控制测量电子教案：7-9大地主题解算平均引数公式

PAGE§7.9大地主题解算的高斯平均引数公式7.9.1大地主题解算的一般概念椭球面上点的大地经度L、大地纬度B、两点间的大地线长度S及其正、反大地方位角，通称为大地元素。如果知道某些大地元素推求另一些大地元素，这样的问题就叫大地主题解算（有正算和反算）。如图所示，已知P1点的大地坐标（），P1至P2点的大地线长S及其大地方位角，计算P2点的大地坐标（）和大地线S在P2点的反方位角，这类问题叫做大地主题正解。如果已知P1和P2点的大地坐标（）和（），计算P1至P2点的大地线长S及其正、反大地方位角和，这类问题叫做大地主题反解。大地主题正解和反解（大地测量主题），从解析意义来讲，就是研究大地极坐标与大地坐标间的相互变换。大地测量主题的用途：天文大地测量中计算一等点的经纬度；空间技术和航空、航海、国防等科学技术。大地测量主题分类：=1\*GB3①以解算距离分为短距离（400KM以内）、中距离（400--1000KM）、长距离（1000KM以上）；=2\*GB3②以解算方法分为直接解法和间接解法两种。直接解法的基本思想：直接解算极三角形P1NP2，如正算问题时，已知数据是边长S、及角，由三角形解算可得到另外的元素，进而直接求出未知端点的经纬度与方位角，常用的方法是白塞尔(Bessel)法。间接解法的基本思想：利用椭球面上的大地线微分方程，解出经纬度差以及方位角之差（不是直接求出未知端点的经纬度与方位角）（7-112）再求出未知量，，，(7-113)常用的方法为高斯平均引数公式。一百多所来，许多测量学者提出了种类繁多的解算公式和方法（70余种），本节只介绍大地主题解算的典型公式——高斯平均引数公式。7.9.2勒让德尔级数式1806年法国数学家勒让德尔（Legendre）提出。上图所示，在过已知点且在该点处大地方位角为的大地线S上，任意一点的大地坐标及其方位角必是大地线长度S的函数，,，(7-114)显然，当S=0时，这些函数值分别等于点的相应数值，，(7-115)因此，我们可在已知点点（S=0）上按麦克劳林级数公式将和点的纬度差、经度差及方位角之差展开为大地线长度S的幂级数，(7-116)(7-117)(7-118)式中下标”1”的各阶导数表示其值按S=0时，来计算。由此可知，若计算的级数展开式，关键是求各阶导数。其中一阶导数就是大地坐标系中大地线微分方程，由§7.5节可知， (7-119) 以上式为基础，可依次求得其它高阶导数。于是对二阶导数，而因此(7-120)而代入前式整理得，(7-121)用类似方法可得(7-122)（7-123）(7-124)（7-125）将(7-119)-(7-125)式中各阶导数分别代入(7-116)(7-117)(7-118)式中，引用符号,并顾及及第4、5阶导数，则得出勒让德尔级数式如下：(7-126)(7-127)(7-128)勒让德尔级数是大地主题正算的一组基本公式，仅适用于边长短于30公里的情况。因为边长较长的话级数收敛很慢，且计算工作复杂。后来博尔茨(H.Boltz)对级数中u、v及它们各次幂之积的系数作了改化，使之成为带有的升幂和为正整数)的级数式，并编制了计算作表，使勒让德尔级数成为手算实用公式。同时，赫里斯托夫（Hristow）、史赖伯等也对级数系数进行了改化，并编制了相应的计算用表或公式。为解算大地主题，高斯于1846年对勒让德尔级数也进行了改化，提出了以大地线两端点平均纬度及平均方位角为依据的高斯平均引数公式，它具有级数收敛快、公式项数少、精度高、计算较为简便、使用范围广等优点。7.9.3高斯平均引数正算公式推导的基本思想：首先把勒让德尔级数在P1点展开改在大地线长度中点M展开，以使级数公式项数减少、收敛快、精度高；其次考虑到求定中点M的复杂性，将M点用大地线两端点平均纬度及平均方位角相对应的m点来代替，并借助迭代计算，便可顺利地实现大地主题正解。如图所示，设点M是大地线的中点，即点M到点的大地线长度相等：(7-129)式中正负号以大地线的方向为准。M点经、纬度为，在M点处的大地线的大地方位角为。分别对写出与（7-116）形式相同的展开式如下：(7-130)(7-131)两式相减得：(7-132)同理有(7-133)(7-134)由此可知，用大地线中点M的纬度和大地方位角来计算各阶导数值，两项已达到四项精度。然而由于和均为未知，不能直接解算，为此引进点平均纬度和平均方位角相对应的m点代替M点，此时有(7-135)显然但其差异很小，因为将式(7-132)和式(7-134)相加除以2得(7-136)同理有(7-137)可见它们之差均属二次微小量，因此如能设法将(7-132)—（7-134)式中以为依据的导数值改化为以为依据的导数值，问题就得到解决。下面以为例进行推导。由于是以B和A的函数，因此有，(7-138)将上式以为依据展开级数(7-139)(7-140)下面分别求出上式右边各项。第一项、由大地线微分方程知(7-141)第二项(7-142)第三项(7-143)第四项由于是二次微小量，故略去证明，直接用代替。因此（7-136）(7-137)式有(7-144)(7-145)将(7-141)(7-145)式代入(7-140)式得按计算的公式(7-146)考虑(7-132)式右边第二项导数值时，根据以上的分析可直接用代替，于是有+5次项（7-147）最后将(7-146)(7-147)式代入(7-132)式，经整理得高斯平均引数正算公式(7-148)仿上可得：(7-149)(7-150)以上三式保证了四次项的精度，可解算120公里主题问题。当距离小于70公里时，上述各式中的项可略去，若设主项：,(7-151)则得简化公式（7-152）高斯平均引数公式，结构比较简单、精度较高。从公式可知,欲求，必先有。但由于未知，故精确值尚不知，为此须用逐次趋近的迭代方法进行公式的计算。一般主项趋近3次，改正项趋近1～2次就可满足要求。7.9.4高斯平均引数反算公式大地主题反算是已知两端点的经、纬度，反求两点间的大地线长度S及正、反大地方位角。这时由于经差、纬差及平均纬度均为已知，故可依正算公式很容易导出反算公式。由(7-149)式及(7-148)式分别移项，经整理可得：(7-153)(7-154)上两式右端第二项含有，它们可用其主式代换，即，（7-155）将上式代入前两式，并按集项，得(7-156)式中各系数为，，，，(7-157)将(7-156)(7-157)式代入(7-150)式，经整理得（7-158）式中，(7-159)求出和以后，按下式计算大地线长度S及正、反方位角(7-160)由此求得后，进而求(7-161)上述公式同正算一样，保证了四次项精度，可用于120KM以下的反算。当距离小于70KM时，可由简式(7-152)式写出(7-162)式中精密方位角之差按(7-150)式