高中数学苏教版选修1-1课件：第二章-242-抛物线的几何性质课件

2.4.2抛物线的几何性质第2章

§2.4抛物线2.4.2抛物线的几何性质第2章§2.4抛物线1.掌握抛物线的简单几何性质.2.能运用抛物线的简单几何性质解决与抛物线有关的问题.学习目标1.掌握抛物线的简单几何性质.学习目标栏目索引知识梳理自主学习题型探究重点突破当堂检测自查自纠栏目索引知识梳理自主学习题型探知识梳理自主学习知识点一抛物线的几何性质标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)图形知识梳理答案性质范围

，y∈R

，y∈Rx∈R，

1x∈R，

1对称轴x轴x轴y轴y轴顶点

1离心率

1(0,0)x≥0x≤0y≥0y≤0e=1答案性质范围，y∈R ，y知识点二焦点弦答案x1＋x2＋p知识点二焦点弦答案x1＋x2＋p知识点三直线与抛物线的位置关系直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程

的解的个数.当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有

个不同的公共点；当Δ＝0时，直线与抛物线有

个公共点；当Δ<0时，直线与抛物线

公共点.当k＝0时，直线与抛物线的对称轴

，此时直线与抛物线有

个公共点.返回k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0答案两一没有平行或重合一知识点三直线与抛物线的位置关系返回k2x2＋2(kb－p)

题型探究重点突破题型一抛物线的几何性质解析答案反思与感悟题型探究反思与感悟反思与感悟(1)注意抛物线各元素间的关系：抛物线的焦点始终在对称轴上，抛物线的顶点就是抛物线与对称轴的交点，抛物线的准线始终与对称轴垂直，抛物线的准线与对称轴的交点和焦点关于抛物线的顶点对称.(2)解决抛物线问题要始终把定义的应用贯彻其中，通过定义的运用，实现两个距离之间的转化，简化解题过程.反思与感悟(1)注意抛物线各元素间的关系：抛物线的焦点始终在对称轴上，跟踪训练1

已知抛物线的对称轴在坐标轴上，以原点为顶点，且经过点M(1，－2).求抛物线的标准方程和准线方程.解析答案跟踪训练1已知抛物线的对称轴在坐标轴上，以原点为顶点，且经解(1)当抛物线的焦点在x轴上时，设其标准方程为y2＝mx(m≠0).将点M(1，－2)代入，得m＝4.∴抛物线的标准方程为y2＝4x.(2)当抛物线的焦点在y轴上时，设其标准方程为x2＝ny(n≠0).解(1)当抛物线的焦点在x轴上时，

解析答案反思与感悟

解析答案反思与感悟所以直线AB的斜率存在，设为k，解析答案反思与感悟消去x，整理得ky2－2py－kp2＝0.所以直线AB的斜率存在，设为k，解析答案反思与感悟消去x，整反思与感悟解得k＝±2.反思与感悟解得k＝±2.(1)解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解.(2)设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论.反思与感悟(1)解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用解析答案跟踪训练2

已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点.(1)若直线l的倾斜角为60°，求AB的值；解析答案跟踪训练2已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，解因为直线l的倾斜角为60°，若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝5，＝x1＋x2＋p.所以AB＝5＋3＝8.解因为直线l的倾斜角为60°，若设A(x1，y1)，B(x解析答案(2)若AB＝9，求线段AB的中点M到准线的距离.解设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知所以x1＋x2＝6，于是线段AB的中点M的横坐标是3，解析答案(2)若AB＝9，求线段AB的中点M到准线的距离.解题型三直线与抛物线的位置关系例3

已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，直线l与抛物线C有：(1)一个公共点；(2)两个公共点；(3)没有公共点.解析答案反思与感悟题型三直线与抛物线的位置关系解析答案反思与感悟消去y，得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.(*)当k＝0时，方程(*)只有一个解，当k≠0时，方程(*)为一元二次方程，Δ＝(2k－4)2－4k2，解析答案消去y，得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.(*)当k≠0时①当Δ>0，即k<1且k≠0时，直线l与抛物线C有两个公共点，此时直线l与抛物线C相交；②当Δ＝0，即k＝1时，直线l与抛物线C有一个公共点，此时直线l与抛物线C相切；③当Δ<0，即k>1时，直线l与抛物线C没有公共点，此时直线l与抛物线C相离.综上所述，(1)当k＝1或k＝0时，直线l与抛物线C有一个公共点；(2)当k<1且k≠0时，直线l与抛物线C有两个公共点；(3)

当k>1时，直线l与抛物线C没有公共点.反思与感悟①当Δ>0，即k<1且k≠0时，直线l与抛物线C有两个公共点直线与抛物线交点的个数，等价于直线方程与抛物线方程联立得到的方程组解的个数.注意直线斜率不存在和得到的方程二次项系数为0的情况.反思与感悟直线与抛物线交点的个数，等价于直线方程与抛物线方程联立得到的解析答案跟踪训练3

如图，过抛物线y2＝x上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条直线AB，AC交抛物线于B，C两点，求证：直线BC的斜率是定值.解析答案跟踪训练3如图，过抛物线y2＝x上一点A(4,2)证明设kAB＝k(k≠0)，∵直线AB，AC的倾斜角互补，∴kAC＝－k(k≠0)，∴直线AB的方程是y＝k(x－4)＋2.消去y后，整理得k2x2＋(－8k2＋4k－1)x＋16k2－16k＋4＝0.∵A(4,2)，B(xB，yB)是上述方程组的解.解析答案证明设kAB＝k(k≠0)，消去y后，整理得解析答案∴直线BC的斜率为定值.∴直线BC的斜率为定值.解析答案返回解后反思思想方法分类讨论思想的应用解析答案返回解后反思思想方法分类讨论思想的应用解析答案分析由于抛物线的开口有两种可能性：向左或向右，其标准方程可以设为y2＝2px(p＞0)或y2＝－2px(p＞0).解设直线和抛物线相交于点A(x1，y1)，B(x2，y2).(1)当抛物线开口向右时，消去y，得4x2－(2p－4)x＋1＝0.解后反思解析答案分析由于抛物线的开口有两种可能性：向左或向右，其标解得p＝－2(负值舍去)或p＝6，故抛物线的标准方程为y2＝12x.(2)当抛物线开口向左时，设抛物线的标准方程为y2＝－2p1x(p1＞0)，同理可得p1＝2，此时所求抛物线的标准方程为y2＝－4x.综上所述，抛物线的标准方程为y2＝－4x或y2＝12x.解后反思解得p＝－2(负值舍去)或p＝6，解后反思分类讨论思想在解决抛物线问题时经常用到，如对抛物线的开口方向进行讨论，对直线的斜率是否存在进行讨论，对判别式Δ的取值范围进行讨论等.返回解后反思分类讨论思想在解决抛物线问题时经常用到，如对抛物线的开口方向当堂检测123451.以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为__________________.解析设抛物线y2＝2px或y2＝－2px(p>0)，解析答案得|y|＝p，∴2|y|＝2p＝8，p＝4.∴抛物线方程为y2＝8x或y2＝－8x.y2＝8x或y2＝－8x当堂检测123451.以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦123452.若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为____________.解析答案123452.若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶123453.抛物线y＝4x2上一点到直线y＝4x－5的距离最短，则该点坐标为__________.解析答案123453.抛物线y＝4x2上一点到直线y＝4x－5的距离12345解析因为y＝4x2与y＝4x－5不相交，设与y＝4x－5平行的直线方程为y＝4x＋m.设此直线与抛物线相切，此时有Δ＝0，即Δ＝16＋16m＝0，∴m＝－1.12345解析因为y＝4x2与y＝4x－5不相交，设与y＝12345解析答案4.经过抛物线y2＝2x的焦点且平行于直线3x－2y＋5＝0的直线l的方程是____________.6x－4y－3＝012345解析答案4.经过抛物线y2＝2x的焦点且平行于直线12345解析答案5.已知直线x－y＋1＝0与抛物线y＝ax2相切，则a＝________.∵直线与抛物线相切，∴a≠0且Δ＝1＋4a＝0.12345解析答案5.已知直线x－y＋1＝0与抛物线y＝ax课堂小结1.讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程.2.直线与抛物线的相交弦问题共有两类，一类是过焦点的弦，一类是不过焦点的弦.解决弦的问题，大多涉及到抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率.常用的办法是将直线方程与抛物线方程联立，转化为关于x或y的一元二次方程，然后利用根与系数的关系，这样避免求交点.尤其是弦的中点问题，还应注意“点差法”的运用.课堂小结1.讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程3.判断直线与抛物线位置关系的两种方法(1)几何法：利用图象，数形结合，判断直线与抛物线的位置关系，但有误差影响判断的结果.(2)代数法：设直线l的方程为y＝kx＋m，抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x(或y)的一元二次方程形式：Ax2＋Bx＋C＝0(或Ay2＋By＋C＝0).3.判断直线与抛物线位置关系的两种方法返回直线与抛物线有一个交点，是直线与抛物线相切的必要不充分条件.返回直线与抛物线有一个交点，是直线与抛物线相切的必要不充分条本课结束本课结束2.4.2抛物线的几何性质第2章

§2.4抛物线2.4.2抛物线的几何性质第2章§2.4抛物线1.掌握抛物线的简单几何性质.2.能运用抛物线的简单几何性质解决与抛物线有关的问题.学习目标1.掌握抛物线的简单几何性质.学习目标栏目索引知识梳理自主学习题型探究重点突破当堂检测自查自纠栏目索引知识梳理自主学习题型探知识梳理自主学习知识点一抛物线的几何性质标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)图形知识梳理答案性质范围

，y∈R

，y∈Rx∈R，

1x∈R，

1对称轴x轴x轴y轴y轴顶点

1离心率

1(0,0)x≥0x≤0y≥0y≤0e=1答案性质范围，y∈R ，y知识点二焦点弦答案x1＋x2＋p知识点二焦点弦答案x1＋x2＋p知识点三直线与抛物线的位置关系直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程

的解的个数.当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有

个不同的公共点；当Δ＝0时，直线与抛物线有

个公共点；当Δ<0时，直线与抛物线

公共点.当k＝0时，直线与抛物线的对称轴

，此时直线与抛物线有

个公共点.返回k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0答案两一没有平行或重合一知识点三直线与抛物线的位置关系返回k2x2＋2(kb－p)

题型探究重点突破题型一抛物线的几何性质解析答案反思与感悟题型探究反思与感悟反思与感悟(1)注意抛物线各元素间的关系：抛物线的焦点始终在对称轴上，抛物线的顶点就是抛物线与对称轴的交点，抛物线的准线始终与对称轴垂直，抛物线的准线与对称轴的交点和焦点关于抛物线的顶点对称.(2)解决抛物线问题要始终把定义的应用贯彻其中，通过定义的运用，实现两个距离之间的转化，简化解题过程.反思与感悟(1)注意抛物线各元素间的关系：抛物线的焦点始终在对称轴上，跟踪训练1

已知抛物线的对称轴在坐标轴上，以原点为顶点，且经过点M(1，－2).求抛物线的标准方程和准线方程.解析答案跟踪训练1已知抛物线的对称轴在坐标轴上，以原点为顶点，且经解(1)当抛物线的焦点在x轴上时，设其标准方程为y2＝mx(m≠0).将点M(1，－2)代入，得m＝4.∴抛物线的标准方程为y2＝4x.(2)当抛物线的焦点在y轴上时，设其标准方程为x2＝ny(n≠0).解(1)当抛物线的焦点在x轴上时，

解析答案反思与感悟

解析答案反思与感悟所以直线AB的斜率存在，设为k，解析答案反思与感悟消去x，整理得ky2－2py－kp2＝0.所以直线AB的斜率存在，设为k，解析答案反思与感悟消去x，整反思与感悟解得k＝±2.反思与感悟解得k＝±2.(1)解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解.(2)设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论.反思与感悟(1)解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用解析答案跟踪训练2

已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点.(1)若直线l的倾斜角为60°，求AB的值；解析答案跟踪训练2已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，解因为直线l的倾斜角为60°，若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝5，＝x1＋x2＋p.所以AB＝5＋3＝8.解因为直线l的倾斜角为60°，若设A(x1，y1)，B(x解析答案(2)若AB＝9，求线段AB的中点M到准线的距离.解设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知所以x1＋x2＝6，于是线段AB的中点M的横坐标是3，解析答案(2)若AB＝9，求线段AB的中点M到准线的距离.解题型三直线与抛物线的位置关系例3

已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，直线l与抛物线C有：(1)一个公共点；(2)两个公共点；(3)没有公共点.解析答案反思与感悟题型三直线与抛物线的位置关系解析答案反思与感悟消去y，得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.(*)当k＝0时，方程(*)只有一个解，当k≠0时，方程(*)为一元二次方程，Δ＝(2k－4)2－4k2，解析答案消去y，得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.(*)当k≠0时①当Δ>0，即k<1且k≠0时，直线l与抛物线C有两个公共点，此时直线l与抛物线C相交；②当Δ＝0，即k＝1时，直线l与抛物线C有一个公共点，此时直线l与抛物线C相切；③当Δ<0，即k>1时，直线l与抛物线C没有公共点，此时直线l与抛物线C相离.综上所述，(1)当k＝1或k＝0时，直线l与抛物线C有一个公共点；(2)当k<1且k≠0时，直线l与抛物线C有两个公共点；(3)

当k>1时，直线l与抛物线C没有公共点.反思与感悟①当Δ>0，即k<1且k≠0时，直线l与抛物线C有两个公共点直线与抛物线交点的个数，等价于直线方程与抛物线方程联立得到的方程组解的个数.注意直线斜率不存在和得到的方程二次项系数为0的情况.反思与感悟直线与抛物线交点的个数，等价于直线方程与抛物线方程联立得到的解析答案跟踪训练3

如图，过抛物线y2＝x上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条直线AB，AC交抛物线于B，C两点，求证：直线BC的斜率是定值.解析答案跟踪训练3如图，过抛物线y2＝x上一点A(4,2)证明设kAB＝k(k≠0)，∵直线AB，AC的倾斜角互补，∴kAC＝－k(k≠0)，∴直线AB的方程是y＝k(x－4)＋2.消去y后，整理得k2x2＋(－8k2＋4k－1)x＋16k2－16k＋4＝0.∵A(4,2)，B(xB，yB)是上述方程组的解.解析答案证明设kAB＝k(k≠0)，消去y后，整理得解析答案∴直线BC的斜率为定值.∴直线BC的斜率为定值.解析答案返回解后反思思想方法分类讨论思想的应用解析答案返回解后反思思想方法分类讨论思想的应用解析答案分析由于抛物线的开口有两种可能性：向左或向右，其标准方程可以设为y2＝2px(p＞0)或y2＝－2px(p＞0).解设直线和抛物线相交于点A(x1，y1)，B(x2，y2).(1)当抛物线开口向右时，消去y，得4x2－(2p－4)x＋1＝0.解后反思解析答案分析由于抛物线的开口有两种可能性：向左或向右，其标解得p＝－2(负值舍去)或p＝6，故抛物线的标准方程为y2＝12x.(2)当抛物线开口向左时，设抛物线的标准方程为y2＝－2p1x(p1＞0)，同理可得p1＝2，此时所求抛物线的标准方程为y2＝－4x.综上所述，抛物线的标准方程为y2＝－4x或y2＝12x.解后反思解得p＝－2(负值舍去)或p＝6，解后反思分类讨论思想在解决抛物线问题时经常用到，如对抛物线的开口方向进行讨论，对直线的斜率是否存在进行讨论，对判别式Δ的取值范围进行讨论等.返回解后反思分类讨论思想在解决抛物线问题时经常用到，如对抛物线的开口方向当堂检测123451.以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为__________________.解析设抛物线y2＝2px或y2＝－2px(p>0)，解析答案得|y|＝p，∴2|y|＝2p＝8，p＝4.∴抛物线方程为y2＝8x或y2＝－8x.y2＝8x或y2＝－8x当堂检测123451.以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦123452.若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为____________.解析答案12