2022-2023学年人教版初中数学专题《垂径定理、推理及应用》含答案解析

专题圆经典基础题二：垂径定理、推理及应用一、单选题1．（2022·河北保定·九年级期末）如图，在中，直径弦，若，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由垂径定理得，由“等弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半”推知，由三角形内角和定理求得，代入即可得到答案．【详解】在中，直径弦，，故选：C．【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．2．（2021·福建龙岩·九年级期末）如图所示，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，则下列结论中不成立的是（）A．∠COE=∠DOE B．CE=DEC．OE=BE D．【答案】C【分析】根据垂径定理可得：，DE=CE，进而得到∠COE=∠DOE，无法得到OE=BE．【详解】∵AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，∴，DE=CE，，∴B，D选项正确；∵，∴，∴∠COE=∠DOE，∴A选项正确；只有当∠COE=60°时，才有OE=BE．∴C选项不成立；故选：C．【点睛】本题考查了垂径定理和圆心角、弧之间的关系．解题的关键是熟练掌握垂径定理．垂径定理：垂直弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．3．（2022·陕西·紫阳县师训教研中心九年级期末）某市地铁施工队开始隧道挖掘作业，如图1，圆弧形混凝土管片是构成圆形隧道的重要部件．如图2，有一圆弧形混凝土管片放置在水平地面上，底部用两个完全相同的长方体木块固定，为估计隧洞开挖面的大小，甲、乙两个组对相关数据进行测量，测量结果如下表所示，利用数据能够估算隧道外径大小的组是（

）小组测量内容甲的长乙的长A．两组测量数据都不足 B．甲组 C．乙组 D．两组都可以【答案】D【分析】乙的做法的合理性为可由垂径定理求出HK，又知KL，由直角三角形的勾股定理可求出答案；甲组做法的合理性由弧长公式和两条半径之间的关系列方程组求解即可．【详解】解：甲、乙两组的做法都可以，乙组做法的理由：如图2，根据测量数据可知，HG=KL，GN=HM，由垂径定理可求出HK，在直角三角形OHK中，由勾股定理可求出OH，进而求出OL，问题得以解决；甲组做法的理由：如图1，由于已知AB，可以设外圆半径为R，则可表示内圆半径OA，根据弧长公式列方程组可求出R即可，所以甲、乙两组做法均可，故选：D．【点睛】本题考查垂径定理，直角三角形的边角关系，弧长的计算，掌握垂径定理、勾股定理以及弧长的计算方法是解决问题的关键．4．（2021·吉林白城·九年级期末）如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是（）A．8≤AB≤10 B．8＜AB≤10 C．4≤AB≤5 D．4＜AB≤5【答案】A【分析】解决此题首先要弄清楚AB在什么时候最大，什么时候最小．当A′B′与小圆相切时有一个公共点，此时可知A′B′最小；当AB经过同心圆的圆心时，弦AB最大且与小圆相交有两个公共点，此时AB最大，由此可以确定所以AB的取值范围．【详解】解：如图，当AB与小圆相切时有一个公共点，在Rt△A′DO中，OD=3，OA′=5，∴，∴A′B′=8；当AB经过同心圆的圆心时，弦AB最大且与小圆相交有两个公共点，此时AB=10，所以AB的取值范围是8≤AB≤10．故选：A．【点睛】本题主要考查了圆中的有关性质．利用垂径定理可用同心圆的两个半径和与小圆相切的大圆的弦的一半构造直角三角形，运用勾股定理解题这是常用的一种方法，也是解决本题的关键，注意临界值．5．（2022·四川·渠县崇德实验学校九年级期末）如图，已知H是以AB为直径的半圆上的一点，C，E分别是，的中点，分别以BH，AH为直径向外作半圆弧，，D为的中点，延长DH交于点F，连结EC，若HD：FH=1：2，则EC：FD的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】连接OC、OC、BH、OF、OE、AH，AH交OE于G，OC交BH于M，设HD=x，FH=2x，证得O、C、D三点共线，O、E、F三点共线，根据∠HMD=∠FGH=，MH=MD，GF=GH，求出GH=FH=x，MH=HD=x，得到AH，BH，求出AB得到OE，进而求出CE，即可得到答案．【详解】解：如图，连接OC、OC、BH、OF、OE、AH，AH交OE于G，OC交BH于M，设HD=x，FH=2x，∵C是的中点，D为的中点，∴CD⊥BH，∵C是的中点，∴OC⊥BH，∴O、C、D三点共线，同理：O、E、F三点共线，∵∠HMD=∠FGH=，MH=MD，GF=GH，∴GH=FH=x，MH=HD=x，∴AH=2GH=2x，BH=2MH=x，∴AB=x，∴OE=OC=x，∴CE=OE=x，∴，故选：A．【点睛】此题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，正确理解垂径定理是解题的关键．6．（2022·陕西安康·九年级期末）如图，四边形ABCD内接于，弦BD，若，则的大小为（

）A．62° B．56° C．52° D．50°【答案】B【分析】由垂径定理，即；由等腰三角形的性质可得，即，最后根据圆的内接四边形对角互补即可解答．【详解】解：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵四边形ABCD为的内接四边形，∴．故选：B．【点睛】本题主要考查了垂径定理、圆的内接四边形等知识点，掌握圆的内接四边形对角互补是解答本题的关键．二、填空题7．（2021·黑龙江佳木斯·九年级期末）⊙的半径为5cm，AB、CD是⊙的两条弦，，，．则和之间的距离为_______．【答案】1cm或7cm．【分析】分两种情况：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD在圆心异侧；分别作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可．【详解】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1∵AB＝8cm，CD＝6cm，∴AE＝4cm，CF＝3cm，∵OA＝OC＝5cm，∴EO＝3cm，OF＝4cm，∴EF＝4−3＝1cm；②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图2，∵AB＝8cm，CD＝6cm，∴AE＝4cm，CF＝3cm，∵OA＝OC＝5cm，∴EO＝3cm，OF＝4cm，∴EF＝OF＋OE＝7cm．∴AB与CD之间的距离为1cm或7cm．故填1cm或7cm．【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，正确作出辅助线、灵活运用垂径定理以及分类讨论思想和数形结合思想是解答本题的关键．8．（2022·新疆师范大学附属中学九年级期末）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径，水面宽，某天下雨后，水面宽度变为，则此时排水管水面上升了_____．【答案】或【分析】根据半径为，则直径为；又根据水面宽度为，则有两种情况，水面在水面平行的直径下方，过点作于点；水面在水面平行的直径上方，过点作于点，过点作于点，根据垂径定理，勾股定理，即可求出．【详解】连接∵∴圆的直径为∴水面在水面平行的直径下方∴过点作于点∴且与交于点∵，∴，∴在直角三角形中，∴∴；在直角三角形中，∴∴∴上升的距离为水面在水面平行的直径上方，过点作于点，过点作于点∵，∴，∴在直角三角形中，∴∴；在直角三角形中，∴∴∴上升的距离为：．故答案为：或．【点睛】本题考查垂径定理和勾股定理的运用，解题的关键是垂径定理，易错点是分类讨论水面在直径是下方和上方．9．（2021·黑龙江黑河·九年级期末）已知⊙O的半径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，，，，则弦AB和CD之间的距离是______．【答案】2cm或14cm【分析】分两种情况进行讨论：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可．【详解】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图，∵，，∴AE=8cm，CF=6cm，∵OA=OC=10cm，∴EO=6cm，OF=8cm，∴EF=OF-OE=2cm；②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图，∵，，∴AE=8cm，CF=6cm，∵OA=OC=10cm，∴EO=6cm，OF=8cm，∴EF=OF＋OE=14cm；∴AB与CD之间的距离为2cm或14cm，故答案为：2cm或14cm．【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，解题的关键是注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用，小心漏解．10．（2021·山东德州·九年级期末）已知，的直径，弦，垂足为M，则的长为__．【答案】8或2##2或8【分析】连接，先根据的直径求出半径的长，再根据垂径定理求出的长，然后根据勾股定理求出的长，分两种情况求出即可．【详解】解：①连接，如图所示：∵的直径，∴，∵弦，∴，在中，由勾股定理得：∴②连接，如图所示：同①得：，∴；综上所述，的长为8或2，故答案为：8或2．【点睛】本题考查的是垂径定理及勾股定理等知识；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键，注意分类讨论．11．（2022·四川·渠县崇德实验学校九年级期末）如图1，重庆特色的九宫格火锅分九格：四角格、十字格、中心格（中心格一般为正方形）．隔板的设计有以下两种：①横纵隔板两两垂直交于三等分点如图2所示；②横纵隔板两两垂直交于圆锅边缘八等分点如图3所示．已知圆锅直径为40cm，则两种设计的中心格面积S1与S2差为______cm2．【答案】##【分析】如图，过点O作OB⊥AP于点B，连接OA，过点C作CF⊥DG，垂足为F，连接CG、DE，然后可得，则有，进而可得，根据圆周角定理可知，则有，最后根据勾股定理可求解．【详解】解：如图，过点O作OB⊥AP于点B，连接OA，过点C作CF⊥DG，垂足为F，连接CG、DE，由题意得：，由中心格是正方形可得：，设，则有AB=3xcm，在Rt△ABO中，由勾股定理得：，∴，∴，∵横纵隔板两两垂直交于圆锅边缘八等分点如图3所示，∴圆锅边缘每段弧的度数为45°，∴，∵，∴，∴，∴，∴在Rt△CDF中，由勾股定理得：，即，∴，∴，∴；故答案为．【点睛】本题主要考查垂径定理、圆周角定理及勾股定理，熟练掌握垂径定理、圆周角定理及勾股定理是解题的关键．三、解答题12．（2022·黑龙江·兰西县崇文实验学校八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点都在格点上，点A，B，C的坐标分别为请解答下列问题：(1)与，关于原点O成中心对称，画出，并直接写出点C的对应点的坐标；(2)画出绕原点O逆时针旋转后得到的，并求出点A旋转至经过的路径长．(3)己知，求作，使经过的三个顶点．（不写作法，保留作图痕迹）【答案】(1)见详解，点(2)(3)见详解【分析】（1）点是关于点绕中心原点旋转得到的，点是关于点绕中心原点旋转得到的，点是关于点绕中心原点旋转得到的，即根据中心对称定义即可求出答案；（2）根据点旋转至经过的路径长，就是以点为圆心，以为半径旋转所得的弧度长，根据点的坐标即可求出半径的长，依次即可求出答案；（3）的三顶点都要经过圆，且在圆上，则是的外接圆，根据外接圆的圆心在的三条边的垂直平分线的交点，即可求出答案．（1）解：如下图所示，∵点是点关于原点的中心对称点，∴．故点的坐标是．（2）解：如下图所示，点旋转至经过的路径长即是弧，如图所示，，∴，则点所在圆的周长是，，∴的弧长是，故点旋转至经过的路径长即是：．（3）解：经过的三个顶点，以三边垂直平行线的交点为圆心，以交点到的一个顶点为半径画圆，即可，如图所示，故过的三个顶点的的圆心是三条边的垂直平分线的交点，是半径．【点睛】本题主要考查图形的变换，涉及到三角形的中心对称，圆的弧长的计算，三角形外接圆的画法知识，熟练掌握图形变换的运用是解题的关键．13．（2022·新疆·乌鲁木齐市第九中学九年级期末）如图，在Rt中，，平分交于点D，O为上一点，经过点A，D的分别交，于点E，F．(1)求证：是的切线；(2)若，，求的半径．【答案】(1)见解析(2)的半径为5【分析】（1）连接，可得，根据等边对等角，以及角平分线的定义，可得，根据“内错角相等，两直线平行”可得，根据平行线的性质，可得，再根据切线的判定方法，即可判定；（2）过点O作，交于点G，根据垂径定理可得，故，根据矩形的判定和性质，即可求解．（1）证明：如图，连接，则，，是的平分线，，，，，为的半径，点D在上，∴是的切线；（2）解：过点O作，交于点G，如图，，，，，，，，，四边形是矩形，，的半径为5．【点睛】本题考查了圆的切线的判定、圆的垂径定理，矩形的判定和性质、等腰三角形的性质、角平分线的定义、平行线的判定和性质，解题的关键是准确作出辅助线．14．（2022·江西上饶·九年级期末）在圆O中，点A，B，C均在⊙O上，请仅用无刻度直尺按要求画图：(1)在图1中，以点C为顶点作一锐角，使该锐角与∠CAB互余；(2)在图2中，弦AD∥BC且AD≠BC，过点A作一直线将△ABC的面积平分．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）作直径CE，连接BE，∠BCE即为所求；（2）连接CD交AB于点J，作直线OJ交BC于点F，作直线AF，直线AF即为所求．(1)解：如图1，∠BCE为所作；理由：，是直径，，，∠BCE与∠CAB互余；(2)解：如图2，直线AF为所作．理由：，，，，，垂直平分，则是的中线，将△ABC的面积平分．【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，圆周角定理，垂径定理，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．15．（2021·河北保定·九年级期末）如图，四边形ABCD内接于半圆O，边BC是直径，，过点D作对角线AC的平行线交BC的延长线于点P．(1)求证：PD是半圆O的切线；(2)若，，求直径BC的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）连接OD，交AC于点E，根据DA=DC，得证OD⊥AC，结合AC∥DP，证明OD⊥PD即可．（2）根据垂径定理，结合AC=6，得到AE=EC=3，结合，得到ED=2，设半径OD=OC=R，则OE=R-2，再在直角三角形OEC中，得到，计算即可．（1）如图，连接OD，交AC于点E，∵DA=DC，∴OD⊥AC，∵AC∥DP，∴OD⊥PD，故PD是半圆O的切线．（2）图，连接OD，交AC于点E，∵DA=DC，∴OD⊥AC，∵AC=6，∴AE=EC=3，∵，∴ED=2，设半径OD=OC=R，∴OE=R-2，在直角三角形OEC中，由勾股定理得，解得R=，∴BC=2R=．【点睛】本题考查了垂径定理、切线的判定、正切函数，勾股定理，平行线的性质，熟练掌握垂径定理，切线的判定，勾股定理和正切函数是解题的关键．16．（2020·新疆师范大学附属中学九年级期末）如图，以四边形的对角线为直径作圆，圆心为O，过点A作的延长线于点E，已知平分．(1)求证：是的切线；(2)若，，求的直径．【答案】(1)证明见解析(2)10【分析】（1）连接，根据