最新高三数学课标一轮复习课件：53-平面向量的数量积课件

5.3平面向量的数量积5.3平面向量的数量积-2--2--3-知识梳理双击自测1.平面向量的数量积(1)定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,则数量|a||b|cosθ叫作a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cos

θ

,规定零向量与任一向量的数量积为0,即0·a=0.

(2)几何意义:数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积.2.平面向量数量积的运算律(1)a·b=b·a(交换律).(2)λa·b=λ(a·b)=a·(λb)(结合律).(3)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).-3-知识梳理双击自测1.平面向量的数量积-4-知识梳理双击自测3.平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ为向量a,b的夹角.(1)数量积:a·b=|a||b|cosθ=x1x2+y1y2

.

(5)已知两非零向量a与b,a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0

;a∥b⇔a·b=±|a||b|.

(6)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2+y1y2|-4-知识梳理双击自测3.平面向量数量积的性质及其坐标表示(-5-知识梳理双击自测1.向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a=(

)A.-1 B.0C.1 D.2答案解析解析关闭因为2a+b=2(1,-1)+(-1,2)=(1,0),所以(2a+b)·a=(1,0)·(1,-1)=1.故选C.答案解析关闭C-5-知识梳理双击自测1.向量a=(1,-1),b=(-1,-6-知识梳理双击自测2.(教材改编)已知|a|=3,|b|=4,且向量a与b的夹角为135°,则a·b=

.

答案解析解析关闭答案解析关闭-6-知识梳理双击自测2.(教材改编)已知|a|=3,|b|-7-知识梳理双击自测3.(2017课标Ⅲ高考)已知向量a=(-2,3),b=(3,m),且a⊥b,则m=

.

答案解析解析关闭由题意可得:-2×3+3m=0,解得m=2.答案解析关闭2-7-知识梳理双击自测3.(2017课标Ⅲ高考)已知向量a=-8-知识梳理双击自测4.(教材改编)已知|a|=5,|b|=4,a与b的夹角θ=120°,则向量b在向量a方向上的投影为

.

答案解析解析关闭由数量积的定义知,b在a方向上的投影为|b|cosθ=4×cos120°=-2.答案解析关闭-2-8-知识梳理双击自测4.(教材改编)已知|a|=5,|b|-9-知识梳理双击自测5.已知a=(2,-1),b=(λ,3),若a与b的夹角为钝角,则λ的取值范围是

.

答案解析解析关闭答案解析关闭-9-知识梳理双击自测5.已知a=(2,-1),b=(λ,3-10-知识梳理双击自测自测点评1.对于两个非零向量a与b,由于当θ=0°时,a·b>0,所以a·b>0是两个向量a,b夹角为锐角的必要而不充分条件;a·b=0也不能推出a=0或b=0,因为a·b=0时,有可能a⊥b.2.在实数运算中,若a,b∈R,则|ab|=|a|·|b|;若a·b=a·c(a≠0),则b=c.但对于向量a,b却有|a·b|≤|a|·|b|;若a·b=a·c(a≠0),则b=c不一定成立.原因是a·b=|a||b|cos

θ,都是cos

θ

“惹的祸”.3.向量数量积的运算不满足乘法结合律,即(a·b)·c不一定等于a·(b·c),这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量,而a·(b·c)表示一个与a共线的向量,而c与a不一定共线.-10-知识梳理双击自测自测点评-11-考点一考点二考点三平面向量数量积的运算(考点难度★★)-2-11-考点一考点二考点三平面向量数量积的运算(考点难度★★-12-考点一考点二考点三法二

建立如图所示的平面直角坐标系,-12-考点一考点二考点三法二建立如图所示的平面直角坐标系-13-考点一考点二考点三答案解析解析关闭答案解析关闭-13-考点一考点二考点三答案解析解析关闭答案解析关-14-考点一考点二考点三方法总结向量数量积的两种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即a·b=|a||b|cos<a,b>;(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2.-14-考点一考点二考点三方法总结向量数量积的两种运算方法-15-考点一考点二考点三对点训练

A.I1<I2<I3 B.I1<I3<I2C.I3<I1<I2 D.I2<I1<I3答案解析解析关闭答案解析关闭-15-考点一考点二考点三对点训练A.I1<I2<I3 B-16-考点一考点二考点三2[-9,9]解析:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=2,D是BC的中点,以CA所在的直线为x轴,以CB所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系,则A的坐标为(4,0),B的坐标为(0,2),由线段的中点坐标公式可得点D的坐标为(0,1),点E的坐标为(2,1),设点P的坐标为(x,y),-16-考点一考点二考点三2[-9,9]解析:∵在Rt△-17-考点一考点二考点三故当直线y=4x+t-7过点A(4,0)时,t取得最小值为7-16+0=-9,当直线y=4x+t-7过点B(0,2)时,t取得最大值为7-0+2=9,-17-考点一考点二考点三故当直线y=4x+t-7过点A(4-18-考点一考点二考点三平面向量数量积的性质(考点难度★★)考情分析平面向量数量积的性质是高考考查的重点和热点,运用两向量的数量积可解决长度、夹角、垂直等问题,解题时应灵活选择相应公式求解.-18-考点一考点二考点三平面向量数量积的性质(考点难度★★-19-考点一考点二考点三类型一

平面向量的模【例2】

(2017课标Ⅰ高考)已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=

.

答案解析解析关闭答案解析关闭-19-考点一考点二考点三类型一平面向量的模答案解析解-20-考点一考点二考点三类型二

平面向量的夹角

答案解析解析关闭答案解析关闭-20-考点一考点二考点三类型二平面向量的夹角答案解-21-考点一考点二考点三类型三

平面向量的垂直问题【例4】

(2017课标Ⅰ高考)已知向量a=(-1,2),b=(m,1),若向量a+b与a垂直,则m=

.

答案解析解析关闭由题得a+b=(m-1,3),因为(a+b)·a=0,所以-(m-1)+2×3=0,解得m=7.答案解析关闭7-21-考点一考点二考点三类型三平面向量的垂直问题答案-22-考点一考点二考点三方法总结1.利用数量积求解长度问题的处理方法:2.求两非零向量的夹角时要注意:数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角,数量积等于0说明两向量的夹角为直角,数量积小于0且两向量不能共线时两向量的夹角为钝角.3.证明或利用两向量的垂直关系时要注意:数量积的运算a·b=0⇔x1x2+y1y2=0.a⊥b是对非零向量而言的,若a=0,虽然有a·b=0,但不能说a⊥b.-22-考点一考点二考点三方法总结1.利用数量积求解长度问题-23-考点一考点二考点三对点训练(1)(2017浙江金华模拟)若非零向量a,b满足:a2=(5a-4b)·b,则cos<a,b>的最小值为

.

答案解析解析关闭答案解析关闭-23-考点一考点二考点三对点训练(1)(2017浙江金华模-24-考点一考点二考点三(2)(2017浙江高考样卷)设a,b,c是非零向量.若|a·c|=|b·c|=|(a+b)·c|,则(

)A.a·(b+c)=0 B.a·(b-c)=0C.(a+b)·c=0 D.(a-b)·c=0答案解析解析关闭答案解析关闭-24-考点一考点二考点三(2)(2017浙江高考样卷)设a-25-考点一考点二考点三平面向量数量积的应用(考点难度★★★)【例5】

已知向量a,b,|a|=1,|b|=2,若对任意单位向量e,均有|a·e|+|b·e|≤,则a·b的最大值是

.

答案解析解析关闭答案解析关闭-25-考点一考点二考点三平面向量数量积的应用(考点难度★★-26-考点一考点二考点三方法总结平面向量的数量积作为中学数学知识的一个交汇点,成为联系多项内容的桥梁,特别是在函数、三角函数、不等式、平面解析几何问题上的研究,更是体现了向量的工具价值.向量的坐标表示,使平面向量与直角坐标系中的点建立了一一对应的关系,构建了用“数”的运算处理“形”的问题的一种新模式.-26-考点一考点二考点三方法总结平面向量的数量积作为中学数-27-考点一考点二考点三答案解析解析关闭答案解析关闭-27-考点一考点二考点三答案解析解析关闭答案解析关-28-思想方法——函数思想与数形结合思想在数量积中的应用求向量数量积应用问题经常需要函数思想与数形结合思想.数量积相关的最值问题多采用将其表示为某一变量或某两个变量的函数,利用求函数值域的方法确定最值,体现了函数思想的运用,又多与二次函数与基本不等式相联系;另一方面与数量积相关的问题如果几何意义较明显,可以根据条件,利用向量的线性运算的几何意义,依据图形通过数形结合求最值.-28-思想方法——函数思想与数形结合思想在数量积中的应用-29--29--30--30--31--31--32--32--33--33--34-答题指导上面两题分别从代数和几何两个方面入手得到最值.在解决向量数量积的相关问题时,我们可以从这两个方面入手思考问题.高分策略1.|a·b|≤|a|·|b|当且仅当a∥b时等号成立.这是因为|a·b|=|a||b||cos

θ|,而|cos

θ|≤1.2.两个非零向量a与b垂直的充要条件是a·b=0,两个非零向量a与b平行的充要条件是a·b=±|a||b|.3.两向量的夹角为锐角⇔cos

θ>0且cos

θ≠1.4.一些常见的错误结论:(1)若|a|=|b|,则a=b;(2)若a2=b2,则a=b;(3)若a∥b,b∥c,则a∥c;(4)若a·b=0,则a=0或b=0;(5)|a·b|=|a|·|b|;(6)(a·b)c=a(b·c);(7)若a·b=a·c,则b=c.以上结论都是错的.-34-答题指导上面两题分别从代数和几何两个方面入手得到最值5.3平面向量的数量积5.3平面向量的数量积-36--2--37-知识梳理双击自测1.平面向量的数量积(1)定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,则数量|a||b|cosθ叫作a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cos

θ

,规定零向量与任一向量的数量积为0,即0·a=0.

(2)几何意义:数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积.2.平面向量数量积的运算律(1)a·b=b·a(交换律).(2)λa·b=λ(a·b)=a·(λb)(结合律).(3)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).-3-知识梳理双击自测1.平面向量的数量积-38-知识梳理双击自测3.平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ为向量a,b的夹角.(1)数量积:a·b=|a||b|cosθ=x1x2+y1y2

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(5)已知两非零向量a与b,a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0

;a∥b⇔a·b=±|a||b|.

(6)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2+y1y2|-4-知识梳理双击自测3.平面向量数量积的性质及其坐标表示(-39-知识梳理双击自测1.向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a=(

)A.-1 B.0C.1 D.2答案解析解析关闭因为2a+b=2(1,-1)+(-1,2)=(1,0),所以(2a+b)·a=(1,0)·(1,-1)=1.故选C.答案解析关闭C-5-知识梳理双击自测1.向量a=(1,-1),b=(-1,-40-知识梳理双击自测2.(教材改编)已知|a|=3,|b|=4,且向量a与b的夹角为135°,则a·b=

.

答案解析解析关闭答案解析关闭-6-知识梳理双击自测2.(教材改编)已知|a|=3,|b|-41-知识梳理双击自测3.(2017课标Ⅲ高考)已知向量a=(-2,3),b=(3,m),且a⊥b,则m=

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答案解析解析关闭由题意可得:-2×3+3m=0,解得m=2.答案解析关闭2-7-知识梳理双击自测3.(2017课标Ⅲ高考)已知向量a=-42-知识梳理双击自测4.(教材改编)已知|a|=5,|b|=4,a与b的夹角θ=120°,则向量b在向量a方向上的投影为

.

答案解析解析关闭由数量积的定义知,b在a方向上的投影为|b|cosθ=4×cos120°=-2.答案解析关闭-2-8-知识梳理双击自测4.(教材改编)已知|a|=5,|b|-43-知识梳理双击自测5.已知a=(2,-1),b=(λ,3),若a与b的夹角为钝角,则λ的取值范围是

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答案解析解析关闭答案解析关闭-9-知识梳理双击自测5.已知a=(2,-1),b=(λ,3-44-知识梳理双击自测自测点评1.对于两个非零向量a与b,由于当θ=0°时,a·b>0,所以a·b>0是两个向量a,b夹角为锐角的必要而不充分条件;a·b=0也不能推出a=0或b=0,因为a·b=0时,有可能a⊥b.2.在实数运算中,若a,b∈R,则|ab|=|a|·|b|;若a·b=a·c(a≠0),则b=c.但对于向量a,b却有|a·b|≤|a|·|b|;若a·b=a·c(a≠0),则b=c不一定成立.原因是a·b=|a||b|cos

θ,都是cos

θ

“惹的祸”.3.向量数量积的运算不满足乘法结合律,即(a·b)·c不一定等于a·(b·c),这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量,而a·(b·c)表示一个与a共线的向量,而c与a不一定共线.-10-知识梳理双击自测自测点评-45-考点一考点二考点三平面向量数量积的运算(考点难度★★)-2-11-考点一考点二考点三平面向量数量积的运算(考点难度★★-46-考点一考点二考点三法二

建立如图所示的平面直角坐标系,-12-考点一考点二考点三法二建立如图所示的平面直角坐标系-47-考点一考点二考点三答案解析解析关闭答案解析关闭-13-考点一考点二考点三答案解析解析关闭答案解析关-48-考点一考点二考点三方法总结向量数量积的两种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即a·b=|a||b|cos<a,b>;(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2.-14-考点一考点二考点三方法总结向量数量积的两种运算方法-49-考点一考点二考点三对点训练

A.I1<I2<I3 B.I1<I3<I2C.I3<I1<I2 D.I2<I1<I3答案解析解析关闭答案解析关闭-15-考点一考点二考点三对点训练A.I1<I2<I3 B-50-考点一考点二考点三2[-9,9]解析:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=2,D是BC的中点,以CA所在的直线为x轴,以CB所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系,则A的坐标为(4,0),B的坐标为(0,2),由线段的中点坐标公式可得点D的坐标为(0,1),点E的坐标为(2,1),设点P的坐标为(x,y),-16-考点一考点二考点三2[-9,9]解析:∵在Rt△-51-考点一考点二考点三故当直线y=4x+t-7过点A(4,0)时,t取得最小值为7-16+0=-9,当直线y=4x+t-7过点B(0,2)时,t取得最大值为7-0+2=9,-17-考点一考点二考点三故当直线y=4x+t-7过点A(4-52-考点一考点二考点三平面向量数量积的性质(考点难度★★)考情分析平面向量数量积的性质是高考考查的重点和热点,运用两向量的数量积可解决长度、夹角、垂直等问题,解题时应灵活选择相应公式求解.-18-考点一考点二考点三平面向量数量积的性质(考点难度★★-53-考点一考点二考点三类型一

平面向量的模【例2】

(2017课标Ⅰ高考)已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=

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答案解析解析关闭答案解析关闭-19-考点一考点二考点三类型一平面向量的模答案解析解-54-考点一考点二考点三类型二

平面向量的夹角

答案解析解析关闭答案解析关闭-20-考点一考点二考点三类型二平面向量的夹角答案解-55-考点一考点二考点三类型三

平面向量的垂直问题【例4】

(2017课标Ⅰ高考)已知向量a=(-1,2),b=(m,1),若向量a+b与a垂直,则m=

.

答案解析解析关闭由题得a+b=(m-1,3),因为(a+b)·a=0,所以-(m-1)+2×3=0,解得m=7.答案解析关闭7-21-考点一考点二考点三类型三平面向量的垂直问题答案-56-考点一考点二考点三方法总结1.利用数量积求解长度问题的处理方法:2.求两非零向量的夹角时要注意:数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角,数量积等于0说明两向量的夹角为直角,数量积小于0且两向量不能共线时两向量的夹角为钝角.3.证明或利用两向量的垂直关系时要注意:数量积的运算a·b=0⇔x1x2+y1y2=0.a⊥b是对非零向量而言的,若a=0,虽然有a·b=0,但不能说a⊥b.-22-考点一考点二考点三方法总结1.利用数量积求解长度问题-57-考点一考点二考点三对点训练(1)(2017浙江金华模拟)若非零向量a,b满足:a2=(5a-4b)·b,则cos<a,b>的最小值为

.

答案解析解析关闭答案解析关闭-23-考点一考点二考点三对点训练(1)(2017浙江金华模-58-考点一考点二考点三(2)(2017浙江高考样卷)设a,b,c是非零向量.若|a·c|=|b·c|=|(a+b)·c|,则(

)A.a·(b+c)=0 B.a·(b-c)=0C.(a+b)·c=0 D.(a-b)·c=0答案解析解析关闭答案解析关闭-24-考点一考点二考点三(2)(2017浙江高考样卷)设a-59-考点一考点二考点三平面向量数量积的应用(考点难度★★★)【例5】

已知向量a,b,|a|=1,|b|=2,若对任意单位向量e,均有|a·e|+|b·e|≤