均值、方差、正态分布-学生用

-.z§12.6离散型随机变量的均值与方差、正态分布1．离散型随机变量的均值与方差假设离散型随机变量*的分布列为**1*2…*i…*nPp1p2…pi…pn(1)均值称E(*)＝*1p1＋*2p2＋…＋*ipi＋…＋*npn为随机变量*的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．(2)方差称D(*)＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(*i－E(*))2pi为随机变量*的方差，它刻画了随机变量*与其均值E(*)的平均偏离程度，其算术平方根eq\r(D*)为随机变量*的标准差．2．均值与方差的性质(1)E(a*＋b)＝aE(*)＋b.(2)D(a*＋b)＝a2D(*)．(a，b为常数)3．两点分布与二项分布的均值、方差(1)假设*服从两点分布，则E(*)＝__p__，D(*)＝p(1－p)．(2)假设*～B(n，p)，则E(*)＝__np__，D(*)＝np(1－p)．4．正态分布(1)正态曲线：函数φμ，σ(*)＝eq\f(1,\r(2π)σ)e－eq\f(*－μ2,2σ2)，*∈(－∞，＋∞)，其中μ和σ为参数(σ>0，μ∈R)．我们称函数φμ、σ(*)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．(2)正态曲线的性质：①曲线位于*轴上方，与*轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线*＝μ对称；③曲线在*＝μ处到达峰值eq\f(1,σ\r(2π))；④曲线与*轴之间的面积为__1__；⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着__μ__的变化而沿*轴平移，如图甲所示；⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ__越小__，曲线越“瘦高〞，表示总体的分布越集中；σ__越大__，曲线越“矮胖〞，表示总体的分布越分散，如图乙所示．(3)正态分布的定义及表示如果对于任何实数a，b(a<b)，随机变量*满足P(a<*≤b)＝ʃeq\o\al(b,a)φμ，σ(*)d*，则称随机变量*服从正态分布，记作*～N(μ，σ2)．正态总体在三个特殊区间取值的概率值①P(μ－σ<*≤μ＋σ)＝0.682_6；②P(μ－2σ<*≤μ＋2σ)＝0.954_4；③P(μ－3σ<*≤μ＋3σ)＝0.997_4.1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√〞或“×〞)(1)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量，它不确定．()(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量平均程度越小．()(3)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差．()(4)一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．()2．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝eq\f(1,5)(k＝2,4,6,8,10)，则D(ξ)等于()A．5B．8C．10D．163．设随机变量*服从正态分布N(2,9)，假设P(*>c＋1)＝P(*<c－1)，则c等于()A．1B．2C．3D．44．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，有放回地任取3件，假设*表示取到次品的件数，则D(*)＝________.5．在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分．如果*运发动罚球命中的概率为0.7，则他罚球1次的得分*的均值是________．题型一离散型随机变量的均值、方差例1(2021·)设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．袋中有20个大小一样的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号．(1)求ξ的分布列、期望和方差；(2)假设η＝aξ＋b，E(η)＝1，D(η)＝11，试求a，b的值．题型二二项分布的均值、方差例2(2021·)*居民小区有两个相互独立的平安防系统(简称系统)A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为eq\f(1,10)和p.(1)假设在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为eq\f(49,50)，求p的值；(2)设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望E(ξ)．假设*班级教室共有4扇窗户，在每天上午第三节课上课预备铃声响起时，每扇窗户或被敞开或被关闭，且概率均为0.5.记此时教室里敞开的窗户个数为*.(1)求*的分布列；(2)假设此时教室里有两扇或两扇以上的窗户被关闭，班长就会将关闭的窗户全部敞开，否则维持原状不变．记每天上午第三节课上课时该教室里敞开的窗户个数为Y，求Y的数学期望．题型三正态分布的应用例3在*次大型考试中，*班同学的成绩服从正态分布N(80,52)，现该班同学中成绩在80～85分的有17人．试计算该班成绩在90分以上的同学有多少人．在*次数学考试中，考生的成绩ξ服从正态分布，即ξ～N(100,100)，总分值为150分．(1)试求考试成绩ξ位于区间(80,120]的概率；(2)假设这次考试共有2000名考生参加，试估计这次考试及格(不小于90分)的人数．离散型随机变量的均值与方差问题典例：(12分)甲袋和乙袋中都装有大小一样的红球和白球，甲袋中共有m个球，乙袋中共有2m个球，从甲袋中摸出1个球为红球的概率为eq\f(2,5)，从乙袋中摸出1个球为红球的概率为P2.(1)假设m＝10，求甲袋中红球的个数；(2)假设将甲、乙两袋中的球装在一起后，从中摸出1个红球的概率是eq\f(1,3)，求P2的值；(3)设P2＝eq\f(1,5)，假设从甲、乙两袋中各自有放回地摸球，每次摸出1个球，并且从甲袋中摸1次，从乙袋中摸2次．设ξ表示摸出红球的总次数，求ξ的分布列和均值．思维启迪(1)概率的应用，知甲袋中总球数为10和摸1个为红球的概率，求红球．(2)利用方程的思想，列方程求解．(3)求分布列和均值，关键是求ξ的所有可能值及每个值所对应的概率．规解答解(1)设甲袋中红球的个数为*，依题意得*＝10×eq\f(2,5)＝4.[3分](2)由，得eq\f(\f(2,5)m＋2mP2,3m)＝eq\f(1,3)，解得P2＝eq\f(3,10).[6分](3)ξ的所有可能值为0,1,2,3.P(ξ＝0)＝eq\f(3,5)×eq\f(4,5)×eq\f(4,5)＝eq\f(48,125)，P(ξ＝1)＝eq\f(2,5)×eq\f(4,5)×eq\f(4,5)＋eq\f(3,5)×Ceq\o\al(1,2)×eq\f(1,5)×eq\f(4,5)＝eq\f(56,125)，P(ξ＝2)＝eq\f(2,5)×Ceq\o\al(1,2)×eq\f(1,5)×eq\f(4,5)＋eq\f(3,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))2＝eq\f(19,125)，P(ξ＝3)＝eq\f(2,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))2＝eq\f(2,125).[8分]所以ξ的分布列为ξ0123Peq\f(48,125)eq\f(56,125)eq\f(19,125)eq\f(2,125)[10分]所以E(ξ)＝0×eq\f(48,125)＋1×eq\f(56,125)＋2×eq\f(19,125)＋3×eq\f(2,125)＝eq\f(4,5).[12分]求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤：第一步：确定随机变量的所有可能值．第二步：求每一个可能值所对应的概率．第三步：列出离散型随机变量的分布列．第四步：求均值和方差．第五步：反思回忆．查看关键点、易错点和答题规．温馨提醒(1)此题重点考察了概率、离散型随机变量的分布列、均值．(2)此题解答中的典型错误是计算不准确以及解答不规．如第(3)问中，不明确写出ξ的所有可能值，不逐个求概率，这都属于解答不规．方法与技巧1．均值与方差的常用性质．掌握下述有关性质，会给解题带来方便：(1)E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b；E(ξ＋η)＝E(ξ)＋E(η)；D(aξ＋b)＝a2D(ξ)；(2)假设ξ～B(n，p)，则E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)．2．根本方法(1)随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解；(2)随机变量ξ的均值、方差，求ξ的线性函数η＝aξ＋b的均值、方差和标准差，可直接用ξ的均值、方差的性质求解；(3)如能分析所给随机变量是服从常用的分布(如二项分布)，可直接利用它们的均值、方差公式求解．3．关于正态总体在*个区域取值的概率求法(1)熟记P(μ－σ<*≤μ＋σ)，P(μ－2σ<*≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<*≤μ＋3σ)的值．(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与*轴之间面积为1.①正态曲线关于直线*＝μ对称，从而在关于*＝μ对称的区间上概率相等．②P(*<a)＝1－P(*≥a)，P(*<μ－a)＝P(*≥μ＋a)．(3)3σ原则在实际应用中，通常认为服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量只取(μ－3σ，μ＋3σ]之间的值，取该区间外的值的概率很小，通常认为一次试验几乎不可能发生．失误与防1．在没有准确判断分布列模型之前不能乱套公式．2．对于应用问题，必须对实际问题进展具体分析，一般要将问题中的随机变量设出来，再进展分析，求出随机变量的分布列，然后按定义计算出随机变量的均值、方差.A组专项根底训练一、选择题1．正态总体N(1,9)在区间(2,3)和(－1,0)上取值的概率分别为m，n，则()A．m>nB．m<nC．m＝nD．不确定2．*一随机变量*的分布列如下，且E(*)＝6.3，则a的值为()*4a9P0.50.1bA.5B．6C．7D．83．(2021·)如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为*，则*的均值E(*)等于()A.eq\f(126,125)B.eq\f(6,5)C.eq\f(168,125)D.eq\f(7,5)4．*种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为*，则*的数学期望为()A．100B．200C．300D．4005．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率都为0.6，现有4颗子弹，则射击停顿后剩余子弹的数目*的期望值为()A．2.44B．3.376C．2.376D．2.4二、填空题6．从装有3个红球、2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有*个红球，则随机变量*的分布列为*012P随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝eq\f(1,2k－1)，k＝1,2,3，…，n，则P(2<ξ≤5)＝________.8．*次英语考试的成绩*服从正态分布N(116,64)，则10000名考生中成绩在140分以上的人数为________．三、解答题9．*超市为了响应环保要求，鼓励顾客自带购物袋到超市购物，采取了如下措施：对不使用超市塑料购物袋的顾客，超市给予9.6折优惠；对需要超市塑料购物袋的顾客，既要付购置费，也不享受折扣优惠．假设该超市在*个时段购物的人数为36人，其中有12位顾客自己带了购物袋，现从这36人中随机抽取两人．(1)求这两人都享受折扣优惠或都不享受折扣优惠的概率；(2)设这两人中享受折扣优惠的人数为ξ，求ξ的分布列