图所示。当时，即无穷远处是均匀流动，速度为，满足无穷远边界条件。若取则此复势代表均匀来流绕流静止圆柱的流场。因此，均匀来流绕流半径为的静止圆柱的流动复势为：，。分析：1）柱面上的速度分布：，可知柱面上速度大小，可见，柱面上速率按正弦分布。驻点：圆柱周线与轴相交的两点。柱面上流速最大的点在圆柱周线与轴相交的两点，。2）柱面上的压力分布略体力，由Bernoulli方程知，在该流场中，。因此，在柱面上，。驻点处的动压=，因而常用表示的特征值。引入无量纲的压力系数反映压力的相对分布：。I无环量圆柱绕流压力分布此处，如图所示，压力在柱面上、下和前、后对称分布，因而柱体不受阻力和升力，此即达朗贝尔佯谬。真实流动由于粘性会在柱面附近形成边界层，并且会发生流动分离，压力系数的实验曲线如图所示，压力分布前、后不对称，因而存在阻力。对于绕流问题，理想流体理论给出的速度和压力分布在大部分流动空间内与实际符合很好，但不能解释物体所受阻力。I无环量圆柱绕流压力分布观看绕流流动图片二、有环量的圆柱绕流1实验吴望一《流体力学》p49图7.1.11。圆柱体可绕其轴线作定轴转动，其轴固定在小车上，小车可以沿轨道运动。此装置置于风洞中，当柱体不转，风以吹来，此时柱和小车系统静止不动。当柱体转动再吹风时，小车开始沿轨道移动。当圆柱静止时，绕圆柱流动的流场即上一节的圆柱无环量绕流。当圆柱转动时，若不考虑粘性，圆柱的转动对流体没有影响（边界条件不变），仍等同于圆柱无环量绕流，那么小车不可能运动，因而必须考虑粘性。粘性的存在使界面附近的气体随柱转动（），边界条件增加了切向速度连续要求，粘性引起气体在壁面上的运动沿圆形流线，固壁边界上速度环量不为零。旋转圆柱引起的粘性流体的二维圆形流线流动的等价于一个位于圆心的点涡诱导的理想流体无旋流动，所以我们在无环量圆柱绕流复势的基础上迭加一个顺时针点涡诱导的流动的复势，得到其中为内边界上的速度环量，该复势显然满足柱面上和无穷远处的边界条件，因而是有环量圆柱绕流的复势。分析：驻点设得到驻点位置。=1\*GB3①若即，则柱外的驻点在柱下方的轴上，对应流动状况如图1所示。在过驻点的流线所形成的回线内部，流体绕圆柱环流，总是不进入主流。=2\*GB3②，即，驻点位于柱面上，流动状况如图2。=3\*GB3③，即，两驻点位置和流动状况如图3。2、升力在柱体上方，环流引起的速度与来流速度方向基本一致，故流速增大，而在下方情况正相反，环流导致流速分布上、下不对称，从而引起压力的不对称分布，于是产生了沿轴方向的升力。若环流反向则升力方向也变为逆轴方向。下面定量计算升力。单位长柱体受力，其中代表柱面外法向。根据伯努利定理，柱面上压力，其中代表柱面上流体复速度，。。关于轴对称，则关于轴对称，因而。记，则。方向与来流方向垂直，它与来流速度及环量之间关系可表示为矢量关系。讨论：=1\*GB3①仍与事实不符，实际流体粘性边界层的存在和流动分离的发生导致阻力。实际流动图片。=2\*GB3②Magnus效应：旋转着前进的物体如旋转的乒乓球、排球、足球等均受与前进方向垂直的侧向力，从而发生侧向偏转。无粘理论可以解释这一效应。例一：点源和点涡迭置于平面上一点（水泵内的流动），求流动复势，流函数，速度。，，VII平面运动中的像方法在奇点（点源或点涡）诱导的流动中，加入固壁边界（物体），边界就会对原来的流动产生，影响，改变流动状况。对于平板和圆这些简单的边界，我们有如下的求复势方法，而于复杂的边界，可先利用保角变换将其变成简单边界，然后再使用像方法。首先定义几种不同形式的共轭运算：=1\*GB3①，仅对自变量求共轭e.g.，奇点是，，奇点是。=2\*GB3②，仅对函数形式求共轭e.g.，奇点为。注意：和的奇点都是奇点的共轭，此结论普适。=3\*GB3③，对自变量和函数形式都求共轭，实函数。VII-1平板边界的镜像法（映射定理）例1：点涡和平板边界，点涡位于右半平面（），求右半平面内的流场。分析：假如在左半平面对称地放置一个点涡，这样一对涡产生的流动既满足了平板处的边界条件，又未增加右半平面内的奇点。点涡诱导的流场：。该点涡及其像的流场迭加即右半平面内的流动：。常数对于流动速度场的解没有影响，故略去，于是。例2：点涡和平板边界，点涡位于上半平面（），求上半平面内的流场。分析：假如在下半平面对称地放置一个点涡，这样一对涡产生的流动既满足了平板处的边界条件，又未增加上半平面内的奇点。点涡的流场：。该点涡及其像的流场迭加即上半平面内的流动：。一般地有如下定理：=1\*GB3①如果所有奇点都位于右半平面内，无固壁边界时其复势为。当将平板边界置于位置后，右半平面内流动的复势为。证明：在边界上，，故=实函数，可知在该边界上，满足平板边界条件。若是的奇点，则是的奇点。的奇点在右半平面，则的奇点在左半平面，故右半平面的奇点与的相同。综合以上，定理得证。=2\*GB3②如果所有奇点都在上半平面，无固壁边界时其复势为。当将平板边界置于位置后，上半平面内流动的复势为。证明：此时在平板边界上，，故边界上实函数，即，满足平板边界条件。的奇点在上半平面，的奇点在下半平面。故上半平面和的奇点相同，综合以上，定理得证。注意：像点与原奇点位置关于边界对称，强度共轭（源强度不变，涡强度反号）例：求偶极子相对某一直线壁的像。无直线壁时偶极子的流场，加入直线壁后上半平面流场右图中红色线条代表组成偶极子的汇及其像诱导的流动的速度矢量。VII-2Milne一Thomson圆定理内容：如果为没有任何固体边界并且在圆内无任何奇点的平面流动的复势，在流场中引入圆（柱）边界后，圆柱外的流动复势将为，实例：无环量圆柱绕流，均匀来流关于圆边界的像为位于圆心的偶极子，偶极子强度，逆轴放置。定理证明：在柱面上（圆边界上），，，故仍有实函数，，即圆边界是流线。若为的奇点，则为奇点，是的奇点。由于，故的奇点均在圆内。综上，在圆外与有相同的奇点，并满足圆边界是流线的条件，因而是所求流动复势。点关于圆边界的镜像点为。例：求圆柱外的源诱导的流场无圆边界时流动复势为，圆柱外的源诱导的流动复势为，可见此时柱外的流动等价于三个点源诱导的流动，柱内的点源和是柱外点源关于圆边界的像，位置分别在点和原点。例：求圆柱外的涡诱导的流动无圆边界时流动复势为，圆柱外的源诱导的流动复势为，可见此时柱外的流动等价于三个点涡诱导的流动，柱内的点涡和是柱外点涡关于圆边界的像，位置分别在点和原点。VIII定常二维绕流问题中物体所受的力问题的提出：小鸟扇动翅膀（eg蜂鸟吸花蜜时）就能保持在空中不掉下来。飞机翅膀不动也能保持在天空中飞行，此时升力如何产生？小鸟一扑楞翅膀就能飞，大鸟助跑后起飞，为什么？VIII-1Blasius定理内容：理想、不可压缩