讲课稿：方程的根与函数的零点课件

方程的根与函数的零点四川省广汉中学田波方程的根与函数的零点四川省广汉中学田波1ⅠⅡ生活实例探究——小马过河

马2马1马1马2提出问题引入新课ⅠⅡ生活实例探究——小马过河马2马1马1马2提出问题2将河流抽象成x轴，将两个位置视为A、B两点。请问当A、B与x轴怎样的位置关系时，AB间的一段连续不断的函数图象与x轴一定会有交点？abx

abxabx

abx

abxabxABABABABABBAABABABA提出问题引入新课将河流抽象成x轴，将两个位置视为A、B两点。请问当A、B与x3

方程x2－2x+1=0x2－2x+3=0y=x2－2x－3函数函数的图象方程的实数根x1=－1,x2=3x1=x2=1无实数根(－1,0)、(3,0)(1,0)无交点x2－2x－3=0xy0－132112－1－2－3－4..........xy0－132112543y=x2－2x+1.....yx0－12112y=x2－2x+3思考:

以下一元二次方程的实数根与相应的二次函数的图像有什么关系？知识探究（一）：方程的根与函数零点的关系函数图像与x轴的交点方程x2－2x+1=0x2－2x+3=0y=x2－2x－4问题：若将上面特殊的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)推广到一般的一元二次方程及相应二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的关系，上述结论是否仍然成立？（我们以a>0为例）判别式△=b2－4ac△＞0△=0△＜0函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象xyx1x20xy0x1xy0没有交点方程ax2+bx+c=0(a>0)的根两个不相等的实数根x1、x2有两个相等的实数根x1=x2没有实数根结论：一元二次方程的实数根就是相应二次函数图象与

x轴交点的横坐标．知识探究（一）：方程的根与函数零点的关系函数的图象与x轴的交点(x1,0),(x2,0)(x1,0)问题：若将上面特殊的一元二次方程ax2+bx+c=0(5问题:其他函数与方程之间也有同样结论吗？方程f(x)=0的实数根函数y=f(x)图象与x轴交点的0xyx1x2x3x4Y=f(x)横坐标知识探究（一）：方程的根与函数零点的关系问题:其他函数与方程之间也有同样结论吗？方程f(x)=0的实6一.函数零点的定义：例1：函数f(x)=x(x2－4)的零点为 （）A．(0，0)，(2，0) B．0，2 C．(–2，0)，(0，0)，(2，0) D．–2，0，2函数的零点是实数，而不是点。温馨提示1求函数的零点就是求函数所对应方程的根。对于函数y＝f(x)，把使

f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．D温馨提示2知识探究（一）：方程的根与函数零点的关系例1：函数f(x)=x(x2－4)的零点为 （）函数7方程f(x)=0的实数根函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标函数值等于零时的x的值函数y=f(x)的零点归纳关系：数形对零点的理解："数"的角度："形"的角度：即是使f(x)=0的实数x的值即是函数f(x)的图象与x轴的交点的横坐标知识探究（一）：方程的根与函数零点的关系方程f(x)=0函数y=f(x)的图象与函数值等于零时的x的8我的零点是-1和3我的零点是10不好意思，我没有零点，你答对了吗？问题:在怎样的条件下，函数y＝f(x)在区间[a,b]上存在零点？知识探究（一）：方程的根与函数零点的关系巩固练习一：

我的零点是-1和3我的零点是10不好意思，我没有零点，你答对9ⅠⅡ生活实例探究——小马过河

知识探究（二）：函数零点存在性定理马2马1马1马2ⅠⅡ生活实例探究——小马过河知识探究（二）：函数零点10将河流抽象成x轴，将两个位置视为A、B两点。请问当A、B与x轴怎样的位置关系时，AB间的一段连续不断的函数图象与x轴一定会有交点？abx

abx如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，怎样才能保证在[a,b]上有零点？abx

abx

abxabx知识探究（二）：函数零点存在性定理ABABABABABBAabx

ABabx

ABabx

ABabx

A将河流抽象成x轴，将两个位置视为A、B两点。请问当A、B与x11观察二次函数f(x)＝x2－2x－3的图象：在区间[-2，1]上有零点______；f(-2)=_______，f(1)=_______，f(-2)·f(1)_____0（“＜”或“＞”）．在区间[2，4]上有零点______；f(2)·f(4)____0（“＜”或“＞”）．

－1－45<3<-22-2-41O1234-3-1-1yx知识探究（二）：函数零点存在性定理观察二次函数f(x)＝x2－2x－3的图象：－1－45<3<12观察函数的图象并填空:①在区间(a,b)上f(a)·f(b)_____0(“＜”或“＞”)．在区间(a,b)上______(有/无)零点；②在区间(b,c)上f(b)·f(c)_____0(“＜”或“＞”)．在区间(b,c)上______(有/无)零点；③在区间(a,d)上f(a)·f(d)_____0(“＜”或”＞”)．在区间(a,d)上______(有/无)零点；有<有<有<xyOabcd问题：是不是函数y＝f(x)在区间[a,b]上只要满足f(a)·f(b)＜0，函数y＝f(x)在区间(a,b)上一定有零点？知识探究（二）：函数零点存在性定理xyo观察函数的图象并填空:有<有<有<xyOabcd问题：是不是13例xyoyxoxyoxyo零点的存在性定理知识探究（二）：函数零点存在性定理例xyoyxoxyoxyo零点的存在性定理知识探究（二）：函14那么如果函数的一条曲线，并且f(a)·f(b)<0，（a,b）内有零点，即存在连续不断c也就是方程（1）两个前提条件缺一不可（2）“有零点”是指有几个零点呢?知识探究（二）：函数零点存在性定理（3）再加上什么条件就“有且仅有一个零点”呢？那么如果函数的一条曲线，并且f(a)·f(b)<0，并且是单调函数，（a,b）内有且只有一个零点。连续不断xy0那么如果函数的一条曲线，并且f(a)·f(b)<0，（a15xy0(4)若函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，一定能得出f(a)·f(b)<0的结论吗？

函数零点存在性定理的逆命题不成立！(5)定理的作用：知识探究（二）：函数零点存在性定理判定零点的存在，并找出零点所在的区间。xy0(4)若函数y=f(x)在区间(a,b)内16（1）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a,b)内有且仅有一个零点. （）（2）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上连续且在区间(a,b)内存在零点.，则f(x)必满足f(a)·f(b)<0. （）例2

判断正误知识探究（二）：函数零点存在性定理（1）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(171、在下列哪个区间内,函数f(x)=x3＋3x－5一定有零点（）

A、(－1,0）B、(0,1）C、(1,2）D、(2,3）C2、已知函数f(x)的图象是连续不断的,且有如下的x,f(x)对应值表：–26–12–5

11

–7

9

23f(x)

7

6

5

4

3

2

1

x

那么该函数在区间[1，6]上有（）零点.A、只有3个B、至少有3个

C、至多有3个D、无法确定B知识探究（二）：函数零点存在性定理巩固练习二：1、在下列哪个区间内,函数f(x)=x3＋3x－5一定有18由上表和右图可知f(2)<0,f(3)>0，即f(2)·f(3)<0，说明这个函数在区间(2,3)内有零点。由于函数f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数，所以它仅有一个零点。解法1：用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表和图象

－4－1.30691.09863.38635.60947.79189.945912.079414.1972123456789xf（x）.........x0－2－4－6105y241086121487643219的零点个数例3

求函数62ln)(-+=xxxf知识探究（二）：函数零点存在性定理由上表和右图可知f(2)<0,f(3)>0，即f(2)·f(19一题多解012345-1-212345-1-2xy6的零点个数例3

求函数62ln)(-+=xxxf知识探究（二）：函数零点存在性定理方法2：将函数的零点个数转化为函数与的图像交点的个数方法2：将函数的零点个数转化为函数与的图像交点的个数一题多解012345-1-212345-1-2xy6的零点个20知识探究（二）：函数零点存在性定理巩固练习三：1、已知方程的根所在的大致区间是（）B2、已知关于x的方程3ax+1-2a=0在（-1,1）有唯一解，求a的取值范围.知识探究（二）：函数零点存在性定理巩固练习三：1、已知方程21课堂小结通过本节课的学习你学到了哪些数学知识？又学到了哪些重要的数学思想？函数方程思想、数形结合思想、等价转化思想知识小结：方程的根和函数的零点数学思想数学知识2.三个等价关系1.函数的零点的定义及其求法3.函数的零点存在性定理、作用课堂小结通过本节课的学习你学到了哪些数学知识？又学到了哪些重22"数"的角度："形"的角度：即是使f(x)=0的实数x的值即是函数f(x)的图象与x轴的交点的横坐标知识小结：函数的零点及其求法代数法几何法对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．零点的定义零点的求法"数"的角度："形"的角度：即是使f(x)=0的实数x的值即23方程f(x)=0的实数根函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标函数y=f(x)的零点数形知识小结：三个等价关系方程f(x)=0函数y=f(x)的图象与函数y=f(x)的零24知识小结：函数的零点存在性定理及作用定理的作用：判定零点的存在，并找出零点所在的区间。知识小结：函数的零点存在性定理及作用定理的作用：判定零点的存25课堂延伸、作业布置课堂延伸：1、求函数

的零点大致所在区间.小组讨论：分小组讨论3分钟，每组选一个中心发言人，说明所求区间及其过程。2、函数的零点个数是（）A、3个B、2个C、1个D、0个第88页练习1；第92页A组第二题。作业布置课堂延伸、作业布置课堂延伸：1、求函数26感谢同学们的参与！感谢同学们的参与！27方程的根与函数的零点四川省广汉中学田波方程的根与函数的零点四川省广汉中学田波28ⅠⅡ生活实例探究——小马过河

马2马1马1马2提出问题引入新课ⅠⅡ生活实例探究——小马过河马2马1马1马2提出问题29将河流抽象成x轴，将两个位置视为A、B两点。请问当A、B与x轴怎样的位置关系时，AB间的一段连续不断的函数图象与x轴一定会有交点？abx

abxabx

abx

abxabxABABABABABBAABABABA提出问题引入新课将河流抽象成x轴，将两个位置视为A、B两点。请问当A、B与x30

方程x2－2x+1=0x2－2x+3=0y=x2－2x－3函数函数的图象方程的实数根x1=－1,x2=3x1=x2=1无实数根(－1,0)、(3,0)(1,0)无交点x2－2x－3=0xy0－132112－1－2－3－4..........xy0－132112543y=x2－2x+1.....yx0－12112y=x2－2x+3思考:

以下一元二次方程的实数根与相应的二次函数的图像有什么关系？知识探究（一）：方程的根与函数零点的关系函数图像与x轴的交点方程x2－2x+1=0x2－2x+3=0y=x2－2x－31问题：若将上面特殊的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)推广到一般的一元二次方程及相应二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的关系，上述结论是否仍然成立？（我们以a>0为例）判别式△=b2－4ac△＞0△=0△＜0函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象xyx1x20xy0x1xy0没有交点方程ax2+bx+c=0(a>0)的根两个不相等的实数根x1、x2有两个相等的实数根x1=x2没有实数根结论：一元二次方程的实数根就是相应二次函数图象与

x轴交点的横坐标．知识探究（一）：方程的根与函数零点的关系函数的图象与x轴的交点(x1,0),(x2,0)(x1,0)问题：若将上面特殊的一元二次方程ax2+bx+c=0(32问题:其他函数与方程之间也有同样结论吗？方程f(x)=0的实数根函数y=f(x)图象与x轴交点的0xyx1x2x3x4Y=f(x)横坐标知识探究（一）：方程的根与函数零点的关系问题:其他函数与方程之间也有同样结论吗？方程f(x)=0的实33一.函数零点的定义：例1：函数f(x)=x(x2－4)的零点为 （）A．(0，0)，(2，0) B．0，2 C．(–2，0)，(0，0)，(2，0) D．–2，0，2函数的零点是实数，而不是点。温馨提示1求函数的零点就是求函数所对应方程的根。对于函数y＝f(x)，把使

f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．D温馨提示2知识探究（一）：方程的根与函数零点的关系例1：函数f(x)=x(x2－4)的零点为 （）函数34方程f(x)=0的实数根函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标函数值等于零时的x的值函数y=f(x)的零点归纳关系：数形对零点的理解："数"的角度："形"的角度：即是使f(x)=0的实数x的值即是函数f(x)的图象与x轴的交点的横坐标知识探究（一）：方程的根与函数零点的关系方程f(x)=0函数y=f(x)的图象与函数值等于零时的x的35我的零点是-1和3我的零点是10不好意思，我没有零点，你答对了吗？问题:在怎样的条件下，函数y＝f(x)在区间[a,b]上存在零点？知识探究（一）：方程的根与函数零点的关系巩固练习一：

我的零点是-1和3我的零点是10不好意思，我没有零点，你答对36ⅠⅡ生活实例探究——小马过河

知识探究（二）：函数零点存在性定理马2马1马1马2ⅠⅡ生活实例探究——小马过河知识探究（二）：函数零点37将河流抽象成x轴，将两个位置视为A、B两点。请问当A、B与x轴怎样的位置关系时，AB间的一段连续不断的函数图象与x轴一定会有交点？abx

abx如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，怎样才能保证在[a,b]上有零点？abx

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abxabx知识探究（二）：函数零点存在性定理ABABABABABBAabx

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A将河流抽象成x轴，将两个位置视为A、B两点。请问当A、B与x38观察二次函数f(x)＝x2－2x－3的图象：在区间[-2，1]上有零点______；f(-2)=_______，f(1)=_______，f(-2)·f(1)_____0（“＜”或“＞”）．在区间[2，4]上有零点______；f(2)·f(4)____0（“＜”或“＞”）．

－1－45<3<-22-2-41O1234-3-1-1yx知识探究（二）：函数零点存在性定理观察二次函数f(x)＝x2－2x－3的图象：－1－45<3<39观察函数的图象并填空:①在区间(a,b)上f(a)·f(b)_____0(“＜”或“＞”)．在区间(a,b)上______(有/无)零点；②在区间(b,c)上f(b)·f(c)_____0(“＜”或“＞”)．在区间(b,c)上______(有/无)零点；③在区间(a,d)上f(a)·f(d)_____0(“＜”或”＞”)．在区间(a,d)上______(有/无)零点；有<有<有<xyOabcd问题：是不是函数y＝f(x)在区间[a,b]上只要满足f(a)·f(b)＜0，函数y＝f(x)在区间(a,b)上一定有零点？知识探究（二）：函数零点存在性定理xyo观察函数的图象并填空:有<有<有<xyOabcd问题：是不是40例xyoyxoxyoxyo零点的存在性定理知识探究（二）：函数零点存在性定理例xyoyxoxyoxyo零点的存在性定理知识探究（二）：函41那么如果函数的一条曲线，并且f(a)·f(b)<0，（a,b）内有零点，即存在连续不断c也就是方程（1）两个前提条件缺一不可（2）“有零点”是指有几个零点呢?知识探究（二）：函数零点存在性定理（3）再加上什么条件就“有且仅有一个零点”呢？那么如果函数的一条曲线，并且f(a)·f(b)<0，并且是单调函数，（a,b）内有且只有一个零点。连续不断xy0那么如果函数的一条曲线，并且f(a)·f(b)<0，（a42xy0(4)若函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，一定能得出f(a)·f(b)<0的结论吗？

函数零点存在性定理的逆命题不成立！(5)定理的作用：知识探究（二）：函数零点存在性定理判定零点的存在，并找出零点所在的区间。xy0(4)若函数y=f(x)在区间(a,b)内43（1）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a,b)内有且仅有一个零点. （）（2）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上连续且在区间(a,b)内存在零点.，则f(x)必满足f(a)·f(b)<0. （）例2

判断正误知识探究（二）：函数零点存在性定理（1）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(441、在下列哪个区间内,函数f(x)=x3＋3x－5一定有零点（）

A、(－1,0）B、(0,1）C、(1,2）D、(2,3）C2、已知函数f(x)的图象是连续不断的,且有如下的x,f(x)对应值表：–26–12–5

11

–7

9

23f(x)

7

6

5

4

3

2

1

x

那么该函数在区间[1，6]上有（）零点.A、只有3个B、至少有3个

C、至多有3个D、无法确定B知识探究（二）：函数零点存在性定理巩固练习二：1、在下列哪个区间内,函数f(x)=x3＋3x－5一定有45由上表和右图可知f(2)<0,f(3)>0，即f(2)·f(3)<0，说明这个函数在区间(2,3)内有零点。由于函数f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数，所以它仅有一个零点。解法1：用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表和图象

－4－1.30691.09863.38635.60947.79189.945912.079414.1972123456789xf（x）.........x0－2－4－6105y241086121487643219的零点个数例3

求函数62ln)(-+=xxxf知识探究（二）：函数零点存在性定理由上表和右图可知f(2)<0,f(3)>0，即f(2)·f(46一题多解012345-1-212345-1-2xy6的零点个数例3

求函数62ln)(-+=xxxf知识探究（二）：函数零点存在性