《高等数学》模块课件

高等数学

高等数学1模块3

导数的应用3.1中值定理3.2洛必达法则3.3函数的单调性与极值、最值3.4曲线的凹凸性与拐点模块3导数的应用3.1中值定理23.1中值定理图3-13.1中值定理图3-13图3-1图3-143.1.1罗尔（Rolle）定理图3-23.1.1罗尔（Rolle）定理图3-25《高等数学》模块课件63.1.2拉格朗日（Lagrange）定理图3-33.1.2拉格朗日（Lagrange）定理图3-37《高等数学》模块课件8《高等数学》模块课件9《高等数学》模块课件10由推论1可得到下面的推论．由推论1可得到下面的推论．113.1.3柯西（Cauchy）定理3.1.3柯西（Cauchy）定理123.2洛必达法则3.2洛必达法则13《高等数学》模块课件14《高等数学》模块课件15《高等数学》模块课件16《高等数学》模块课件17

洛必达法则虽然是求未定式的一种有效方法，但不一定是最简捷的方法．因此，在求极限过程中，最好将洛必达法则与其他求极限的方法结合使用．例如，能化简时应尽可能化简，能用两个重要极限时应尽可能用两个重要极限等．只有这样才能使运算简捷．另外，应注意洛必达法则的条件．否则，洛必达法则可能失效．当法则失效时，并不意味着原极限不存在，这时应改用其他方法求解．洛必达法则虽然是求未定式的一种有效方法，但不18《高等数学》模块课件193.2.3其他类型的未定式3.2.3其他类型的未定式20《高等数学》模块课件213.3函数的单调性与极值、最值图3-43.3函数的单调性与极值、最值图3-422

案例2（易拉罐的设计）

图3-5所示为生活中常见的易拉罐．企业在设计易拉罐时，为了用最小的成本获得最大的利润，需要考虑在体积一定的情况下用料最省的问题．测量一个你身边的易拉罐，分析它的设计是否达到了企业的期望．如果没有达到，请你改进．图3-5案例2（易拉罐的设计）图3-5所示为生活233.3.1函数的单调性（a）

（b）

图3-6 3.3.1函数的单调性（a）24《高等数学》模块课件25表3-1表3-126《高等数学》模块课件27例3表明，导数不存在的点也是单调区间的分界点．例3表明，导数不存在的点也是单调区间的分界点．283.3.2函数的极值1．函数极值的定义图3-73.3.2函数的极值1．函数极值的定义图3-729

由定义知，函数的极值概念是局部性的．在指定的区间上，一个函数可能有多个极值，极大值也可能小于极小值，但函数的极值一定出现在区间的内部．由定义知，函数的极值概念是局部性的．在指定302．函数极值的判定和求法图3-72．函数极值的判定和求法图3-731《高等数学》模块课件32下面研究极值存在的充分条件．图3-10

图3-11下面研究极值存在的充分条件．图3-10图3-1133图3-8图3-9

综上所述，函数的极值只可能在驻点或导数不存在的点取得．因此，求函数的极值时，可以先求出函数的所有驻点和导数不存在的点，再判别这些点中哪些是极值点．图3-8图3-9综上所述，函数的极值只可能34《高等数学》模块课件35《高等数学》模块课件36《高等数学》模块课件37《高等数学》模块课件383.3.3函数的最值及其应用3.3.3函数的最值及其应用39《高等数学》模块课件40（a）

（b）

图3-12（a）41《高等数学》模块课件423.4曲线的凹凸性与拐点

在图3-13和图3-14中的曲线上各点作切线，可以看出：当曲线弧是凹的时，曲线弧上每一点的切线都位于该曲线弧的下方；当曲线弧是凸的时，曲线弧上每一点的切线都位于该曲线弧的上方．图3-13图3-143.4曲线的凹凸性与拐点在图3-13和43《高等数学》模块课件44图3-15图3-1545《高等数学》模块课件46《高等数学》模块课件47《高等数学》模块课件48《高等数学》模块课件49数学实验

用MATLAB求一元函数的最大值和最小值数学实验用MATLAB求一元函数的最大值和最小值50《高等数学》模块课件51THEENDTHEEND52

高等数学

高等数学53模块3

导数的应用3.1中值定理3.2洛必达法则3.3函数的单调性与极值、最值3.4曲线的凹凸性与拐点模块3导数的应用3.1中值定理543.1中值定理图3-13.1中值定理图3-155图3-1图3-1563.1.1罗尔（Rolle）定理图3-23.1.1罗尔（Rolle）定理图3-257《高等数学》模块课件583.1.2拉格朗日（Lagrange）定理图3-33.1.2拉格朗日（Lagrange）定理图3-359《高等数学》模块课件60《高等数学》模块课件61《高等数学》模块课件62由推论1可得到下面的推论．由推论1可得到下面的推论．633.1.3柯西（Cauchy）定理3.1.3柯西（Cauchy）定理643.2洛必达法则3.2洛必达法则65《高等数学》模块课件66《高等数学》模块课件67《高等数学》模块课件68《高等数学》模块课件69

洛必达法则虽然是求未定式的一种有效方法，但不一定是最简捷的方法．因此，在求极限过程中，最好将洛必达法则与其他求极限的方法结合使用．例如，能化简时应尽可能化简，能用两个重要极限时应尽可能用两个重要极限等．只有这样才能使运算简捷．另外，应注意洛必达法则的条件．否则，洛必达法则可能失效．当法则失效时，并不意味着原极限不存在，这时应改用其他方法求解．洛必达法则虽然是求未定式的一种有效方法，但不70《高等数学》模块课件713.2.3其他类型的未定式3.2.3其他类型的未定式72《高等数学》模块课件733.3函数的单调性与极值、最值图3-43.3函数的单调性与极值、最值图3-474

案例2（易拉罐的设计）

图3-5所示为生活中常见的易拉罐．企业在设计易拉罐时，为了用最小的成本获得最大的利润，需要考虑在体积一定的情况下用料最省的问题．测量一个你身边的易拉罐，分析它的设计是否达到了企业的期望．如果没有达到，请你改进．图3-5案例2（易拉罐的设计）图3-5所示为生活753.3.1函数的单调性（a）

（b）

图3-6 3.3.1函数的单调性（a）76《高等数学》模块课件77表3-1表3-178《高等数学》模块课件79例3表明，导数不存在的点也是单调区间的分界点．例3表明，导数不存在的点也是单调区间的分界点．803.3.2函数的极值1．函数极值的定义图3-73.3.2函数的极值1．函数极值的定义图3-781

由定义知，函数的极值概念是局部性的．在指定的区间上，一个函数可能有多个极值，极大值也可能小于极小值，但函数的极值一定出现在区间的内部．由定义知，函数的极值概念是局部性的．在指定822．函数极值的判定和求法图3-72．函数极值的判定和求法图3-783《高等数学》模块课件84下面研究极值存在的充分条件．图3-10

图3-11下面研究极值存在的充分条件．图3-10图3-1185图3-8图3-9

综上所述，函数的极值只可能在驻点或导数不存在的点取得．因此，求函数的极值时，可以先求出函数的所有驻点和导数不存在的点，再判别这些点中哪些是极值点．图3-8图3-9综上所述，函数的极值只可能86《高等数学》模块课件87《高等数学》模块课件88《高等数学》模块课件89《高等数学》模块课件903.3.3函数的最值及其应用3.3.3函数的最值及其应用91《高等数学》模块课件92（a）

（b）

图3-12（a）93《高等数学》模块课件943.4曲线的凹凸性与拐点

在图3-13和图3-14中的曲线上各点作切线，可以看出：当曲线弧是凹的时，曲线弧上每一点的切线都位于该曲线弧的下方；当曲线弧是凸的时，曲线弧上每一点的切线都位于该曲线弧的上方．图3-1