数学几何奔驰定理与四心问题

奔驰定理与四心问题【考点浪黑I】一、四心的概念介绍：(1)重心：中线的交点，重心将中线长度分成2:1.(2)内心：角平分线的交点(内切圆的圆心)，角平分线上的任意点到角两边的距离相等.(3)外心：中垂线的交点(外接圆的圆心)，外心到三角形各顶点的距离相等.(4)垂心：高线的交点，高线与对应边垂直.二、奔驰定理一一一解决面积比例问题重心定理：三角形三条中线的交点.已知△ABC的顶点A(xt,yi),B(x2,佻)，C(x3,%)，则△AB。的重心坐标为g(空号士色，⑨七号+%注意：(1)在△ABC中，若O为重心，则+砺+5方=6.(2)三角形的重心分中线两段线段长度比为2:1,且分的三个三角形面积相等.重心的向量表示：AG=^-AB+^-AC.J J奔驰定理：-6?+Sb•加+Sc・文=小，则△408、XAOC、LJ3OC的面积之比等于用:莅:/1]奔驰定理证明：如图，令=5^,即满足(54+(5^1+0^1=0S^AOB_1Smoc_1S^BOC_1U,Cor»_iii三、三角形四心与推论，(1)0是△ABC的重心：Sj^boc：S&8a：S3ob=1:1:1=OA+OB+OC=(5.(2)0是ZLASC的内心：S3：S.coa：Smob=a:b:c»04+OB+OC=3.(3)。是AABC的外心：S^boc：S^coa：S^aob=sin2A:sin2B:sin2C<=>sin2AOA+sin2BOB+sin2coe=0.(4)0是AABC的垂心：S^boc：S^coa-S^aob=tanA:tanB:tanC<=>tanAOA+tanBOB+tanCOC=6.•【方法技巧与总结】a~SZT7(1)内心：三角形的内心在向量।——►,+।——►,所在的直线上.网"I|荏卜司+|座卜玄+|昂卜两=6oP为△ABC1的内心.

（2）外心：|户司=\PB\=\PC\oP为AABC的外心.（3）垂心：同•两=两•甩=圮•同oP为△ABC的垂心.（4）重心：以+而+同=6=P为乙48。的重心.•【题型归纳目录】题型一:奔驰定理题型二:篁心定理题型三:内心定理题型四:外心定理题型五:垂心定理【典例例题】题型一:弃鼬定理例1.（多选题）（2022•全国•高三专题练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（旅rce曲sbenz）的log。很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知。是4ABC内的一点，△BOC、RAOC、KAOB的面积分别为SA、Sb、S0,贝US『羽+Sb•加+5°・砺=。.若0是锐角445。内的一点，4847、NABC、乙4cB是△ABC的三个内角，且点。满足诉丽=范文=瓦•亦则（）O为△ABC的垂心ZAOB=n-NACB\OA\-.\OB\-.\OC\=sm^BAC:sin^ABC:sm^ACBtanNBA。•OA+tanZABC-OB+tan^ACB-OC=^例2.（多选题）（2022•全国•高三专题练习）点O在△ABC所在的平面内，则以下说法正确的有（）_AC'

国sinC,U>0）,_AC'

国sinC,U>0）,则动点P的轨迹一定经过A4BC的(|AB|sinB垂心;B.若罚=0,B.若罚=0,则点。为△ABC的内心;C.若（示+9）•荏=（7+正）•初=0,则点O为/XABC的外心;D.若动点PD.若动点P满足加=云+4而

|AB|cosB+—）（4>0）,则动点P的轨迹一定经过4ABC

\AC\cosCf的重心.例3.（多选题）（2022•全国病三专题练习）奔驰定理：已知O是△ABC内的一点，ABOC,△力OC,△力08的面积分别为Sa，Sb，Sc，则Sa•5才+Sb•赤+Sc•况=6.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的log。很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.若O、P是锐角△ABC内的点，4、5、。是△ABC的三个内角，且满足冏+两+对=^-CA,OA-OB^OB-OC^OC-OA,^\（）JA.Sm»ab：SmbcA.Sm»ab：Smbc：Sm>ca~4:2:3|O71|：|OB|：|OC||=cost4：cosB：cosCNA+NBOC=7ttanA-OA+tanaOB+tanC*OC=6BB.7r=mn例4.（多选慝）（2022•淅江•高三寿题练习）如图，已知点G为△ABC的重心，点分别为力B,AC上的点，且。，G,E三点共线，弱=小荏，瓶=n才己，m>0,n>0,记△ADE,A4BC,四边形BDEC的面积分别为Si，$2,S3,则（）A.—+—=3mnQ旦>A.S3―5

例5.（河南省安相市2021-2022学年高一年级下学期阶段性测试（五）教学试叁）已知。是AABC内的例5.（河南省安相市2021-2022学年高一年级下学期阶段性测试（五）教学试叁）已知。是AABC内的一点，若ABOCAAOCAAOB的面积分别记为SltS2,S3，则S1•引+S?•9+S3•5方=6.这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的log。很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，己知O是△ABC的垂心,且为+2OB+3OC=6,则tan/BAC:tanN4BC:tanNACB=(A.1:2:3B.1:2:4C.2:3:4D.2:3:6例6.（2021•四川稳相•高一期末）已知P是△ABC内部一点，且刀APCA、APBC面积之比为（）+3万+5圮=6,则△PAB、A.1：3：5B.5：3：1C.1：9：25D.25：9：1例7.（2022•安徽•花湖一中三模（理））平面上有△ABC及其内一点O,构成如图所示图形，若将△OAB,AOBC,△OG4的面积分别记作Sc，S0,Sb，则有关系式S。♦示+Sb•9+S,•云=1因图形和奔驰车的log。很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”.已知△ABC的内角A,B,。的对边分别为a,b,c,若满足a•方+b•防+c・（5方=6,则。为△力3。的（）B.内心D.B.内心D.垂心C.重心例8.（2022*南•一模（＜））在XABC中，。是直线上的点.若2丽=3+入出，记的面积为S、，AACD的面积为S2,则得■=（）例9.（2022•全国•高三专题练习）在平面四边形ABCD中，已知△ABC的面积是△ACD的面积的2倍.若存在正实数①y使得而=（：-4）荏+（1—而成立，则2rr+存在正实数①y使得而A.1BA.1B.2C.3D.4例10.（2022•上海•商三专题练习）如图，P为△ABC内任意一点，角4B,C的对边分别为a,b,c.总有优美等式S^pbcPA+S^acPB+S^PC=6成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.现有以下命题：①若P是△ABC的重心，则有存+屈+用=6；②若aQ彳+b屈+c用=6成立，则P是ZVIBC的内心；③若存=^AB+^AC,则Saabp：S4ABe=2:5；D D④若P是△ABC的外心，A= =m两+n用，则m+ne则正确的命题有.例11.（2022•江西宜春•高三期末（«））已知Sa4bc=3，点M是AABC内一点且加+2MB=血，则△MBC的面积为（）TOC\o"1-5"\h\zA.十 B.-1- C- D.例12.（2022•全国•高三寿题练习）已知点M是AABC所在平面内一点，若询=^AB+^-AC,则△ABM乙 0与△BCM的面积之比为（）A. B., C.2 D.言J Z o例13.（2022•全国•高三专题练习）已知点O为正A4BC所在平面上一点，且满足OA+AOB+[1+A）OC=。，若△。力。的面积与△OAB的面积比值为1:4,则4的值为（）A. B.士 C.2 D.3乙 O【方法技巧与总结】奔触定理:如图，已知P为色48。内一点，则有S^pbc'PA+S^pac-PB+S^ab-PC=0.0上由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”.这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用.题型二:重心定理例14.（2022•浙江绍兴•模拟fit测）已知△-ABC是圆心为O,半径为R的圆的内接三角形，M是圆O上一点，G是△ABC的重心.若丽，兄，则而下+的?+而=.例15.（2022•江苏南京•模拟fl测）在AABC中，布.芯=0,|荏|=3,|而|=4,O为ZVIBC的重心，D在边上，且A。JL ,则赤♦AO.例16.（2022•全国•南三*题练习）在AABC中，方=五，函=求且和=况+ --+/—1,I\a\smB同sinAJrnCR,则点P的轨迹一定通过&48。的（）A.重心 B.内心 C.外心 D.垂心例17.（2022•全国•高三专题练习）已知A,B,。是平面上不共线的三点，O为坐标原点，动点P满足方=4（（1-^）04+（1-/1）而+（1+2办加］"€/?,则点P的轨迹一定经过（）A.△ABC的内心B.的垂心 C.△ABC的重心 D.4B边的中点例18.（2022•河北•石家庄二中模拟预测）在AABC中，G为重心，47=2四，BG=2,则屈•正=例19.（2022•四川达州•二#（文））在AABC中，G为重心，AC=2代，BG=2,则雨•后方=

例20.（2022•全国鹏三专题练习（理））在A4BC中，点G是AABC的重心，过点G作直线分别交线段AB,AB于点N,M（M,N不与A4BC的顶点重合）,则步里的最小值为 '△CMG例21.（2022•全国•方三专题练习）在△ABC中，4B=1,NABC=60°,而•荏=一1,若。是△ABC的重心,则BOAC=.例22.（2022•全国•高三寿题练习）如图，O是△48。的重心，说=苍，芯=，,D是边BC上一点，且加=3DC,历=而+质,则入+〃=例23.（2022・史庆•三模）已知O为△ABC的重心，记示=五，而=，，则/=（）D.2a+bA.—2a—b B.—g4*26 C.aD.2a+b例24.（2022•安徽琼埠•模板II测«））已知点P是△ABC的重心，则下列结论正确的是（）(sin2A)PA+(sin2B)PB+(sin2C)FC=6(sinA)PA+(sinB)PB+(sinC)PC=(tan⑷P4+(tanB)FB+(tanC)FC=6PA+PB+PC=^例25.（2022•辽宁•二模）已知点P为AABC的重心，AB=3,AC=6,A=等，点。是线段BP的中点，则I而|为（）A.2 B.4 C.V3 D.4

例26.（2022•全国•高三专题练习）设。是平面上一定点，A、8、C是平面上不共线的三个点，动点P满足和=示+4（荏+•方）"6[0,+8）,则p的轨迹一定通过△43。的（）A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心例27.（2022•宁夏石嘴山•一模（理））已知G是AABC重心，若司=2,|而|=45,则彳苕•肥的值为（）A.4 B.1 C.-2 D.2例28.（2022•黑龙江•哈九中方三开学考试（«））数学家欧拉于1765年在其著作《三角形中的几何学》首次指出：△4BC的外心O,重心G,垂心H,依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,该直线被称为欧拉线.若4B=4,AC=2,则下列各式不正确的是（）A.AG-BC-4=0. B.2GO=-GH C.AO-BC+G=0 D.OH=OA+OB+OC例29.（2022•湖北省鄂州高中方三期末）在△ABC中，力=告，G为的重心，若辐•荏=彩O=6,则△ABC外接圆的半径为（）A.V3 B. C.2 D.2V3O例30.（2022•全国•方三专题练习（理））在△ABC中，4=等，O为△力BC的重心，若而•而=而•/=O2,则△ABC外接圆的半径为（）A.. B. C.V3 D.ABAC例31.（2022•全国•高三专题练习）已知&4BC的三个内角分别为ABCO为平面内任意一点，动点P满足ABAC（0,+8）则动点p的轨迹一定经过△4口。的（）|国sinB*（0,+8）则动点p的轨迹一定经过△4口。的（）|国sinB*|AC|sinCA.重心 B.垂心 C.内心 D.外心【方法技巧与总结】三角形的重心一定在三角形的中线上，所以，在等式中显示出的现象是两个相加的向量，前面的系数相同，还需注意两个系数相同的向量相加的同时还会产生中点.

题型三:内心定理例32.（2022•全国•方三专题练习）若。在△4BC题型三:内心定理例32.（2022•全国•方三专题练习）若。在△4BC所在的平面内，且满足以下条件宓•A.垂心 B.重心C.内心例33.（2022•全国•高三专题练习）已知点。是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满A.外心 B.内心C.重心 D.垂心足和=见+可儡^+A.外心 B.内心C.重心 D.垂心例34.（2022•全国•南三寿题练习）已知RtZXABC中，48=3,AC=4,BC=5,/是△ABC的内心，P是捷BC内部（不含边界）的动点.若#=AAB+UAC（A,〃CH）,则4+〃的取值范围是.例35.（2022•广西柳州•高一期中）设。为△ABC的内心，AB=AC=5,BC=8,AO=mAB+nBC（jn,n€R）,贝！］m+n=例36.（2022•全国•高三专题练习）A4BC中，a、b、c分别是BC、AC.AB的长度，若a•示+6•加+c•元=0,则O是△4口。的（）A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心例37.（2022•全国•高三专题练习）在△ABC中，AB=2AC,动点河满足旃•（后方+前）=0,则直线AM一定经过△43。的（）A.垂心 B.内心 C.外心 D.重心例38.（2022•全国•高三专题练习）已知△ABC的内角A,B,。所对的边分别为a,b,c.AABC内一点M满足：a•苏+b•砺+c•祝=0,则Al一定为△43。的（ ）A.外心 B.重心 C.垂心 D.内心例39.（2022•全国•高三专题练习）已知O是△ABC所在平面上的一点，角4、B、C所对的边分别为a,b,c,若用=a"若用=a"+bPg+c同

Q+b+C（其中P是△工8。所在平面内任意一点）,则。点是AABC的（A.外心B.内心A.外心B.内心C.重心D.垂心【方法技巧与总结】角平分做定理：若赤=几则N4OB平分线上的向量亦为/I倩+韵"由丽决定.角平分做定理证则：令吾和乌分别为咒和加方向上的单位向量，吾+乌是以春和乌为一组邻边的⑷ \b\ |Q| \b\回|6|平行四边形过O点的的一条对角线，而此平行四边形为菱形，故卷+卷在乙4OB平分线上，但NAOB平分线上的向量（5而终点的位置由面决定.当3=1时，四边形O/MB构成以NAOB=120°的菱形.题型四:外心定理例40.（2022•全国•高三专题练习）在△ABC中，48=4,47=3,A=。■，点O为△ABC的外心，若同=AAB+〃态R,则4=.例41.（2022•全国•高三寿题练习）已知O是平面上的一定点，4B,。是平面上不共线的三个点，动点P满足赤=OB[OC AB_+ AC_ （0,+8）,则动点p的轨迹一定通过△4BC的2I\AB\cosB|AC|cosC）（）A.重心 B.外心 C.内心 D.垂心例42.（2022•全国•模拟fl测）在AABC中，=2,AC=2瓜,BC=4,点O为A4BC的外心，则而•云=,P是三角形ABC外接圆圆心O上一动点，则巨△（两+对）的最小值为.例43.（2022•全国•高三专题练习）设O为ZVIBC的外心，若而=湿+2芯，则sin/A4c的值为例44.（2022•全国•高三专题练习）在4ABe中，点。为A4BC的外心，|荏|=6,则荏•彩=例45.（2022•宁夏六童山高级中学二模（理））已知A4BC中，AB=AC=1,BC=方，点。是ZVIBC的外心，则砂费=.例46.（2022•全■国•高三专题练习）已知在△4BC中，48=1,口。=遍，AC=2,点。为△ABC的外心，若AO=sAB+tAC,则有序实数对（s,t）为.例47.（2022•浙江•宁波诺丁汉附中模拟测）在△ABC中，点O、点H分别为△ABC的外心和垂心，|AB|=5,|AC|=3,则而•后方=.例48.（2022♦河南•夏城县栽育体育局我学研究宣二模（文））已知A4BC的外心为O,若初+AC=2AO,且|函|=|ab|，则B .例49.(2022•全国牌三专题练习)在平面直角坐标系叩y中，51=(1,3),OB=(2A)，OC=xOA+yOB(其中x6R,y6R).(1)若点。在直线AB上，且3方1.后，求的值.(2)若点。为^OAB的外心，求点。的坐标.例50.(2022•全国*三专慝练习)设。为△ABC的外心，a,b,c分别为角A,B,C的对边，若6=3,c=5,则方•豆方=()A.8 B.-8 C.6 D.-6例51.(2022•全国♦高三专题练习)已知A4BC的外心为O,2AC=5BC=10,则25d-AB=()A.11 B.10 C.20 D.21例52.（2022•全国•模拟测（理））在A4BC中，NABC=等，。为&4BC的外心，丽•月5=2,后方•郎=4,则胡麻=（）A.2 B.2V2 C.4 D.4V2例53.（2022•江苏•华罗庚中学高三阶段练习）在4ABC中，CA=2cB=4,尸为△ABC的外心，则和•存=（）A.-4 B.4 C.-6 D.6例54.（2022•江西上怩•二<（a））已知ZVIBC的外心为点O,M为边BC上的一点，且询=2MC,^BAC=等,年•无必=1,则△ABC的面积的最大值等于（）OA.空 B.V3 C.D.例55.（2022•全国•高三专题练习）在A4BC中，角的边长分别为b,c,点。为ZVIB。的外心，若〃+c?=26,则后通•彩的取值范围是（）A.[-^,0） B.（0,2） C.■^>+°°） D.[一■^,2）

例56.（2022•全国•高三专题练习）已知平面向量6?,加满足6?•丽=0,|7|=2,。为线段O力上一点，E为△AOB的外心，则9•丽的值为（）TOC\o"1-5"\h\z4 4A.-2 B. -等 C.年 D.2j o例57.（2022•全国•高三专题练习）在△ABC中，设/2-荏?=2用法♦旅，那么动点M的轨迹必通过△4反7的（）A.垂心 B.内心 C.外心 D.重心【方法技巧与总结】外心定理：垂直平分线的交点,到三个顶点的距离相等.(1)AO-AB=^\AB\2,AO-AC=^-\AC\2-Bd-BC=^\BC\2-(2)AO-AF=^\AB\2+^\AC\2,BO-BE=^-\AB\2+^-\BC\2,CO-CD=^-\BC\2+-j\AC\\(3)前-BC=^-\AC\2-^-\AB\2,BO-AC=^-\BC\2-^-\BA\2,CO-AB=^-\BC\2-^-\AC\2.题型五:垂心定理例58.(2