《新编基础物理学》第四章习题解答和分析

习题四4-1观察者A测得与他相对静止的Oxy平面上一个圆的面积是12cm2,另一观察者B相对于A以0.8c(c为真空中光速)平行于Oxy平面作匀速直线运动，B测得这一图形为一椭圆，其面积是多少？分析：本题考察的是长度收缩效应。解：由于B相对于A以v=0.8c匀速运动，因此B观测此图形时与v平行方向上的线度将收2一缩为2RV1-(v/c)=2b,即是椭圆的短轴.而与v垂直方向上的线度不变，仍为2R=2a,即是椭圆的长轴.所以测得的面积为(椭圆形面积)S=-ab--：R.1-(v/c)2R--R2.1-(v/c)2=7.2cm24-2长度为1m的米尺L静止于K'中，与x轴的夹角e'=30：K'系相对K系沿x轴运动，在K系中观察得到的米尺与x轴的夹角为9=45,试求：(1)K'系相对K系的速度是多少？(2)K系中测得的米尺的长度？分析：本题考察的是长度收缩效应。根据两个参考系下米尺的不同长度再结合长度收缩效应我们可以很方便的得到两个参考系之间的相对速度解：(1)米尺相对S'系静止，它在x'和y'轴的投影分别为：Lx'=L0cos*0.866mLy'=L0sinl'=0.5m米尺相对S米尺相对S系沿x方向运动，设运动速度为度收缩，而y方向的长度不变，即v,为S系中的观察者，米尺在x方向将产生长Ly=Ly'故米尺与x轴的夹角满足tgi十tgi十LxLx'将a与Lx'、Ly'的值代入可得:v-0.816c(2)在S系中测得米尺的长度为:LyL=-y-=0.707(m)sin454-3已知x介子在其静止系中的半衰期为1.8M10"s。今有一束n介子以u=0.8c的速度离开加速器，试问，从实验室参考系看来，当n介子衰变一半时飞越了多长的距离？分析：本题考察的是时间膨胀效应。根据静止系中的半衰期加上时间膨胀效应我们可以求出在实验室参考系中的半衰期，然后根据该半衰期求出飞行距离。解：在冗介子的静止系中，半衰期△t0=1.8M10*s是本征时间。由时间膨胀效应，实验室参系中的观察者测得的同一过程所经历的时间为:=310=310个)因而飞行距离为:d=vLt=7.2m4-4在某惯性系K中，两事件发生在同一地点而时间相隔为4s。已知在另一惯性系K'中,该两事件的时间间隔为6s,试问它们的空间间隔是多少？分析：本题考察的是时间膨胀效应以及洛伦兹变换。根据时间膨胀效应我们可以求出两参考系的相对速度，继而根据洛伦兹变换演化出空间间隔变换的公式求出该两事件在S系中的空间间隔。解：在k系中，&0=4s为本征时间，在K'系中的时间间隔为At=6s两者的关系为:.A59故两惯性系的相对速度为:v=c=5108（m/s）由洛伦兹变换，K'系中两事件的空间间隔为:(△(△%v%)两件事在K系中发生在同一地点，因此有xk=vt0=6石108（m）k1-2i）4-5惯性系K'相对另一惯性系K沿x轴作匀速运动，取两坐标原点重合的时刻作为计时起点。在K系中测得两事件的时空坐标分别为x1=6M104m,t1=2M10“s以及x2=12M104m,t2=1父10%，已知在K'系中测得该两事件同时发生。试问：（1）K'系相对K系的速度是多少？（2）K'系中测得的两事件的空间间隔是多少？分析：本题所考察的是洛伦兹变换的应用问题。根据洛伦兹变换在不同参考系下两个事件的时间变换关系，我们可以很方便的得到两个参考系之间的相对速度。有了相对速度以后，再根据洛伦兹变换的空间变换关系，我们可以得到两事件的空间间隔。解：（1）设S′系相对S系的速度为v,由洛伦兹变换，S'系中测得两事件的时间为:

tl'-t2'=0v,、t2-tl=—(X2-')c因此有2t2-tl2t2-tlv=c =_1.5x108(m/)其中负号表示S'系沿S系的-x方向运动。(2)由洛伦兹变换，S'系中测得的两事件的空间位置为:Xi'=(Xi-vtXi'=(Xi-vti)X2'=(X2-Vt2)故空间间隔为:1,14X2'-Xi'2(X2-Xi)-v(t2-ti)1=5.210(m)「一vc24-6(i)火箭A和B分别以0.8c和0.5c的速度相对于地球向+x和—x方向飞行，试求由火箭B测得的A的速度。(2)若火箭A相对地球以0.8c的速度向+y方向运动，火箭B的速度不变，试问A相对B的速度是多少？分析：本题考察的是洛伦兹速度变换。在火箭B为静止的参考系中，先求出地面参考系相对此参考系的运动速度(此即为两个参考系之间的相对速度)，然后由火箭A相对地面的运动速度以及洛伦兹速度变换公式求出火箭A相对火箭B的速度。解：(1)设火箭B的静止系为S,则地面参考系相对S的运动速度为u=0.5c。在地面参考系中，火箭A的运动速度为v'=0.8c,由洛伦兹速度变换公式可得火箭A相对火箭B的运动速度为：v'uv=v'uv= 21uv'/c0.8c0.5c10.80.513」c=0.93c1.4(2)由于S系相对地面参考系以u1=-U沿+X方向飞行，而在地面参考系中火箭A的运动速度为vx=0,vy=0.8c,vz=0。则根据洛伦兹速度变换公式在S系中火箭A的运动速度为:V'xv'yv'zvx—U1x1=0.5c.Ui1 2vxV'xv'yv'zvx—U1x1=0.5c.Ui1 2vxcvyj1-%—： =0.7c,U12vxcvi±u5.0.Uixvx

v所以火箭A相对火箭B的速度为:2 2 2 'xv'yv'z=0.86cxyz4-7静止在K系中的观察者测得一光子沿与 x轴成60。角的方向飞行，另一观察者静止于K'系中，K'系相对K系为0.6c的速度沿x轴方向运动，试问K'系中的观察者测得的光子运动方向是怎样的？分析：本题考察的是洛伦兹速度变换。根据两个参考系的相对速度以及光子在K系的速度,由洛伦速度变换可以求出光子在S系中的运动速度。解：已知K'系相对K系的速度为u=0.6c,光子速度为成60°角，因此该光子在K系中的速度为v=0.5c,vvxy光子的运动速度为：c,在K系中的运动方向为与x轴=J3c/2,vz=0。所以在K'系中vx-uu1-2VxcvyJ1.%1--2vx

c2vzJ-uc24、3= c71--U^vxc令该光子在K'系中的运动方向与x轴成e角，则有:tg[=-y=43

v'x[：98.24-8 N子的静止质量是电子静止质量的 207倍，静止时的平均寿命T0=2父10与s,若它在实验室参考系中的平均寿命T=7M10*s,试问其质量是电子静止质量的多少倍？分析：本题考察的是时间膨胀效应和相对论质量问题。根据时间膨胀效应我们可以求出该粒子在实验室参考系中的运动速度，然后根据该速度可以求出速度下的相对论质量。解：设N子在实验室参考系中的速度为u、质量为m,依题意有:T=将丁和飞的值代入得:0T=将丁和飞的值代入得:0ru/C2当N子速度为u时其质量为:4-9一物体的速度使其质量增加了10%试问此物体在运动方向上缩短了百分之多少?分析：本题涉及的是相对论质量和长度以收缩问题。根据质量与静止质量之比可以求出该物体的运动速度，然后根据速度可以求出该物体在运动速度方向上的长度收缩。解：设物体速度为u、质量为m、长度为L,静止质量和长度分别为m0和L0,依题意有:因此，根据长度收缩效应有：L=L0j1_%2=i1iL0=90.9%L0所以在运动方向上缩短了：L=9.1%L04-10一电子在电场中从静止开始加速，试问它应通过多大的电位差才能使其质量增加0.4%?此时电子速度是多少？(电子的静能为0.511MeV.)分析：此题考察的是相对论质量与速度之间的关系。根据相对论质量公式可以很方便的求出电子的运动速度，再根据能量守恒，求出加速所需的电位差。解：设电子速度为u、质量为m,静止质量为m0,所加的电位差为u依题意有:mim1.04n-14所以此时电子的速度为：uu0.275c根据能量守恒，有：m0c2eU=mc2.U=2.044104(V)4-11已知一粒子的动能等于其静止能量的n倍，试求该粒子的速率。分析：该题考察的是相对论的质能关系式。根据粒子的动能和静能比可以求出该粒子总能量和静能之比，这个比值也就是该粒子的质量与静止质量之比，根据相对论质量与速度的关系式，我们可以求出该粒子的速率，从而求出该粒子的动量。解：依题意有：Ek=nE0所以其质量与静止质量之比为：2mmcEk-EoTOC\o"1-5"\h\z—=2==nmom0cEo根据相对论质量与速度的关系有:所以该粒子的速度为：n22nu二cn14-12—静止的粒子(质量为mJ,裂变成两个粒子，速度分别为0.6c和0.8c。求裂变过程的静质量亏损和释放出的能量。分析：该题涉及到质量亏损的概念和动量守恒定律。由于反应后的两个粒子的质量未知，因此我们可以根据两个粒子之间的速度关系推导出二者的质量比，又由于该两个粒子的总动能来源于该反应的静质量亏损，因此结合反应后两个粒子的质量比以及各自的速度大小，我们可以求出该反应的质量亏损，从而求出该反应所释放的能量。解：设反应后两粒子的质量分别为色、m2,则根据动量守恒定律有：曰0.6c=m20.8cTOC\o"1-5"\h\z-ml/m2=4/3(1)反应前后总的能量守恒，所以有：2212212m°c=mic+—mi11(0.6c)+m2c+—m2(0.8c)(2)\o"CurrentDocument"22将(1)式代入(2)式，得：m0=2.17ml所以反应前后的静质量亏损为：5=m)-m1-mt0.19mo释放出的能量为：22E=mc=0.19moe4-13试求静止质量为小的质点在恒力F作用下的运动速度和位移。在时间很短(t«moc/F)和时间很长(t»moc/F)的两种极限情况下，速度和位移值又各是多少？分析：根据力和动量的关系，经过积分后我们可以求解在恒力作用下的力与速度之间的关系，

经过再次积分，可以得到位移和力的关系。解：由于力代表的是动量的变化率，因此有:dpd/、d/m。、F=—=—(mv)=—(v)dt出出，Jv2/c2将上式积分，由于力为恒力与时间无关，再代入初始条件（起始时为静止，即初速度为零）可得:Ft=Ft=_m。 1-v2/c2因此可得速度与力之间的关系式:dxFt/m。1(Ft/m°1(Ft/m°c)2dt将上式再积分，并假定起始时所处位置为坐标原点，可得位移与力之间的关系:X鳖Fr-IIX鳖Fr-II2(2.2— _ct24m°c1/2,1十回1m lm°c)JF21-12m°c当t«m0c/F时，有:Ft/m0v=： ,1(Ft/m°Ft/m0v=： ,1(Ft/m°c)2Ftm。tx=vdt=.。Ft22m。当t»mjC/F时，有：v=Ft/m。1(Ft/m°c)2C,tX'VdLct4-14在原子核聚变中，两个2H原子结合而产生4He原子。试求：（1）该反应中的质量亏损为多少？（2）在这一反应中释放的能量是多少？（3）这种反应每秒必须发生多少次才能产生1W勺功率？已知2H原子的静止质量为3.34365M10"7kg,4He原子的静止质量为___276.6425X1。kg。分析：已知反应前后各种反应物和生成物的质量，我们可以很方便的求出反应前后的质量亏损，并据此求出反应所释放的能量。解：反应的质量亏损为：J27二？7二？7m=2mH-mHe=23.343651。-6.64251。=。.。4481。（kg）该反应所释放的能量为：E=mc2=。.。4481。-91。16=4.。31。飞）要达到1W勺功率需要每秒钟反应的次数为：__q2___11n=1/4Q31。=2.481。4-15当一个粒子所具有的动能恰好等于它的静能时，试问这个粒子的速度有多大？当动能为其静能的4。。倍时，速度有多大？

而粒子的静能则等于分析：粒子的总能量可以用粒子的动质量与光速的平方的乘积来表示,而粒子的静能则等于粒子的静质量与光速的平方的乘积，因上我们可以很方便的把粒子的动能和静能之比用粒子的速度表不出来O解：根据粒子的质量和速度之间的关系可得:m(v)=m(v)=所以粒子的总能与静能之比为:又该粒子的总能等于动能与静能之和，所以该粒子的动能与静能之比为:所以当动能等于静能时，有:所以当动能等于静能时，有:11=1„21-Vc23.v二一c2当动能等于静能的400倍时，有:.v=0.9999969c4-16同位素3He核由两个质子和一个中子组成，它的静质量为3.01440u（1u=1.600M10口kg）。（1）以MeV为单位，3He的静能为多少？（2）取出一个质子使3He成为2H（静质量为2.0135U）加一个质子（静质量为1.0073u），试问需要多少能量？分析：本题涉及的是静能以及质量亏损的概念。粒子的静能由粒子的静质量与光速的平方的乘积表示；而反应前后总能量守恒的要求指明反应进行需要的能量由反应前后的质量亏损所决定。解：静能为：E0=m0c2=3.014401.60010勿91016=4.3410"(J)=2.71103(Mev)当从同位素氮核中取出一个质子时，此时质量亏损为：m=mDmH-mHe=2.01351.0073-3.0144=0.0064(u)=1.0241019(kg)

所以反应需要能量为:E=.：mc2=1.024IO*91016=9.21610」3(J)4-17把一个静止质量为mo的粒子由静止加速到0.1c所需的功是多少？由速率0.89c加速到0.99c所需的功又是多少？分析：此题涉及到的是粒子的总能量与速度之间的关系。根据能量守恒定