初三中考培优重叠部分面积专题

1.已知二次函数y=x2-2mx+m2+3(m是常数).(1)求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点;(2)把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点?.如图，已知二次函数尸ax2+bx+c的图象过A(2,0),B(0,-1)和C(4,5)三点.(1)求二次函数的解析式；(2)设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D,求点D的坐标；(3)在同一坐标系中画出直线y=x+1,并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值..二次函数图象的顶点在原点O,经过点A(1,1);点F(0,1)在y轴上.直线y=-1与y轴交于点H.4(1)求二次函数的解析式；(2)点P是(1)中图象上的点，过点P作x轴的垂线与直线y=-1交于点M,求证：FM平分/OFP;(3)当△FPM是等边三角形时，求P点的坐标..如图，RtAPMN中，/P=90,PM=PN,MN=8cm,矩形ABCD的长和宽分别为8cm和2cm,C点和M点重合，BC和MN在一条直线上，令RtAPMN不动，矩形ABCD沿MN所在直线向右以每秒1cm的速度移动(如图)，直到C点与N点重合为止，设移动x秒后，矩形ABCD与△PMN重叠部分的面积为ycm2,求y与x之间的函数关系式。.如图13,在^AB汕，ARAG/B=30°,BC=8,D在边BC上，E在线段DC上，DE=4,△DEF是等边三角形，边DF交边AB于点M边EF交边AC于点交边AB于点M边EF交边AC于点N.(1)求证：△圆与BC相切？当x为何值时,(3)设BDzzX,五边形ANED断面积为y有最大值？并求y的最大值.BM。△CNE(2)当BD为何值日以M为圆心，以MF为半径的

y,求y与x之间的函数解析式(要求写出自变量x的取值范围)；6.如图，直线1的解析式为y=—x+4,它与x轴、y轴分别相交于a、B两点.平行于直线1的直线m从原点O出发，沿x轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动,它与x轴、y轴分别相交于M、N发，沿x轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动,tW4).(1)求A、B两点的坐标；(2)用含t的代数式表示△MON的面积Si；(3)以MN为对角线作矩形OMPN,记4MPN和4OAB重合部分的面积为S2,①当2Vtw4时，试探究S2与t之间的函数关系式；②在直线m的运动过程中，当t为何值时，二次函数图象的顶点在原点O,经过点A(1,1);点F(0,1)在y轴上.直线y=-1与y轴交于点H.4(1)求二次函数的解析式；(2)点P是(1)中图象上的点，过点P作x轴的垂线与直线y=-1交于点M,求证：FM平分/OFP;(3)当^FPM是等边三角形时，求P点的坐标.(1)解：,一二次函数图象的顶点在原点O,，设二次函数的解析式为y=ax2,将点A(1,—)代入y=ax2得：a=1,44・•・二次函数的解析式为y=1x2;4(2)证明：二♦点P在抛物线y=1x2上，，可设点P的坐标为(x,1x2),过点P作PB^y轴于点B,则BF=1x2-1,444PB=x,..■△BPF中，PF=J-1[2+/=；x2+1,「PM，直线y=-1,PM=1x2+1,•.PF=PM,・./PFM=/PMF,又「PM//x轴，MFH=/PMF,•./PFM=/MFH,•.FM平分/OFP;(3)解：当^FPM是等边三角形时，/PMF=60°,FMH=30°,在RtAMFH中，MF=2FH=2X2=4,-PF=PM=FM,：x2+1=4,解得：x=±2f，，；x2=：X12=3,••.满足条件的点P的坐标为(2a,3)或(-2b,3).例1(2005年河南省)如图，RtAPMN中，/P=90°,PM=PN,MN=8cm,矩形ABCD的长和宽分别为8cm和2cm,C点和M点重合，BC和MN在一条直线上，令RtAPMN不动，矩形ABCD沿MN所在直线向右以每秒1cm的速度2移动(如图)，直到C点与N点重合为止，设移动x秒后，矩形ABCD与△PMN重叠部分的面积为ycm，求y与x之间的函数关系式。aa>nUMCN解：在Rt^PMN中，•••PM=PN,/P=90°PMN"PNM=45延长AD分别交PM、PN于点G、H,过G作GF^MN于F,过H作HT，MN于T。DC=2cm,MF=GF=2cm,TN=HT=2cm1.MN=8cm,1.MT=6cm

因此，矩形ABCD因此，矩形ABCD以每秒1cm的速度由开始向右移动到停止，和Rt^PMN重叠部分的形状可分为下列三种情况:TOC\o"1-5"\h\z图1-1图1-2(1)当C点由M点运动到F点的过程中(0MxW2)如图1-1所示，设CD与PM交于点E,则重叠部分图形12是RtAMCE,且MC=EC=x,y=—MC，EC=—x2(0<x<2)(2)当C点由F点运动到T点的过程中2(2<x<6),如图1-2所示，重叠部分图形是直角梯形MCDG，.;MC=x,MF=2,二FC=DG=x—2,且1DC=2,y=—(MC+GD)DC=2x—2,(2<x<6)(3)当C点由T点运动到N点的过程中(6<xW8),如图1-32所示，设CD与PN交于点Q,则重叠部分图形是五边形MCQHG。MCCN且DC=CQ=8-x二21.y=-(MNGH)DC--CNCQ2=-l(x-8)22+MCCN且DC=CQ=8-x二21.y=-(MNGH)DC--CNCQ2=-l(x-8)22+12,(6<x<8)(09湖南邵阳)如图，直线l的解析式为y=-x+4,它与x轴、y轴分别相交于A、B两点.平行于直线从原点O出发，沿x轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动，它与x轴、y轴分别相交于M、N两点,为t秒(0VtW4).(1)求A、B两点的坐标；(2)用含t的代数式表示△MON的面积Si；(3)以MN为对角线作矩形OMPN,记^MPN和△OAB重合部分的面积为⑤，①当2vtW4时，试探究l的直线m运动时间S2与t之间的函数关系式；②在直线&为乙OAB的面积的—?16m的运动过程中，当t为何值时,mNOM4.解：(1)当x=0时，y=4；当y=0时，x=4.TOC\o"1-5"\h\z•.A(4,0),B(0,4);2分•••MN//AB,0M=OA=1ONOB.-.OM=ON=t.••Si=-OMON=-t2；4分22(3)①当2vtW4时，易知点P在△OAB的外面，且点P的坐标为(t,t).设PN、PM与直线l分别相交于E、F两点，如图2.

一一41x=t则F点的坐标满足j即F(t,4-t).y=-t+4同理可得E(4-t,t),则PF=PE=|t-(4-t)|=2t-4.，S2=Sapnm—SaPEF=$MON—SAPEF=1t2-1PEPF=1t2-1(2t-4)2=-2t2+8t-8;TOC\o"1-5"\h\z222228分②Saoab=1x4x4=82、1’12当vt<2时，S2=1t.2由题意，得lt2=-x8=-.2162解得ti=-75<0,ti=75>2,均不合题意，舍去；•当2<tw4时，S2=-3t2+8t-8=5.2解得t3=—,L=3.综上所述，当t=7或t=3时，⑤为^OAB的面积的色31610分12分DE：4,△1.(2012湖南娄底10分)如图13,在△ABC中，ABAC/B=30°,BC8,D在边BC上，E在线段DC上,DEF是等边三角形，边DF交边AB于点M边EF交边AC于点10分12分DE：4,△(1)求证：△BMDACNE(2)当BD为何值时，以M为圆心，以MF为半径白^圆与BC相切？(3)设BD=x,五边形ANED画面积为y,求y与x之间的函数解析式(要求写出自变量x的取值范围)何值时，y有最大值？并求y的最大值.FED=Z【答案】(1)AB=AC,.B=/C.2DEF是等边三角形，・./FDE=/FED,而/FDE=/B+/DMB,FED=ZC+/ENC/DMB=/ENC△BMD^ACNE(2)设BD=x,贝UDM=x,TOC\o"1-5"\h\z作MH，DE于点H,得MH=Y3x,MF=4—x,又由题设知MH=MF得^3x=4—x,解得x=16—8百_22・•・当BD=16-8出时，以M为圆心，以MF为半径的圆与BC相切—(4-x)2=4内x22、、3x通—(4-x)2=4内x22、、3x通.w_cQQ163、,2•・y=SAABC—SaBDM—SaECN=_73一x34由M、N分别在线段3x由M、N分别在线段3x•383-x)::3AB、AC上得，BM<AB,CN<AC,得…48解得一＜x＜一,,,…………103当x=2时，y有取大值，取大值为333.（2014?广东梅州，第23题11分）如图，已知抛物线y=x2-x-3与x轴的交点为A、D（A在D的右侧），与y轴的交点为C.（1）33.（2014?广东梅州，第23题11分）如图，已知抛物线y=x2-x-3与x轴的交点为A、D（A在D的右侧），与y轴的交点为C.（1）直接写出A、D、C三点的坐标；（2）若点M在抛物线上，使得4MAD的面积与ACAD的面积相等，求点M的坐标；（3）设点C关于抛物线对称轴的对称点为B,在抛物线上是否存在点巳使彳导以A、B、C、P四点为顶点的四边形为梯形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.-2解：(1)y=x-x-3,当y=0时，x2-x-3=0,解得x1=—2,x2=4.当x=0,y=-3.二.A点坐标为（4,0),D点坐标为(-2,0),C点坐标为(0,-3);(2)-.y=x2-x-3,，对称轴为直线3x=—^-=1.•••AD在x轴上，点M在抛物线上,-1・•・当4MAD的面积与ACAD的面积相等时，分两种情况:①点M在x轴下方时，根据抛物线的对称性，可知点M与点C关于直线x=1对称,.「C点坐标为（0,-3）,M点坐标为（2,-3）;②点M在x轴上方时，根据三角形的等面积法，可知M点至ijx轴的距离等于点C到x轴的距离3.当y=4时，x2-x-3=3,解得x1=1+V17,x2=1V17,M点坐标为（1+、/诉，3）或（1-5亍，3）.综上所述，所求M点坐标为（2,-3）或（1+旧，3）（3）结论：存在.如图所示，在抛物线上有两个点P满足题意：①若BC//AP1,此时梯形为ABCP1.由点C关于抛物线对称轴的对称点为B,可知BC//x轴，则P1与D点重合,•.P1(-2,0).・•・P1A=6,BC=2,P1A汨C,二.四边形ABCP1为梯形；②若AB//CP2,此时梯形为ABCP2..「A点坐标为（4,0）,B点坐标为（2,-3）,••・直线AB的解析式为y=x-6,.•・可设直线CP