数学必修一练习题汇总(含答案)

小学试题——可以编辑第一章综合练习一、选择题(每题5分，共60分)1．集合{1,2,3}的所有真子集的个数为()A．3 B．6C．7 D．8解析：含一个元素的有{1}，{2}，{3}，共3个；含两个元素的有{1,2}，{1,3}，{2,3}，共3个；空集是任何非空集合的真子集，故有7个．答案：C2．以下五个写法，其中错误写法的个数为()①{0}∈{0,2,3}；②Ø{0}；③{0,1,2}⊆{1,2,0}；④0∈Ø；⑤0∩Ø＝ØA．1 B．2C．3 D．4解析：②③正确．答案：C3．使根式eq\r(x－1)与eq\r(x－2)分别有意义的x的允许值集合依次为M、F，那么使根式eq\r(x－1)＋eq\r(x－2)有意义的x的允许值集合可表示为()A．M∪F B．M∩FC．∁MF D．∁FM解析：根式eq\r(x－1)＋eq\r(x－2)有意义，必须eq\r(x－1)与eq\r(x－2)同时有意义才可．答案：B4．M＝{x|y＝x2－2}，N＝{y|y＝x2－2}，那么M∩N等于()A．N B．MC．R D．Ø解析：M＝{x|y＝x2－2}＝R，N＝{y|y＝x2－2}＝{y|y≥－2}，故M∩N＝N.答案：A5．函数y＝x2＋2x＋3(x≥0)的值域为()A．R B．[0，＋∞)C．[2，＋∞) D．[3，＋∞)解析：y＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2，∴函数在区间[0，＋∞)上为增函数，故y≥(0＋1)2＋2＝3.答案：D6．等腰三角形的周长是20，底边长y是一腰的长x的函数，那么y等于()A．20－2x(0<x≤10) B．20－2x(0<x<10)C．20－2x(5≤x≤10) D．20－2x(5<x<10)解析：C＝20＝y＋2x，由三角形两边之和大于第三边可知2x>y＝20－2x，x>5.答案：D7．用固定的速度向图1甲形状的瓶子注水，那么水面的高度h和时间t之间的关系是图1乙中的()甲乙图1解析：水面升高的速度由慢逐渐加快．答案：B8．y＝f(x)是定义在R上的奇函数，那么以下函数中为奇函数的是()①y＝f(|x|)②y＝f(－x)③y＝xf(x)④y＝f(x)＋xA．①③ B．②③C．①④ D．②④解析：因为y＝f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．①y＝f(|x|)为偶函数；②y＝f(－x)为奇函数；③令F(x)＝xf(x)，所以F(－x)＝(－x)f(－x)＝(－x)·[－f(x)]＝xf(x)．所以F(－x)＝F(x)．所以y＝xf(x)为偶函数；④令F(x)＝f(x)＋x，所以F(－x)＝f(－x)＋(－x)＝－f(x)－x＝－[f(x)＋x]．所以F(－x)＝－F(x)．所以y＝f(x)＋x为奇函数．答案：D9．0≤x≤eq\f(3,2)，那么函数f(x)＝x2＋x＋1()A．有最小值－eq\f(3,4)，无最大值 B．有最小值eq\f(3,4)，最大值1C．有最小值1，最大值eq\f(19,4) D．无最小值和最大值解析：f(x)＝x2＋x＋1＝(x＋eq\f(1,2))2＋eq\f(3,4)，画出该函数的图象知，f(x)在区间[0，eq\f(3,2)]上是增函数，所以f(x)min＝f(0)＝1，f(x)max＝f(eq\f(3,2))＝eq\f(19,4).答案：C10．函数f(x)的定义域为[a，b]，函数y＝f(x)的图象如图2甲所示，那么函数f(|x|)的图象是图2乙中的()甲乙图2解析：因为y＝f(|x|)是偶函数，所以y＝f(|x|)的图象是由y＝f(x)把x≥0的图象保存，再关于y轴对称得到的．答案：B11．假设偶函数f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，那么()A．f(－eq\f(3,2))<f(－1)<f(2) B．f(－1)<f(－eq\f(3,2))<f(2)C．f(2)<f(－1)<f(－eq\f(3,2)) D．f(2)<f(－eq\f(3,2))<f(－1)解析：由f(x)是偶函数，得f(2)＝f(－2)，又f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，且－2<－eq\f(3,2)<－1，那么f(2)<f(－eq\f(3,2))<f(－1)．答案：D12.eq\x(2021·四川高考)函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf(x＋1)＝(1＋x)f(x)，那么feq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(f\f(5,2)))的值是()A．0B.eq\f(1,2)C．1D.eq\f(5,2)解析：令x＝－eq\f(1,2)，那么－eq\f(1,2)f(eq\f(1,2))＝eq\f(1,2)f(－eq\f(1,2))，又∵f(eq\f(1,2))＝f(－eq\f(1,2))，∴f(eq\f(1,2))＝0；令x＝eq\f(1,2)，eq\f(1,2)f(eq\f(3,2))＝eq\f(3,2)f(eq\f(1,2))，得f(eq\f(3,2))＝0；令x＝eq\f(3,2)，eq\f(3,2)f(eq\f(5,2))＝eq\f(5,2)f(eq\f(3,2))，得f(eq\f(5,2))＝0；而0·f(1)＝f(0)＝0，∴feq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(f\f(5,2)))＝f(0)＝0，应选A.答案：A第二卷(非选择题，共90分)二、填空题(每题5分，共20分)13．设全集U＝{a，b，c，d，e}，A＝{a，c，d}，B＝{b，d，e}，那么∁UA∩∁UB＝________.解析：∁UA∩∁UB＝∁U(A∪B)，而A∪B＝{a，b，c，d，e}＝U.答案：Ø14．设全集U＝R，A＝{x|x≥1}，B＝{x|－1≤x<2}，那么∁U(A∩B)＝________.解析：A∩B＝{x|1≤x<2}，∴∁R(A∩B)＝{x|x<1或x≥2}．答案：{x|x<1或x≥2}15．函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，3]上为减函数，求实数a的取值范围为________．解析：函数f(x)的对称轴为x＝1－a，那么由题知：1－a≥3即a≤－2.答案：a≤－216．假设f(x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函数，那么f(0)、f(1)、f(－2)从小到大的顺序是__________．解析：∵f(x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函数，∴m＝0.∴f(x)＝－x2＋2.∴f(0)＝2，f(1)＝1，f(－2)＝－2，∴f(－2)<f(1)<f(0)．答案：f(－2)<f(1)<f(0)三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)设A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m－1≤x≤2m(1)当x∈N*时，求A的子集的个数；(2)当x∈R且A∩B＝Ø时，求m的取值范围．解：(1)∵x∈N*且A＝{x|－2≤x≤5}，∴A＝{1,2,3,4,5}．故A的子集个数为25＝32个．(2)∵A∩B＝Ø，∴m－1>2m＋1或2m＋1<－2或∴m<－2或m>6.18．(12分)集合A＝{－1,1}，B＝{x|x2－2ax＋b＝0}，假设B≠Ø且B⊆A，求a，b的值．解：(1)当B＝A＝{－1,1}时，易得a＝0，b＝－1；(2)当B含有一个元素时，由Δ＝0得a2＝b，当B＝{1}时，由1－2a＋b＝0，得a＝1，b＝1当B＝{－1}时，由1＋2a＋b＝0，得a＝－1，b＝1.19．(12分)函数f(x)＝eq\f(x,ax＋b)(a，b为常数，且a≠0)，满足f(2)＝1，方程f(x)＝x有唯一实数解，求函数f(x)的解析式和f[f(－4)]的值．解：∵f(x)＝eq\f(x,ax＋b)且f(2)＝1，∴2＝2a＋b.又∵方程f(x)＝x有唯一实数解．∴ax2＋(b－1)x＝0(a≠0)有唯一实数解．故(b－1)2－4a×0＝0，即b＝1，又上式2a＋b＝2，可得：a＝eq\f(1,2)，从而f(x)＝eq\f(x,\f(1,2)x＋1)＝eq\f(2x,x＋2)，∴f(－4)＝eq\f(2×－4,－4＋2)＝4，f(4)＝eq\f(8,6)＝eq\f(4,3)，即f[f(－4)]＝eq\f(4,3).20．(12分)函数f(x)＝4x2－4ax＋(a2－2a＋2)在闭区间[0,2]上有最小值3，求实数a解：f(x)＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,2)))2＋2－2a.(1)当eq\f(a,2)<0即a<0时，f(x)min＝f(0)＝a2－2a＋2＝3，解得：a＝1－eq\r(2).(2)0≤eq\f(a,2)≤2即0≤a≤4时，f(x)min＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))＝2－2a＝3，解得：a＝－eq\f(1,2)(舍去)．(3)eq\f(a,2)>2即a>4时，f(x)min＝f(2)＝a2－10a＋18＝3，解得：a＝5＋eq\r(10)，综上可知：a的值为1－eq\r(2)或5＋eq\r(10).21．(12分)某公司需将一批货物从甲地运到乙地，现有汽车、火车两种运输工具可供选择．假设该货物在运输过程中(含装卸时间)的损耗为300元/小时，其他主要参考数据如下：运输工具途中速度(千米/小时)途中费用(元/千米)装卸时间(小时)装卸费用(元)汽车50821000火车100441800问：如何根据运输距离的远近选择运输工具，使运输过程中的费用与损耗之和最小？解：设甲、乙两地距离为x千米(x>0)，选用汽车、火车运输时的总支出分别为y1和y2.由题意得两种工具在运输过程中(含装卸)的费用与时间如下表：运输工具途中及装卸费用途中时间汽车8x＋1000eq\f(x,50)＋2火车4x＋1800eq\f(x,100)＋4于是y1＝8x＋1000＋(eq\f(x,50)＋2)×300＝14x＋1600，y2＝4x＋1800＋(eq\f(x,100)＋4)×300＝7x＋3000.令y1－y2<0得x<200.①当0<x<200时，y1<y2，此时应选用汽车；②当x＝200时，y1＝y2，此时选用汽车或火车均可；③当x>200时，y1>y2，此时应选用火车．故当距离小于200千米时，选用汽车较好；当距离等于200千米时，选用汽车或火车均可；当距离大于200千米时，选用火车较好．22．(12分)f(x)的定义域为(0，＋∞)，且满足f(2)＝1，f(xy)＝f(x)＋f(y)，又当x2>x1>0时，f(x2)>f(x1)．(1)求f(1)、f(4)、f(8)的值；(2)假设有f(x)＋f(x－2)≤3成立，求x的取值范围．解：(1)f(1)＝f(1)＋f(1)，∴f(1)＝0，f(4)＝f(2)＋f(2)＝1＋1＝2，f(8)＝f(2)＋f(4)＝2＋1＝3.(2)∵f(x)＋f(x－2)≤3，∴f[x(x－2)]≤f(8)，又∵对于函数f(x)有x2>x1>0时f(x2)>f(x1)，∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0,x－2>0,xx－2≤8))⇒2<x≤4.∴x的取值范围为(2,4]．

第二章综合练习一、选择题(每题5分，共60分)1．计算log225·log32eq\r(2)·log59的结果为()A．3 B．4C．5 D．6解析：原式＝eq\f(lg25,lg2)·eq\f(lg2\r(2),lg3)·eq\f(lg9,lg5)＝eq\f(2lg5,lg2)·eq\f(\f(3,2)lg2,lg3)·eq\f(2lg3,lg5)＝6.答案：D2．设f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2ex－1，x<2，,log3x2－1，x≥2，))那么f(f(2))的值为()A．0 B．1C．2 D．3解析：f(2)＝log3(22－1)＝1，f(f(2))＝2e1－1＝2e0＝2.答案：C3．如果logeq\f(1,2)x>0成立，那么x应满足的条件是()A．x>eq\f(1,2) B.eq\f(1,2)<x<1C．x<1 D．0<x<1解析：由对数函数的图象可得．答案：D4．函数f(x)＝log3(2－x)在定义域区间上是()A．增函数 B．减函数C．有时是增函数有时是减函数 D．无法确定其单调解析：由复合函数的单调性可以判断，内外两层单调性相同那么为增函数，内外两层的单调性相反那么为减函数．答案：B5．某种放射性元素，100年后只剩原来的一半，现有这种元素1克，3年后剩下()A．0.015克 B．(1－0.5%)3克C．0.925克 D.eq\r(100,0.125)克解析：设该放射性元素满足y＝ax(a>0且a≠1)，那么有eq\f(1,2)＝a100得a＝(eq\f(1,2))eq\f(1,100).可得放射性元素满足y＝[(eq\f(1,2))eq\f(1,100)]x＝(eq\f(1,2))eq\f(x,100).当x＝3时，y＝(eq\f(1,2))eq\f(3,100)＝eq\r(100,\f(1,2)3)＝eq\r(100,0.125).答案：D6．函数y＝log2x与y＝logeq\f(1,2)x的图象()A．关于原点对称 B．关于x轴对称C．关于y轴对称 D．关于y＝x对称解析：据图象和代入式判定都可以做出判断，应选B.答案：B7．函数y＝lg(eq\f(2,1－x)－1)的图象关于()A．x轴对称 B．y轴对称C．原点对称 D．y＝x对称解析：f(x)＝lg(eq\f(2,1－x)－1)＝lgeq\f(1＋x,1－x)，f(－x)＝lgeq\f(1－x,1＋x)＝－f(x)，所以y＝lg(eq\f(2,1－x)－1)关于原点对称，应选C.答案：C8．设a>b>c>1，那么以下不等式中不正确的选项是()A．ac>bc B．logab>logacC．ca>cb D．logbc<logac解析：y＝xc在(0，＋∞)上递增，因为a>b，那么ac>bc；y＝logax在(0，＋∞)上递增，因为b>c，那么logab>logac；y＝cx在(－∞，＋∞)上递增，因为a>b，那么ca>cb.应选D.答案：D9．f(x)＝loga(x＋1)(a>0且a≠1)，假设当x∈(－1,0)时，f(x)<0，那么f(x)是()A．增函数 B．减函数C．常数函数 D．不单调的函数解析：由于x∈(－1,0)，那么x＋1∈(0,1)，所以a>1.因而f(x)在(－1，＋∞)上是增函数．答案：A10．设a＝eq\r(4,24)，b＝eq\r(3,12)，c＝eq\r(6)，那么a，b，c的大小关系是()A．a>b>c B．b<c<aC．b>c>a D．a<b<c解析：a＝eq\r(4,24)＝eq\r(12,243)，b＝eq\r(12,124)，c＝eq\r(6)＝eq\r(12,66).∵243<124<66，∴eq\r(12,243)<eq\r(12,124)<eq\r(12,66)，即a<b<c.答案：D11．假设方程ax＝x＋a有两解，那么a的取值范围为()A．(1，＋∞) B．(0,1)C．(0，＋∞) D．Ø解析：分别作出当a>1与0<a<1时的图象．(1)当a>1时，图象如以下列图1，满足题意．eq\o(\s\up7(),\s\do5(图1))eq\o(\s\up7(),\s\do5(图2))(2)当0<a<1时，图象如上图2，不满足题意．答案：A12．f(x)是偶函数，它在(0，＋∞)上是减函数，假设f(lgx)>f(1)，那么x的取值范围是()A．(eq\f(1,10)，1) B．(0，eq\f(1,10))∪(1，＋∞)C．(eq\f(1,10)，10) D．(0,1)∪(0，＋∞)解析：由于f(x)是偶函数且在(0，＋∞)上是减函数，所以f(－1)＝f(1)，且f(x)在(－∞，0)上是增函数，应有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0，,－1<lgx<1，))解得eq\f(1,10)<x<10.答案：C第二卷(非选择题，共90分)二、填空题(每题5分，共20分)13．假设函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的反函数的图象过点(2，－1)，那么a＝________.解析：由互为反函数关系知，f(x)过点(－1,2)，代入得a－1＝2⇒a＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)14．方程log2(x－1)＝2－log2(x＋1)的解为________．解析：log2(x－1)＝2－log2(x＋1)⇔log2(x－1)＝log2eq\f(4,x＋1)，即x－1＝eq\f(4,x＋1)，解得x＝±eq\r(5)(负值舍去)，∴x＝eq\r(5).答案：eq\r(5)15．设函数f1(x)＝xeq\f(1,2)，f2(x)＝x－1，f3(x)＝x2，那么f1(f2(f3(2007)))＝________.解析：f1(f2(f3(2007)))＝f1(f2(20072))＝f1((20072)－1)＝[(20072)－1]eq\f(1,2)＝2007－1.答案：eq\f(1,2007)16．设0≤x≤2，那么函数y＝4x－eq\f(1,2)－3·2x＋5的最大值是________，最小值是________．解析：设2x＝t(1≤t≤4)，那么y＝eq\f(1,2)·4x－3·2x＋5＝eq\f(1,2)t2－3t＋5＝eq\f(1,2)(t－3)2＋eq\f(1,2).当t＝3时，ymin＝eq\f(1,2)；当t＝1时，ymax＝eq\f(1,2)×4＋eq\f(1,2)＝eq\f(5,2).答案：eq\f(5,2)eq\f(1,2)三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)a＝(2＋eq\r(3))－1，b＝(2－eq\r(3))－1，求(a＋1)－2＋(b＋1)－2的值．解：(a＋1)－2＋(b＋1)－2＝(eq\f(1,2＋\r(3))＋1)－2＋(eq\f(1,2－\r(3))＋1)－2＝(eq\f(3＋\r(3),2＋\r(3)))－2＋(eq\f(3－\r(3),2－\r(3)))－2＝eq\f(1,6)(eq\f(7＋4\r(3),2＋\r(3))＋eq\f(7－4\r(3),2－\r(3)))＝eq\f(1,6)[(7＋4eq\r(3))(2－eq\r(3))＋(7－4eq\r(3))(2＋eq\r(3))]＝eq\f(1,6)×4＝eq\f(2,3).18．(12分)关于x的方程4x·a－(8＋eq\r(2))·2x＋4eq\r(2)＝0有一个根为2，求a的值和方程其余的根．解：将x＝2代入方程中，得42·a－(8＋eq\r(2))·22＋4eq\r(2)＝0，解得a＝2.当a＝2时，原方程为4x·2－(8＋eq\r(2))2x＋4eq\r(2)＝0，将此方程变形化为2·(2x)2－(8＋eq\r(2))·2x＋4eq\r(2)＝0.令2x＝y，得2y2－(8＋eq\r(2))y＋4eq\r(2)＝0.解得y＝4或y＝eq\f(\r(2),2).当y＝4时，即2x＝4，解得x＝2；当y＝eq\f(\r(2),2)时，2x＝eq\f(\r(2),2)，解得x＝－eq\f(1,2).综上，a＝2，方程其余的根为－eq\f(1,2).19．(12分)f(x)＝eq\f(2x－1,2x＋1)，证明：f(x)在区间(－∞，＋∞)上是增函数．证明：设任意x1，x2∈(－∞，＋∞)且x1<x2，那么f(x1)－f(x2)＝eq\f(2x1－1,2x1＋1)－eq\f(2x2－1,2x2＋1)＝eq\f(2x1－12x2＋1－2x2－12x1＋1,2x1＋12x2＋1)＝eq\f(2x1－2x2－2x2－2x1,2x1＋12x2＋1)＝eq\f(22x1－2x2,2x1＋12x2＋1).∵x1<x2，∴2x1<2x2，即2x1－2x2<0.∴f(x1)<f(x2)．∴f(x)在区间(－∞，＋∞)上是增函数．20．(12分)偶函数f(x)在x∈[0，＋∞)上是增函数，且f(eq\f(1,2))＝0，求不等式f(logax)>0(a>0，且a≠1)的解集．解：f(x)是偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上递增，f(eq\f(1,2))＝0，∴f(x)在(－∞，0)上递减，f(－eq\f(1,2))＝0，那么有logax>eq\f(1,2)，或logax<－eq\f(1,2).(1)当a>1时，logax>eq\f(1,2)，或logax<－eq\f(1,2)，可得x>eq\r(a)，或0<x<eq\f(\r(a),a)；(2)当0<a<1时，logax>eq\f(1,2)，或logax<－eq\f(1,2)，可得0<x<eq\r(a)，或x>eq\f(\r(a),a).综上可知，当a>1时，f(logax)>0的解集为(0，eq\f(\r(a),a))∪(eq\r(a)，＋∞)；当0<a<1时，f(logax)>0的解集为(0，eq\r(a))∪(eq\f(\r(a),a)，＋∞)．21．(12分)函数f(x)对一切实数x，y都满足f(x＋y)＝f(y)＋(x＋2y＋1)x，且f(1)＝0，(1)求f(0)的值；(2)求f(x)的解析式；(3)当x∈[0，eq\f(1,2)]时，f(x)＋3<2x＋a恒成立，求a的范围．解：(1)令x＝1，y＝0，那么f(1)＝f(0)＋(1＋1)×1，∴f(0)＝f(1)－2＝－2.(2)令y＝0，那么f(x)＝f(0)＋(x＋1)x，∴f(x)＝x2＋x－2.(3)由f(x)＋3<2x＋a，得a>x2－x＋1.设y＝x2－x＋1，那么y＝x2－x＋1在(－∞，eq\f(1,2)]上是减函数，所以y＝x2－x＋1在[0，eq\f(1,2)]上的范围为eq\f(3,4)≤y≤1，从而可得a>1.22．(12分)设函数f(x)＝loga(1－eq\f(a,x))，其中0<a<1.(1)求证：f(x)是(a，＋∞)上的减函数；(2)解不等式f(x)>1.解：(1)证明：设任意x1，x2∈(a，＋∞)且x1<x2，那么f(x1)－f(x2)＝loga(1－eq\f(a,x1))－loga(1－eq\f(a,x2))＝logaeq\f(1－\f(a,x1),1－\f(a,x2))＝logaeq\f(1－\f(a,x2)＋\f(a,x2)－\f(a,x1),1－\f(a,x2))＝logaeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋\f(\f(a,x2)－\f(a,x1),1－\f(a,x2))))＝loga(1＋eq\f(ax1－ax2,x1x2－ax1))＝loga[1＋eq\f(ax1－x2,x1x2－a)]．∵x1，x2∈(a，＋∞)且x1<x2，∴x1－x2<0,0<a<x1<x2，x2－a>0.∴eq\f(ax1－x2,x1x2－a)<0，∴1＋eq\f(ax1－x2,x1x2－a)<1，又∵0<a<1，∴loga[1＋eq\f(ax1－x2,x1x2－a)]>0，∴f(x1)>f(x2)，所以f(x)＝loga(1－eq\f(a,x))在(a，＋∞)上为减函数．(2)因为0<a<1，所以f(x)>1⇔loga(1－eq\f(a,x))>logaa⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－\f(a,x)>0，①,1－\f(a,x)<a.②))解不等式①，得x>a或x<0.解不等式②，得0<x<eq\f(a,1－a).因为0<a<1，故x<eq\f(a,1－a)，所以原不等式的解集为{x|a<x<eq\f(a,1－a)}．

第三章综合练习一、选择题(每题5分，共60分)1．二次函数f(x)＝2x2＋bx－3(b∈R)的零点个数是()A．0 B．1C．2 D．4解析：∵Δ＝b2＋4×2×3＝b2＋24>0，∴函数图象与x轴有两个不同的交点，从而函数有2个零点．答案：C2．函数y＝1＋eq\f(1,x)的零点是()A．(－1,0) B．－1C．1 D．0解析：令1＋eq\f(1,x)＝0，得x＝－1，即为函数零点．答案：B3．以下给出的四个函数f(x)的图象中能使函数y＝f(x)－1没有零点的是()解析：把y＝f(x)的图象向下平移1个单位后，只有C图中图象与x轴无交点．答案：C4．假设函数y＝f(x)在区间(－2,2)上的图象是连续不断的曲线，且方程f(x)＝0在(－2,2)上仅有一个实数根，那么f(－1)·f(1)的值()A．大于0 B．小于0C．无法判断 D．等于零解析：由题意不能断定零点在区间(－1,1)内部还是外部．答案：C5．函数f(x)＝ex－eq\f(1,x)的零点所在的区间是()A．(0，eq\f(1,2)) B．(eq\f(1,2)，1)C．(1，eq\f(3,2)) D．(eq\f(3,2)，2)解析：f(eq\f(1,2))＝eq\r(e)－2<0，f(1)＝e－1>0，∵f(eq\f(1,2))·f(1)<0，∴f(x)的零点在区间(eq\f(1,2)，1)内．答案：B6．方程logeq\f(1,2)x＝2x－1的实根个数是()A．0 B．1C．2 D．无穷多个解析：方程logeq\f(1,2)x＝2x－1的实根个数只有一个，可以画出f(x)＝logeq\f(1,2)x及g(x)＝2x－1的图象，两曲线仅一个交点，故应选B.答案：B7．某产品的总本钱y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝0.1x2－11x＋3000，假设每台产品的售价为25万元，那么生产者的利润取最大值时，产量x等于()A．55台 B．120台C．150台 D．180台解析：设产量为x台，利润为S万元，那么S＝25x－y＝25x－(0.1x2－11x＋3000)＝－0.1x2＋36x－3000＝－0.1(x－180)2＋240，那么当x＝180时，生产者的利润取得最大值．答案：D8．α是函数f(x)的一个零点，且x1<α<x2，那么()A．f(x1)f(x2)>0 B．f(x1)f(x2)<0C．f(x1)f(x2)≥0 D．以上答案都不对解析：定理的逆定理不成立，故f(x1)f(x2)的值不确定．答案：D9．某城市为保护环境，维护水资源，鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每月用水不超过8吨，按每吨2元收取水费，每月超过8吨，超过局部加倍收费，某职工某月缴费20元，那么该职工这个月实际用水()A．10吨 B．13吨C．11吨 D．9吨解析：设该职工该月实际用水为x吨，易知x>8.那么水费y＝16＋2×2(x－8)＝4x－16＝20，∴x＝9.答案：D10．某工厂6年来生产甲种产品的情况是：前3年年产量的增大速度越来越快，后3年年产量保持不变，那么该厂6年来生产甲种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象为()答案：A11．函数f(x)＝|x2－6x＋8|－k只有两个零点，那么()A．k＝0 B．k>1C．0≤k<1 D．k>1，或k＝0解析：令y1＝|x2－6x＋8|，y2＝k，由题意即要求两函数图象有两交点，利用数形结合思想，作出两函数图象可得选D.答案：D12．利用计算器，算出自变量和函数值的对应值如下表：x0.20.61.01.41.82.22.63.03.4…y＝2x1.1491.5162.02.6393.4824.5956.0638.010.556…y＝x20.040.361.01.963.244.846.769.011.56…那么方程2x＝x2的一个根所在区间为()A．(0.6,1.0) B．(1.4,1.8)C．(1.8,2.2) D．(2.6,3.0)解析：设f(x)＝2x－x2，由表格观察出x＝1.8时，2x>x2，即f(1.8)>0；在x＝2.2时，2x<x2，即f(2.2)<0.综上知f(1.8)·f(2.2)<0，所以方程2x＝x2的一个根位于区间(1.8,2.2)内．答案：C第二卷(非选择题，共90分)二、填空题(每题5分，共20分)13．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间(2,4)上的实数根时，取中点x1＝3，那么下一个有根区间是__________．解析：设f(x)＝x3－2x－5，那么f(2)<0，f(3)>0，f(4)>0，有f(2)f(3)<0，那么下一个有根区间是(2,3)．答案：(2,3)14．函数f(x)＝ax2－bx＋1的零点为－eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，那么a＝__________，b＝__________.解析：由韦达定理得－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＝eq\f(b,a)，且－eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,a).解得a＝－6，b＝1.答案：－6115．以墙为一边，用篱笆围成一长方形的场地，如图1.篱笆的总长为定值l，那么这块场地面积y与场地一边长x的关系为________．图1解析：由题意知场地的另一边长为l－2x，那么y＝x(l－2x)，且l－2x>0，即0<x<eq\f(l,2).答案：y＝x(l－2x)(0<x<eq\f(l,2))16．某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%，假设初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少eq\f(1,3)，至少应过滤________次才能到达市场要求？(lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)解析：设过滤n次才能到达市场要求，那么2%(1－eq\f(1,3))n≤0.1%即(eq\f(2,3))n≤eq\f(0.1,2)，∴nlgeq\f(2,3)≤－1－lg2，∴n≥7.39，∴n＝8.答案：8三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)二次函数f(x)的图象过点(0,3)，它的图象的对称轴为x＝2，且f(x)的两个零点的平方和为10，求f(x)的解析式．解：设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由题意知：c＝3，－eq\f(b,2a)＝2.设x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，那么xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＝10，∴(x1＋x2)2－2x1x2＝10，∴(－eq\f(b,a))2－eq\f(2c,a)＝10，∴16－eq\f(6,a)＝10，∴a＝1.代入－eq\f(b,2a)＝2中，得b＝－4.∴f(x)＝x2－4x＋3.18．(12分)求方程x2＋2x＝5(x>0)的近似解(精确度0.1)．解：令f(x)＝x2＋2x－5(x>0)．∵f(1)＝－2，f(2)＝3，∴函数f(x)的正零点在区间(1,2)内．取(1,2)中点x1＝1.5，f(1.5)>0.取(1,1.5)中点x2＝1.25，f(1.25)<0.取(1.25,1.5)中点x3＝1.375，f(1.375)<0.取(1.375,1.5)中点x4＝1.4375，f(1.4375)<0.取(1.4375,1.5)．∵|1.5－1.4375|＝0.0625<0.1，∴方程x2＋2x＝5(x>0)的近似解为x＝1.5(或1.4375)．19．(12分)要挖一个面积为800m2的矩形鱼池，并在四周修出宽分别为1m,2m解：设所建矩形鱼池的长为xm，那么宽为eq\f(800,x)m，于是鱼池与路的占地面积为y＝(x＋2)(eq\f(800,x)＋4)＝808＋4x＋eq\f(1600,x)＝808＋4(x＋eq\f(400,x))＝808＋4[(eq\r(x)－eq\f(20,\r(x)))2＋40]．当eq\r(x)＝eq\f(20,\r(x))，即x＝20时，y取最小值为968m2.答：鱼池与路的占地最小面积是968m2.20．(12分)某农工贸集团开发的养殖业和养殖加工生产的年利润分别为P和Q(万元)，这两项利润与投入的资金x(万元)的关系是P＝eq\f(x,3)，Q＝eq\f(10,3)eq\r(x)，该集团今年方案对这两项生产共投入资金60万元，其中投入养殖业为x万元，获得总利润y(万元)，写出y关于x的函数关系式及其定义域．解：投入养殖加工生产业为60－x万元．由题意可得，y＝P＋Q＝eq\f(x,3)＋eq\f(10,3)eq\r(60－x)，由60－x≥0得x≤60，∴0≤x≤60，即函数的定义域是[0,60]．21．(12分)某种产品的数量x(百件)与其本钱y(千元)之间的函数关系可以近似用y＝ax2＋bx＋c表示，其中a，b，c为待定常数，今有实际统计数据如下表：产品数量x(百件)61020本钱合计y(千元)104160370(1)试确定本钱函数y＝f(x)；(2)每件这种产品的销售价为200元，求利润函数p＝p(x)；(3)据利润函数p＝p(x)确定盈亏转折时的产品数量．(即产品数量等于多少时，能扭亏为盈或由盈转亏)解：(1)将表格中相关数据代入y＝ax2＋bx＋c，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(36a＋6b＋c＝104,100a＋10b＋c＝160，,400a＋20b＋c＝370))解得a＝eq\f(1,2)，b＝6，c＝50.所以y＝f(x)＝eq\f(1,2)x2＋6x＋50(x≥0)．(2)p＝p(x)＝－eq\f(1,2)x2＋14x－50(x≥0)．(3)令p(x)＝0，即－eq\f(1,2)x2＋14x－50＝0，解得x＝14±4eq\r(6)，即x1＝4.2，x2＝23.8，故4.2<x<23.8时，p(x)>0；x<4.2或x>23.8时，p(x)<0，所以当产品数量为420件时，能扭亏为盈；当产品数量为2380件时由盈变亏．22．(12分)某企业常年生产一种出口产品，根据需求预测：进入21世纪以来，前8年在正常情况下，该产品产量将平衡增长．2000年为第一年，头4年年产量f(x)(万件)如表所示：x1234f(x)4.005.587.008.44(1)画出2000～2003年该企业年产量的散点图；(2)建立一个能根本反映(误差小于0.1)这一时期该企业年产量开展变化的函数模型，并求之．(3)2006年(即x＝7)因受到某外国对我国该产品反倾销的影响，年产量应减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2006年的年产量应该约为多少？解：图2(1)散点图如图2：(2)设f(x)＝ax＋b.由得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝4,3a＋b＝7))，解得a＝eq\f(3,2)，b＝eq\f(5,2)，∴f(x)＝eq\f(3,2)x＋eq\f(5,2).检验：f(2)＝5.5，|5.58－5.5|＝0.08<0.1；f(4)＝8.5，|8.44－8.5|＝0.06<0.1.∴模型f(x)＝eq\f(3,2)x＋eq\f(5,2)能根本反映产量变化．(3)f(7)＝eq\f(3,2)×7＋eq\f(5,2)＝13，由题意知，2006年的年产量约为13×70%＝9.1(万件)，即2006年的年产量应约为9.1万件．

必修1综合练习一、选择题(每题5分，共60分)1．集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，C＝{2,3,4}，那么(A∩B)∪C＝()A．{1,2,3} B．{1,2,4}C．{2,3,4} D．{1,2,3,4}解析：∵A∩B＝{1,2}，∴(A∩B)∪C＝{1,2,3,4}．答案：D2．如图1所示，U表示全集，用A，B表示阴影局部正确的选项是()图1A．A∪B B．(∁UA)∪(∁UB)C．A∩B D．(∁UA)∩(∁UB)解析：由集合之间的包含关系及补集的定义易得阴影局部为(∁UA)∩(∁UB)．答案：D3．假设f(x)＝1－2x，g(1－2x)＝eq\f(1－x2,x2)(x≠0)，那么geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))的值为()A．1 B．3C．15 D．30解析：g(1－2x)＝eq\f(1－x2,x2)，令eq\f(1,2)＝1－2x，那么x＝eq\f(1,4)，∴geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(1－\f(1,16),\f(1,16))＝15，应选C.答案：C4．设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋12x<1，,4－\r(x－1)x≥1，))那么使得f(－1)＋f(m－1)＝1成立的m的值为()A．10 B．0，－2C．0，－2,10 D．1，－1,11解析：因为x<1时，f(x)＝(x＋1)2，所以f(－1)＝0.当m－1<1，即m<2时，f(m－1)＝m2＝1，m＝±1.当m－1≥1，即m≥2时，f(m－1)＝4－eq\r(m－2)＝1，所以m＝11.答案：D5．假设x＝6是不等式loga(x2－2x－15)>loga(x＋13)的一个解，那么该不等式的解集为()A．(－4,7) B．(5,7)C．(－4，－3)∪(5,7) D．(－∞，－4)∪(5，＋∞)解析：将x＝6代入不等式，得loga9>loga19，所以a∈(0,1)．那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x－15>0，,x＋13>0，,x2－2x－15<x＋13.))解得x∈(－4，－3)∪(5,7)．答案：C6．假设函数f(x)＝eq\f(1,2x＋1)，那么该函数在(－∞，＋∞)上是()A．单调递减无最小值 B．单调递减有最大值C．单调递增无最大值 D．单调递增有最大值解析：2x＋1在(－∞，＋∞)上递增，且2x＋1>0，∴eq\f(1,2x＋1)在(－∞，＋∞)上递减且无最小值．答案：A7．方程(eq\f(1,3))x＝|log3x|的解的个数是()A．0 B．1C．2 D．3解析：图2在平面坐标系中，画出函数y1＝(eq\f(1,3))x和y2＝|log3x|的图象，如图2所示，可知方程有两个解．答案：C8．以下各式中，正确的选项是()A．(－eq\f(4,3))eq\f(2,3)<(－eq\f(5,4))eq\f(2,3) B．(－eq\f(4,5))eq\f(1,3)<(－eq\f(5,6))eq\f(1,3)C．(eq\f(1,2))eq\f(1,2)>(eq\f(1,3))eq\f(1,2) D．(－eq\f(3,2))3>(－eq\f(4,3))3解析：函数y＝xeq\f(2,3)在(－∞，0)上是减函数，而－eq\f(4,3)<－eq\f(5,4)，∴(－eq\f(4,3))eq\f(2,3)>(－eq\f(5,4))eq\f(2,3)，故A错；函数y＝xeq\f(1,3)在(－∞，＋∞)上是增函数，而－eq\f(4,5)>－eq\f(5,6)，∴(－eq\f(4,5))eq\f(1,3)>(－eq\f(5,6))eq\f(1,3)，故B错，同理D错．答案：C9．生物学指出：生态系统在输入一个营养级的能量中，大约10%的能量能够流到下一个营养级，在H1→H2→H3这个食物链中，假设能使H3获得10kJ的能量，那么需H1提供的能量为()A．105kJ B．104kJC．103kJ D．102kJ解析：H1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))2＝10，∴H1＝103.答案：C10．如图3(1)所示，阴影局部的面积S是h的函数(0≤h≤H)，那么该函数的图象是如图3(2)所示的()图3解析：当h＝eq\f(H,2)时，对应阴影局部的面积小于整个图形面积的一半，且随着h的增大，S随之减小，故排除A，B，D.答案：C11．函数f(x)在(－1,1)上是奇函数，且在(－1,1)上是减函数，假设f(1－m)＋f(－m)<0，那么m的取值范围是()A．(0，eq\f(1,2)) B．(－1,1)C．(－1，eq\f(1,2)) D．(－1,0)∪(1，eq\f(1,2))解析：f(1－m)<－f(－m)，∵f(x)在(－1,1)上是奇函数，∴f(1－m)<f(m)，∴1>1－m>m>－1，解得0<m<eq\f(1,2)，即m∈(0，eq\f(1,2))．答案：A12．(2021·山东卷)定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log21－x，,fx－1－fx－2，))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤0,x>0))，那么f(2021)的值为()A．－1 B．0C．1 D．2解析：由题意可得：x>0时，f(x)＝f(x－1)－f(x－2)，从而f(x－1)＝f(x－2)－f(x－3)．两式相加得f(x)＝－f(x－3)，f(x－6)＝f[(x－3)－3]＝－f(x－3)＝f(x)，∴f(2021)＝f(2003)＝f(1997)＝…＝f(5)＝f(－1)＝log22＝1.答案：C第二卷(非选择题，共90分)二、填空题(每题5分，共20分)13.eq\f(log2716,log34)的值是________．解析：eq\f(log2716,log34)＝eq\f(\f(2,3)log34,log34)＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)14．假设函数y＝eq\f(kx＋5,kx2＋4kx＋3)的定义域为R，那么实数k的取值范围为__________．解析：kx2＋4kx＋3恒不为零．假设k＝0，符合题意，k≠0，Δ<0，也符合题意．所以0≤k<eq\f(3,4).答案：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(k\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤k<\f(3,4)))))15．全集U＝{x|x∈R}，集合A＝{x|x≤1或x≥3}，集合B＝{x|k<x<k＋1，k∈R}，且(∁UA)∩B＝Ø，那么实数k的取值范围是________．解析：∁UA＝{x|1<x<3}，又(∁UA)∩B＝Ø，∴k＋1≤1或k≥3，∴k≤0或k≥3.答案：(－∞，0]∪[3，＋∞)16．麋鹿是国家一级保护动物，位于江苏省中部黄海之滨的江苏大丰麋鹿国家级自然保护区成立于1986年，第一年(即1986年)只有麋鹿100头，由于科学的人工培育，这种当初快要灭绝的动物只数y(只)与时间x(年)的关系可近似地由关系式y＝alog2(x＋1)给出，那么到2021年时，预测麋鹿的只数约为________．解析：当x＝1时，y＝alog22＝a＝100，∴y＝100log2(x＋1)，∵2021－1986＋1＝31，即2021年为第31年，∴y＝100log2(31＋1)＝500，∴2021年麋鹿的只数约为500.答案：500三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)用定义证明：函数g(x)＝eq\f(k,x)(k<0，k为常数)在(－∞，0)上为增函数．证明：设x1<x2<0，那么g(x1)－g(x2)＝eq\f(k,x1)－eq\f(k,x2)＝eq\f(kx2－x1,x1x2).∵x1<x2<0，∴x1x2>0，x2－x1>0，又∵k<0，∴g(x1)－g(x2)<0，即g(x1)<g(x2)，∴g(