人教版高中数学选修一般形式的柯西不等式-3课件

一般形式的柯西不等式一般形式的柯西不等式回顾旧知1.二维形式的柯西不等式的代数形式?若a,b,c,d都是实数，则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时，等号成立.2、二维形式的柯西不等式的变式（推论）:回顾旧知1.二维形式的柯西不等式的代数形式?若a,b,c,d3.二维形式的柯西不等式的向量形式？，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α=kβ时，等号成立.3.二维形式的柯西不等式的向量形式？

类比二维从三维的角度思考问题，关于柯西不等式会有什么结论（结合图像）？思考新课导入类比二维从三维的角度思考问题，关于柯西不等式会0xzy0xy0xzy0xy

观察图，从平面向量的集合背景可以得到二维形式的柯西不等式.类似地，从空间向量的集合背景也可以得到

将空间向量的坐标代入，化简得(a12+a22+a32)(b12+b22+b32)≥(a1b1+a2b2+a3b3)2，当且仅当

，

共线时，即=

.或存在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,3)时，等号成立.观察图，从平面向量的集合背景可以得到二维形式的柯西不

探究

对比二维形式和三维形式的柯西不等式，你能猜想出一般形式的柯西不等式吗？探究对比二维形式和三维形式的柯西不等式，你类比猜想(a12+a22+a32)(b12+b22+b32)≥(a1b1+a2b2+a3b3)2(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2类比猜想(a12+a22+a32)(b12+b22+b32)柯西不等式的一般形式为(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2

（2）

猜想如何证明此猜想呢？柯西不等式的一般形式为(a12+a22+…+an2)(b12分析如果设A=a12+a22+…+an2,B=a1b1+a2b2+…+anbn,C=b12+b22+…+bn2,不等式(2)就是AC≥B2.这正好与二次函数的判别式.密切相关。所以我们可以构造二次函数，通过讨论相应的判别式来证明.分析如果设A=a12+a22+…+an2,B=a1b1证明当a1=a2=…=an=0或b1=b2=…=bn=0时，(2)式显然成立.设a1,a2,…,an中至少有一个不为0，则a12+a22+…+an2>0.证明当a1=a2=…=an=0或b1=b2=…=bn于是(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,当且仅当f(x)有唯一零点时，判别式△=0，以上不等式取等号.因为对于任意实数x，f(x)=(a1x+b1)2+(a2x+b2)2+…+(anx+bn)2≥0,于是(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn此时，有唯一实数x，使若x=0，则b1=b2=…=bn=0,(2)式成立；若x≠0，则有，总之，当且仅当bi=0(i=1,2,…,n)或ai=kbi(i=1,2,…,n)时，等号成立.此时，有唯一实数x，使若x=0，则b1=b2=…=bn=0,结论定理（一般形式的柯西不等式）

设a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn都是实数，则(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,当且仅当bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个数k，使得ai=kbi(i=1,2,…,n）时，等号成立.结论定理（一般形式的柯西不等式）设a1例1分析

用n乘要证的式子两边，能使式子变成明显符合柯西不等式的形式.例1分析用n乘要证的式子两边，能使式子变成根据柯西不等式，有(12+12+…+12)(a12+a22+…+an2)≥(1×a1+1×a2+…+1×an)2,所以n(a12+a22+…+an2)≥(a1+a2+…+an)2即证明根据柯西不等式，有(12+12+…+12)(a12+a22+例2已知a,b,c,d是不全相等的正数，证明a2+b2+c2+d2>ab+bc+cd+da.例2已知a,b,c,d是不全相等的正数，证明a2+b2+c2分析

上式两边都是a,b,c,d这四个数组成的式子，特别是右边式子的字母排列顺序启发我们，可以用柯西不等式进行证明.

分析上式两边都是a,b,c,d这四个数组成的证明证明例3分析

由x+2y+3z=1以及

的形式，联系柯西不等式，可以通过构造（）作为一个因式而解决问题.已知x+2y+3z=1以及x2+y2+z2

的最小值.例3分析由x+2y+3z=1以及解：解：课堂小结1.一般形式的柯西不等式:设a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn都是实数，则(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,当且仅当bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个数k，使得ai=kbi(i=1,2,…,n）时，等号成立.课堂小结1.一般形式的柯西不等式:设a1,a2,…,an,b2.一般形式的柯西不等式的应用.

对于许多不等式问题，应用柯西不等式往往简明。掌握柯西不等式的结构特点，灵活应用.2.一般形式的柯西不等式的应用.对于许多不等式排序不等式人之为学有难易乎？学之，则难者亦易也；不学，则易者亦难矣！

排序不等式人之为学有难易乎？学之，则难者亦易也；不学，则易者人教版高中数学选修一般形式的柯西不等式-3课件人教版高中数学选修一般形式的柯西不等式-3课件一般形式的柯西不等式一般形式的柯西不等式回顾旧知1.二维形式的柯西不等式的代数形式?若a,b,c,d都是实数，则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时，等号成立.2、二维形式的柯西不等式的变式（推论）:回顾旧知1.二维形式的柯西不等式的代数形式?若a,b,c,d3.二维形式的柯西不等式的向量形式？，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α=kβ时，等号成立.3.二维形式的柯西不等式的向量形式？

类比二维从三维的角度思考问题，关于柯西不等式会有什么结论（结合图像）？思考新课导入类比二维从三维的角度思考问题，关于柯西不等式会0xzy0xy0xzy0xy

观察图，从平面向量的集合背景可以得到二维形式的柯西不等式.类似地，从空间向量的集合背景也可以得到

将空间向量的坐标代入，化简得(a12+a22+a32)(b12+b22+b32)≥(a1b1+a2b2+a3b3)2，当且仅当

，

共线时，即=

.或存在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,3)时，等号成立.观察图，从平面向量的集合背景可以得到二维形式的柯西不

探究

对比二维形式和三维形式的柯西不等式，你能猜想出一般形式的柯西不等式吗？探究对比二维形式和三维形式的柯西不等式，你类比猜想(a12+a22+a32)(b12+b22+b32)≥(a1b1+a2b2+a3b3)2(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2类比猜想(a12+a22+a32)(b12+b22+b32)柯西不等式的一般形式为(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2

（2）

猜想如何证明此猜想呢？柯西不等式的一般形式为(a12+a22+…+an2)(b12分析如果设A=a12+a22+…+an2,B=a1b1+a2b2+…+anbn,C=b12+b22+…+bn2,不等式(2)就是AC≥B2.这正好与二次函数的判别式.密切相关。所以我们可以构造二次函数，通过讨论相应的判别式来证明.分析如果设A=a12+a22+…+an2,B=a1b1证明当a1=a2=…=an=0或b1=b2=…=bn=0时，(2)式显然成立.设a1,a2,…,an中至少有一个不为0，则a12+a22+…+an2>0.证明当a1=a2=…=an=0或b1=b2=…=bn于是(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,当且仅当f(x)有唯一零点时，判别式△=0，以上不等式取等号.因为对于任意实数x，f(x)=(a1x+b1)2+(a2x+b2)2+…+(anx+bn)2≥0,于是(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn此时，有唯一实数x，使若x=0，则b1=b2=…=bn=0,(2)式成立；若x≠0，则有，总之，当且仅当bi=0(i=1,2,…,n)或ai=kbi(i=1,2,…,n)时，等号成立.此时，有唯一实数x，使若x=0，则b1=b2=…=bn=0,结论定理（一般形式的柯西不等式）

设a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn都是实数，则(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,当且仅当bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个数k，使得ai=kbi(i=1,2,…,n）时，等号成立.结论定理（一般形式的柯西不等式）设a1例1分析

用n乘要证的式子两边，能使式子变成明显符合柯西不等式的形式.例1分析用n乘要证的式子两边，能使式子变成根据柯西不等式，有(12+12+…+12)(a12+a22+…+an2)≥(1×a1+1×a2+…+1×an)2,所以n(a12+a22+…+an2)≥(a1+a2+…+an)2即证明根据柯西不等式，有(12+12+…+12)(a12+a22+例2已知a,b,c,d是不全相等的正数，证明a2+b2+c2+d2>ab+bc+cd+da.例2已知a,b,c,d是不全相等的正数，证明a2+b2+c2分析

上式两边都是a,b,c,d这四个数组成的式子，特别是右边式子的字母排列顺序启发我们，可以用柯西不等式进行证明.

分析上式两边都是a,b,c,d这四个数组成的证明