历年全国卷高考数学真题汇编

全国卷历年高考真题汇编■三角函数与解三角形(2019全国2卷文)8.若xi=—,X2=一是函数f(x)=sinX(>0)两个相邻的极值点,TOC\o"1-5"\h\z44则=A.2B.32C.1D.-2答案：A・一一、.一，一,兀.一(2019全国2卷又)11.已知ae(0,-),2sin2a=cos2a+1,贝Usina=A.1B.吏C.-3D..2--535答案：B（2019全国2卷文）15.z\ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsinA+acosB=0,则B=答案：o34•.一一.、.一.…一..一—3冗一（2019全国1卷又）15.函数f（x）sin（2x一）3cosx的最小值为2答案：-4（2019全国1卷文）7.tan255°=（）A.-2-%/3B.—2+73C.2—73D.2+73答案：D（2019全国1卷文）11.△ABC的内角A,B,C（2019全国1卷文）asinAbsinB4csinC,cosAasinAbsinB4csinC,cosA654D.3654D.3答案：A（2019全国3卷理）AC18.(12分)△ABC勺内角AB,C的对边分别为a,b,c,已知asinA—CbsinA.2(1)求B;(2)若^ABC^锐角三角形，且c1,求^ABC面积的取值范围.AC(1)由题设及正弦te理得sinAsinsinBsinA.2一AC因为sinA0,所以sinsinB.2ACB..BBB由ABC180,可得sincos—,故cos—2sin—cos—.22222因为，故，因此B60.(2)由题设及(1)知△ABC勺面积Sabc—a.由正弦定理得acsinA由正弦定理得acsinA

sinCcsin(120C)3sinC2tanC由于△ABC为锐角三角形，故0A90,0C90.由（1）知AC120,所以30C90,故」a2,从而由SABC—.282因此，△ABCM积的取值范围是（2019全国2卷理）15.AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若冗b6,a2c,B鼻，则z\ABC的面积为（2019全国2卷理）9.下列函数中，以一为周期且在区间（一，一）单调递增的是f(x)=cos2xff(x)=cos2xf(x)=sin2xf(x)=cosD.f(x)=sin答案：A(2019全国2卷理)10.已知aC(0,-),2sin2a=cos2a+1,贝Usina=答案：B（2019全国1卷理）17./.ABC的内角A,B,__2(sinBsinC).2,sinAsinBsinC.(1)求A;⑵若2ab2c，求sinC.【答案】（1）A,62一；(2)sinC-———答案：B（2019全国1卷理）17./.ABC的内角A,B,__2(sinBsinC).2,sinAsinBsinC.(1)求A;⑵若2ab2c，求sinC.【答案】（1）A,62一；(2)sinC-———34（1）利用正弦定理化简已知边角关系式可得:2.55C的对边分别为a,b,c,设,222bcabc，从而可整理出cosA,根据A0,可求得结果；（2）利用正弦定理可得JTsinAsinB2sinC,利用sinBsinAC、两角和差正弦公式可得关于sinC和cosC的方程，结合同角三角函数关系解方程可求得结果【详解】（1）sinB2sinC.2—.2.2〃sinB2sinBsinCsinCsinAsinBsinC即：sin2Bsin2C.2AsinAsinBsinC由正弦定理可得：b2bc2bc•:A0,几•A3由正弦定理得：.2sinAsinB2sinC又sinBsinsinAcosCcosAsinC,a一32TTcosC1sinC2sinC2.22bcacosA整理可得：3sinC、6,3cosC.22...22..「sinCcosC13sinC231sin2C解得：sinC工!或工1因sinB2sinC、2sinA2sinC0所以sinC因sinB2sinC、2sinA2sinC0所以sinC—，故sinC4(2)法二：/72ab由正弦定理得:、/2sinAsinB2sin又sinBsinACsinAcosCcosAsinC又sinBsinACsinAcosCcosAsinC,a—31八八sinC2sinC2整理可得:3sinC*673co整理可得:3sinC*673cosC，即3sinC73cosc2.3sinsin(0,—),C—(—,一),所以C——,C—3662644sinCsin(-sinCsin(--)3rl464涉及到两角和差正弦公式、同【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题,涉及到两角和差正弦公式、同角三角函数关系的应用，解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简，得到余弦定理的形式或角之间的关系.(2019全国1卷理)11.关于函数f(x)sin|x||sinx|有下述四个结论：①f(x)是偶函数②f(x)在区间(一，)单调递增2③f(x)在［,］有4个零点④f(x)的最大值为2其中所有正确结论的编号是A.①②④B.②④C.①④D.①③

【解析】【分析】【解析】【分析】化简函数fxsinxsinx,化简函数fx【详解】fxsinxsinxsinxsinxfx,fx为偶函数，故①正确.当一x时，fx2sinx,它在区间一，单调递减，故②错误.当0x22时，fx2sinx,它有两个零点：0;当x0时，fxsinxsinx2sinx,它有一个零点：，故fx在，有3个零点：0，故③错误.当x2k,2kkN时，fx2sinx；当x2k,2k2kN时，fxsinxsinx0,又fx为偶函数，fx的最大值为2,故④正确.综上所述，①④正确，故逅.(2018全国3卷文)11.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若ABC的面积TOC\o"1-5"\h\z2.22为a_b__J，则c()A.5B.-C.-D).-【答案】C222222【解析】SABC1absinCa-b-,而cosCa-b——ABC242ab,,12abcosC1故；;absinC-abcosC,C—2424【考点】三角形面积公式、余弦定理(2018全国3卷文)6.函数fxtan1的最小正周期为()tanx

TOC\o"1-5"\h\zA.4B._C.D.2【答案】Ctanx-；tanx-；21tanxtanxcosx122—sinxcosx—sin2xx—k1tanxcosx222T%(定义域并没有影响到周期)1(2018全国3卷又)4.若sin3,贝Ucos2()A.B.C.D.A.B.C.D.【答案】B【解析】cos212sin279(2018全国2卷理)15.已知，，则【答案】【解析】分析：先根据条件解出再根据两角和正弦公式化简求结果详解：因为,所以，因此点睛：三角函数求值的三种类型TOC\o"1-5"\h\z(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异^①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的^(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.(2018全国2卷理)10.若在是减函数，则的最大值是A.B.C,D.【答案】A【解析】分析：先确定三角函数单调减区间，再根据集合包含关系确定的最大值详解：因为，所以由得因此，从而的最大值为，选A.点睛：函数的性质：.(2)周期(3)由求对称轴，(4)由求增区间；由求减区间.(2018全国2卷理)6.在中，…则A.B.C.D.【答案】A【解析】分析：先根据二倍角余弦公式求cosC,再根据余弦定理求AB.详解：因为所以，选A.点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的^(2018全国I卷理)17.(12分)在平面四边形中，，….(1)求；(2)若，求解：(1)在中，由正弦定理得.由题设知，，所以,由题设知，，所以,(2)由题设及(1)知，.在中，由余弦定理得所以.（2018全国I卷理）16.已知函数，则的最小值是.（2018全国I卷文）16.（5分）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsinC+csinB=4asinBsinC,b2+c2-a2=8,贝ABC的面积为.【解答】解：△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.bsinC+csinB=4asinBsinC,利用正弦定理可得sinBsinC+sinCsinB=4sinAsinBsinC,由于sinBsinC丰0,所以sinA=,则A=由于b2+c2-a2=8,则：，①当A=时，，解得：bc=,所以：.②当A=时，，解得：bc=-（不合题意），舍去.故：.故答案为：（2018全国I卷文）11.（5分）已知角a的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A11,a）,B（2,b）,且cos2a=,则|a-b|=（）A.B.C.D.1【解答】解：二.角E的顶点为坐标原点，始边与X轴的非负半轴重合,

终边上有两点A(1,a),B(2,b),且cos2a=,cos2a=2cos21—1=,解得cos2a=,|cosa|=,|sina|==,|tana|=||=|a—b|===.故选：B.TOC\o"1-5"\h\z(2018全国I卷文)已知函数f(x)=2cos2x—sin2x+2，贝U()A.f(x)的最小正周期为兀，最大值为3B.f(x)的最小正周期为兀，最大值为4(x)的最小正周期为23,最大值为3D.f(x)的最小正周期为2兀，最大值为4【解答】解：函数f(x)=2cos2x-sin2x+2,=2cos2x-sin2x+2sin2x+2cos2x=4cos2x+sin2x,=3cos2x+1,=,,故函数的最小正周期为兀，函数的最大值为，故选：B.八一一一.2兀_*_.一一12017全国I卷9题已知曲线Ci:ycosxC2:ysin2x一，则下面结论正确的3是()A.把G上各点的横坐标伸长到原来的2A.把G上各点的横坐标伸长到原来的2倍,位长度，得到曲线C2B.把Ci上各点的横坐标伸长到原来的2倍，位长度，得到曲线C21c.把G上各点的横坐标缩短到原来的2倍,位长度，得到曲线c2D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的2倍，A、，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移一个单6兀入、，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移一个单纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移工个单6兀入、，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移一个单位长度，得到曲线c2【答案】D【解析】Ci：ycosx,C2：ysin2x2支"3首先曲线G、C2统一为一三角函数名，可将Ci:ycosx【解析】Ci：ycosx,C2：ysin2x2支"3首先曲线G、C2统一为一三角函数名，可将Ci:ycosx用诱导公式处理.TtTtTT、…一…ycosxcosx--sinx-.横坐标变换需将

222即ysinx—2Ci上各点横坐标缩短它原来17r2ysin2x-2.c兀sin2x一4ysin2x2-^sin2x-33注意的系数，在右平移需将..TTTT2提到括号外面，这时x—平移至x—,43根据“左加右减”原则，“x到“x广需加上if,即再向左平移if2(2017全国I卷17题)4ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC2的面积为——.3sinA(1)求sinBsinC；(2)若6cosBcosC1,a3,求^ABC的周长.【解析】本题主要考查三角函数及其变换，正弦定理，余弦定理等基础知识的综合应用.(1);AABC面积S2

a3sinAr1.且S-bcsinA

23sinA21bcsinA,由正弦定理得sin,由正弦定理得sin23A32〃一sinBsinCsinA2，.ABCTt.ABCTt由sinA0得sinBsinC:cosAcos兀BCcosBCsinBsinCcosBcosC一2又「A0,汽1:A60,sinA一,cosA一TOC\o"1-5"\h\z22由余弦定理得a2b2c2bc9①aa由正弦定理得bsinB,csinCsinA'sinA2.a.一.………bc——2—sinBsinC8②sinA由①②得bc33•.abc3屈，即^ABC周长为3v''333.(2017•新课标全国n卷理17)17.(12分)2BABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知sin(AC)8sin2-.2⑴求cosB(2)若ac6,ABC面积为2,求b.【命题意图】本题考查三角恒等变形，解三角形.【试题分析】在第(I)中，利用三角形内角和定理可知ACB,将sin(AC)8sin2旦转化为角B的方程，思维方向有两个：①利用降哥公式化简sin2-,22222B结合sinBcosB1求出cosB；②利用二倍角公式，化简sinB8sin一,两边约去2B一Bsin—,求得tan—,进而求得cosB.在第(n)中，利用(I)中结论，利用勾股te理22和面积公式求出ac、ac,从而求出b.(i)【基本解法1】2B..由题设及ABC,sinB8sin一,故2sinB4(1-cosB)上式两边平方，整理得17cos2B-32cosB+15=0解得cosB=1（舍去）,cosB二"17【基本解法2】由题设及ABC,sinB8sinBB2BB2sin—cos—8sin一，又sin—解得cosB=1（舍去）,cosB二"17【基本解法2】由题设及ABC,sinB8sinBB2BB2sin—cos—8sin一，又sin—0,B1所以tan——，cosB

24,15一(n)由cosB=—得sinB

17,2Btan-2—,故171517SABC1.「一acsinB24—ac17又SABC=2,则ac172由余弦定理及2accosB(a+c)2ac(1cosB)3622)所以b=2【知识拓展】解三角形问题是高考高频考点,命题大多放在解答题的第一题，【知识拓展】解三角形问题是高考高频考点,命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意ac,ac,a2c2三者的关系，这样的题目小而活，备受老师和学生的欢迎.4(2017全国卷3理)17.(12分)ABC的内角AB,C勺对边分别为a,b,c,已知sinA73cosA0,a2手,b2.(1)求c；(2)设D为BC边上一点，且ADAC,求△ABD的面积._,_一式TOC\o"1-5"\h\z【解析】(1)由sinAv3cosA0倚2sinA—0,3rr一汽一一一一一即A—knkZ，又A0,兀，3.2112n1•A-n，得A—.33由余弦定理a2b2c22bccosA.又•「a2",b2,cosA1代入并整理22一一得c125,故c4.(2)•••AC2,BC277,AB4,.2由余弦定理cosC2ab•••ACAD,即AACD为直角三角形,则ACCDcosC,得CD6.由勾股定理ad^cd|2|ac|233.又A红，则DAB红」」326abd：|ADABsinJ3.265（2017全国卷文1)14已知@*tan二2,则cos(4)=100,2tansinsin2coscos又sin22cossin2.55coscos£(cossin3.1010（法二）cos(二(cos

2sin2cossincostansincossin・2

sincos2costantan212cos910，0,—知一24cos3J010(2017全国卷2文)3.函数的最小正周期为A.B.C.D.【答案】C【解析】由题意，故选C.【考点】正弦函数周期【名师点睛】函数的性质.(2)周期⑶由求对称轴(4)由求增区间；由求减区间；7(2017全国卷2文)13.函数的最大值为【答案】8(2017全国卷2文)16.的内角的对边分别为，若，则【答案】9(2017全国卷3文)4.已知，则=()A.B.CD.【答案】A10(2017全国卷3文)6.函数f(x)=sin(x+)+cos(x-)10(2017全国卷A.B.1C.D.TOC\o"1-5"\h\z【解析】由诱导公式可得：，则：，函数的最大值为.本题选择A选项.7.函数y=l+x+的部分图像大致为（）ABD.CD【答案】D1、（2016全国I卷12题）已知函数f（x）sin(x+)(1、（2016全国I卷12题）已知函数f（x）sin(x+)(0,」),x『为f(x)的24二一兀--，、手点，x—为yf（x）图像的对称轴，且4f（x）在（工士）单调，则1836的最大值为1179(D)5(C)考点：三角函数的性质2、（2016全国I卷17题）（本小题满分12分）△ABC的内角AB,C△ABC的内角AB,C的对边分别为a,b,c,已知2cosc(acosB+bcosA)c.(I)求C;(II)若c(II)若c77,△abc的面积为3瓜,2求△ABC的周长.【答案】⑴C—(II)56试题解析：(I)由已知及正弦定理得，2cosCsincossincossinC,2cosCsinsinC.故2sinCcosCsinC.1一可信cosC］，所以C—.考点：正弦定理、余弦定理及三角形面积公式3、(2015全国I卷2题)sin200cos10°-con1600sin100=(A)去(B)号(C)T(D)2【答案】D【解析】试题分析：原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°=1,故选D.2考点：诱导公式；两角和与差的正余弦公式4、(2015全国I卷8题)函数f(x)=cos(X)的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为.1,3一।(A)(kn—1k讥十彳)，k三工(b)(C)(k-+5,k£2(D)【答案】D【解析】1试题分析：由五点作图知，5，=一,所以f(x)cos(X-),

44TOC\o"1-5"\h\z一——13_令2kx—2k,kZ,解得2k-vxv2k-,kZ,故单调减区间为44413（2k—,2k-）,kZ,故选D.44考点：三角函数图像与性质5、（2015全国I卷16题）在平面四边形ABCDK/A=/B=/C=75,BC=2则AB的取值范围是【答案】（表艮76+夜）【解析】试题分析：如图所示，延长BACD交于E,平移AD当A与D重合与E点时，AB最长，在4BCE中，/B=/C=75,/E=30°,BC=2由正弦定理可得-B^-BE一,即上丁一BEF,解得BE=6+V2,平移AD,当D与CsinEsinCsin30osin75o重合时，AB最短，此时与AB交于F,在ABCF中，/B=/BFC=75,/FCB=30,由正弦定理知，一BF——BC—,即一BF^一2"一，解得BF=V6五，sinFCBsinBFCsin30osin75o所以AB的取值范围为（的72,76+72）.考点：正余弦定理；数形结合思想6.（2014全国I卷8题）设(01-)，(0,6.（2014全国I卷8题）设22cosA.A.3-B.2【答案】：B一C.32【解析】：tansin【解析】：tansin1sin,「sincoscoscoscoscossinsincossin—,一sincossin—,一22一,0——222—，即2鼻，选B7、（2014全国I卷16题）已知a,b,c分别为ABC的三个内角A,B,C的对边，a=2,且

TOC\o"1-5"\h\z(2b)(sinAsinB)(cb)sinC,则ABC面积的最大值为^【答案】：J3【解析】：由a2且(2b)(sinAsinB)(cb)sinC,即(ab)(sinAsinB)(cb)sinC,由及正弦定理得：(ab)(ab)(cb)c.222.222bca1022••bcabc,故cosA一，二.A60,bc4bc2bc22214bcbcbc,•.SABC一bcsinAJ3,28、(2013全国I卷15题)设当x=8时，函数f(x)=sinx—2cosx取得最大值，则cos。=【命题意图】本题主要考查逆用两角和与差公式、诱导公式、及简单三角函数的最值问题，是难题.f(x)=sinx2cosxf(x)=sinx2cosx='5(l5s1nx2,55cosx)令cos=令cos=-5-,sin2—5,则f(x)=、、5(sin55xcossincosx)=T5sin(x),,kz时，,kz时，f(x)取最大值，此时-)=sin=".25当x=2k—,kz,即x=2k—22=2k—,kz,..cos=cos(2k29、(2013全国I卷17题)(本小题满分12分)如图，在^ABOK/ABC=90°,AB=73,BC=1,以△ABC］一点，/BPC=90°什1-(1)若PB=2,求PA;(2)若/APB=150°,求tan/PBA【命题意图】本题主要考查利用正弦定理、余弦定理解三角形及两角和与差公式，是容易题.【解析】(I)由已知得，/PBC=60°,PBA=30,在^PBA中，由余弦定理得

PA2=312.33cos30o=7,「•PA=」；4242设/PBA=,由已知得，PB=sin，在△PBA中，由正弦定理得，3sin150o3sin150osinsin(30o~~)4sin•.tan=—,•.tanPBA=—.•.tan=—,•.tanPBA=—.10、（2016全国II卷7题）若将函数y=2sin2x的图像向左平移后个单位长度,则平移后图象的对称轴为(A)x(C)xk兀2k兀2B6k(B)i!k(D)(A)x(C)xk兀2k兀2B6k(B)i!k(D)k兀2k2兀12平移后图像表达式为y2sin2兀12令2x12k兀+2,得对称轴方程:故选B.11、(2016全国II卷9题）兀cos一4sin2故选D.(B)(C)(D)725sin211、(2016全国II卷9题）兀cos一4sin2故选D.(B)(C)(D)725sin2cos2cos212、(2016全国II卷13题）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,4b,c,右cosA一5c5cosC,a1321【解析】一13cosAcosC—13，

cosAcosC—13，312sinAsinC5，百sinBsin312sinAsinC5，百sinBsin