高中数学：学案2：高中数学人教A版2019选择性必修第三册离散型随机变量的均值

1离散型随机变量的均值导学案【学习目标】.理解离散型随机变量的均值的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出均值.掌握离散型随机变量的均值的性质.会利用离散型随机变量的均值反映离散型随机变量的取值水平，解决一些相关的实际问题.【自主学习】知识点离散型随机变量的均值(1)定义：一般地，若离散型随机变量X的分布列为：XX\在・・・Xt•••xnPPlA•••P,•・・Pn则称£(»=*〃|+尼氏+吊A~1 为随机变量X的均值或数学期望.(2)意义：离散型随机变量1的均值或数学期望反映了离散型随机变量取值的壬均水平.(3)性质：若X为离散型随机变量，则勺(其中a,6为常数)也是随机变量，且£(H=E(aX+6)=aE{X}+b.证明如下：如果上aX+6,其中a,6为常数，才是随机变量，那么Y也是随机变量.因此P(J，=ax,+6)=P(X=x),7=1,2,3,•••,n,所以Y的分布列为:Fax\~\-bax2-\-b・・・aXi~\-b…ax〃+bPPiA•••Pi•••Pn于是有E(y)=(ax、+6)口+(a是+6)p2H F(ax,・+6)• F(ax.+6)pn=a(Xi0+x2pzH Fx,p,H Fx-p)+6(p,+rH Fp；H bp)--aE(X)+b,即E(aX+6)=aE(#+b.【合作探究】探究一求离散型随机变量的均值【例1】从装有2个红球，2个白球和1个黑球的袋中逐一取球，已知每个球被取到的可能性相同.若取后不放回，设取完红球所需的次数为％求才的分布列及均值.［解析］由题意知才的可能取值为2,3,4,5.当4=2时，表示前2次取的都是红球，/ 、A；1(4=2)=足=而；当1=3时，表示前2次中取得1个红球，1个白球或黑球，第3次取红球，, \C；C搦1/V=3)=kw；当4=4时，表示前3次中取得1个红球，2个不是红球，第4次取得红球，当J=5时，表示前4次中取得1个红球，3个不是红球，第5次取得红球，一(『)=翠qA55”的分布歹°为:2345p1To153To251, 1, 3, 2.-.£(!)=2X-+3X-+4X-+5X-=4.

归纳总结：(I)根据X的实际意义，写出X的全部取值;(2)求出X取每个值的概率;⑶写出X的分布列；⑷利用定义求出均值.【练习1】袋中有4个红球，3个白球，从袋中随机取出4个球.设取出一个红球得2分，取出一个白球得1分，试求得分才的均值.解析：才的所有可能取值为5,6,7,8.片=5时，表示取出1个红球3个白球，rxr34此时产(1=5)=g=正；C?35X=6时，表示取出2个红球2个白球,此时尸(X=6)此时尸(X=6)=dd18"cT=：35:X=7时，表示取出3个红球1个白球,…八C：C；12止匕时P{X=7)=„i5oo1=8时，表示取出4个红球,、C1此时尸(X=8)=r?=—C7oo所以了的分布列为:X5678P435183512351354, 18, 12, 144^flU^=5X-+6X-+7X-+8X-=-探究二离散型随机变量均值的性质【例2】已知随机变量才的分布列如下:-2-1012P141315m120(D求加的值;(2)求£0)；⑶若Y=2X-3,求£(力.［解析］(D由随机变量分布列的性质，得TOC\o"1-5"\h\z7+7+7+/H--=1,解得m=-435 20 0,、，八，、1 ,, 、 1 , 1, 1 , 1 17⑵£(加=(—2)X-+(―1)X-+0X-+1X-+2X—=——4 3 5 b20 30(3)法一：由公式£(a»+6)=a£U)+6,得少(力=£(21-3)=2£(心-3法二：因为Y=2X-3,所以『的分布列如下:所以£所以£（力归纳总结：若给出的随机变量n与X的关系为Y=aX+6（其中a,6为常数），一般思路是先求出以心，再利用公式E（aX+拉=a£0）+6求£（D【练习2】已知随机变量才的分布列为:由勺aX+3,由勺aX+3,若£（刃=-2,求a的值.解析：由才的分布列得£0）=1X；+2X〈+*3=1+,=*L3o 635•/K=aJ+3,：.E（y）=£（a才+3）=aE{X}+3=ja+3=-2,5・•・全?=—5,解得a=-3.探究三离散型随机变量均值的应用【例3】随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：万元)为尤(1)求I的分布列；(2)求1件产品的平均利润(即才的均值)；(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%,一等品率提高为70%.若此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？［解析］(1)1的所有可能取值有6,2,1,-2., 、126 , 、 50尸(1=6)=诉=0.63,尸(1=2)=而=0.25,, 、 20 / 、 4P(X=1)= 1，P(X=-2)=,nn=0・02.乙UU 乙uu故才的分布列为：*621-2P0.630.250.10.02(2)£(给=6X0.63+2X0.25+1X0.1+(-2)X0.02=4.34(万元).(3)设技术革新后的三等品率为x,则此时1件产品的平均利润为£(a=6X0.7+2X(1-0.7-0.01—x)+lXx+(-2)X0.01=4.76—x(0W启0.29),依题意，E324.73,即4.76-44.73,解得x《0.03,所以三等品率最多为3%.归纳总结：解答实际问题时，(1)把实际问题概率模型化；(2)利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并列出分布列；(3)利用公式求出相应概率【练习3］某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家独立地对每位学生的创业方案进行评审.假设评审结果为“支持"和“不支持”的概率都是若某人获得两个“支持”，则给予10万元的创业资助；若只获得一个“支持”，则给予5万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助.令f表示该公司的资助总额.⑴写出f的分布列；⑵求£(f).解析：(1)f的所有取值为0,5,10,15,20,25,30.TOC\o"1-5"\h\z1 3 15 5 15尸(<=0)=—,7?(f=5) =10)=涮,P(f=⑸=—»Af=20)=—,64 32 o4 lb 64, 、3一、 1Pkf=25)=—,P(f=30)=—oz o4故f的分布列为：051015202530p13155153164326416643264/、，、 1, 3, 15, 5, 15, 3, 1(2)^(n=0X-+5X-+10X-+15X-+20X-+25X-+30X-=15.课后作业A课后作业A组基础题一、选择题X0123P0.1ab0.1B.0.11.设随机变量才的分布列如下表，且£0)=1.6,则a-6等于(B.0.1A.0.2D.-0.4C.-0.2D.-0.4【答案】：C解析：由0.l+a+6+O.1=1,得a+6=0.8.又由EU)=0X0.l+lXa+2X6+3X0.1=1.6,得a+26=1.3,解得a=0.3,6=0.5,则a-6=—0.2.TOC\o"1-5"\h\z2.某射击运动员在比赛中每次击中10环得1分，击不中10环得0分.己知他击中10环的概率为0.8,则射击一次得分X的期望是( )A.0.2 B.0.8C.1 D.0【答案】：B解析：因为。(1=1)=0.8,尸(X=0)=0.2,所以£(a=1X0.8+0X0.2=0.8..袋中有10个大小相同的小球，其中记为0号的有4个，记为〃号的有〃个(〃=1,2,3).现从袋中任取一球，I表示所取到球的标号，则£0)等于( )

A.2【答案】：D解析：由题意，可知才的所有可能取值为0,1,2,3.,，、1p1x=1)/、1尸(42)=，，入2, 1, 1, 3 7.•.M=0X-+lX-+2X-+3X-=-..随机抛掷一枚骰子，则所得骰子点数f的期望为（）B.1D.2B.1D.2C.3.5【答案】C［抛掷骰子所得点数f的分布列为所以E(^)=ix1+2x|+3x|+4x1+5x|+6x|=3.5.]o6o6o6.若X是一个随机变量，则£(了一£(①)的值为()A.无法求 B.0C.以及 D.2£(心【答案】B[只要认识到£0)是一个常数，则可直接运用均值的性质求解.E(aX+6)=aE5+6,而£(心为常数，.,./(了-£(心)=£(»一以心=0.].某船队若出海后天气好，可获得5000元；若出海后天气坏，将损失2000元；若不出海也要损失1000元.根据预测知天气好的概率为0.6,则出海的期望效益是()A.2000元 B.2200元C.2400元 D.2600元【答案】B[出海的期望效益£(2)=5000X0.6+(1-0.6)X(-2000)=3000-800=2200(元).]二、填空题.一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6,现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目X的数学期望为.【答案12.376解析：才的可能取值为3,2,1,0.产(才=3)=0.6,P(>=2)=0.4X0.6=0.24,f(X=D=0.42X0.6=0.096,P(Q0)=0.43=0.064.所以£(A)=3X0.6+2X0.24+1X0.096+0X0.064=2.376..设随机变量f的概率分布列为：则f的数学期望的最小值是.【答案】：1解析：£(f)=0X^+1X：+2X(1—,=2一0，又因为121一第20,所以OWpW2【答案】2【答案】g1 1 22[由题意可知0+2/=1,所以勿=鼻，所以£(给=0X^+1 ]J O O<j三、解答题所以当,=步寸，£(f)的值最小，£(f)=2一|=g..已知某离散型随机变量I服从的分布列如下，则随机变量彳的数学期望£0).盒中装有5节同品牌的五号电池，其中混有2节废电池，现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止.求：(D抽取次数1的分布列；(2)平均抽取多少次可取到好电池.解析：(D由题意知，才取值为1,2,3., 、3P(X=1)=7，5/ 、233M=2)=-X-=-,, 、211W=3)=-X-=-所以I的分布列为：1123P353W1103 3 1(2)^(A)=1X-+2X—+3X—=1.5,5 10 10即平均抽取1.5次可取到好电池..若〃是一个三位正整数，且〃的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称〃为“三位递增数”(如137,359,567等).在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取一个数，且只能抽取一次.得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分，若能被5整除，但不能被10整除，得一1分，若能被10整除，得1分.(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”；(2)若甲参加活动，求甲得分才的分布列和均值£0).解析：(1)个位数字是5的“三位递增数”有125,135,145,235,245,345.(2)根据题意，知全部”三位递增数”的个数为C；=84,随机变量力的可能取值为0,-1,1,因此, 、森2尸(x=o), 、 1211p(X=1)=1————=—' 7 14342所以才的分布列为：0—1ip23177ii42…“ 2,z、 1, 114则E(X)=0X-+(-1)X—+1X—=—J.T 4乙乙1.B组能力提升一、选择题.甲、乙两台自动车床生产同种标准件，X表示甲车床生产1000件产品中的次品数，卜表示乙车床生产1000件产品中的次品数，经一段时间考察，XY的分布列分别是X0]23P0.70.10.10.1Y0123P0.50.30.20据此判定()A.甲比乙质量好 B.乙比甲质量好C.甲与乙质量相同 D.无法判定【答案】A[£O)=0X0.7+1X0.1+2X0.1+3X0.1=0.6,£(1)=0X0.5+1X0.3+2X0.2+3X0=0.7.由于£(Y)>£(D,故甲比乙质量好.].设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为与，则口袋中白球的个数为()A.3 B.4D.2C.5D.2【答案］A解析：设白球”个，则黑球7—x个，取出的2个球中所含白球个数为人则才取值0,1,2,(7-x)(6-x)小4=0)与=—42一,,1 (7-x)x产(才=1)=*== 21 ,„x(x-l)「 尸(1=2)=-7= 42 ,(7-x)(6-x) (7-x)xMx-l).\0X 42 +1X 21 +2X 42 =*解得x=3.3.(多选题)离散型随机变量l的可能取值为1,2,3,4,P(X=g=ak+b(k=3,4),£0)=3,则()1A.a=10 B.a=—D.b=lC.6D.b=l【答案】BC［易知=1X(a+Z?)+2X(2d+Z?)+3X(3a+Z?)+4X(4a+Z?)=3,即30a+10b=3.①又(a+6)+(2h+b)+(3a+Z?)+(4a+/?)=1>即10a+46=1,②由①<D，得a=^r,6=0.］二、填空题.节日期间，某种鲜花的进价是每束2.5元，售价是每束5元，节后对没有卖出的鲜花以每束1.6元处理.根据前5年节日期间对这种鲜花需求量■束)的统计(如表)，若进这种鲜花500束在今年节日期间销售，则利润的均值是一元.X200300400500p0.200.350.300.15【答案】：706解析：节日期间这种鲜花需求量的均值为双a=200X0.20+300X0.35+400X0.30+500X0.15=340(束).设利润为Y,则Q5X+1.6X(500一a一500X2.5=3.4>—450,所以£（。=3.4口力-450=3.4X340—450=706（元）..今有两台独立工作的雷达，两台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85,设发现目标的雷达的台数为X,则£0)=.【答案】1.75[X可能的取值为0,1,2,/(40)=(1—0.9)X(1-0.85)=0.015,2(1=1)=0.9X(1-0.85)+0.85X(1-0.9)=0.22,夕(1=2)=0.9X0.85=0.765,所以£(力=1X0.22+2X0.765=1.75.].体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止.设学生一次发球成功的概率为0也W0),发球次数为X,若才的数学期望£0)>1.75,则p的取值范围是.【答案】I2)[由已知条件可得尸(1=1)=p,/(X=2)=(l-p)p,P(X=3)=(l-p)2p+(l-p)3=(l-p)2,则/(%=尸(才=1)+2尸(才=2)+30(4=3)=0+2(1一0)0+3(1一0)2

5 1=p2—3p+3>l.75,解得夕>5或K1又由0任(0,1),可得0,1.某日A,B两个沿海城市受台风袭击(相互独立)的概率相同，已知力市或6市受台风袭击的概率为0.36,若用才表示这一天受台风袭击的城市个数，则£0)0,1【答案】0.4[设A,6两市受台风袭击的概率均为p,则A市和6市均不受台风袭击的概率为(l-p)2=l-0.36,解得p=Q.2或0=1.8(舍去)，则P(^=0)=l-0.36=0.64,P(/=l)=2X0.8X0.2=0.32,尸(才=2)=0.2X0.2=0.04,所以£(»=0X0.64+1X0.32+2X0.04=0.4.]三、解答题.在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者4,A2,A3,A,,4,