二项定理与杨辉三角 【知识建构+点播拓展】 高二数学 课件（人教B版2019选择性必修第二册）

3.3二项式定理与杨辉三角教学目标：通过讲解二项式定理与杨辉三角，使学生能够深刻理解并熟练运用二项式定理解决生活中的问题，并了解杨辉三角的发现与历史。考情：二项式定理是高考的一个重要考点，分值在5分左右，主要出题形式是填空题或选择题。思考：小张在进行投篮练习，共投了10次，只考虑是否投中，那么不难知道，投篮结果可以分成11类：投中0次，投中1次，投中2次投中10次.而投中0次只有1（即）种情况，投中1次有种情况，投中2次有种情况投中10次有种情况.因此，小张投篮10次，结果共有种情况.那么上式的结果是多少呢？利用本节我们要学习的二项式定理，可以快速解答这个问题.一、二项式定理我们知道而且上述得到的展开式的过程较为繁琐的，如果要用这样的方法去得到，等的展开式是很麻烦的.那么我们有没有其他办法来得出呢？一、二项式定理观察中右边各项是如何组成的，由此总结出一般规律.展开式中的任何一项都是在右边3个括号中各取一个字母相乘得到的1个取b，剩下的2个取a有个.因此展开式中每一项都一定是3次项，即展开式中只能含有出发，从一、二项式定理同理可知，展开后有个.

可以看成右边的3个括号中取0个得到的结果可以看成右边的3个括号中取3个得到的结果因此用同样方法可知二项式定理一般地，当是正整数时，有一、二项式定理二项式定理一般地，当是正整数时，有的展开式共n+1项展开式中的第k+1项,用表示其中称为第k+1项的二项式系数，将称为二项展开式的通项公式.中，要求n是正整数，k是满足的自然数，以后不再声明.

学生笔记3.3二项式定理与杨辉三角1.二项式定理一般地，当是正整数时，有的展开式共n+1项展开式中的第k+1项,用表示：第k+1项的二项式系数，：二项展开式的通项公式.一、二项式定理展开式中某一项的系数与二项式系数，一般情况下并不相等例1：写出的展开式.展开式中，可以看出常数项是32在二项式定理中令可得x的系数是-80，注意到展开式中第1项的二项式系数是第2项的二项式系数是一、二项式定理要使此项含x3,必须有9-2k=3，从而有k=3，因此含x3的项为例2：求的展开式中含的项.所以展开式中的第k+1项为一、二项式定理要得到常数项，必须有3-k=0，从而有k=3，因此常数项是第4项，且例3：求的展开式中常数项的值和对应的二项式系数.所以展开式中的第k+1项为从而可知常数项的值为160，其对应的二项式系数为二、二项式系数的性质在二项式定理中，分别令

为以下特殊值，写出所得到的等式：也就是说

学生笔记3.3二项式定理与杨辉三角2.二项式系数的性质令令要使此项含x6,必须有20-2k=6，从而有k=7，因此含x6的项为例4：已知的展开式中，所有的二项式系数之和为1024，求展开式中含的项.二、二项式系数的性质依题意可知，因此n=10.从而展开式的通项为三、杨辉三角“杨辉三角“因为，所有可以把n=0对应的二项式系数看成是1.把n=0，1，2，3，4，5，6对应的二项式系数逐个写出，并排列数表的形式.三、杨辉三角

我国古代数学家甲宪（北宋人）在1050年前后就给出了类似的数表，并利用数表进行高次开方运算，如上右图，这一成果在南宋数学家杨辉著的《详解九章算术》中得到摘录.因此，这一数表在我国被称为“贾宪三角”或“杨辉三角”.

西方文献中，一般称其为“帕斯卡三角”，这些文献认为类似的数表是数学家帕斯卡于1654年发现的.三、杨辉三角杨辉三角至少具有以下性质：（1）每一行都是对称的，且两端的数都是1；（2）从第三行起，不在两端的任意一个数，都等于上一行中与这个数相邻的两数之和.三、杨辉三角另外，观察杨辉三角，可以发现对于给定的n来说，其二项式系数满足中间大、两边小的特点.这一结论是否具有普遍性呢？假设，则利用二项式系数的对称性可知，二项式系数是先逐渐变大，再逐渐变小的，当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大，当n是奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大.化简可得从而有.

学生笔记3.3二项式定理与杨辉三角3.杨辉三角性质：（1）每一行都是对称的，且两端的数都是1；（2）从第三行起，不在两端的任意一个数，

都等于上一行中与这个数相邻的两数之和.二项式系数是先逐渐变大，再逐渐变小的，当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大，当n是奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大.例5：求证：9998-1能被100整除.四、二项式定理的应用因为，由二项式定理可知注意到上述右边的展开式中，前面98项都是100的倍数，最后一项为1，因此可知9998-1能被100整除.例6：当n是正整数且x>0时，求证：四、二项式定理的应用由二项式定理可知因为x>0，所以上式右边的项都是正数，从而可知四、二项式定理的应用例6的结论可以用在近似计算中.直接计算这个数并不容易，但利用例6的结果可知假设某地区现有人口100万，且人口的年平均增长率为1.2%，那么6年后该地区的人口应为100(1+1.2%)6注意到（1.2%)n在时都是很小的数，因此，如果我们认为的话，近似程度应该是比较好的.实际上保留6位有效数字的近似值是107.419.题型一：求二项展开式的第k项210例1：二项式的展开式中常数项为____________．（用数字作答）令，则所以展开式中的常数项为题型一：求二项展开式的第k项A例2：在的展开式中，系数为有理数的项共有（）项A．6 B．5 C．4 D．3展开式的通项公式为所以当为整数时，展开式的系数为有理数，因为，且，所以所以系数为有理数的项共有6项题型二：两个二项式乘积展开式的系数问题D例3：的展开式的常数项为（）A．6 B．10 C．15 D．16展开式的通项为，令r=4，则，的展开式的常数项为1+15=16.题型二：两个二项式乘积展开式的系数问题-84例4：的展开式中,含项的系数为___________．将含项记为M

,则故含项的系数为-84.题型三：三项展开式的系数问题210例5：的展开式中，项的系数为___________．所以含有项的为.所以的展开式中，含项的系数为210.例6：的展开式中，的系数是（）A．120 B．-120 C．60 D．30题型三：三项展开式的系数问题A第r+1项为，令r=2，可得第3项为，的展开式的第m+1项为，令m=2，可得第3项为，所以的展开式中，的系数是．例7：设，求的值．题型四：二项式的系数之和令x=1，则赋值法例8：设，则

.题型四：二项式的系数之和赋值法1令x=-1，则令x=1，得，①题型五：奇次项和偶次项的系数和赋值法B例9：已知，则

（）A.-1

B．0 C．1 D．2令x=-1，得，②两式相加，得.令x=0得：，例10：若，则()A．27 B．－27 C．54 D．－54题型五：奇次项和偶次项的系数和B令x=1可得，令x=-1可得，两式相加可得，∴．题型六：二项式系数最值因为展开式中第5项和第6项的二项式系数最大，例11：已知展开式中第5项和第6项的二项式系数最大，则其展开式中常数项是________.所以常数项为第四项．例12：已知的展开式中，第3项的系数与倒数第3项的系数之比为，则展开式中二项式系数最大的项为第（）项.A．3 B．4 C．5 D．6题型六：二项式系数的最值C则第3项的系数为，倒数第3项的系数为，所以展开式中二项式系数最大的项为第5项练习：D1.二项式展开式中，有理项共有（）项．A．3 B．4 C．5 D．7r的取值只需满足，则，即有理项共有7项练习：令x=0B2.若，则（）A．6562 B．3281 C．3280 D．6560令x=-2故3.的展开式中含x项的系数为______.练习：设展开式中第k+1项含x项，28则令代入得解得4.二项式的展开式中含x2的系数为___________.练习：-21展开式中的第k+1项为，展开式中含x2,必须有，从而有k=1，展开式中含x2的项为练习：345.如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第__________行中从左至右第14与第15个数的比为2:3．设在第n行满足题意，因此，解得n=34．6.的展开式中，第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大44，则展开式中的常数项是第____项．练习：展开式中的常数项是第4项.47.若的展开式中第2项与第6项的二项式系数相等，则该展开式中的常数项为（）A．-160

B．160 C．-1120

D．1120练习：A8.展开式中,x3项的系数为（）A．5 B．-5 C．15 D．-15练习：B表示5个相乘，展开式中出现x3有两种情况，第一种是中选出3个-x和2个1，所以x3项的系数为-10+5=-5所以展开式中含有x3项有和，第二种是中选出4个-x和1个x-1，练习：156259.展开式中不含y的项的系数和为64，则展开式中的常数项为___________.展开式中不含y的项，即展开式中y的指数为0，即的展开式，再令x=1，展开式中不含y的项的系数和为=64，∴n=6，所以展开式中的常数项为.练习：512

10.的展开式中各项的二项式系数之和为________．展开式中各项的二项式系数之和为．练习：10x211.如果展开式中各项系数的和等于32，则展开式中第3项是__________.展开式中第三项为.12.若，则______；______.练习：01令x=1，得；令x=2，得；所以13.的展开式中的常数项为_____．（用数字作答）练习：180的展开式中的通项公式分别令，，解得k=4,或k=2.∴的展开式中的常数项．练习：在此展开式中，除了最后两项外，其余项都能被100整除，8114.

9192除以100的余数是______．故9192除以100的余数等价于除以100的余数，所以余数为81.15.设，若