概率论模拟卷1~6及答案

[模拟试卷1]一、（15分）玻璃杯成箱出售，每箱20只。已知任取一箱，箱中0、1、2只残次品的概率相应为0.8、0.1和0.1，某顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机地察看4只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。试求：（1）顾客买下该箱的概率；（2）在顾客买下的该箱中，没有残次品的概率。二、（12分）设随机变量X的分布列为.求：（1）参数；（2）；（3）的分布列。三、（10分）设二维随机变量在矩形上服从均匀分布，（1）求的联合概率密度（2）求关于、的边缘概率密度（3）判断与的独立性。四、（12分）设,，且与相互独立，试求和的相关系数（其中a、b是不全为零的常数）。五、（12分）设从大批发芽率为0.9的种子中随意抽取1000粒，试求这1000粒种子中至少有880粒发芽的概率。六、（12分）设总体的概率密度为是取自总体的简单随机样本。求：（1）的矩估计量；（2）的方差。七、（12分）设服从，是来自总体的样本，＋。试求常数，使得服从分布。八、（15分）从一批木材中抽取100根，测量其小头直径，得到样本平均数为，已知这批木材小头直径的标准差，问该批木材的平均小头直径能否认为是在以上？（取显著性水平＝0.05）附表一：,,,,[模拟试卷2]一、(14分)已知50只铆钉中有3只是次品，将这50只铆钉随机地用在10个部件上。若每个部件用3只铆钉，问3只次品铆钉恰好用在同一部件上的概率是多少？二、(14分)已知随机变量的概率密度为，求：（1）参数；（2）；（3）。三、（14分）设随机变量和的联合分布以点(0,1),(1,0),(1,1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布,试求随机变量的方差。四、(12分）已知的概率密度函数为．（1）求与的相关系数；（2）试判断与的独立性。五、（10分）设供电站供应某地区1000户居民用电，各户用电情况相互独立。已知每户每天用电量（单位：度）在[0，20]上服从均匀分布。现要以0.99的概率满足该地区居民供应电量的需求，问供电站每天至少需向该地区供应多少度电？六、（8分）在总体，从中随机抽取容量为6的样本.求样本均值与总体均值之差的决对值大于2的概率。七、（14分）设总体的密度函数为 其中是未知参数，且。试求的最大似然估计量。八、（14分）已知在正常生产的情况下某种汽车零件的重量（克）服从正态分布，在某日生产的零件中抽取10件，测得重量如下：55.153.854.252.154.255.055.855.155.3如果标准差不变，该日生产的零件的平均重量是否有显著差异（取）？附表一：,,,,,,，.一、填空（16分）[模拟试卷3]1、设A、B为随机事件，P（A）=0.92，P(B)=0.93，=0.85，则___________.P（）=___________.2、袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球，今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是___________.3、设随机变量X的密度函数为用Y表示对X的三次独立重复观察中事件{X}出现的次数，则P{Y=2}___________.4、设X~N（1，4），Y~N（0，16），Z~N（4，9），X、Y、Z相互独立，则U=4X+3Y-Z的概率密度是___________.E（2U-3）=___________.D（4U-7）=___________.5、设…是来自正态分布N（）的样本，且已知，是样本均值，总体均值的置信度为的置信区间是___________.二、（12分）设有甲乙两袋，甲袋中装有m只白球，n只红球，乙袋中装有M只白球,N只红球。今从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，问该球为白球的概率是多少？三、（12分）某信息服务台在一分钟内接到的问讯次数服从参数为的泊松分布，已知任一分钟内无问讯的概率为，求在指定的一分钟内至少有2次问讯的概率。四、（12分）设（X、Y）具有概率密度1）求常数c；2）求P{Y2X}；3）求F（0.5，0.5）五、（12分）设随机变量（X，Y）具有密度函数求E（X），E（Y），COV（X、Y）。六、（12）一个复杂的系统由100个相互独立起作用的部件所组成。在运行期间，每个部件损坏的概率为0.1，而为了使整个系统正常工作，至少必需有85个部件工作，求整个系统工作的概率。七、（12分）设总体的密度函数为 其中是未知参数，且。试求的最大似然估计量。八、（12分）某工厂生产的铜丝的折断力测试（斤）服从正态分布N（576，64），某日抽取10根铜丝进行折断力试验，测得结果如下：578572570568572570572596584570是否可以认为该日生产的铜丝折断力的标准差是8斤（）[模拟试卷4]一、（12分）（1）已知,证明：（2）证明：若则二、（14分）设X~N（），。求（1）（2）Y=1-2X的概率密度三、（12分）设X与Y是具有相同分布的随机变量，X的概率密度为已知事件和相互独立，且求（1）常数a（2）四、（14分）设（X、Y的概率密度为求：（1）相关系数（2）五、（12分）设供电站供应某电去1000户居民用电，各户用电情况相互独立，已知每户日用电（单位：度）在[0，20]上服从均匀分布，现要以0.99的概率保证该地区居民供应电量的需要，问供电站每天至少向该地区供应多少度电？六、（12分）设总体X~N（），，假设我们要以0.997的概率保证偏差，试问在时，样本容量n应为多少？七、（12分）设为来自总体概率密度为的一个样本，求的矩估计量。八、（12分）电工器材厂生产一批保险丝，取10根测得其熔化时间（min）为42，65，75，78，59，57，68，54，55，71。问是否可以认为整批保险丝的平均熔化时间为70（min）？（，熔化时间为正态变量）[模拟试卷5]一、（12分）从5双尺码不同的鞋子中任取4只，求下列事件的概率：（1）所取的4只中没有两只成对；（2）所取的4只中只有两只成对（3）所取的4只都成对二、（12分）甲袋中有两个白球四个黑球，已袋中有四个白球两个黑球。现在掷一枚均匀的硬币，若得到正面就从甲袋中连续摸球n次（有返回），若得反面就从乙袋中连续摸球n次（有返回）。若已知摸到的n个球均为白球，求这些球是从甲袋中取出的概率。三、（12分）（1）设某商店中每月销售某种商品的数量（件）服从参数为7的泊松分布，求一个月内至少售出2件的概率（2）设随机变量X的分布函数 求常数A及X的数学期望和方差四、（14分）某种电池的寿命X服从正态分布，a=300（小时），=35（小时），（1）求电池寿命在250小时以上的概率（2）求x，使寿命在a-x与a+x之间的概率不小于0.9（3）任取1000个这种电池，求其中最多有50个寿命在250小时以下的概率。五、（12分）设随机变量（X，Y）具有密度函数（1）求X与Y的相关系数（2）问X与Y是否不相关（3）X与Y是否独立，为什么？六（12分）（1）在总体N（52，）中随机抽一容量为36的样本，求样本均值落在50.8到54.8之间的概率。（2）设总体，假如我们要以0.997的概率保证偏差，则样本容量n应为多少？七、（12分）设总体X服从指数分布，它的密度函数为（1）求参数的最大似然估计（2）验证所得的估计量的无偏性八、（14分）化肥厂用自动打包机装化肥，某日测得8包化肥的重量（斤）如下：98.7100.5101.298.399.799.5101.4100.5已知各包重量服从正态分布N（）（1）是否可以认为每包平均重量为100斤（取）？（2）求参数的90%置信区间。[模拟试卷6]一、(12分)一袋中有十个质地、形状相同且编号分别为1、2、…、10的球。今从此袋中任意取出三个球并记录球上的号码，求（1）最小号码为5的概率；（2）最大号码为5的概率；（3）一个号码为5，另外两个号码一个大于5，一个小于5的概率。12分)设随机变量,求的分布函数与概率密度。10分)设某昆虫的产卵数X服从参数为50的泊松分布，又设一个虫卵能孵化成虫的概率为0.8,且各卵的孵化是相互独立的，求此昆虫的产卵数X与孵化为成虫数Y的联合分布律。(14分)设二维随机变量（X，Y）的概率密度为,确定常数的值;是否相互独立?为什么?是否不相关?为什么?(10分)一批种子中良种占1/6，从中任取6000粒，问能以0.99的概率保证其中良种的比例与1/6相差多少？这时相应的良种粒数落在哪个范围？(12分)设总体服从二项分布，它的概率分布为,,，求未知参数的极大似然估计.(12分)某种仪器间接测量硬度，重复测量5次，所得数据是175，173，178，174，176，而用别的精确方法测量硬度为179（可看作硬度的真值），设测量硬度服从正态分布，问此种仪器测量的硬度是否显著降低（）？(10分)已知随机过程的均值，协方差函数，试求的均值和协方差函数.(8分)设是平稳过程，且=0，，（|τ|≤1），Y=，求和.附：,,,[模拟试卷1答案]一、解：设事件表示“顾客买下该箱”，表示“箱中恰好有件次品”，。则，，，，，。由全概率公式得；由贝叶斯公式。二、解：(1)由，得=1；（2）；（3）。三、解：（1）区域G的面积为（X、Y）的联合概率密度为（2）X的边缘概率密度为=Y的边缘概率密度为=（3）显然，所以X与Y不独立。四、解：，，则解：设这批种子发芽数为，则，由中心极限定理得所求概率为 。六、解：（1）。 从而，则用代替得的矩估计量为。（2）由于 则。七、解：根据正态分布的性质知，，则，，从而，，又由于，相互独立及分布的可加性知＋，则当时，服从分布。解：检验假设，检验统计量为，的拒绝域为。由于显著性水平＝0.05，查表得＝1.645。因为>1.645则拒绝原假设，即在显著性水平＝0.05下，认为该批木材的平均小头直径在12以上。[模拟试卷2答案]一、解：假设每个铆钉都已编号，则样本空间S中的样本点总数[S]=…。设Ai=“3个次品铆钉恰好用在第i个部件上”，i=1，2，…，10A=“3个次品铆钉恰好用于同一部件”Ai中的样本点个数[Ai]=…，P(Ai)=[Ai]/[S]=1/19600。P(A)==1/1960。解：(1)由归一性，得三、解：由题意，的联合密度函数为 则 得则 同理，。 则。 则。四、解：（1） 故（2） X与Y不独立。五、解：设第K户居民每天用电量为度，1000户居民每天用电量为度，10，=。再设供应站需供应L度电才能满足条件，则 即 ，则L=10425度。六、解：设总体由题意：，则，所求概率为 ＝＝=七、解：设是的子样观察值，那么样本的似然函数为 ，就有 ，于是，似然方程为 ，从而，可得 八、解：按题意，要检验的假设是 ，检验统计量为，的拒绝域为。由，查正态表得临界值，由样本值算得 因为，故接受假设，即在时，即可以认为该日生产的零件的平均重量与正常生产时无显著差异。[模拟试卷3答案]一、（每空2分）0.829；0.9882、2/53、9/64；-3；34725、二、解：设事件A=“从甲袋中取出一白球”，事件B=“从乙袋中取出一白球”。解：，且即≈0.9826四、解：1）由归一性2）3）五、解：，解：系统中能够正常工作的部件数X服从二项分布：X~B(100,0.9)。于是≈七、解：设是的子样观察值，那么样本的似然函数为 ，就有 ，于是，似然方程为 ，从而，可得 解：需要检验的假设检验统计量为，拒绝域为:计算可得=575.2，s=，从而=10.65对，自由度=9，查表得因为，所以接受假设，即可以认为该日生产的铜丝折断力的标准差是8斤。[模拟试卷4答案]证明（1）（2）二、（1）所以≈进而X~N（72，）所以Y~N（-143，）三、（1）因为X与Y同分布，所以P（A）=P（B），又A与B独立所以，（舍去）又所以=进而（2）四、因为，所以所以所以，，所以，=五、解：设第K户居民每天用电量为度，1000户居民每天用电量为度，10，=。再设供应站需供应L度电才能满足条件，则 即 ，则L=10425度。六、~，所以进而七、所以故需要检验的假设检验统计量为，的拒绝域为计算得：=62.4s=11.04所以所以故接受原假设[模拟试卷5答案]一、（1）（2）1-（3）二、设事件A表示掷得正面，事件B表示所摸到的球为n个白球，由题意AB表示从甲袋中摸到n个白球，所以，表示从甲袋中摸到n个白球，所以=三、（1）设商店每月销售某种商品的数量为，则（2），所以A=1，四、（1），所以（2），x=57.58（3）设任一此种电池寿命在250小时以下的概率为p，则则1000个电池中，寿命在250小时以下的电池数X服从二项分布五、（1）解：，，所以（2）不相关（3）不独立，因为（X、Y）不是二维正态分布。六、（1）解：，（2）~，所以进而七、解：设是的子样观察值，那么样本的似然函数为 ，就有 ，于是，似然方程为 ，从而，可得 ，所以（2）所以是的无偏估计。八、需要检验的假设检验统计量为，的拒绝域为计算可得：，故接受原假设。（2），n=8查表得，故置信区间为[模拟试卷6答案]一、解：以三个球相应号码的组合为样本