《14-简单计数问题》-课件-1-优质公开课-北师大选修2-3

《1.4简单计数问题》课件1第一章1.1.1集合的概念《1.4简单计数问题》课件1第一章1.1.1集合的概知能自主梳理2学习方法指导3思路方法技巧4建模应用引路5探索延拓创新6易错辨误警示7课堂巩固训练8课后强化作业9知能目标解读1知能自主梳理2学习方法指导3思路方法技巧4建模应用引路5探索知能目标解读知能目标解读能选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理，应用有关排列、组合的知识解决一些简单的实际问题．本节重点：两个计数原理、排列组合知识．本节难点：用好两个计数原理和排列、组合的知识．能选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理，应用有关排列、组合知能自主梳理知能自主梳理一一对应一一对应《14-简单计数问题》-课件-1-优质公开课-北师大选修2-33．排列应用题的最基本的解法有：直接法：以______为考察对象，先满足________的要求，再考虑__________(又称元素分析法)；或以位置为考察对象，先满足________的要求，再考虑________(又称位置分析法)．4．间接法：先不考虑附加条件，计算出__________________，再减去__________________________．元素特殊元素其他位置特殊位置其他位置全部元素的排列顺序不符合要求的元素的排列顺序3．排列应用题的最基本的解法有：元素特殊元素其他位置特殊位置5．解排列组合综合问题，应遵循三大原则：先______后一般，先分组后排列，先______后分步的原则．充分考虑元素的性质，进行合理的分类和分步．寻找并理解“关键词”的含义及其等价问题，善于将实际问题转化为________的基本模型．在解题过程中要特别注意培养思维的条理性、深刻性和灵活性．特殊分类排列组合5．解排列组合综合问题，应遵循三大原则：先______后一般学习方法指导学习方法指导1．解决计数问题首先要认真审题，明确“完成一件事”的具体含义是什么，以及完成这件事需要“分类”还是“分步”，还要弄清楚问题的解决与“顺序”有无关系，以确定是排列问题(有序)，组合问题(无序)，还是排列与组合的混合问题．解决计数问题的主导思想是两个计数原理．在具体的计数过程中，要明确排列数和组合数的意义．一般地，在实际操作中往往是“步”与“类”交叉，有机结合，可以是类中有步，也可以是步中有类．1．解决计数问题首先要认真审题，明确“完成一件事”的具体含义计数问题的解题思路，可以概括为：审明题意，排组分清；合理分类，用准加乘；周密思考，防漏防重；直接间接，思路可循；元素位置，特殊先行；一题多解，检验真伪．一般地，解计数问题，通常有以下策略：(1)以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素．(2)以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置．(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不符合条件的排列数或组合数．计数问题的解题思路，可以概括为：审明题意，排组分清；合理分类2．处理排列组合的综合性问题，一般思想方法是先选元素，后排列，两个原理是解排列组合问题的最根本的出发点．按元素的性质“分类”和按事件发生的连续过程“分步”，始终是处理排列组合问题的基本方法和原理，通过解题训练要注意积累分类和分步的基本技能．运用分类加法计数原理时，要恰当选择分类标准，做到不重不漏．运用分步乘法计数原理时，要确定好次序，注意步与步之间的连续性与独立性．2．处理排列组合的综合性问题，一般思想方法是先选元素，后排列3．解排列组合应用题的策略(1)特殊元素优先安排的策略；(2)合理分类与准确分步的策略；(3)排列、组合混合问题先选后排的策略；(4)正难则反、等价转化的策略；(5)相邻问题捆绑处理的策略；(6)不相邻问题插空处理的策略；(7)定序问题除法处理的策略；(8)分排问题直排处理的策略；(9)“小集团”排列问题中先整体后局部的策略；(10)构造模型的策略．3．解排列组合应用题的策略思路方法技巧思路方法技巧

如图所示，现有4种颜色给四川、青海、西藏、云南四省(区)的地图染色，每一个省(区)只染一种颜色，要求相邻的省(区)染不同的色，则不同的染色方法有多少种？与染色有关的计数问题 如图所示，现有4种颜色给四川、青海、西藏、云南四省(区)的[分析]

可以根据所用颜色种数对所染元素进行分类染色，也可根据据所需染色元素进行分类，逐个染色．[分析]可以根据所用颜色种数对所染元素进行分类染色，也可根《14-简单计数问题》-课件-1-优质公开课-北师大选修2-3[点评]

本题考查计数原理与排列数公式的应用，常分为对点、线段的染色和对区域的染色两类，对点、线段的染色要注意依次染色，主要方法有：①根据共用了多少种颜色分类讨论；②根据相对的点或线段是否同色讨论，对区域的染色可以根据所用颜色种数对区域进行染色，也可以对各区域逐个分步染色．[点评]本题考查计数原理与排列数公式的应用，常分为对点、线(2013·晋中市祁县二中高二期末)如图，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A、B、C、D中，(四种颜色可以不全用也可以全用)要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有(

)A．72种 B．48种C．24种 D．12种ABCD(2013·晋中市祁县二中高二期末)如图，用4种不同的颜色涂[答案]

A[答案]A建模应用引路建模应用引路

四面体的4个顶点和各棱中点，这10个点最多可确定多少个四面体？几何元素的计数问题 四面体的4个顶点和各棱中点，这10个点最多可确定多少个四面[点评]

注意不要漏掉第二种和第三种情况．[点评]注意不要漏掉第二种和第三种情况．如果把2条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有________对(用数字作答)．[分析]

由于6条侧棱共点，6条底边共面，故异面直线只能是侧棱与底边相搭配．如果把2条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直《14-简单计数问题》-课件-1-优质公开课-北师大选修2-3[点评]

从上述解答过程可知，直接法比简接法要简单．解题时，先分析题意，需找直接解法，若情况较多，不易计算，则从反面入手．[点评]从上述解答过程可知，直接法比简接法要简单．解题时，探索延拓创新探索延拓创新

有10个三好学生名额，分配到高三年级六个班中，每班至少一名，共有多少种不同分法？利用“隔板法”解决分配问题 有10个三好学生名额，分配到高三年级六个班中，每班至少一名《14-简单计数问题》-课件-1-优质公开课-北师大选修2-3有10个相同的小球装入3个编号分别为1,2,3的盒子中(每次要将10个球装完)，要求盒子里球的个数不小于盒子的编号数，这样的做法种数是________．[答案]

15有10个相同的小球装入3个编号分别为1,2,3的盒子中(每次《14-简单计数问题》-课件-1-优质公开课-北师大选修2-3[点评]

解答本题使用“隔板法”的关键是如何使盒子里球的个数不小于盒子的编号数，进而使题设条件转化为使用“隔板法”的条件．《14-简单计数问题》-课件-1-优质公开课-北师大选修2-3

某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人，有多少种不同的选法？[分析]

由题意知有1人既会英语又会日语．在选择2人时，可根据只会英语的人进行分类完成．[解析]

由题意得有1人既会英语又会日语，6人只会英语，2人只会日语．第一类：从只会英语的6人中选1人说英语有6种方法，则会日语的有2＋1＝3(种)．此时共有6×3＝18(种)．含有双重元素的组合问题 某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英第二类：不从只会英语的6人中选1人说英语有1种方法，此时选会日语的有2种．故共有1×2＝2(种)方法．所以由分类计数原理知共有18＋2＝20(种)选法．[点评]

两个原理的区别在于：前者每次得到的是最后结果，后者每次得到的是中间结果，即每次仅完成整件事情的一部分，当且仅当几个步骤全部做完后，整件事情才算完成．第二类：不从只会英语的6人中选1人说英语有1种方法，此时选会车间有11名工人，其中5名男工是钳工，4名女工是车工，另外两名老师傅既能当车工又能当钳工．现在要在这11名工人中选派4名钳工、4名车工修理一台机床，有多少种选派方法？[分析]

把11名工人按男钳工、女车工和老师傅分为三类，然后根据要求在每一类中选取所需人数．车间有11名工人，其中5名男工是钳工，4名女工是车工，另外两《14-简单计数问题》-课件-1-优质公开课-北师大选修2-3《14-简单计数问题》-课件-1-优质公开课-北师大选修2-3[点评]

本题考查两个计数原理和组合数公式，对于含有双重元素的组合问题，先把元素进行分类，然后根据题意在每一类中选取元素．一般都选择元素个数较少的一类作为基准来分类选取，这样可以减少分类情况，方便运算．《14-简单计数问题》-课件-1-优质公开课-北师大选修2-3

七个人站成一排，其中甲在乙前(不一定相邻)，乙在丙前，则共有多少种不同的站法？排列中的定序问题 七个人站成一排，其中甲在乙前(不一定相邻)，乙在丙前，则共《14-简单计数问题》-课件-1-优质公开课-北师大选修2-3《14-简单计数问题》-课件-1-优质公开课-北师大选修2-3某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，工程丁必须在工程丙完成后才能进行．那么安排这6项工程的不同排法种数是________(用数字作答)．[答案]

30某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后《14-简单计数问题》-课件-1-优质公开课-北师大选修2-3《14-简单计数问题》-课件-1-优质公开课-北师大选修2-3易错辨误警示易错辨误警示

从1～9的9个数字中，取出5个数字作排列，并把五个位置自右至左编号，则奇数数字必在奇数位置上的排列有多少个？ 从1～9的9个数字中，取出5个数字作排列，并把五个位置自右《14-简单计数问题》-课件-1-优质公开课-北师大选修2-3《14-简单计数问题》-课件-1-优质公开课-北师大选修2-3[点评]

致错原因是没有仔细审查题意，误以为“奇数位置上必是奇数”．而题设“奇数数字必在奇数位置上”是指：①如果有奇数数字，则它们必须在奇数位置上；②如果奇数数字不是3个，甚至没有时，则奇数位置上也可以不是奇数；③偶数位置上一定是偶数．[点评]致错原因是没有仔细审查题意，误以为“奇数位置上必是

从4位男同学和6位女同学中选出5人组成一个学习兴趣小组，若至少要2位男同学参加，有多少种选法？ 从4位男同学和6位女同学中选出5人组成一个学习兴趣小组，若《14-简单计数问题》-课件-1-优质公开课-北师大选修2-3课堂巩固训练课堂巩固训练一、选择题1．从5名男生和5名女生中选3人组队参加某集体项目的比赛，其中至少有一名女生入选的组队方案数为(

)A．100

B．110C．120 D．130[答案]

B一、选择题2．(2014·山西太原五中月考)如果小明在某一周的第一天和第七天分别吃了3个水果，且从这周的第二天开始，每天所吃水果的个数与前一天相比，仅存在三种可能：或“多一个”或“持平”或“少一个”，那么，小明在这一周中每天所吃水果个数的不同选择方案共有(

)A．50种 B．51种C．140种 D．141种[答案]

D2．(2014·山西太原五中月考)如果小明在某一周的第一天和3．由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是(

)A．72 B．96C．108 D．144[答案]

C3．由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5二、填空题4．(2010·浙江理)有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复．若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测试一人，则不同的安排方式共有________种(用数字作答)．[答案]

264二、填空题《14-简单计数问题》-课件-1-优质公开课-北师大选修2-35．甲、乙、丙三人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是________(用数字作答)．[答案]

3365．甲、乙、丙三人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人三、解答题6．某人手中有5张扑克牌，其中2张为不同花色的2,3张为不同花色的A，他有5次出牌机会，每次只能出一种点数的牌，但张数不限，此人有多少种不同的出牌方法？[分析]

由于张数不限，两张2,3张A可以一起出，亦可分几次出，故考虑按此分类．《14-简单计数问题》-课件-1-优质公开课-北师大选修2-3《14-简单计数问题》-课件-1-优质公开课-北师大选修2-3《14-简单计数问题》-课件-1-优质公开课-北师大选修2-3课后强化作业课后强化作业《1.4简单计数问题》课件1第一章1.1.1集合的概念《1.4简单计数问题》课件1第一章1.1.1集合的概知能自主梳理2学习方法指导3思路方法技巧4建模应用引路5探索延拓创新6易错辨误警示7课堂巩固训练8课后强化作业9知能目标解读1知能自主梳理2学习方法指导3思路方法技巧4建模应用引路5探索知能目标解读知能目标解读能选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理，应用有关排列、组合的知识解决一些简单的实际问题．本节重点：两个计数原理、排列组合知识．本节难点：用好两个计数原理和排列、组合的知识．能选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理，应用有关排列、组合知能自主梳理知能自主梳理一一对应一一对应《14-简单计数问题》-课件-1-优质公开课-北师大选修2-33．排列应用题的最基本的解法有：直接法：以______为考察对象，先满足________的要求，再考虑__________(又称元素分析法)；或以位置为考察对象，先满足________的要求，再考虑________(又称位置分析法)．4．间接法：先不考虑附加条件，计算出__________________，再减去__________________________．元素特殊元素其他位置特殊位置其他位置全部元素的排列顺序不符合要求的元素的排列顺序3．排列应用题的最基本的解法有：元素特殊元素其他位置特殊位置5．解排列组合综合问题，应遵循三大原则：先______后一般，先分组后排列，先______后分步的原则．充分考虑元素的性质，进行合理的分类和分步．寻找并理解“关键词”的含义及其等价问题，善于将实际问题转化为________的基本模型．在解题过程中要特别注意培养思维的条理性、深刻性和灵活性．特殊分类排列组合5．解排列组合综合问题，应遵循三大原则：先______后一般学习方法指导学习方法指导1．解决计数问题首先要认真审题，明确“完成一件事”的具体含义是什么，以及完成这件事需要“分类”还是“分步”，还要弄清楚问题的解决与“顺序”有无关系，以确定是排列问题(有序)，组合问题(无序)，还是排列与组合的混合问题．解决计数问题的主导思想是两个计数原理．在具体的计数过程中，要明确排列数和组合数的意义．一般地，在实际操作中往往是“步”与“类”交叉，有机结合，可以是类中有步，也可以是步中有类．1．解决计数问题首先要认真审题，明确“完成一件事”的具体含义计数问题的解题思路，可以概括为：审明题意，排组分清；合理分类，用准加乘；周密思考，防漏防重；直接间接，思路可循；元素位置，特殊先行；一题多解，检验真伪．一般地，解计数问题，通常有以下策略：(1)以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素．(2)以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置．(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不符合条件的排列数或组合数．计数问题的解题思路，可以概括为：审明题意，排组分清；合理分类2．处理排列组合的综合性问题，一般思想方法是先选元素，后排列，两个原理是解排列组合问题的最根本的出发点．按元素的性质“分类”和按事件发生的连续过程“分步”，始终是处理排列组合问题的基本方法和原理，通过解题训练要注意积累分类和分步的基本技能．运用分类加法计数原理时，要恰当选择分类标准，做到不重不漏．运用分步乘法计数原理时，要确定好次序，注意步与步之间的连续性与独立性．2．处理排列组合的综合性问题，一般思想方法是先选元素，后排列3．解排列组合应用题的策略(1)特殊元素优先安排的策略；(2)合理分类与准确分步的策略；(3)排列、组合混合问题先选后排的策略；(4)正难则反、等价转化的策略；(5)相邻问题捆绑处理的策略；(6)不相邻问题插空处理的策略；(7)定序问题除法处理的策略；(8)分排问题直排处理的策略；(9)“小集团”排列问题中先整体后局部的策略；(10)构造模型的策略．3．解排列组合应用题的策略思路方法技巧思路方法技巧

如图所示，现有4种颜色给四川、青海、西藏、云南四省(区)的地图染色，每一个省(区)只染一种颜色，要求相邻的省(区)染不同的色，则不同的染色方法有多少种？与染色有关的计数问题 如图所示，现有4种颜色给四川、青海、西藏、云南四省(区)的[分析]

可以根据所用颜色种数对所染元素进行分类染色，也可根据据所需染色元素进行分类，逐个染色．[分析]可以根据所用颜色种数对所染元素进行分类染色，也可根《14-简单计数问题》-课件-1-优质公开课-北师大选修2-3[点评]

本题考查计数原理与排列数公式的应用，常分为对点、线段的染色和对区域的染色两类，对点、线段的染色要注意依次染色，主要方法有：①根据共用了多少种颜色分类讨论；②根据相对的点或线段是否同色讨论，对区域的染色可以根据所用颜色种数对区域进行染色，也可以对各区域逐个分步染色．[点评]本题考查计数原理与排列数公式的应用，常分为对点、线(2013·晋中市祁县二中高二期末)如图，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A、B、C、D中，(四种颜色可以不全用也可以全用)要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有(

)A．72种 B．48种C．24种 D．12种ABCD(2013·晋中市祁县二中高二期末)如图，用4种不同的颜色涂[答案]

A[答案]A建模应用引路建模应用引路

四面体的4个顶点和各棱中点，这10个点最多可确定多少个四面体？几何元素的计数问题 四面体的4个顶点和各棱中点，这10个点最多可确定多少个四面[点评]

注意不要漏掉第二种和第三种情况．[点评]注意不要漏掉第二种和第三种情况．如果把2条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有________对(用数字作答)．[分析]

由于6条侧棱共点，6条底边共面，故异面直线只能是侧棱与底边相搭配．如果把2条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直《14-简单计数问题》-课件-1-优质公开课-北师大选修2-3[点评]

从上述解答过程可知，直接法比简接法要简单．解题时，先分析题意，需找直接解法，若情况较多，不易计算，则从反面入手．[点评]从上述解答过程可知，直接法比简接法要简单．解题时，探索延拓创新探索延拓创新

有10个三好学生名额，分配到高三年级六个班中，每班至少一名，共有多少种不同分法？利用“隔板法”解决分配问题 有10个三好学生名额，分配到高三年级六个班中，每班至少一名《14-简单计数问题》-课件-1-优质公开课-北师大选修2-3有10个相同的小球装入3个编号分别为1,2,3的盒子中(每次要将10个球装完)，要求盒子里球的个数不小于盒子的编号数，这样的做法种数是________．[答案]

15有10个相同的小球装入3个编号分别为1,2,3的盒子中(每次《14-简单计数问题》-课件-1-优质公开课-北师大选修2-3[点评]

解答本题使用“隔板法”的关键是如何使盒子里球的个数不小于盒子的编号数，进而使题设条件转化为使用“隔板法”的条件．《14-简单计数问题》-课件-1-优质公开课-北师大选修2-3

某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人，有多少种不同的选法？[分析]

由题意知有1人既会英语又会日语．在选择2人时，可根据只会英语的人进行分类完成．[解析]

由题意得有1人既会英语又会日语，6人只会英语，2人只会日语．第一类：从只会英语的6人中选1人说英语有6种方法，则会日语的有2＋1＝3(种)．此时共有6×3＝18(种)．含有双重元素的组合问题 某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英第二类：不从只会英语的6人中选1人说英语有1种方法，此时选会日语的有2种．故共有1×2＝2(种)方法．所以由分类计数原理知共有18＋2＝20(种)选法．[点评]

两个原理的区别在于：前者每次得到的是最后结果，后者每次得到的是中间结果，即每次仅完成整件事情的一部分，当且仅当几个步骤全部做完后，整件事情才算完成．第二类：不从只会英语的6人中选1人说英语有1种方法，此时选会车间有11名工人，其中5名男工是钳工，4名女工是车工，另外两名老师傅既能当车工又能当钳工．现在要在这11名工人中选派4名钳工、4名车工修理一台机床，有多少种选派方法？[分析]

把11名工人按男钳工、女车工和老师傅分为三类，然后根据要求在每一类中选取所需人数．车间有11名工人，其中5名男工是钳工，4名女工是车工，另外两《14-简单计数问题》-课件-1-优质公开课-北师大选修2-3《14-简单计数问题》-课件-1-优质公开课-北师大选修2-3[点评]

本题考查两个计数原理和组合数公式，对于含有双重元素的组合问题，先把元素进行分类，然后根据题意在每一类中选取元素．一般都选择元素个数较少的一类作为基准来分类选取，这样可以减少分类情况，方便运算．《14-简单计数问题》-课件-1-优质公开课-北师大选修2-3

七个人站成一排，其中甲在乙前(不一定相邻)，乙在丙前，则共有多少种不同的站法？排列中的定序问题 七个人站成一排，其中甲在乙前(不一定相邻)，乙在丙前，则共《14-简单计数问题》-课件-1-优质公开课-北师大选修2-3《14-简单计数问题》-课件-1-优质公开课-北师大选修2-3某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，工程丁必须在工程丙完成后才能进行．那么安排这6项工程的不同排法种数是________(用数字作答)．[答案]

30某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后《14-简单计数问题》-课件-1-优质公开课-北师大选修2-3《14-简单计数问题》-课件-1-优质公开课-北师大选修2-3易错辨误警示易错辨误警示

从1～9的9个数字中，取出5个数字作排列，并把五个位置自右至左编号，则奇数数字必在奇数位置上的排列有多少个？ 从1～9的9个数字中，取出5个数字作排列，并把五个位置自右《14-简单计数问题》-课件-1-优质公开课-北师大选修2-3《14-简单计数问题》-课件-1-优质公开课-北师大选修2-3[点评]

致错原因是没有仔细审查题意，误以为“奇数位置上必是奇数”．而题设“奇数数字必在奇数位置上”是指：①如果有奇数数字，则它们必须在奇数位置上；②如果奇数数字不是3个，甚至没有时，则奇数位置上也可以不是奇数；③偶数位置上一定是偶数．[点评]致错原因是没有仔细审查题意，误以为“奇数位置上必是

从4位男同学和6位女同学中选出5人组成一个学习兴趣小组，