第8章-点阵常数及晶粒尺寸的测定课件

第8章点阵常数及晶粒尺寸的测定第8章点阵常数及晶粒尺寸的测定一、点阵常数精确测定的意义及用途二、衍射线条的指标化三、点阵常数的精确测定四、点阵常数精确测定的应用五、晶粒尺寸的测定一、点阵常数精确测定的意义及用途一、点阵常数精确测定的意义及用途

物质的种类千差万别，即使是同种物质，经过不同的制备及加工过程，其晶体结构也存在较大差别。通过物相分析，可查找实测衍射线的PDF卡片，但也往往不能完全吻合，甚至有时完全找不到合适的卡片与谱线对应，在此情况下，可以利用衍射谱线来分析和计算晶体结构参数。一、点阵常数精确测定的意义及用途

精确的晶胞参数数据能够反映一种物质的不同试样间在结构上的细微差别，或者一种晶体结构在外界物理化学作用下产生的微小变化。它有很多重要的应用：如在相图研究、固溶体研究、晶体的密度、热膨胀系数的测定、金属材料中应力的测定以及矿物学类质同相系列研究等方面，均需要精确的晶胞参数。 精确的晶胞参数数据能够反映一种物质的不同试样间在结构上的细

一般利用X射线衍射方法，测定物质的晶体结构，步骤如下：（1）测定晶胞的形状及大小；（2）测定晶胞中的原子数目；（3）测定该物质晶体的点阵类型及对称情况；（4）根据衍射线条的强度，测定晶胞中的原子位置。 一般利用X射线衍射方法，测定物质的晶体结构，步骤如下：二、衍射线条的指标化1、衍射线条指标化的意义

衍射线条的指标化就是确定各衍射线所对应的衍射指数hkl。衍射线条指标化主要用途：a.点阵常数测定；b.晶粒大小测定;c.试样择优取向研究;d.类质同像研究e.粉末照片有无杂项存在（物相鉴定）f.“超级结构”研究（固溶体有序化）二、衍射线条的指标化2、衍射线条指标化方法有两类：

一类是图解法：适用于立方晶系、四方晶系和六方晶系。不适于低级晶轴。

另一类是分析法，对所有晶系都适用。

2、衍射线条指标化方法有两类：3、分析法的基本原理

分析主要是通过理论分析，确定各晶系不同晶面与sin2θ之间的关系。如果衍射谱线满足某种关系，则说明就属于该晶系。（1）立方晶系：a=b=c,α=β=γ=90˚

根据布拉格方程和晶面计算公式有：

立方晶系各衍射晶面（hkl)的sin2θhkl除满足上式外，sin2θhkl还有公因子A。3、分析法的基本原理 立方晶系各衍射晶面（hkl)的sin2（2）六方晶系和三方晶系

分析晶体学问题时，常将三方晶系归并到六方晶系中。同时进行矢量转化。

设在三方晶系中，基矢为a3,b3,c3，六方晶系中，基矢为a,b,c，则a=a3－b3，b＝b3－c3，c＝a3+b3+c3。

在六方晶系中，

a=b≠c,α=β=90˚，γ=120˚，同理可证明：

六方晶系各衍射晶面（hkl)的sin2θhkl除满足上式外，(hk0)面的sin2θhk0有公因子A。（2）六方晶系和三方晶系 六方晶系各衍射晶面（hkl)的si（3）四方晶系

在四方晶系中，a=b≠c,α=β=γ=90˚，同理可证明：

四方晶系各衍射晶面（hkl)的sin2θhkl除满足上式外，(hk0)面的sin2θhk0有公因子A，但各晶面的sin2θhk0之比值与六方晶系不同。（3）四方晶系 四方晶系各衍射晶面（hkl)的sin2θhk（4）斜方晶系

在斜方晶系中，a≠b≠c,α=β=γ=90˚，同理可证明：

斜方晶系各衍射晶面（hkl)的sin2θhkl除满足上式外，(h00)面的sin2θh00有公因子A。（4）斜方晶系 斜方晶系各衍射晶面（hkl)的sin2θhk（5）单斜晶系

在单斜晶系中，a≠b≠c,α=γ=90˚≠β，可证明：同理，可证明：则：

单斜晶系各衍射晶面（hkl)的sin2θhkl除满足上式第一式外，不同(h0l)面的sin2θh0l差值之比必然满足2D:4D:6D:8D:10D=1:2:3:4:5。（5）单斜晶系同理，可证明：则： 单斜晶系各衍射晶面（hkl（6）三斜晶系

在三斜晶系中，a≠b≠c,α≠γ≠β≠90˚。这类晶体的结构比较复杂，在各（hkl）衍射面的sin2θhkl值之间很难找到某种关系。根据这一特点，热能证明某物质的衍射谱线与上述五种晶系都不符合，而且又找不到各晶面的sin2θhkl值间的确切关系，则可以判断这种物质就是三斜晶系的结构。（6）三斜晶系4、X射线指标化分析方法（1）已知结构

当试样物相、所属晶系和点阵常数已知时，可将已知点阵常数代入面间距公式，求出各个(hkl)面对应的d值。然后将计算的d值与实测各衍射线d值进行比较，而面间距相同的指数应相同，由此可标出各衍射线的衍射指数。如下图。4、X射线指标化分析方法单晶硅的衍射图谱单晶硅的衍射图谱

当物相虽未知，但是属于前人已分析过的（在粉末衍射数据库中可查到），可找出该物相的标准卡片，将实测d值与卡片相比较，可利用卡片上记录的衍射指数来标定各衍射线的衍射指数。 当物相虽未知，但是属于前人已分析过的（在粉末衍射数据库中可（2）未知结构

当试样物相未知，需采用一般的指标化方法。

以立方晶系为例。

对于一个衍射图谱，必须收集足够多的衍射线条。因为要区别出简单立方和体心立方，在一个图谱上至少应有7条衍射线。（2）未知结构立方晶系指标化

对于立方点阵有：

A=λ2/(4a2）为常数。

因此，sin2θ1:sin2θ2:sin2θ3:…:sin2θn= =(h12+k12+l12):(h22+k22+l22):(h32+k32+l32):…=N1:N2:N3:…:Nn

式中，N1N2N3…Nn为一系列整数。由于hkl三个整数的平方和不可能等于7、15、23、28等，因此N1N2N3…Nn不可能出现7、15、23、28等，这些数称为禁数。

立方晶系指标化 A=λ2/(4a2）为常数。

在立方晶系中，不同点阵类型的晶体，由于结构因子的作用，能产生衍射的晶面不同，因此N值数列不同。

因此，求出衍射图谱上每条衍射线sin2θ值，列表；然后根据该值求出sin2θi/sin2θ1＝Ni/N1，列表，根据表中的数值比即可定出结构类型和衍射条指数。

在立方晶系中，不同点阵类型的晶体，由于结构因子的作用对于立方原始格子，Ni/N1的比值为1:2:3:4:5:6:7:8:9:10:…相应衍射指数为{100}{110}{111}{200}{210}{211}{220}…

对于立方体心格子，Ni/N1的比值为2:4:6:8:10:12:14:16:18:20:…相应衍射指数为{110}{200}{211}{220}{310}{222}{321}{400}…对于立方面心格子，Ni/N1的比值为3:4:8:11:12:16:19:20:24:…相应衍射指数为{111}{200}{221}{311}{222}{400}{331}{420}…

对于立方原始格子，Ni/N1的比值为1:2:3:4序号简单立方体心立方面心立方金620刚石立方hklNNi/N1hklNNi/N1hklNNi/N1hklNNi/N11100111102111131111312110222004220041.3322082.663111332116322082.66311113.6742004422084311113.67400165.33521055310105222124331196.33621166222126400165.33422248722088321147331196.333332798221,30099400168420206.675113210.6793101010330，4111894222484403511.671031111114202010333，5112795314013.33立方晶系的消光规律序号简单立方体心立方面心立方金620刚石立方hklNNi/N经过以上分析，立方晶系的衍射线指标化可以按以下步骤进行：①根据实测值求出sin2θ；②计算sin2θi/sin2θ1值，若不是整数，则乘以2或3，个别情况下乘以4，最后都化为整数；③根据各个N值得到相应的衍射指数，完成指标化。经过以上分析，立方晶系的衍射线指标化可以按以下步例1：CdTe的结构分析

测得试样密度为5.8289g/cm3，在金相显微镜上观察为均匀一致的单相，化学分析，其质量分数为Cd46.6%，Te53.4%。X射线衍射图谱。例1：CdTe的结构分析第一步：根据衍射图谱的2θ，计算sin2θ及Ni/N1（见表）;第二步：Ni/N1化整数，×3;第三步：根据（Ni/N1

）×3一列整数比，可判断该CdTe为面心立方结构，指标化见表中hkl，200，222，420未出现;第四步：根据布拉格方程，求出a=6.46Å；第五步：根据ρ及CdTe的摩尔质量，计算单位晶胞中的分子数n=(V×ρ×N)/M≈4；第一步：根据衍射图谱的2θ，计算sin2θ及Ni/N1（见表

第六步：面心立方格子，单位晶胞中有4个分子，结构只有两种：NaCl型和金刚石型，根据未出现的200,222,420晶面衍射，可确定为金刚石型(在NaCl结构中，这类晶面为强衍射线）。

则在CdTe结构中? Te(000,½½0,½0½,0½½） Cd(¼¼¼,¾¾¼,¾¼¾,¼¾¾) 第六步：面心立方格子，单位晶胞中有4个分子，结构只有两种：序号2θ（˚）sin2θNi/N1（Ni/N1）×3hkl相对强度I/%123.750.042313111100239.310.11312.67822060346.430.15543.671131130456.820.22645.35164006562.350.2686.331933110671.210.33898.012442210776.300.38169.0227333,5114884.470.451810.68324402989.410.494911.70355314CdTe的衍射数据及指标化序号2θ（˚）sin2θNi/N1（Ni/N1）×3hkl相例2：将Cs2TeBr6物质进行X射线衍射，得到其粉末衍射图谱。其2θ见表，对其进行指标化。序号2θsin2θNi/N1(Ni/N1)×3HklI(观察值）114˚2′0.014913111弱（W)216˚14′0.01991.334200极弱(VVW)323˚2′0.03992.678220中（M）427˚4′0.05473.6711311弱（W）528˚16′0.05974.0012222强（S）632˚50′0.07995.3616400次强（S－）735˚50′0.09476.3619331很弱(VW)840˚30′0.11978.0324422弱偏中(W+)943˚4′0.13479.0427331,511次弱（W－）1047˚8′0.159810.7232440次强（S－）例2：将Cs2TeBr6物质进行X射线衍射，得到其粉末衍射图首先，晶系识别，由表中数据可见，sin2θ有公因子A（0.005），则必为立方晶系；其次，晶格判断，据hkl可知，该晶体的全奇全偶的晶面有衍射，奇偶混杂时消光，因此可判断该晶体为立方面心格子。首先，晶系识别，由表中数据可见，sin2θ有公因子A（0.0

等轴晶系的结构比较简单，一般根据粉末衍射的数据，人工就可以对其进行指标化；而其它如单斜、三斜等晶系，结构复杂，计算工作量大，人工列表无法完成，应采用计算机程序完成指标化。Jade软件附带该功能。

等轴晶系的结构比较简单，一般根据粉末衍射的数据，人工就可以三、点阵常数的精确测定

一种结晶物质相在一定条件下具有一定的点阵参数，当温度、压力、化合物的化学剂量比、固溶体的组分以及晶体中杂质含量的变化都会引起点阵参数发生变化，但这种变化往往很小（约10－5nm数量级），因此必须对点阵参数进行精确测定。以便对晶体的热膨胀系数、固溶体类型的确定、固相溶解度曲线、宏观应力的变化、化学热处理等进行研究。三、点阵常数的精确测定

根据布拉格方程λ=2dsinθ可知，点阵常数测定中的精确度涉及两个问题：一是波长的精确度，二是布拉格角的精确度。

波长是经过精确测定的，精度达到10－6Å，对于一般的测定工作，可以认为没有误差。

因此，点阵常数的精度测定主要取决于sinθ的的精度，而θ的测定精度取决于仪器和方法。

根据布拉格方程λ=2dsinθ可知，点阵常数测定中的精确如图表示sinθ随θ角变化的情况。20406080901.00.80.60.40.2θ/（˚）sinθΔsinθ10Δθ80Δsinθ10Δθ10θ角与精确测定的关系

可以看出，在θ=90˚附近时，sinθ随θ角变化是及其缓慢的，假如在各种θ下测定精度Δθ相同，则在高θ下所得的sinθ值将会比在低θ角时所得到的要精确的多。如图表示sinθ随θ角变化的情况。20根据布拉格方程式同样可以证明：

＝2dsin微分＝2dsin＋2dcos不考虑波长误差，则0=d/d+ctg

d/d＝－ctg

当90，ctg0，

若恒定，则越大，d的误差越小；当θ趋近于90˚时，误差将会趋近于0。

因此，应选择角度尽可能高的线条进行测量。根据布拉格方程式同样可以证明：四、点阵常数精确测定的应用

1.固溶体类型的研究

固溶体类型的确定：晶胞参数和密度值→晶胞的总质量→原子或离子的数目→确定类型。

如一种奥氏体，Fe%（g/cm3）=86.5%，Mn%=12.1%，C%=1.34%；结构为面心立方a=3.631Å,ρ=7.83g/cm3,则其晶胞总质量为：m=ρ·a3=7.83×3.631×10－24g

四、点阵常数精确测定的应用

则一个晶胞内各原子的数目为：

n=m×N×Fe%/Fe＝m×N×86.5%/55.85=3.5

n=m×N×Mn%/Mn＝m×N×12.1%/54.93=0.5

n=m×N×C%/C＝m×N×1.34%/12=0.25

故在一个晶胞内各种原子的总数为4.25，大于面心立方结构一个晶胞中的原子数目4。从原子的半径考虑，Fe和Mn原子有相近的半径，其原子数目之和正好为4，占据了全部的结构位置，所以碳原子只能处于它们的间隙孔隙中。则一个晶胞内各原子的数目为：2.固溶体成分的测定

固溶体的成分→结构参数→性质

因此若建立固溶体成分与结构参数的关系曲线，则可利用精确的点阵常数的测定进行成分测定，同理，也可进行其它性质的测定。如天然生成的闪锌矿（立方β-ZnS）大都含有作为同晶置换的Fe，成分中FeS的含量增多时，a会相应增大，其中关系式为：

a=5.4093+0.0005637x+0.000004107x2 x为FeS的摩尔百分含量。

由此可通过精确测定a而求得FeS的含量。2.固溶体成分的测定

进而参考FeS的固容极限与温度的关系，可根据FeS的含量推知该矿物形成时的温度。 进而参考FeS的固容极限与温度的关系，可根据Fe

对于大多数固溶体，其点阵常数随溶质原子的浓度呈近似线性关系，即服从费伽（Vegard）定律：

式中，aA和aB分别表示固溶体组元A和B的点阵常数，ax为B的含量为x的时的点阵常数。对于大多数固溶体，其点阵常数随溶质原子的浓度呈近

以Cu－Au固溶体为例，两种金属均为立方面心结构，其点阵常数为3.615Å和4.078Å。设含c%Au原子的固溶体的点阵常数为x，按费伽定律，有： (x-3.615)/(4.078-3.615)=c%

故测出点阵常数，就可以根据曲线求出金原子的含量。以Cu－Au固溶体为例，两种金属均为立方面心结构3.固溶度的测定

充分利用固溶体的结构参数随成分的连续变化的原理，可以进行固溶度的测定，如可以精确测定合金体系中相图从单相区到两相区的相界。以二元体系为例：

A-B二元相图中的情况（B增加）固溶体的晶胞参数随溶质和的增加而改变，达到固溶限度后保持不变3.固溶度的测定A-B二元相图中的情况（B增加）固溶体的晶胞4.钢中马氏体和奥氏体的含碳量

马氏体的点阵参数a和c与含碳量呈直线关系，即：

a=aα-0.015x,c=aα+0.016xaα=0.2866nm，为纯α铁的点阵常数；x为马氏体中含碳质量分数。

由此，可事先计算出对应不同含碳量的c/a以及各晶面的面间距，将实验数据与计算值对比，即可确定含碳量，或者由精确测得的点阵常数计算含碳量。

在淬火高碳钢中有时出现奥氏体相，它是碳在γ－铁中的过饱和固溶体，其点阵参数与含碳量如下：

a=aγ－0.033x

aγ=0.3573nm。求出a即可求出奥氏体的含碳量。4.钢中马氏体和奥氏体的含碳量五、晶粒尺寸的测定

任意一个衍射峰，由5个要素组成：

峰位：面网间距的反映（Bragg定理）；

最大衍射强度：自身衍射强度及含量的函数；

半高宽及形态：晶体大小与应变的函数；

对称性：光源、试样吸收性、仪器机械装置及其它物相存在的函数。

因此，只有半高宽和形态可反映结晶度的好坏。五、晶粒尺寸的测定

一般情况下，晶体的颗粒越大（即每个颗粒所含的晶胞数目越多，则衍射效果越好。具体体现在衍射峰越敏锐。衍射峰的敏锐程度用半高宽来衡量。一般情况下，晶体的颗粒越大（即每个颗粒所含的晶胞数原理：通过实践证明，大于200nm的晶体颗粒，产生的X射线衍射从半高宽来衡量，都可为标准衍射，即衍射线的半高宽为一固定值。而当粒度小于200nm的时候，衍射线会发生宽化（相干散射的不完全所致）。并且粒度越小，半高宽越大，直到粒度小的类似于非晶体的时候，衍射峰变成平台状。原理：方法：在进行衍射分析时，加入30％－50％的标准物质（α石英、硅、α刚玉等）。标准物质：粒度大于200nm，结构稳定。测定待测样品的衍射峰的半高宽和标准物质的衍射峰的半高宽，用公式即可以得出纳米颗粒的平均粒度。方法：计算公式：

B＝0.9/(tcos)B:待测样品衍射峰的宽化度

t：晶面法线方向的晶粒尺寸（单位与相同）

宽化度B的计算：

B2＝Bm2－Bs2Bs、Bm分别为标准物质与待测物质的半高宽（单位：弧度）。计算公式：举例计算：

B2＝(0.61*Pi/180)2-(0.22*Pi/180)2B=0.0099

t＝0.9*1.5418/(B*cos15.56)=145Å举例计算：作业使用CuKα射线（波长＝1.5418Ǻ)，对等轴晶系的某物质粉末进行X射线衍射，得到的衍射峰的位置分别是：

2＝27.45,31.80,45.60,54.05,56.70,66.50,73.30,75.60,84.30

试将上述衍射峰进行指标化，并判定其空间格子类型。作业使用CuKα射线（波长＝1.5418Ǻ)，对等轴晶系的某第8章点阵常数及晶粒尺寸的测定第8章点阵常数及晶粒尺寸的测定一、点阵常数精确测定的意义及用途二、衍射线条的指标化三、点阵常数的精确测定四、点阵常数精确测定的应用五、晶粒尺寸的测定一、点阵常数精确测定的意义及用途一、点阵常数精确测定的意义及用途

物质的种类千差万别，即使是同种物质，经过不同的制备及加工过程，其晶体结构也存在较大差别。通过物相分析，可查找实测衍射线的PDF卡片，但也往往不能完全吻合，甚至有时完全找不到合适的卡片与谱线对应，在此情况下，可以利用衍射谱线来分析和计算晶体结构参数。一、点阵常数精确测定的意义及用途

精确的晶胞参数数据能够反映一种物质的不同试样间在结构上的细微差别，或者一种晶体结构在外界物理化学作用下产生的微小变化。它有很多重要的应用：如在相图研究、固溶体研究、晶体的密度、热膨胀系数的测定、金属材料中应力的测定以及矿物学类质同相系列研究等方面，均需要精确的晶胞参数。 精确的晶胞参数数据能够反映一种物质的不同试样间在结构上的细

一般利用X射线衍射方法，测定物质的晶体结构，步骤如下：（1）测定晶胞的形状及大小；（2）测定晶胞中的原子数目；（3）测定该物质晶体的点阵类型及对称情况；（4）根据衍射线条的强度，测定晶胞中的原子位置。 一般利用X射线衍射方法，测定物质的晶体结构，步骤如下：二、衍射线条的指标化1、衍射线条指标化的意义

衍射线条的指标化就是确定各衍射线所对应的衍射指数hkl。衍射线条指标化主要用途：a.点阵常数测定；b.晶粒大小测定;c.试样择优取向研究;d.类质同像研究e.粉末照片有无杂项存在（物相鉴定）f.“超级结构”研究（固溶体有序化）二、衍射线条的指标化2、衍射线条指标化方法有两类：

一类是图解法：适用于立方晶系、四方晶系和六方晶系。不适于低级晶轴。

另一类是分析法，对所有晶系都适用。

2、衍射线条指标化方法有两类：3、分析法的基本原理

分析主要是通过理论分析，确定各晶系不同晶面与sin2θ之间的关系。如果衍射谱线满足某种关系，则说明就属于该晶系。（1）立方晶系：a=b=c,α=β=γ=90˚

根据布拉格方程和晶面计算公式有：

立方晶系各衍射晶面（hkl)的sin2θhkl除满足上式外，sin2θhkl还有公因子A。3、分析法的基本原理 立方晶系各衍射晶面（hkl)的sin2（2）六方晶系和三方晶系

分析晶体学问题时，常将三方晶系归并到六方晶系中。同时进行矢量转化。

设在三方晶系中，基矢为a3,b3,c3，六方晶系中，基矢为a,b,c，则a=a3－b3，b＝b3－c3，c＝a3+b3+c3。

在六方晶系中，

a=b≠c,α=β=90˚，γ=120˚，同理可证明：

六方晶系各衍射晶面（hkl)的sin2θhkl除满足上式外，(hk0)面的sin2θhk0有公因子A。（2）六方晶系和三方晶系 六方晶系各衍射晶面（hkl)的si（3）四方晶系

在四方晶系中，a=b≠c,α=β=γ=90˚，同理可证明：

四方晶系各衍射晶面（hkl)的sin2θhkl除满足上式外，(hk0)面的sin2θhk0有公因子A，但各晶面的sin2θhk0之比值与六方晶系不同。（3）四方晶系 四方晶系各衍射晶面（hkl)的sin2θhk（4）斜方晶系

在斜方晶系中，a≠b≠c,α=β=γ=90˚，同理可证明：

斜方晶系各衍射晶面（hkl)的sin2θhkl除满足上式外，(h00)面的sin2θh00有公因子A。（4）斜方晶系 斜方晶系各衍射晶面（hkl)的sin2θhk（5）单斜晶系

在单斜晶系中，a≠b≠c,α=γ=90˚≠β，可证明：同理，可证明：则：

单斜晶系各衍射晶面（hkl)的sin2θhkl除满足上式第一式外，不同(h0l)面的sin2θh0l差值之比必然满足2D:4D:6D:8D:10D=1:2:3:4:5。（5）单斜晶系同理，可证明：则： 单斜晶系各衍射晶面（hkl（6）三斜晶系

在三斜晶系中，a≠b≠c,α≠γ≠β≠90˚。这类晶体的结构比较复杂，在各（hkl）衍射面的sin2θhkl值之间很难找到某种关系。根据这一特点，热能证明某物质的衍射谱线与上述五种晶系都不符合，而且又找不到各晶面的sin2θhkl值间的确切关系，则可以判断这种物质就是三斜晶系的结构。（6）三斜晶系4、X射线指标化分析方法（1）已知结构

当试样物相、所属晶系和点阵常数已知时，可将已知点阵常数代入面间距公式，求出各个(hkl)面对应的d值。然后将计算的d值与实测各衍射线d值进行比较，而面间距相同的指数应相同，由此可标出各衍射线的衍射指数。如下图。4、X射线指标化分析方法单晶硅的衍射图谱单晶硅的衍射图谱

当物相虽未知，但是属于前人已分析过的（在粉末衍射数据库中可查到），可找出该物相的标准卡片，将实测d值与卡片相比较，可利用卡片上记录的衍射指数来标定各衍射线的衍射指数。 当物相虽未知，但是属于前人已分析过的（在粉末衍射数据库中可（2）未知结构

当试样物相未知，需采用一般的指标化方法。

以立方晶系为例。

对于一个衍射图谱，必须收集足够多的衍射线条。因为要区别出简单立方和体心立方，在一个图谱上至少应有7条衍射线。（2）未知结构立方晶系指标化

对于立方点阵有：

A=λ2/(4a2）为常数。

因此，sin2θ1:sin2θ2:sin2θ3:…:sin2θn= =(h12+k12+l12):(h22+k22+l22):(h32+k32+l32):…=N1:N2:N3:…:Nn

式中，N1N2N3…Nn为一系列整数。由于hkl三个整数的平方和不可能等于7、15、23、28等，因此N1N2N3…Nn不可能出现7、15、23、28等，这些数称为禁数。

立方晶系指标化 A=λ2/(4a2）为常数。

在立方晶系中，不同点阵类型的晶体，由于结构因子的作用，能产生衍射的晶面不同，因此N值数列不同。

因此，求出衍射图谱上每条衍射线sin2θ值，列表；然后根据该值求出sin2θi/sin2θ1＝Ni/N1，列表，根据表中的数值比即可定出结构类型和衍射条指数。

在立方晶系中，不同点阵类型的晶体，由于结构因子的作用对于立方原始格子，Ni/N1的比值为1:2:3:4:5:6:7:8:9:10:…相应衍射指数为{100}{110}{111}{200}{210}{211}{220}…

对于立方体心格子，Ni/N1的比值为2:4:6:8:10:12:14:16:18:20:…相应衍射指数为{110}{200}{211}{220}{310}{222}{321}{400}…对于立方面心格子，Ni/N1的比值为3:4:8:11:12:16:19:20:24:…相应衍射指数为{111}{200}{221}{311}{222}{400}{331}{420}…

对于立方原始格子，Ni/N1的比值为1:2:3:4序号简单立方体心立方面心立方金620刚石立方hklNNi/N1hklNNi/N1hklNNi/N1hklNNi/N11100111102111131111312110222004220041.3322082.663111332116322082.66311113.6742004422084311113.67400165.33521055310105222124331196.33621166222126400165.33422248722088321147331196.333332798221,30099400168420206.675113210.6793101010330，4111894222484403511.671031111114202010333，5112795314013.33立方晶系的消光规律序号简单立方体心立方面心立方金620刚石立方hklNNi/N经过以上分析，立方晶系的衍射线指标化可以按以下步骤进行：①根据实测值求出sin2θ；②计算sin2θi/sin2θ1值，若不是整数，则乘以2或3，个别情况下乘以4，最后都化为整数；③根据各个N值得到相应的衍射指数，完成指标化。经过以上分析，立方晶系的衍射线指标化可以按以下步例1：CdTe的结构分析

测得试样密度为5.8289g/cm3，在金相显微镜上观察为均匀一致的单相，化学分析，其质量分数为Cd46.6%，Te53.4%。X射线衍射图谱。例1：CdTe的结构分析第一步：根据衍射图谱的2θ，计算sin2θ及Ni/N1（见表）;第二步：Ni/N1化整数，×3;第三步：根据（Ni/N1

）×3一列整数比，可判断该CdTe为面心立方结构，指标化见表中hkl，200，222，420未出现;第四步：根据布拉格方程，求出a=6.46Å；第五步：根据ρ及CdTe的摩尔质量，计算单位晶胞中的分子数n=(V×ρ×N)/M≈4；第一步：根据衍射图谱的2θ，计算sin2θ及Ni/N1（见表

第六步：面心立方格子，单位晶胞中有4个分子，结构只有两种：NaCl型和金刚石型，根据未出现的200,222,420晶面衍射，可确定为金刚石型(在NaCl结构中，这类晶面为强衍射线）。

则在CdTe结构中? Te(000,½½0,½0½,0½½） Cd(¼¼¼,¾¾¼,¾¼¾,¼¾¾) 第六步：面心立方格子，单位晶胞中有4个分子，结构只有两种：序号2θ（˚）sin2θNi/N1（Ni/N1）×3hkl相对强度I/%123.750.042313111100239.310.11312.67822060346.430.15543.671131130456.820.22645.35164006562.350.2686.331933110671.210.33898.012442210776.300.38169.0227333,5114884.470.451810.68324402989.410.494911.70355314CdTe的衍射数据及指标化序号2θ（˚）sin2θNi/N1（Ni/N1）×3hkl相例2：将Cs2TeBr6物质进行X射线衍射，得到其粉末衍射图谱。其2θ见表，对其进行指标化。序号2θsin2θNi/N1(Ni/N1)×3HklI(观察值）114˚2′0.014913111弱（W)216˚14′0.01991.334200极弱(VVW)323˚2′0.03992.678220中（M）427˚4′0.05473.6711311弱（W）528˚16′0.05974.0012222强（S）632˚50′0.07995.3616400次强（S－）735˚50′0.09476.3619331很弱(VW)840˚30′0.11978.0324422弱偏中(W+)943˚4′0.13479.0427331,511次弱（W－）1047˚8′0.159810.7232440次强（S－）例2：将Cs2TeBr6物质进行X射线衍射，得到其粉末衍射图首先，晶系识别，由表中数据可见，sin2θ有公因子A（0.005），则必为立方晶系；其次，晶格判断，据hkl可知，该晶体的全奇全偶的晶面有衍射，奇偶混杂时消光，因此可判断该晶体为立方面心格子。首先，晶系识别，由表中数据可见，sin2θ有公因子A（0.0

等轴晶系的结构比较简单，一般根据粉末衍射的数据，人工就可以对其进行指标化；而其它如单斜、三斜等晶系，结构复杂，计算工作量大，人工列表无法完成，应采用计算机程序完成指标化。Jade软件附带该功能。

等轴晶系的结构比较简单，一般根据粉末衍射的数据，人工就可以三、点阵常数的精确测定

一种结晶物质相在一定条件下具有一定的点阵参数，当温度、压力、化合物的化学剂量比、固溶体的组分以及晶体中杂质含量的变化都会引起点阵参数发生变化，但这种变化往往很小（约10－5nm数量级），因此必须对点阵参数进行精确测定。以便对晶体的热膨胀系数、固溶体类型的确定、固相溶解度曲线、宏观应力的变化、化学热处理等进行研究。三、点阵常数的精确测定

根据布拉格方程λ=2dsinθ可知，点阵常数测定中的精确度涉及两个问题：一是波长的精确度，二是布拉格角的精确度。

波长是经过精确测定的，精度达到10－6Å，对于一般的测定工作，可以认为没有误差。

因此，点阵常数的精度测定主要取决于sinθ的的精度，而θ的测定精度取决于仪器和方法。

根据布拉格方程λ=2dsinθ可知，点阵常数测定中的精确如图表示sinθ随θ角变化的情况。20406080901.00.80.60.40.2θ/（˚）sinθΔsinθ10Δθ80Δsinθ10Δθ10θ角与精确测定的关系

可以看出，在θ=90˚附近时，sinθ随θ角变化是及其缓慢的，假如在各种θ下测定精度Δθ相同，则在高θ下所得的sinθ值将会比在低θ角时所得到的要精确的多。如图表示sinθ随θ角变化的情况。20根据布拉格方程式同样可以证明：

＝2dsin微分＝2dsin＋2dcos不考虑波长误差，则0=d/d+ctg

d/d＝－ctg

当90，ctg0，

若恒定，则越大，d的误差越小；当θ趋近于90˚时，误差将会趋近于0。

因此，应选择角度尽可能高的线条进行测量。根据布拉格方程式同样可以证明：四、点阵常数精确测定的应用

1.固溶体类型的研究

固溶体类型的确定：晶胞参数和密度值→晶胞的总质量→原子或离子的数目→确定类型。

如一种奥氏体，Fe%（g/cm3）=86.5%，Mn%=12.1%，C%=1.34%；结构为面心立方a=3.631Å,ρ=7.83g/cm3,则其晶胞总质量为：m=ρ·a3=7.83×3.631×10－24g

四、点阵常数精确测定的应用

则一个晶胞内各原子的数目为：

n=m×N×Fe%/Fe＝m×N×86.5%/55.85=3.5

n=m×N×Mn%/Mn＝m×N×12.1%/54.93=0.5

n=m×N×C%/C＝m×N×1.34%/12=0.25

故在一个晶胞内各种原子的总数为4.25，大于面心立方结构一个晶胞中的原子数目4。从原子的半径考虑，Fe和Mn原子有相近的半径，其原子数目之和正好为4，占据了全部的结构位置，所以碳原子只能处于它们的间隙孔隙中。则一个晶胞内各原子的数目为：2.固溶体成分的测定

固溶体的成分→结构参数→性质

因此若建立固溶体成分与结构参数的关系曲线，则可利用精确的点阵常数的测定进行成分测定，同理，也可进行其它性质的测定。如天然生成的闪锌矿（立方β-ZnS）大都含有作为同晶置换的Fe，成分中FeS的含量增多时，a会相应增大，其中关系式为：

a=5.4093+0.0005637x+0.000004107x2 x为FeS的摩尔百分含量。

由此可通过精确测定a而求得FeS的含量。2.固溶体成分的测定

进而参考FeS的固容极限与温度的关系，可根据FeS的含量推知该矿物形成时的温度。 进而参考FeS的固容极限与温度的关系，可根据Fe

对于大多数固溶体，其点阵常数随溶质原子的浓度呈近似线性关系，即服从费伽（