正弦函数和余弦函数的图像及性质

.z6.1正弦函数和余弦函数的图像与性质一、复习引入1、复习〔1〕函数的概念在*个变化过程中有两个变量、，假设对于在*个实数集合的每一个确定的值，按照*个对应法则，都有唯一确定的实数值与它对应，则就是的函数，记作，。〔2〕三角函数线设任意角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点，过作轴的垂线，垂足为；过点作单位圆的切线，设它与角的终边〔当在第一、四象限角时〕或其反向延长线〔当为第二、三象限角时〕相交于.规定：当与轴同向时为正值，当与轴反向时为负值；当与轴同向时为正值，当与轴反向时为负值；当与轴同向时为正值，当与轴反向时为负值；根据上面规定，则,由正弦、余弦、正切三角比的定义有：；；；这几条与单位圆有关的有向线段叫做角的正弦线、余弦线、正切线。二、讲授新课【问题驱动1】——结合我们刚学过的三角比，就以正弦(或余弦)为例，对于每一个给定的角和它的正弦值(或余弦值)之间是否也存在一种函数关系.假设存在，请对这种函数关系下一个定义；假设不存在，请说明理由．1、正弦函数、余弦函数的定义〔1〕正弦函数：；〔2〕余弦函数：【问题驱动2】——如何作出正弦函数、余弦函数的函数图象.2、正弦函数的图像〔1〕的图像【方案1】——几何描点法步骤1：等分、作正弦线——将单位圆等分，作三角函数线〔正弦线〕得三角函数值；步骤2：描点——平移定点，即描点；步骤3：连线——用光滑的曲线顺次连结各个点小结：几何描点法作图准确，但过程比拟繁。【方案2】——五点法步骤1：列表——列出对图象形状起关键作用的五点坐标；步骤2：描点——定出五个关键点；步骤3：连线——用光滑的曲线顺次连结五个点小结：的五个关键点是、、、、。〔2〕的图像由，所以函数在区间上的图像与在区间上的图像形状一样,只是位置不同.于是我们只要将函数的图像向左、右平行移动(每次平行移动个单位长度)，就可以得到正弦函数的图像。3、余弦函数的图像〔1〕的图像〔2〕的图像图像平移法由，可知只须将的图像向左平移即可。三、例题举隅例、作出函数的大致图像；【设计意图】——考察利用“五点法〞作正弦函数、余弦函数图像【解】①列表②描点在直角坐标系中，描出五个关键点：、、、、③连线练习、作出函数的大致图像二、性质1．定义域：正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R［或(－∞，＋∞)］，分别记作：y＝sin*，*∈Ry＝cos*，*∈R2．值域因为正弦线、余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度，所以｜sin*｜≤1，｜cos*｜≤1，即－1≤sin*≤1，－1≤cos*≤1也就是说，正弦函数、余弦函数的值域都是［－1，1］其中正弦函数y=sin*，*∈R①当且仅当*＝＋2kπ，k∈Z时，取得最大值1②当且仅当*＝－＋2kπ，k∈Z时，取得最小值－1而余弦函数y＝cos*，*∈R①当且仅当*＝2kπ，k∈Z时，取得最大值1②当且仅当*＝(2k＋1)π，k∈Z时，取得最小值－13．周期性由sin(*＋2kπ)＝sin*，cos(*＋2kπ)＝cos*(k∈Z)知：正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的。一般地，对于函数f(*)，如果存在一个非零常数T，使得当*取定义域的每一个值时，都有f(*＋T)＝f(*)，则函数f(*)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。由此可知，2π，4π，……，－2π，－4π，……2kπ(k∈Z且k≠0)都是这两个函数的周期对于一个周期函数f(*)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，则这个最小正数就叫做f(*)的最小正周期。4．奇偶性由sin(－*)＝－sin*，cos(－*)＝cos*可知：y＝sin*为奇函数，y＝cos*为偶函数∴正弦曲线关于原点O对称,余弦曲线关于y轴对称5．单调性结合上述周期性可知：正弦函数在每一个闭区间［－＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1。余弦函数在每一个闭区间［(2k－1)π，2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2kπ，(2k＋1)π］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1y=sin*y=cos*图象定义域RR值域[1,1][1,1]最值当且仅当*＝＋2kπ，k∈Z时，取得最大值1当且仅当*＝－＋2kπ，k∈Z时，取得最小值－1当且仅当*＝2kπ，k∈Z时，取得最大值1当且仅当*＝(2k＋1)π，k∈Z时，取得最小值－1周期性22奇偶性奇函数偶函数单调性在闭区间［－＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上单调递增，；在闭区间［＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上单调递减在闭区间［(2k－1)π，2kπ］(k∈Z)上单调递增；在每一个闭区间［2kπ，(2k＋1)π］(k∈Z)上单调递减典型例题〔3个，根底的或中等难度〕例1：求使以下函数取得最大值的自变量*的集合，并说出最大值是什么。〔1〕y＝cos*＋1，*∈R；〔2〕y＝sin2*，*∈R解：〔1〕使函数y＝cos*＋1，*∈R取得最大值的*的集合，就是使函数y＝cos*，*∈R取得最大值的*的集合｛*｜*＝2kπ，k∈Z｝。∴函数y＝cos*＋1，*∈R的最大值是1＋1＝2。〔2〕令Z＝2*，则*∈R必须并且只需Z∈R，且使函数y＝sinZ，Z∈R取得最大值的Z的集合是｛Z｜Z＝＋2kπ，k∈Z｝由2*＝Z＝＋2kπ，得*＝＋kπ即使函数y＝sin2*，*∈R取得最大值的*的集合是｛*｜*＝＋kπ，k∈Z｝∴函数y＝sin2*，*∈R的最大值是1。例2：求以下函数的单调区间〔1〕y＝－cos*〔2〕y=sin(4*-)〔3〕y=3sin(-2*)解：〔1〕由y＝－cos*的图象可知：单调增区间为［2kπ，(2k＋1)π］(k∈Z)单调减区间为［(2k－1)π，2kπ］(k∈Z)〔2〕当2kπ-≤4*-≤2kπ+，∴函数的递增区间是[-，+](k∈Z)当2kπ+≤4*-≤2kπ+∴函数的递减区间是[+,+](k∈Z)〔3〕当2kπ-≤-2*≤2kπ+时，函数单调递减，∴函数单调递减区间是[kπ-，kπ+](k∈Z)当2kπ+≤-2*≤2kπ+时，函数单调递增，∴函数单调递减区间是[kπ+，kπ+](k∈Z)例3：求以下三角函数的周期：(1)y=sin(*+)(2)y=cos2*(3)y=3sin(+)解：(1)令z=*+而sin(2+z)=sinz即：f(2+z)=f(z)f[(*+2)+]=f(*+)∴周期T=2.(2)令z=2*∴f(*)=cos2*=cosz=cos(z+2)=cos(2*+2)=cos[2(*+)]即：f(*+)=f(*)∴周期T=。(3)令z=+则f(*)=3sinz=3sin(z+2)=3sin(++2)=3sin()=f(*+4)∴周期T=4。注：y＝Asin(ω*＋φ)的周期T=。〔四〕课堂练习〔2个，根底的或中等难度〕1、求使以下函数y=3-cos取得最大值的自变量*的集合，并说出最大值是什么。解：当cos=-1，即=2k+，k∈Z，∴{*|*=4k+2，k∈Z}，y=3-cos取得最大值。2、求y=的周期。解：∵y==(1-cos2*)=-cos2*，∴T=。3、求函数y=3cos(2*+)的单调区间。解：当2kπ≤2*+≤2kπ+时，函数单调递减，∴函数的单调递减区间是[kπ-，kπ+](k∈Z)当2kπ-≤2*+≤2kπ时，函数单调递增，∴函数的单调递增区间是[kπ-，kπ-](k∈Z)〔五〕拓展探究〔2个〕1、求以下函数的周期：〔1〕y=sin(2*+)+2cos(3*-)〔2〕y=|sin*|〔3〕y=2sin*cos*+2cos2*-1解：〔1〕y1=sin(2*+)最小正周期T1=y2=2cos(3*-)最小正周期T2=∴T为T1,T2的最小公倍数2∴T=2〔2〕T=〔3〕y=sin2*+cos2*=2sin(2*+)∴T=2、求以下函数的最值：〔1〕y=sin(3*+)-1〔2〕y=sin2*-4sin*+5〔3〕y=解：〔1〕当3*+=2k+即*=(kZ)时，yma*=0当3*+=2k-即*=(kZ)时，ymin=-2〔2〕y=(sin*-2)2+1∴当*=2k-kZ时，yma*=10当*=2k-kZ时，ymin=2〔3〕y=-1+当*=2k+kZ时，yma*=2当*=2kkZ时，ymin=作业一、填空题1、函数y=cos(*-)的奇偶性是_________________。2、函数y=-5sin*+1的最大值是__________，此时相应的*的值是________________。3、函数y=sin*cos*的最小正周期是_________。4、函数y=sin*cos(*+)+cos*sin(*+)的最小正周期是________。5、函数y=3cos(2*+)的单调递减区间是___________________。6、函数y=sin*和y=cos*都为减函数的区间是___________________。7、函数y=sin(-2*)的单调递增区间是________________________。8、函数y=f(*)是以为周期，且最大值为3，最小值为-1，则这个函数的解析式可以是________________。二、选择题1、函数y=sin*，*∈[，]的值域是〔〕〔A〕[-1，1]〔B〕[，1]〔C〕[，]〔D〕[，1]2、以下函数中，周期是的函数是〔〕〔A〕y=sin*〔B〕y=cos2*〔C〕y=sin〔D〕y=sin4kπ3、以下函数是奇函数的是〔〕〔A〕y=sin|*|〔B〕y=*sin|*|〔C〕y=-|sin*|〔D〕y=sin(-|*|)4*、函数y=sin(2*+)+cos(2*+)的最小正周期和最大值分别为〔〕〔A〕，1〔B〕，〔C〕2，1〔D〕2，三、解答题1、函数y=acos*-2b的最小值为-2，最大值为4，求a和b的值。2、求函数y=2+5cos*-1的值域。3、判断以下函数的奇偶性：〔1〕y=cos(2*-)；〔2〕y=*sin*+cos3*4、求函数y=-sin*cos*的单调区间。一、填空题1、奇函数；2、6，{*|*=2kπ-，k∈Z}；3、；4、π；5、[kπ-，kπ+](k∈Z)；6、[2kπ+,2kπ+](k∈Z)7、[kπ+，kπ+](k∈Z)；8、y=2sin6*+1〔答案不唯一〕二、1、B；2、D；3、B；