612还原问题题库教师版

还原问题例题精讲板块一、单个变量的还原问题【例1】某数先加上3,再乘以3，然后除以2，最后减去2,结果是10,问：原数是多少?【解析】分析时可以从最后的结果是10逐步倒着推。这个数没减去2时应该是多少？没除以2时应该是多少？没乘以3时应该是多少？没加上3时应该是多少？这样依次逆推，就可以推出某数。如果没减去2,此数是：10-2=12如果没除以2,此数是：12 2=24如果没乘以3,此数是：243=8如果没加上3,此数是：8-3=5综合算式102 2“3-3=5 答：原数是5.【巩固】（2008年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛 ）有一个数，如果用它加上6，然后乘以6，再减去6，最后除以6，所得的商还是6，那么这个数是 。【解析】将最终结果进行逆推，得： （666）"'6—6=1【巩固】一个数减16加上24,再除以7得36，求这个数•你知道这个数是几吗【解析】367-2416=244.【巩固】少先队员采集树种子，采得的个数是一个有趣的数.把这个数除以 5，再减去25,还剩25,你算一算，共采集了多少个树种子？【解析】（2525）5=250（个），即共采集了250个树种子•【巩固】（第七届《小数报》数学竞赛决赛填空题第 6题）在电脑里先输入一个数，它会按给定的指令进行如下运算： 如果输入的数是偶数，就把它除以2;如果输入的数是奇数，就把它加上 3•同样的运算这样进行了3次，得出结果为27•原来输入的数可能是

【解析】本题用倒推法解•最后结果是27【解析】本题用倒推法解•最后结果是27,上一步的结果是54,再上一步的结果是 108或51，原来输入的数是216，105，102.思路如下:216108227|105「1022751?8（不合题意24（不合题意）【例2】牛老师带着37名同学到野外春游.休息时，小强问： “牛老师您今年多少岁啦？”牛老师有趣地回答：“我的年龄乘以2，减去16后，再除以2,加上8,结果恰好是我们今天参加活动的总人数.”小朋友们，你知道牛老师今年多少岁吗 ？【解析】采用倒推法，我们可以从最后的结果“参加活动的总人数”即38倒着往前推.这个数没加上8时应是多少？没除以2时应是多少？没减去16时应是多少？没乘以2时应是多少？这样依次逆推，就可以求出牛老师今年的岁数.没加上 8时应是：38-8=30;没除以2时应是：302=60;没减去16时应是：6016=76;没乘以2时应是：76亠2=38，即［（38-8）2•16］，2=38（岁）.【巩固】小智问小康：“你今年几岁？”小康回答说： “用我的年龄数减去8，乘以7,加上6,除以5,正好等于4•请你算一算，我今年几岁？”【解析】分析时可以从最后的结果是4逐步倒着推。这个数没除以5时应该是多少？没没加上6时应该是多少？没乘以7时应该是多少？没减去8时应该是多少？这样依次逆推，就可以推出某数。如果没除以5,此数是：45=20如果没加上6,此数是：20-6=14如果没乘以7,此数是：14,7=2如果没减去8,此数是：28=10综合算式：45-6“7=10（岁）答：小康今年10岁。【例3】学学做了这样一道题： 某数加上10,乘以10,减去10,除以10,其结果等于10,求这个数.小朋友，你知道答案吗?10,应用逆推法，由结果【解10,应用逆推法，由结果10,根据加、减法与乘、除法的互逆运算，倒着往前计算.Im1一Im1一"一:1010=100,10010=110,110“10=11,11-10=^1综合算式为:（101010）10-10（10010）10_10=110“10_10=11_10=1所以这个数为1.解这种还原问题的关键是从最后结果出发，逐步向前一步一步推理，每一步运算都是原来运算的逆运算，即变加为减，变减为加，变乘为除，变除为乘•列式时还要注意运算顺序，正确使用括号，这种逆向思维的方法是数学中常用的思维方法.【巩固】学学做了这样一道题：一个数加上 3,减去5,乘以4,除以6得16,求这个数.小朋友，你知道答案吗？【解析】根据题意，一个数，经过加法、减法、乘法、除法的变化，得到结果 16,应用逆推法，由结果10,根据加、减法与乘、除法的互逆运算，倒着往前计算.综合算式为：166亠45—3=96亠45—3=245—3=29—3=26【例4】一次数学竞赛颁奖会上，小刚问老师：“我得了多少分？”老师说：“你的得分减去 6后，缩小2倍，再加上10后，扩大2倍，恰好是100分”•小刚这次竞赛得了多少分？【解析】从最后一个条件“恰好是100分”向前推算•扩大2倍是100分，没有扩大2倍之前应是100^2=50（分），加上10后是50分，没有加上10前应是50-10=40（分），缩小2倍是40分，那么没有缩小2倍前应是402=80（分），减去6后是80分，没有减去6前应是80飞=86（分）•综合列式为：（10^-2-10）26=4026=86（分）所以，小刚这次竞赛得了 86分.【例5】在小新爷爷今年的年龄数减去 15后，除以4,再减去6之后，乘以10,恰好是100,问：小新爷爷今年多少岁数？【解析】采用倒推法，（100^106）4*15=79（岁）.“你一定不到100“你一定不到100岁吧！”谁知这位神仙摇摇头说：“你们算算吧！把我的年龄加上 75,再除以5,然后减去15,再乘以10,恰好是2000岁•”小朋友，你知道这位神仙现在有多少岁吗？【解析】这就是一个还原问题，可以用倒推法解决•从结果“ 2000”逐步倒着推，没乘10时是多少？没减去15时是多少？没除以5时是多少？没加75时是多少？这样依次倒推， 就可以知道神仙的年龄了.⑴“乘以10,恰好是2000”不乘10时，应该是：2000^10=200⑵“减去15”是200，不减15时，应该是：200•15=215⑶“除以5”是215，不除以5，应该是：2155=1075⑷现在的年龄加上75是1075,如果不加75,这个数是：1075-75=1000也就是神仙现在的年龄是1000岁.验算：按原题顺序进行列式计算，看最后是否等于 2000，如果等于2000，则解题正确.100075=1075,1075--5=215,215-15=200,20010=2000.【例6】哪吒是个小马虎，他在做一道减法题时，把被减数十位上的 6错写成9，减数个位上的9错写成6，最后所得的差是577,那么这道题的正确答案应该是多少呢？【解析】被减数十位上的6变成9，使被减数增加90-60=30，差也增加了30;减数个位上的9错写成6,使减数减少了9-6=3，这样又使差增加了3,这道题可以说成：正确的差加上 30后又加上3得577，求正确的差.所以列式得： 577-(9-6)-(90-60)=544.这题的正确答案应该是544.【巩固】小马虎在做一道加法题时，把一个加数个位上的 9看作6，十位上的6看作9，结果和是174,那么正确的结果应该是多少呢？【解析】我们可以这样理解这道题的意思：一个数 (正确答案)，由于小马虎两次错误的计算，变成了另一个数(错误结果)，我们知道引起这种变化的原因是：把个位上的9看作6，这就相当于把正确答案减少了 9-6=3把十位上的6看作9，这就相当于把正确答案增加了： 10(9-6)=30这样原题就变成了“一个数减去3，再加上30，所得结果是174，求这个数.”我们只要把少加的加上，多加的减去，就可以求出正确的结果

【巩固】淘气在做一道减法时，把减数个位上的 9看成了3，把十位上的4看成了7,得到的结果是164,请你帮淘气算算正确的答案应该是多少呢 ？【解析】164(73—49)=188或164_630=188・【巩固】小新在做一道加法题，由于粗心，将个位上的 5看作9,把十位上的8看作3,结果所得的和是123.正确的答案是多少？【解析】倒推法，把个位上的5看作9,相当于把正确的和多算了 4，求正确的和，应把4减去；把十位上的8看作3,相当于把正确的和少算了50,求正确的和，应把50加上去.所以正确的和是：12350-4=169.即：123(80-30)—(9-5)=169.【例7】学学看到太上老君正在用一根绳子拴宝葫芦，第一次用去全长的一半还多 2米，第二次用去余下的一半少10米，第三次用去15米，最后还剩9米，那么这根绳子原来有多少米呢？【解析】根据题意，画图倒推分析:第三次匚二159=24（米）用去 剩卜'24米第三次匚二159=24（米）用去 剩卜'24米第二次f■厂I亠 7、 ■ ・一半10米 十（24-10）2=28（米）第一次匕. 剰正那米_■■■r 2米（282）2=60（米）所以，这根绳子全长60米.【巩固】一捆电线，第一次用去全长的一半多 3米，第二次用去余下的一半少 10米，第三次用去15米,最后还剩7米。这捆电线原来有多少米？【解析】为了帮助同学们分析数量关系，可依照题意画出右图。从线段图上可以看出:全长？米图2（1） 7-15-10=12（米），就是第一次用去后余下的一半。（2） 12 2=24（米）,就是余下的电线长度。（3） 24 3=27（米），就是全长的一半。（4） 272=54（米），就是原来电线的长度。综合列式计算：|[j7•15-10232=（1223）2=272=54（米）答：这捆电线原来有54米。【巩固】甲在加工一堆零件，第一天加工了这堆零件的一半又 10个，第二天又加工了剩下的一半又 10个，还剩下25个没有加工，问：这批零件有多少个？【解析】如右图所示，按照图与题目的条件，可以有如下算式：352=70（个）7010=80（个）80 2=160（个）列综合算式：1（2510）210]2=160答：这批零件共有160个。【例8】货场原有煤若干吨。第一次运出原有煤的一半，第二次运进 450吨，第三次又运出现有煤的一半又50吨，结果剩余煤的2倍是1200吨。货场原有煤多少吨？【解析】这道题由于原有煤的总吨数是未知的， 所以要想顺解是很不容易的， 我们先看图4,然后再分析。1200吨图41200吨图4结合上面的线段图，用倒推法进行分析，题中的数量关系就可以跃然纸上，使学生们一目了然。根据“剩余煤的2倍是1200吨”就可以求剩余煤的吨数；根据“第三次运出现有煤的一半又50吨”和剩余煤的吨数，就可以求出现有煤的一半是多少吨，进而可求出现有煤的吨数；用现有煤的吨数减去第二次运进的 450吨，就可以求出原有煤的一半是多少，最后再求出原有煤多少吨。（1）剩余煤的吨数是：1200亠2=600（吨）（2）现有煤的一半是： 600-50=650（吨）（3）现有煤的吨数是： 6502=1300（吨）

（5）原有煤的吨数是：850 2=1700（吨）答：货场原来有煤1700吨。【例9】食堂买进一批大米，第一天吃了全部的一半少 28千克，第二天吃了余下的一半少 8千克，最后剩下122千克.这批大米共有多少千克？【解析】列式为：[（122—8）2—28]2=2002=400（千克）【巩固】山顶上有棵桃数，一只猴子偷吃桃子，第一天偷吃了总数的一半多 2个，第二天又偷吃了剩下的一半多2个，这时还剩1个，问：树上原来有多少个桃子？【解析】2[（12）22]=16（个）.【巩固】修建一条下水道，第一周修了全长的一半多 12米，第二周修了剩下的一半少 12米，第三周修了30米，最后还剩18米，这条下水道长多少米？【解析】如下图，从图中可知30*18-12=36是第一周修后余下的一半， 362-12=84米是下水道全长第二周修的第三周修的30第二周修的第三周修的30耒多12米少12米剰下18米列式为：[(3018-12)212]2=842=168(米)所以，这条下水道长168米.画图法的关键：标好有倍数关系的位置。【例10】小丽用4元买了一本《童话大王》，又用剩下的钱的一半买了一本《儿童时代》 ，买钢笔又用去第二次剩下的钱的一半多1元，最后还剩4元，问：小丽原有多少钱?第二次剩下的一半第二次剩下的一半【解析】用倒推法，第二次剩下的一半是 4V=5（元），第二次剩下52=10（元），第一次剩下列综合算式： 4722*4=24答：小丽原有24元。【巩固】有一筐苹果，甲取出一半又1个；乙取出余下的一半又1个；丙取出再余下的一半又1个，这时筐里只剩下1个苹果。这筐苹果共值6元6角，问每个苹果平均值多少钱？【解析】甲取出的Y余下的一半1个」个甲取出的Y余下的一半1个」个1个乙取出的丙取出的从上面的线段图可以看出：最后剩下的1个再加上丙取出的1个就是再余下的一半，即2个是再余下的一半，因此，再余下的就是22=4（个）；4个再加上乙取出的1个就是余下的一半，所以，甲取出后余下的就是 52=10（个）；10个再加上甲取出的1个就是全筐的一半，所以，全筐苹果的总数是 112=22（个）。22个苹果共值6元6角，于是可求出每个苹果平均值多少钱？先求有多少个苹果：（1+1）2+1212=22（个）再求每个苹果平均值多少钱： 66亠22=3（角）答：每个苹果平均值3角钱。【例11】（2008年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛 ）工程队要修一条小路，第一天修了全长的一半多6米，第二天修了余下的一半少 20米，第三天修了30米，此时还剩下14米没有修，则这条小路长 米。【分析】如图1所示，先根据线段图理清数量关系，可得全长为：（j：1430-20 26卜2=108（米）。余下的一半Y 全长的一半 *6< >嘎 第一天 尸三.天30—>14—图1

1千米，问：公园马1千米，问：公园马【解析】如图，？全长的一半►X剩下的？全长的一半►X剩下的采取倒推的方法，1千米是第一次剩下的路程的一半， 所以第一次剩下路程就是12=2（千米）。而第一次剩下的路程2千米又是全程长的一半，所以全程长为 22=4（千米）。答：公园马路全长为4千米。这时还剩【例12】思思看到织女在织布，她把一段五彩布第一次剪去一半，第二次又剪去余下的一半,下8米，你知道这段五彩布原来长多少米吗？这时还剩【解析】根据题意，画出线段图，倒推分析.82=【解析】根据题意，画出线段图，倒推分析.82=16（米）剩下16米—4—3（米）所以这段五彩布原来长32米.【巩固】一群蚂蚁搬家，原存一堆食物•第一天运出总数的一半少 12克•第二天运出剩下的一半少 12克，结果窝里还剩下43克•问蚂蚁家原有食物多少克 ？【解析】采用倒推法，教师可画线段图帮助学生理解 •如果第二天再多运出12克，就是剩下的一半，所以第一天运出后，剩下的一半重量是43-12=31（克）;这样，第一天运出后剩下的重312=62（克）.那么同理，一半的重量是62-12=50（克），原有食物502=100（克）.即[（43-12） 2-12]2=100（克）.【巩固】一捆电线，第一次用去全长的一半多 3米，第二次用去余下的一半少 10米，第三次用去15米,最后还剩7米，这捆电线原有多少米？【解析】由逆推法知，第二次用完还剩下 15+7=22（米），第一次用完还剩下（22-10）2=24（米），原来电线长（24 3）2=54（米）•解：（157-10）2 3二2=54（米）•【巩固】修建一条下水道，第一周修了全长的一半多 12米，第二周修了剩下的一半少 12米，第三周修了30米，最后还剩18米，这条下水道长多少米？【解析】如下图，从图中可知30*18-12=36是第一周修后余下的一半， 362_12=84米是下水道全长的一半.列式为：[（3018-12）212]2=842=168（米）所以，这条下水道长168米.画图法的关键：标好有倍数关系的位置。【例13】桃园里来了第一群猴子，吃去桃子总数的一半又半个；第二群猴子又来吃掉剩下桃子的一半又半个；第三群猴子又来吃掉剩下桃子数的一半又半个 •这时桃园里还只有100个桃了•那么园中原有多少桃？【解析】第三群猴没吃，相应有桃（1000.5）2=201（个）第二群猴没吃，相应有桃（201 0.5）2=403（个）第一群猴没吃，相应有桃（即桃园中原有桃）（4030.5）2=807（个）【巩固】 山顶上有棵桃数，一只猴子偷吃桃子，第一天偷吃了总数的一半多 2个，第二天又偷吃了剩下的一半多2个，这时还剩1个，问：树上原来有多少个桃子？【解析】2[（1'2）22]=16（个）.【巩固】某水果店进一批水果，运进的是原来的水果的一半，原有的蔬菜卖出去一半以后，恰好与现在的水果同样多，已知原有的水果 800千克，求原有的蔬菜多少千克？【解析】可逐步算出：运进水果800“2=400（千克），现有水果800*400=1200（千克），原有蔬菜1200 2=2400（千克）。【例14】刚打完篮球，冬冬觉得非常渴，就拿起一大瓶矿泉水狂喝 .他第一口就喝了整瓶水的一半，第二口又喝了剩下的-，第三口则喝了剩下的-，第四口再喝剩下的-，第五口喝了剩下的-•此3 4 5 6时瓶子里还剩0.5升矿泉水，那么最开始瓶子里有几升矿泉水？【解析】最开始瓶子里有矿泉水：0.5,1一11 1一11_丄1—1］尸3（升）.上2）I3.丿I4丿I5丿I6丿」（）【巩固】有一堆棋子，把它四等分后剩下一枚，取走三份又一枚；剩下的再四等分又剩一枚，再取走三份又一枚；剩下的再四等分又剩一枚 .问：原来至少有多少枚棋子？【详解】棋子最少的情况是最后一次四等分时每份为 1枚.由此逆推，得到第三次分之前有14-1=5（枚）,第二次分之前有54+1=21（枚）,第一次分之前有214+1=85（枚）.所以原来至少有85枚棋子.【例15】从前，有一位樵夫，整天幻想着遇见神仙，求得一种不花气力就能发财的窍门•一天，有一位老人突然来到樵夫面前，对他说： “你不是想见到神仙吗？”樵夫苦苦哀求： “我在山里砍了三天柴，累的要死要活，才卖的这么几个钱•您老人家神通广大，恳求您指点，使我可以不费力气就能得到钱吧！”老人指着东边的一座石头桥说： “好吧！从现在开始，你只要从那座桥上每走一个来回，口袋里的钱都会增长一倍，但是每次回来都要付给我 24个钱作为报酬.”樵夫高兴的在桥上走了一个来回，他数一数口袋里的钱，果然增长了一倍•他拿出 24个钱交给神仙，然后又向桥上走去，等到他第三次回来，把24个钱交给神仙后，摸一摸口袋，里面竟然一个钱都没有了.正当他焦急不安的时候，神仙按原数把钱留下飘然而去，并留下一句话：“年轻人，不劳而获可不行啊！ ”故事读完了，小朋友们，你能不能算出，樵夫原来有多少钱呢？【解析】这个故事里包含的算题是：樵夫每次在桥上走一个来回，口袋里面的钱会增长 1倍，樵夫第三次回来，交付24个钱给神仙后，他的口袋里就一无所有了•问樵夫原来有多少钱？我们可以倒着想，最后樵夫从桥上回来后，口袋里面只有 24个钱，第二次交给神仙后有24“2=12（个）钱,36“2=18（个）钱,从桥上回来后有：12*2436“2=18（个）钱,【例16】学学和思思见到一种神奇的虫子，它每小时就长一倍， 1天能长到20厘米，聪明的小朋友，你知道小虫长到5厘米时需要多少小时吗？【解析】小虫每小时长一倍的意思是：第二个小时的身长是第一个小时的 2倍，第三个小时的身长是第二个小时的2倍，第四个小时的身长是第三个小时的 2倍，1天是24个小时，从24小时能长到20厘米开始，往前倒推，当长到 20-：-2=10（厘米）时，就是第23个小时，以此倒推.（方法一）用倒推法解：20-：-2亠2=：5（厘米），24-1-1=22（小时）（方法二）用列表倒推法解：出生天数小虫身长（厘米）24202310225【例17】有一个财迷总想使自己的钱成倍增长，一天他在一座桥上碰见一个老人，老人对他说：“你只要走过这座桥再回来，你身上的钱就会增加一倍，但作为报酬，你每走一个来回要给我 32个铜板•”财迷算了算挺合算，就同意了•他走过桥去又走回来，身上的钱果然增加了一倍，他很高兴地给了老人32个铜板•这样走完第五个来回，身上的最后 32个铜板都给了老人，一个铜板也没剩下.问：财迷身上原有多少个铜板？【解析】第五次回来时有32个铜板，表明第五次走时有 16个铜板（因为走到桥对面钱数要增加一倍） ，又表明第四次回来时有48个铜板（因为要给老人32个铜板）……依次类推即可.推算过程可列表如下：往返欢数第五欢第四次第三沒第二次第一袂回到老人身辺时铜板数"32-485662离开老人身边时铜板数1634283031所以原来有31个铜板.【巩固】某人发现了一条魔道，下面有一个存钱的小箱子，当他从魔道走过去的时候，箱子里的一些钱会飞到人的身上使人身上的钱增加一倍，这人很高兴；当他从魔道走回来时，身上的钱会飞到箱子里，使箱子里的钱增加一倍；这人一连走了 3个来回后，箱子里的钱和人身上的钱都是 64枚一元的硬币，那么原来这人身上有多少元？箱子里有多少元？【解析】已知这个人和钱箱里最后都有64元，采用倒推法解题，列表如下:往返次数第三次第二次第一次从魔道走回来前身上钱数968886从魔道走回来前箱中钱数324042从魔道走过去前身上钱数484443从魔道走过去前箱中钱数808485所以最开始这个人身上有 43元，箱子里有85元.板块二、多个变量的还原问题【例18】三人有不等的存款，只知如果甲给乙 40元，乙再给丙30元，丙再给甲20元，给乙70元，这样三人各有240元，三人原来各有存款多少元？【解析】甲：24040-20=260（元）；乙：240-4030-70=160（元）；丙：240-302070=300.【例19】小巧、小亚、小红共有90个玻璃球，小巧给小亚6个，小亚给小红5个，小红给小巧8个，他们的玻璃球个数正好相等•小巧、小亚、小红原来各有多少个玻璃球？【解析】由已知条件可知，小巧比原来多了 2个，小亚比原来多了1个，小红少了3个，三人一样多时，都是90“3=30（个），所以小巧原来有30-2=28（个），小亚原来有30-1=29（个），小红原来有30•3=33（个）•【例20】三棵树上共有36只鸟，有4只鸟从第一棵树上飞到第二棵树上， 有8只鸟从第二棵树上飞到第三棵树上，有10只鸟从第三棵树上飞到第一棵树上，这时，三棵树上的鸟同样多•原来每棵树上各有几只鸟？【解析】这道题要采用倒推法，最后三棵树上的鸟同样多，那每棵数上就是 36“3=12（只），第一棵树上的鸟，先是飞了4只到第二棵树上，然后又有10只飞了回来，现在和原来比小鸟增加了6只，这样比较就能求出第一棵树上小鸟的只数；第二棵树上的鸟，先是飞来了 4只，然后又有飞走了8只，现在和原来比少了4只，这样比较就能求出第二棵树上小鸟的只数；第三棵树上的鸟，先是飞来了8只，然后又飞走了10只，现在和原来比少了1只，这样比较就能求出第三棵树上小鸟的只数.列式：现在一样多的:36-：-3=12（只）第一棵树上的小鸟只数：12_104=6（只）或12-（104：）（只）第二棵树上的小鸟只数：128—4=16（只）或12 （84）1（只）第三棵树上的小鸟只数：1210-8=14（只）或12 （108） 1只）答：原来第一棵树上有6只小鸟，第二棵树上有16只小鸟，第三棵树上有14只小鸟.【例21】三棵树上共有27只鸟，从第一棵飞到第二棵2只，从第二棵飞到第三棵3只，从第三棵飞到第一棵4只，这时，三棵树上的鸟同样多•原来每棵树上各有几只鸟？【解析】三棵树上的鸟同样多的只数： 27“3=9（只）第一棵数上鸟的只数： 9-4*2=7（只）第二棵数上鸟的只数： 9-23=10（只）第三棵数上鸟的只数： 9-34=10（只）答：第一棵数上有7只鸟，第二棵数上有10只鸟，第三棵数上有10只鸟.【例22】甲、乙两班各要种若干棵树，如果甲班拿出与乙班同样多的树给乙班，乙班再从现有的树中也拿出与甲班同样多的树给甲班，这时两班恰好都有 28棵树，问甲、乙两班原来各有树多少棵？【解析】如果后来乙班不给与甲班同样多的树，甲班应有树 28亠2=14（棵），乙班有28*14=42（棵），如果开始不从甲班拿出与乙班同样多的树， 乙班原有树42“2=21（棵），甲班原有树14*21=35（棵）•列表倒推如下：甲班乙班352114422828【巩固】一班、二班、三班各有不同数目的图书•如果一班拿出本班的一部分图书分给二班、三班，使这两个班的图书各增加一倍；然后二班也拿出一部分图书分给一班、三班，使这两个班的图书各增加一倍；接着三班也拿出一部分图书分给一班、二班，使这两个班的图书各增加一倍•这时，三个班的图书数目都是48本•求三个班原来各有图书多少本？【解析】我们可采用倒推法，再结合列举法进行分析推理.在每一次重新变化后，三个班的图书总数目是一个不变的数，由此，可从最后三个班的图书数目都是 48本出发进行倒推，求每一次重新变化以前三个班各自的图书数目，逐步倒推出原有的图书数目•依据题意可知，一班、二班的图书数目各增加一倍才是48本，因此增加前各应有24本，所以一班、二班的图书数目各应减半，还给三班•其余各次，以此类推，把倒推解答的过程用下表表示：一班二班三班结果484848第三次242496第二次128448第一次784224【例23】解放军某部参加抗震救灾，从第一队抽调一半人支援第二队，抽调 35人支援第三队，又抽调剩下的一半支援第四队，后来又调进 8人，这时第一队还有30人，求第一队原有多少人？【解析】由条件“后来又调进8人”和“这时第一队还有30人”，可知不调进8人有30-8=22（人）•由“又抽调剩下的一半支援第四队”后还有22人，可知如果不抽调人去支援第四队，一队有 222=44（人）;由“抽调35人支援第三队”后还有44人，可知之前有44*35=79（人）；由“从第一队抽调一半人支援第二队”后还有79人，可知第一队原有792=158（人）•列式为：[（30-8）235]2=792=158（人）还原问题有一个基本方法：列表法，教师可以再用列表法重新理一下题目。【例24】有一筐苹果，把它们三等分后还剩两个苹果，取出其中两份，将它们三等分后还剩 2个；然后再取其中两份，将这两份三等分后还剩 2个.问：这筐苹果至少有几个？【解析】如果增加4个苹果，那么第一次恰好三等分（每份多出2个）；第二次取出其中2份（总共多出4个）,也恰好三等分（每份又多出2个）;最后取2份（共多出4个），也恰好三等分•而且最后一次分总数一定是偶数，因为是取2份来分的，所以每份也是偶数，且比原来每份多 2个，所以现在每份至少是4个•从而上一次每份为43“2=6（个），再上次每份为63-：-2=9（个），那么开始时共有93=27（个）苹果，但是我们假设增加了 4个，所以这筐苹果至少有27一4=23（个）•【例25】3个探险家结伴去原始森林探险，路上觉得十分乏味就聚在一起玩牌•第一局，甲输给了乙和丙，使他们每人的钱数都翻了一番.第二局，甲和乙一起赢了，这样他们俩钱袋里面的钱也都翻了倍•第三局，甲和丙又赢了，这样他们俩钱袋里的钱都翻了一倍•结果，这 3位探险家每人都赢了两局而输掉了一局，最后 3人手中的钱是完全一样的•细心的甲数了数他钱袋里的钱发现他自己输掉了100元•你能推算出来甲、乙、丙 3人刚开始各有多少钱吗？【解析】假设最后每个人手中的钱是8份，三人总共24份，利用倒推法.甲乙丙第三局后888第二局后4164第一局后2814开始1347从开始到最后甲的份数少了 （13-8份，说明每份是100-（13-8二20元.所以刚开始时，甲有1320=260（元），乙有420=80（元），丙有7^20=140（元）•【例26】3个笼子里共养了78只鹦鹉，如果从第1个笼子里取出8只放到第2个笼子里，再从第2个笼子里取出6只放到第3个笼子里，那么3个笼子里的鹦鹉一样多•求 3个笼子里原来各养了多少只鹦鹉？【解析】3个笼子里的鹦鹉不管怎样取， 78只的总数始终不变•变化后“3个笼子里的鹦鹉一样多”，可以求出现在每个笼里的是78^3=26（只）•根据“从第1个笼子里取出8只放到第2个笼子里”，可以知道第1个笼子里原来养了26•8=34（只）；再根据“从第2个笼子里取出6只放到第3个笼子里；得出第2个笼子里有：26+6-8=24（只），第3个笼子里原有26-6=20（只）•【巩固】甲、乙、丙3人共有192张邮票•从甲的邮票中取出乙那么多给乙后，再从乙的邮票中取出丙那么多给丙，最后从丙的邮票中取出甲那么多给甲，这时甲、乙、丙 3人邮票数相同，甲、乙、丙原来各有多少张？【解析】甲、乙、丙原共有192张邮票，经过三次交换后，甲乙丙三人仍有邮票 192张，而且三人邮票数相同，即3人各有邮票：192“3=64（张）•第三次交换从丙的邮票中取出甲那么多给甲，说明这次交换前甲有邮票64-〉2=32（张），丙有邮票：64*32=96（张），依此类推，就可以推出答案了•最后相等时各有192“3=64（张），列表倒推如下:甲（张）乙（张）丙（张）最后646464前次326496再前次3211248原来885648【例27】一群小神仙玩扔沙袋游戏，他们分为甲、乙两个组，共有 140只沙袋•如果甲组先给乙组5只,乙组又给甲组8只，这时两组沙袋数相等.两个组原来各有沙袋多少只 ？【解析】甲乙两组的沙袋经历了两次交换.第二次交换后两组沙袋相等，又知沙袋总数为 140只，所以这时两组各有沙袋70只.解答时可以从70开始倒推•列表倒推如下：甲 组乙 组最后结果140*2=70140*2=70第二次交换前70—8=6270+8=78第一次交换前（原来）62+5=6778—5=73解决此类问题的关键是找到从哪里开始倒推•因为甲乙两组的沙袋经历了两次交换后数量相等,所以应从两组各有沙袋70只开始倒推.【巩固】科学课上，老师说：“土星直径比地球直径的 9倍多4800千米，土星直径除以24等于水星直径，水星直径加上2000千米是火星直径，火星直径除以 2减去500千米等于月亮的直径，月亮直径是3000千米.”请你算一算，地球的直径是多少？【解析】先求土星直径：[（3000 500）2-2000]24=120000（千米）再求地球直径：（120000-4800）“9=12800（千米），即：地球的直径是12800千米.【例28】3个笼子里共养了36只兔子，如果从第1个笼子里取出8只放到第2个笼子里，再从第2个笼子里取出6只放到第3个笼子里，那么3个笼子里的兔子一样多•求 3个笼子里原来各养了多少只兔子？【解析】3个笼子里的兔子不管怎样取， 36只的总数始终不变•变化后“3个笼子里的兔子一样多”，可以求出现在每个笼里的兔子是36亠3=12（只）•根据“从第1个笼子里取出8只放到第2个笼子里”,可以知道第1个笼子里原来养了12•8=20（只）；再根据“从第2个笼子里取出6只放到第3个笼子里”所以第3个笼子里原有：12_6=6（只），第2个笼子里原有：36_20_6=10（只）•【例29】张、王、李、赵四个小朋友共有课外读物 200本，为了广泛阅读，张给王13本，王给李18本,李给赵16本，赵给张2本•这时4个人的本数相等•他们原来各有多少本？【解析】解这道题应该先明白这样一个道理，他们共有课外读物 200本，经过互相交换后，这200本书的总数没有变化，仍然是200本.后来这4个人的本数相等时，每个人的本数是 200“4=50（本）•用倒推法，求每个人原来各有多少本书， 可以从最后结果50本开始，把给出的本数加上，收进的本数减去，就得到各人原有课外读物的本数.⑴张原有读物的本数： 50-13-2=61（本）⑵王原有读物的本数： 50-18-13=55（本）⑶李原有读物的本数： 50•16-18=48（本）⑷赵原有读物的本数： 50•2-16=36（本）［巩固］甲、乙、丙3人共有192张邮票•从甲的邮票中取出乙那么多给乙后，再从乙的邮票中取出丙那么多给丙，最后从丙的邮票中取出甲那么多给甲，这时甲、乙、丙 3人邮票数相同，甲、乙、丙原来各有多少张？［分析］甲、乙、丙原共有192张邮票，经过三次交换后，甲乙丙三人仍有邮票 192张，而且三人邮票数相同，即3人各有邮票：192」3=64（张）•第三次交换从丙的邮票中取出甲那么多给甲，说明这次交换前甲有邮票64“2=32（张），丙有邮票：64*32=96（张），依此类推，就可以推出答案了.列表倒推：最后相等时各有 192^3=64（张）甲（张）乙（张）丙（张）最后646464前次326496再前次3211248原来885648【解析】解决此类问题的关键是找到从哪里开始倒推•因为甲乙两组的沙袋经历了两次交换后数量相等，所以应从两组各有沙袋70只开始倒推.【例30】A、B、C三个油桶各有油若干千克，第一次把 A桶的一部分油倒入B、C两桶，使B、C两桶的油分别增加到原来的2倍；第二次把B桶的油倒一些到C、A两桶中，使C、A两桶油分别增加到第二次倒油时桶内油的2倍；第三次从C桶倒一些到A、B两个桶内，使A、B两桶内的油都增加到第三次倒油前桶内油的2倍，这时各桶内的油都是16千克.A、B、C三个油桶原来各有油多少千克？【解析】采用倒推法，第三次倒油后，各桶的油相等，都是 16千克.第三次倒油前A、B中都只有16的一半，即8千克，增加的8千克是从C中倒来的，C中共倒出8•8=16（千克）,C中共有油16•16=32（千克）.第二次倒油前A和C都只有第二次倒油后的一半，即 A只有4千克，C中有16千克，增加的油是由B倒出的，B中倒出了4/6=20（千克）,B中有油20*8=28（千克）.第一次倒油前，B、C中都只有第一次倒油后的一半，即 B中有14千克，C中有8千克.B所增加的14千克，C所增加的8千克都是由A中倒出的，倒出后A中剩下4千克，所以A中原有油414^26（千克）.即开始时， A、B、C三桶中分别有油26,14,8千克.【例31】有甲、乙两堆棋子，其中甲堆棋子多于乙堆.现在按如下方法移动棋子：第一次从甲堆中拿出和乙堆一样多的棋子放到乙堆；第二次从乙堆中拿出和甲堆剩下的同样多的棋子放到甲堆；第三次又从甲堆中拿出和乙堆同样多的棋子放到乙堆.照此移法，移动三次后，甲、乙两堆棋子数恰好都是32个.问甲、乙两堆棋子原来各有多少个？【解析】我们从最后一步倒着分析.因为第三次是从甲堆拿出棋子放到乙堆，这样做的结果是两堆棋子都是32个，因此，在未进行第三次移动之前，乙堆只有 32"2=16（个）棋子，而甲堆的棋子数是32*16=48（个），这样再逆推下去，逆推的过程可以用下表来表示，表中的箭头表示逆推的方向.所以，甲堆原有44个棋子；乙堆原有20个棋子.乙堆棋子第三次移动后甲堆棋子32+32甲堆棋子32+32才48-h2+16”2444第一次移动后 4°v原有棋子20一甲乙结果3232第三次交换前4816第二次交换前2440第一次交换前4420采用列表法非常清楚.采用列表法非常清楚.【例32】有一堆棋子，把它三等份后剩一枚，拿去两份和另一枚，将剩下的棋子再三等份后还是剩下一枚，再拿去两份和另一枚，最后将剩下的棋子再三等份后还是剩下一枚，问原来至少有多少枚棋子？【解析】本题的数量关系更加隐蔽、复杂，应如何解答呢 ？根据“最后将剩下的棋子三等份还是剩一枚”，可知解题的关键是确定在“最后将剩下的棋子三等份”后，每一份是几枚棋子 ？再根据提问“原来至少有多少枚棋子”可知在“最后将剩下的棋子三等份”后，每一份是一枚棋子.采用倒推法，再结合列表法一一列举进行分析推理.一份一份一份剩余最后棋子数（枚）1111前次棋子数（枚）4441再前次棋子数（枚）1313131原来至少有棋子数（枚）402个；然后再【巩固】有一筐苹果，把它们三等分后还剩两个苹果，取出其中两份，将它们三等分后还剩取其中两份，将这两份三等分后还剩 22个；然后再【解析】（一解）如果增加4个苹果，那么第一次恰好三等分（每份多出2个）；第二次取出其中2份（总共多出4个），也恰好三等分（每份又多出2个）；最后取2份（共多出4个），也恰好三等分•而且最后一次分总数一定是偶数，因为是取 2份来分的，所以每份也是偶数，且比原来每份多 2个，所以现在每份至少是4个•从而上一次每份为43亠2=6（个），再上次每份为63“2=9（个），那么开始时共有93=27（个）苹果，但是我们假设增加了4个，所以这筐苹果至少有27一4=23（个）•列表法是还原问题的一个基本方法，教师可以再用列表法重新理一下题目。（二解）从最后的状态往前还原，假设最后一次三等分后，每一份的个数为 x个，那么最后一次三等分之前的苹果个数是3x2个，这些苹果是第二次三等分中的两份，所以其中每一份的个数是竺二个，这个数应该是一个整数；第二次三等分前，苹果的个数是 3旦22个，同样的22这些苹果是第一次三等分中的两份，所以每一份的个数为 3兰 个，这个数也应该是一个4整数；所以这筐苹果的总数为 33空 2个.4显然x越小，这筐苹果的个数最少，但是有竺二和33X2 4是整数的约束条件•满足这两2 4个约束条件的x必须被4除余2,所以满足该条件的x的最小值为2，代入得到这筐苹果最少有23个.【例33】乙丙三人各有糖豆若干粒，甲从乙处取来一些，使自己的糖豆增加了一倍；接着乙从丙处取来一些，使自己的糖豆也增加了一倍；丙再从甲处取来一些，也使自己的糖豆增加了一倍•现在三人的糖豆一样多•如果开始时甲有 51粒糖豆，那么乙最开始有多少粒糖豆？【解析】先假设后来三个人都是4份，还原后得到甲、乙、丙分别是 3份，5份，4份，实际上甲原来有51粒，51"3=17，那么我们可以把1份看成17粒，所以乙最开始有糖豆175=85（粒）•【巩固】甲、乙、丙三人各有铜板若干枚，开始甲把自己的铜板拿出一部分给乙、丙，使乙、丙的铜板数各增加了1倍；乙把自己的铜板拿出一部分给甲、丙，使甲、丙的铜板数各增加了 1倍；丙把自己的铜板拿出一部分给乙、甲，使乙、甲的铜板数各增加了 1倍，这时三人铜板数都是8枚，原来每人各有几枚？【解析】甲13枚，乙7枚，丙4枚.【例34】有18块砖，哥哥和弟弟争着去搬•弟弟抢在前面，刚摆好砖，哥哥赶到了•哥哥看弟弟搬得太多，就抢过一半•弟弟不肯，又从哥哥那儿抢走一半，这时爸爸走过来，他从哥哥那拿走一半少2块，从弟弟那儿拿走一半多 2块，结果是爸爸比哥哥多搬了 3块，哥哥比弟弟多搬了3块.冋最初弟弟准备搬多少块？【解析】先来看看最后爸爸、哥哥、弟弟各搬了多少块砖.如果爸爸给弟弟 3块，那么3个人搬的砖数就一样多了，都等于哥哥搬的砖数，所以最后哥哥搬了 18亠3=6（块），弟弟搬了6-3=3（块），爸爸搬了6・3=9（块）.爸爸从弟弟处搬了一半多 2块，所以，爸爸从弟弟处搬之前，弟弟的砖数是（32）2=10（块），哥哥的砖数是18-10=8（块）；弟弟从哥哥处搬了一半，这“一半”应与哥哥剩下的砖数一样，是8块，所以，弟弟从哥哥处搬之前，哥哥的砖数是82=16（块），那时，弟弟的砖数是18-16=2（块）;哥哥从弟弟处搬了一半，这“一半”应与弟弟剩下的砖数一样，是2块.所以，哥哥从弟弟处搬之前，弟弟处的砖数是22=4（块），那时，哥哥的砖数是18-4=14（块）.所以，最初，弟弟准备搬4块砖.即：⑴最后，爸爸、哥哥和弟弟分别搬了多少块砖：哥哥： 18“3=6（块），爸爸：6*3=9（块），弟弟：6-3=3（块）⑵爸爸从哥哥、弟弟处搬之前，哥哥、弟弟各有多少块：哥哥： （6-2）2=8（块）,弟弟：（3,2）2=10（块）⑶弟弟从哥哥处搬之前，哥哥、弟弟各有多少块：哥哥： 82=16（块），弟弟：18-16=2（块）⑷哥哥从弟弟处搬之前，哥哥、弟弟各有多少块：弟弟： 22=4（块），哥哥：18-4=14（块）【巩固】有砖26块，兄弟二人争着去挑.弟弟抢在前面，刚摆好砖，哥哥赶到了.哥哥看弟弟挑的太多，就抢过一半.弟弟不肯，又从哥哥那儿抢走一半.哥哥不服，弟弟只好给哥哥 5块，这时哥哥比弟弟多挑2块.冋最初弟弟准备挑多少块？【解析】先算出最后各挑几块：（和差问题）哥哥是（26-2）2=14（块），弟弟是26-14=12（块），然后来还原：⑴哥哥还给弟弟5块：哥哥是14-5=9（块），弟弟是12*5=17（块）；（2）弟弟把9-9=189-9=18（块），弟弟是17_9=8（块）：⑶哥哥把抢走的一半还给弟弟：那么弟弟原来就是 8・8=：16（块）•【例35】有甲、乙、丙三个油桶，各盛油若干千克 .先将甲桶油倒入乙、丙两桶，使它们各增加原有油的一倍；再将乙桶油倒入丙、甲两桶，使它们的油各增加一倍；最后按同样的规律将丙桶油倒入甲、乙两桶•这时，各桶油都是16千克•问：各桶原有油多少千克？【解析】列表逆推如下：甲 桶乙 桶丙 桶初始状态4+14+8=2628*2=1416^2=8第一次变化8+2=48+4+16=2832+2=1616十2=816+2=816+8+8=32第二次变化第三次变化161616原来甲、乙、丙桶分别有油26，14，8千克.逆推时注意，每次变化时，有两桶各增加了一倍，逆推时应分别除以 2;另一桶减少了上述两桶增加的数，逆推时应使用加法 •【巩固】兄弟三人分24个桔子，每人所得个数分别等于他们三年前各自的岁数 •如果老三先把所得的桔子的一半平分给老大与老二，接着老二把现有的桔子的一半平分给老三与老大，最后老大把现有的桔子的一半平分给老二与老三，这时每人的桔子数恰好相同 •问：兄弟三人的年龄各多少岁？【解析】由于总共有24个桔子，最后三人所得到的桔子数相等，因此每人最后都有 24“3=8（个）桔子•由此列表逆推如下表:老大老二老三初始状态14—（2+2）=138—（2一2）=72X2=4老三分过后16—（4十2）=144^2=84—（4十2）=2老二分过后8況2=168—（8^2）=48—（8十2）=4老大分过后888

由上表看出，老大、老二、老三原来分别有桔子13,由上表看出，老大、老二、老三原来分别有桔子13,7,4个，现在的年龄依次为 16,10,7岁.拿出桔子数的一半，逆推时应减去拿出桔子数的一半2;另两人各增加拿出桔子的人【例36】一班、二班、三班各有不同数目的图书.如果一班拿出本班的一部分图书分给二班、三班，使这两个班的图书各增加一倍；然后二班也拿出一部分图书分给一班、三班，使这两个班的图书各增加一倍；接着三班也拿出一部分图书分给一班、二班，使这两个班的图书各增加一倍•这时，三个班的图书数目都是 482;另两人各增加拿出桔子的人【解析】我们可采用倒推法，再结合列举法进行分析推理•三个班的图书总数目是一个不变的数，在每一次重新变化后，这个总数目仍不变，由此，可从最后三个班的图书数目都是 48本出发进行倒推,求每一次重新变化以前三个班各自的图书数目，逐步倒推出原有的图书数目•依据题意可知，一班、二班的图书数目各增加一倍才是 48本，因此增加前各应有24本，所以一班、二班的图书数目各应减半，还给三班•其余各次，以此类推，把倒推解答的过程用下表表示：一班二班三班结果484848第三次分之前242496第二次分之前128448第一次分之前784224【巩固】 （第四届《小数报》数学竞赛决赛试题） A、B、C三个油桶各盛油若干千克•第一次把 A桶的一部分油倒入B、C两桶，使B、C两桶内的油分别增加到原来的 2倍；第二次从B桶把油倒入C、A两桶，使C、A两桶内的油分别增加到第二次倒之前桶内油的 2倍；第三次从C桶把油倒入A、B两桶，使A、B两桶内的油分别增加到第三次到之前桶内油的 2倍，这样，各桶的油都为16千克.问A、B、C三个油桶原来各有油多少千克？【解析】用“倒推法”列出下表，从表中可以看出：原来A桶有油26千克，B桶有油14千克，C桶有油8千克.ABC结果161616

第二次倒之前8832第一次倒之前42816第一次倒之前26148【例37】（2008年中国台湾小学数学竞赛选拔赛复赛） AB、C、D、E、F、G七个人都各有一些珠子。从A开始依序进行以下操作，每次都分给其他六个人与他们当时手中现有珠子数量一样多

的珠子。当G操作后，每个人手中都恰好各有 256颗珠子，请问D原先有多少颗珠子？【分析】本题应该采用倒推法，我们用表格形象的表示出来：ABCDEFG最终结果256256256256256256256G操作之前1281281281281281281024F操作之前6464646464960512E操作之前32323232928480256D操作之前161616912464240128C操作之前8890445623212064B操作之前49004522281166032A操作之前898450226114583016于是D之前的珠子个数是114颗。本题没有要求求出全部七个人之前的珠子个数，所以也可以简化一下求解过程， 因为最终结果D有256颗珠子，所以在G操作之前，D的