线性系统理论26稳定性分析课件

1第2章线性系统理论1第2章线性系统理论2主要内容2.1基本概念2.2状态空间表达式的建立2.3线性变换2.4运动分析2.5综合问题2.6状态重构与状态观测器2.7最优控制2主要内容2.1基本概念32.4运动分析32.4运动分析42.4运动分析2.4.1定量分析

2.4.2定性分析42.4运动分析2.4.1定量分析

2.4.2定性分析二、李雅普诺夫第一法一、李雅普诺夫关于稳定性的定义三、李雅普诺夫第二法2.4.2定性分析—系统运动的稳定性2.4运动分析5二、李雅普诺夫第一法一、李雅普诺夫关于稳定性的定义三、李雅普一、李雅普诺夫关于稳定性的定义1、系统状态的运动及平衡状态设所研究系统的齐次状态方程为（1）

式中，为维状态矢量；为与同维的矢量函数，它是x的各元素和时间的函数。一般地，为时变的非线性函数。如果不显含，则为定常的非线性系统。设方程式(1)在给定初始条件下，有唯一解：（2）式中，为表示在初始时刻时的状态；是从2.4运动分析6一、李雅普诺夫关于稳定性的定义1、系统状态的运动及平衡状态设开始观察的时间变量。

式(2)实际上描述了系统式(1)在n维状态空间中从初始条件出发的一条状态运动的轨迹，简称系统的运动或状态轨线。

若系统式(1)存在状态矢量

，对所有，都使：成立，则称为系统的平衡状态。（3）

对于一个任意系统，不一定都存在平衡状态，有时即使存在也未必是唯一的，例如对线性定常系统：

当A为非奇异矩阵时，满足的解是系统唯一存在的一个平衡状态。而当A为奇异矩阵时，则系统将有无穷多个平衡状态。（4）2.4运动分析7开始观察的时间变量。式(2)实际上描述了系统式(

对非线性系统，通常可有一个或多个平衡状态。它们是由方程式(3)所确定的常值解．例加系系统：就有三个平衡状态：

由于任意一个已知的平衡状态，都可以通过坐标变换将其移到坐标原点处。所以今后将只讨论系统在坐标原点处的稳定性就可以了。2.4运动分析8对非线性系统，通常可有一个或多个平衡状态。它们

若用表示状态矢量与平衡状态的距离，用点集表示以为中心为半径的超球体，那么，则表示：（5）式中，为欧几里德范数。在n维状态空间中，有：（6）

当很小时，则称为的邻域。因此，若有，则意味着同理，若方程式(1)的解位于球域内，便有：2.4运动分析9若用表示状态矢量与平（7）

式(7)表明齐次方程式(1)内初态或短暂扰动所引起的自由响应是有界的。李雅普诺夫根据系统自由响应是否有界把系统的稳定性定义以下几种情况。2.4运动分析10（7）式(7)表明齐次方程式(1)内初态如果对于所有t，满足的状态称为平衡状态（平衡点）。1)平衡状态:

平衡状态的各分量不再随时间变化；若已知状态方程，令所求得的解x,便是平衡状态。

（1）只有状态稳定，输出必然稳定；（2）稳定性与输入无关。2)李雅普诺夫稳定性定义：

如果对于任意小的

>0，均存在一个，当初始状态满足时，系统运动轨迹满足lim

，则称该平衡状态xe是李雅普诺夫意义下稳定的，简称是稳定的。表示状态空间中x0点至xe点之间的距离，其数学表达式为：3)一致稳定性：

通常δ与、t0

都有关。如果δ与t0

无关，则称平衡状态是一致稳定的。定常系统的δ与t0

无关，因此定常系统如果稳定，则一定是一致稳定的。2.4运动分析112、稳定性的几个定义如果对于所有t，满足的状124）渐近稳定性：

系统的平衡状态不仅具有李雅普若夫意义下的稳定性，且有：

称此平衡状态是渐近稳定的。5）大范围稳定性：

当初始条件扩展至整个状态空间，且具有稳定性时，称此平衡状态是大范围稳定的，或全局稳定的。此时。

6）不稳定性：

不论δ取得得多么小，只要在内有一条从x0

出发的轨迹跨出，则称此平衡状态是不稳定的。注意：按李雅普诺夫意义下的稳定性定义，当系统作不衰减的振荡运动时则认为是稳定的，同经典控制理论中的稳定性定义是有差异的。经典控制理论的稳定是李雅普诺夫意义下的一致渐近稳定。2.4运动分析124）渐近稳定性：系统的平衡状态不仅具有李雅普若夫13稳定性定义的平面几何表示

设系统初始状态x0位于平衡状态xe

为球心、半径为δ的闭球域内，如果系统稳定，则状态方程的解在的过程中，都位于以xe为球心，半径为ε的闭球域内。

（a）李雅普诺夫意义下的稳定性

（b）渐近稳定性

（c）不稳定性2.4运动分析13稳定性定义的平面几何表示设系统初始状态x0位二、李雅普诺夫第一法1、线性系统的稳定判据线性定常系统（1）

平衡状态渐近稳定的充要条件是矩阵A的所有特征值均具有负实部。

以上讨论的都是指系统的状态稳定性，或称内部稳定性。但从工程意义上看，往往更重视系统的输出稳定性。

如果系统对于有界输入所引起的输出

是有界的，则称系统为输出稳定。

线性定常系统输出稳定的充要条件是其传递函数：2.4运动分析14二、李雅普诺夫第一法1、线性系统的稳定判据线性定常系统（1）的极点全部位于s的左半平面。（2）例：设系统的状态空间表达式为：试分析系统的状态稳定和输出稳定性。2.4运动分析15的极点全部位于s的左半平面。（2）例：设系统的状态空间表达式

设为由维矢量所定义的标量函数，，且在处恒有。三、李雅普诺夫第二法

李雅普诺夫第二法又称直接法。它的基本思路不是通过求解系统的运动方程，而是借助于一个李雅普诺夫函数来直接对系统平衡状态的稳定性做出判断。它是从能量观点进行稳定性分析的。1、预备知识（1）标量函数的符号性质所有在域中的任何非零矢量，如果：2.4运动分析16设为由维矢量所定义（2）二次型标量函数

二次型函数在李雅普诺夫第二方法分析系统的稳定性中起着很重要的作用。设为n个变量，定义二次型标量函数为：（8）2.4运动分析17（2）二次型标量函数二次型函数在李雅普诺夫第二矩阵P的符号性质定义如下：设P为实对称方阵，为由P所决定的二次型函数。（3）希尔维斯特判据设实对阵矩阵：

由此可见，矩阵P的符号性质与由其所决定的二次型函数的符号性质完全一致。因此，要判别的符号只要判别P的符号即可。而后者可由希尔维斯特(Sylvester)判据进行判定。2.4运动分析18矩阵P的符号性质定义如下：设P为实对称（9）为其各阶顺序主子行列式：（10）矩阵定号性的充要条件是：2.4运动分析19（9）为其各阶顺序主子行列式：（10）矩阵2、几个稳定性判据用李雅普诺夫第二法分析系统的稳定性，可概括为以下几个稳定性判据。平衡状态为。

设系统的状态方程为：（11）如果存在一个标量函数，它满足：2.4运动分析202、几个稳定性判据用李雅普诺夫第二法分析系统的稳定性，可概括2)是正定的，即当。3)沿状态轨迹方向计算的时间导数分别满足下列条件：①若为半负定，那么平衡状态为在李雅普诺夫意义下稳定。此称稳定判据。②若为负定；或者虽然为半负定．但对任意初始状态来说，除去外，对不恒为零。那么原点平衡状态是渐近稳定的。如果进一步还，则系统是大范围渐近稳定的。此称渐近稳定判据。1)对所有z都具有连续的一阶偏导数。2.4运动分析212)是正定的，即当3、对李雅普诺夫函数的讨论1)是满足稳定性判据条件的一个正定的标量函数，且对x应具有连续的一阶偏导数。2)对于一个给定系统，如果是可找到的，那么通常是非唯一的，但这并不影响结论的一致性。3)的最简单形式是二次型函数：4)如果为二次型，且可表示为：③若为正定，那么平衡状态是不稳定的。此称不稳定判据。2.4运动分析223、对李雅普诺夫函数的讨论1)6)由于构造函数需要较多技巧，因此，李雅普诺夫第二法主要用于确定那些使用别的方法无效或难以判别其稳定性的问题。例如高阶的非线性系统或时变系统。5)函数只表示系统在平衡状态附近某邻域内局部运动的稳定情况，丝毫不能提供域外运动的任何信息。（12）2.4运动分析236)由于构造函数需要较多技巧2.4运动分析例2.23已知线性系统的状态矩阵，判断系统的稳定性。解(1)：线性系统因状态矩阵的逆存在，所以系统只存在一个在原点处的平衡点；取能量函数，满足条件；计算该系统能量的变化量：显然，能量的变化量函数正定。结论：此系统不稳定。242.4运动分析例2.23242.4运动分析解(2)：线性系统因状态矩阵的逆存在，所以只存在一个在原点处的平衡点；取能量函数

，满足条件；计算该系统的能量的变化量：

显然，能量的变化量函数半负定。需要进一步确定在非平衡点处是否衡等于零：

令

代入状态方程得

所以当时，必有不衡为零。结论：此系统稳定，又有线性系统稳定则为大范围稳定。重新选择能量函数，得负定，结论相同。252.4运动分析252.4运动分析例2.24试用李雅普诺夫第二法判断下列非线性系统的稳定性。

解

令及，可以解得原点（）是系统的唯一平衡状态。，则将状态方程代入有显然负定，根据定理1，原点是渐近稳定的。鉴于只有一个平衡状态，该非线性与t无关，系统大范围一致渐近稳定。取李雅普诺夫函数为系统是大范围渐近稳定的。因262.4运动分析例2.24试用李雅普诺夫第二法判断下列非线2.4运动分析例2.25试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。，解

令得知原点是唯一的平衡状态。选则当时，；当时，故不定，不能对稳定性作出判断，应重选选，则考虑状态方程后得对于非零状态（如）存在，对于其余非零状态，，故根据定理2，原点是渐近稳定的，且是大范围一致渐近稳定。负半定。272.4运动分析例2.25试判断下列线性系统平衡状态的稳定2.4运动分析例2.26试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。

，解由可知原点是唯一平衡状态。选，考虑状态方程则有

对所有状态，，故系统是李雅普诺夫意义下稳定的。282.4运动分析例2.26试判断下列线性系统平衡状态的稳定2.4运动分析例2.27试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。解原点是唯一平衡状态。选，则，与故存在非零状态（如使而对其余任意状态有，故根据定理4的推论，系统不稳定。无关，)正半定。292.4运动分析例2.27试判断下列线性系统平衡状态的稳定2.4运动分析解

是系统的唯一平衡状态，方程中的常数项可以看作是阶跃输入作用的，得到原状态方程在状态空间（1，1）处稳定性判别问题就变成变换后状态方程在X

对其求导考虑状态方程得到系统原点是大范围一致渐近稳定的，因而原系统在平衡状态（1，1）处是大结果。作坐标变换选状态空间原点处稳定性的判别问题。围一致渐近稳定的。例2.28试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。302.4运动分析解是系统的唯一平衡状态，方程中的常数项可31第2章线性系统理论1第2章线性系统理论32主要内容2.1基本概念2.2状态空间表达式的建立2.3线性变换2.4运动分析2.5综合问题2.6状态重构与状态观测器2.7最优控制2主要内容2.1基本概念332.4运动分析32.4运动分析342.4运动分析2.4.1定量分析

2.4.2定性分析42.4运动分析2.4.1定量分析

2.4.2定性分析二、李雅普诺夫第一法一、李雅普诺夫关于稳定性的定义三、李雅普诺夫第二法2.4.2定性分析—系统运动的稳定性2.4运动分析35二、李雅普诺夫第一法一、李雅普诺夫关于稳定性的定义三、李雅普一、李雅普诺夫关于稳定性的定义1、系统状态的运动及平衡状态设所研究系统的齐次状态方程为（1）

式中，为维状态矢量；为与同维的矢量函数，它是x的各元素和时间的函数。一般地，为时变的非线性函数。如果不显含，则为定常的非线性系统。设方程式(1)在给定初始条件下，有唯一解：（2）式中，为表示在初始时刻时的状态；是从2.4运动分析36一、李雅普诺夫关于稳定性的定义1、系统状态的运动及平衡状态设开始观察的时间变量。

式(2)实际上描述了系统式(1)在n维状态空间中从初始条件出发的一条状态运动的轨迹，简称系统的运动或状态轨线。

若系统式(1)存在状态矢量

，对所有，都使：成立，则称为系统的平衡状态。（3）

对于一个任意系统，不一定都存在平衡状态，有时即使存在也未必是唯一的，例如对线性定常系统：

当A为非奇异矩阵时，满足的解是系统唯一存在的一个平衡状态。而当A为奇异矩阵时，则系统将有无穷多个平衡状态。（4）2.4运动分析37开始观察的时间变量。式(2)实际上描述了系统式(

对非线性系统，通常可有一个或多个平衡状态。它们是由方程式(3)所确定的常值解．例加系系统：就有三个平衡状态：

由于任意一个已知的平衡状态，都可以通过坐标变换将其移到坐标原点处。所以今后将只讨论系统在坐标原点处的稳定性就可以了。2.4运动分析38对非线性系统，通常可有一个或多个平衡状态。它们

若用表示状态矢量与平衡状态的距离，用点集表示以为中心为半径的超球体，那么，则表示：（5）式中，为欧几里德范数。在n维状态空间中，有：（6）

当很小时，则称为的邻域。因此，若有，则意味着同理，若方程式(1)的解位于球域内，便有：2.4运动分析39若用表示状态矢量与平（7）

式(7)表明齐次方程式(1)内初态或短暂扰动所引起的自由响应是有界的。李雅普诺夫根据系统自由响应是否有界把系统的稳定性定义以下几种情况。2.4运动分析40（7）式(7)表明齐次方程式(1)内初态如果对于所有t，满足的状态称为平衡状态（平衡点）。1)平衡状态:

平衡状态的各分量不再随时间变化；若已知状态方程，令所求得的解x,便是平衡状态。

（1）只有状态稳定，输出必然稳定；（2）稳定性与输入无关。2)李雅普诺夫稳定性定义：

如果对于任意小的

>0，均存在一个，当初始状态满足时，系统运动轨迹满足lim

，则称该平衡状态xe是李雅普诺夫意义下稳定的，简称是稳定的。表示状态空间中x0点至xe点之间的距离，其数学表达式为：3)一致稳定性：

通常δ与、t0

都有关。如果δ与t0

无关，则称平衡状态是一致稳定的。定常系统的δ与t0

无关，因此定常系统如果稳定，则一定是一致稳定的。2.4运动分析412、稳定性的几个定义如果对于所有t，满足的状424）渐近稳定性：

系统的平衡状态不仅具有李雅普若夫意义下的稳定性，且有：

称此平衡状态是渐近稳定的。5）大范围稳定性：

当初始条件扩展至整个状态空间，且具有稳定性时，称此平衡状态是大范围稳定的，或全局稳定的。此时。

6）不稳定性：

不论δ取得得多么小，只要在内有一条从x0

出发的轨迹跨出，则称此平衡状态是不稳定的。注意：按李雅普诺夫意义下的稳定性定义，当系统作不衰减的振荡运动时则认为是稳定的，同经典控制理论中的稳定性定义是有差异的。经典控制理论的稳定是李雅普诺夫意义下的一致渐近稳定。2.4运动分析124）渐近稳定性：系统的平衡状态不仅具有李雅普若夫43稳定性定义的平面几何表示

设系统初始状态x0位于平衡状态xe

为球心、半径为δ的闭球域内，如果系统稳定，则状态方程的解在的过程中，都位于以xe为球心，半径为ε的闭球域内。

（a）李雅普诺夫意义下的稳定性

（b）渐近稳定性

（c）不稳定性2.4运动分析13稳定性定义的平面几何表示设系统初始状态x0位二、李雅普诺夫第一法1、线性系统的稳定判据线性定常系统（1）

平衡状态渐近稳定的充要条件是矩阵A的所有特征值均具有负实部。

以上讨论的都是指系统的状态稳定性，或称内部稳定性。但从工程意义上看，往往更重视系统的输出稳定性。

如果系统对于有界输入所引起的输出

是有界的，则称系统为输出稳定。

线性定常系统输出稳定的充要条件是其传递函数：2.4运动分析44二、李雅普诺夫第一法1、线性系统的稳定判据线性定常系统（1）的极点全部位于s的左半平面。（2）例：设系统的状态空间表达式为：试分析系统的状态稳定和输出稳定性。2.4运动分析45的极点全部位于s的左半平面。（2）例：设系统的状态空间表达式

设为由维矢量所定义的标量函数，，且在处恒有。三、李雅普诺夫第二法

李雅普诺夫第二法又称直接法。它的基本思路不是通过求解系统的运动方程，而是借助于一个李雅普诺夫函数来直接对系统平衡状态的稳定性做出判断。它是从能量观点进行稳定性分析的。1、预备知识（1）标量函数的符号性质所有在域中的任何非零矢量，如果：2.4运动分析46设为由维矢量所定义（2）二次型标量函数

二次型函数在李雅普诺夫第二方法分析系统的稳定性中起着很重要的作用。设为n个变量，定义二次型标量函数为：（8）2.4运动分析47（2）二次型标量函数二次型函数在李雅普诺夫第二矩阵P的符号性质定义如下：设P为实对称方阵，为由P所决定的二次型函数。（3）希尔维斯特判据设实对阵矩阵：

由此可见，矩阵P的符号性质与由其所决定的二次型函数的符号性质完全一致。因此，要判别的符号只要判别P的符号即可。而后者可由希尔维斯特(Sylvester)判据进行判定。2.4运动分析48矩阵P的符号性质定义如下：设P为实对称（9）为其各阶顺序主子行列式：（10）矩阵定号性的充要条件是：2.4运动分析49（9）为其各阶顺序主子行列式：（10）矩阵2、几个稳定性判据用李雅普诺夫第二法分析系统的稳定性，可概括为以下几个稳定性判据。平衡状态为。

设系统的状态方程为：（11）如果存在一个标量函数，它满足：2.4运动分析502、几个稳定性判据用李雅普诺夫第二法分析系统的稳定性，可概括2)是正定的，即当。3)沿状态轨迹方向计算的时间导数分别满足下列条件：①若为半负定，那么平衡状态为在李雅普诺夫意义下稳定。此称稳定判据。②若为负定；或者虽然为半负定．但对任意初始状态来说，除去外，对不恒为零。那么原点平衡状态是渐近稳定的。如果进一步还，则系统是大范围渐近稳定的。此称渐近稳定判据。1)对所有z都具有连续的一阶偏导数。2.4运动分析512)是正定的，即当3、对李雅普诺夫函数的讨论1)是满足稳定性判据条件的一个正定的标量函数，且对x应具有连续的一阶偏导数。2)对于一个给定系统，如果是可找到的，那么通常是非唯一的，但这并不影响结论的一致性。3)的最简单形式是二次型函数：4)如果为二次型，且可表示为：③若为正定，那么平衡状态是不稳定的。此称不稳定判据。2.4运动分析523、对李雅普诺夫函数的讨论1)6)由于构造函数需要较多技巧，因此，李雅普诺夫第二法主要用于确定那些使用别的方法无效或难以判别其稳定性的问题。例如高阶的非线性系统或时变系统。5)函数只表示系统在平衡状态附近某邻域内局部运动的稳定情况，丝毫不能提供域外运动的任何信息。（12）2.4运动分析536)由于构造函数需要较多技巧2.4运动分析例2.23已知线性系统的状态矩阵，判断系统的稳定性。解(1)：线性系统因状态矩阵的逆存在，所以系统只存在一个在原点处的平衡点；取能量函数，满足条件；计算该系统能量的变化量：显然，能量的变化量函数正定。结论：此系统不稳定。542.4运动分析例2.23242.4运动分析解(2)：线性系统因状态矩阵的逆存在，所以只存在一个在原点处的平衡点；取能量函