初三数学暑假衔接班讲义(合计18讲-可修改编辑)

初三数学暑假班讲义初三数学暑假班讲义第第12页共53页暑假班培训初三数学学习资料目录本次培训具体计划如下，以供参考：第一讲第二讲第三讲第四讲第五讲第六讲第七讲第八讲第九讲第十讲第十一讲第十二讲第十三讲第十四讲第十五讲第十六讲第十七讲第十八讲

如何做几何证明题平行四边形（包括矩形，菱形和正方形）的性质和判定平行四边形的提高篇（涉及中考的压轴题）梯形的辅助线和中考解题思路三角形和梯形中位线及其在中考中的解题技巧一元二次方程的解法（直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法）一元二次方程的判别式及其在中考题中的专项训练一元二次方程根与系数的关系（涵盖压轴题 5种关系一元二次方程的应用题（必讲章节）因式分解分式的运算分式的化简求值分式方程及其应用代数式的恒等变形相似三角形相似三角形（提高篇）第一讲：如何解决中考图形类证明题【知识梳理】1、几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。2、掌握分析、证明几何问题的常用方法：（1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决；（2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止；（3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。3、掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。【例题精讲】【专题一】证明线段相等或角相等两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。很多其它问题最后都可化归为此类问题来形的判定与性质等也经常用到。【例1】已知：如图所示， ABC中， C 90，AC BC，AD DB，AE CF。DE＝DFAE DC F BEC＝ED

ABC为等边三角形，延长 BC到D，延长BA到E，并且使AE＝BD，连结CE、DE。EA【例2AB＝CD，AD＝BCAE＝CF

B C D求证：∠E＝∠FEA DB CF【专题二】证明直线平行或垂直在两条直线的位置关系中，平行与垂直是两种特殊的位置。证两直线平行，可用同位角、内错角或同旁内角的关系来证，也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明。证两条直线垂直，可转化为证一个角等于等腰三角形“三线合一”来证。

90°，或利用两个锐角互余，或【例3】如图所示，设BP、CQ是ABC 的内角平分线，AH、AK分别为A到BP、CQ的垂线求证：KH∥BCAQ PK HB C【例4】已知：如图所示，AB＝AC，∠A 90，AE BF，BD DC。求证：FD⊥ED AEFB D C【专题三】证明线段和的问题（一）在较长线段上截取一线段等一较短线段，证明其余部分等于另一较短线段。 （截长法）【例5ABCD中，ADBCEAB上一个动点，若∠B＝60AB＝BC，DEC＝60BC＝AD＋AEA DEB C【巩固】已知：如图，在 ABC中， B 60，∠BAC、∠BCA的角平分线AD、CE相交于O求证：AC＝AE＋CD BE DOAC（二）延长一较短线段，使延长部分等于另一较短线段，则两较短线段成为一条线段，证明该线段等于较长线段。【例6】已知：如图7所示，正方形ABCD 中，F在DC上，E在BC上， EAF 45。

（补短法）EF＝BEDF

DFE C第二讲：平行四边形（包括矩形，菱形和正方形）的性质和判定【知识梳理】1、平行四边形：平行四边形的定义决定了它有以下几个基本性质：（1）平行四边形对角相等；（2）平行四边形对边相等；（3）平行四边形对角线互相平分。除了定义以外，平行四边形还有以下几种判定方法：（1）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形；（4）2、特殊平行四边形：一、矩形（1）有一角是直角的平行四边形是矩形（2）矩形的四个角都是直角；（3）矩形的对角线相等。（4）矩形判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形（5）矩形判定定理2二、菱形（1）把一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 .（2）定理（3）菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角 .（4）菱形的面积等于菱形的对角线相乘除以 2（5）菱形判定定理1：四边都相等的四边形是菱形（6）菱形判定定理2三、正方形（1）有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形（2）性质：①四个角都是直角，四条边相等②对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角（3）判定：①一组邻边相等的矩形是正方形②有一个角是直角的菱形是正方形【例题精讲】【例1】填空题：在下列特征中，（1）四条边都相等 平行四边形具有的是：（2）对角线互相平分（3）对角线相等 矩形具有的是：（4）对角线互相垂直（5）四个角都是直角 菱形具有的是：（6）每一条对角线平分一组对角（7）对边相等且平行 正方形具有的是：（8）邻角互补【巩固】1、下列说法中错的是（ ）A.四个角相等的四边形是矩形 四条边相等的四边形是正方形C.对角线相等的菱形是正方形 D对角线互相垂直的矩形是正方形2、如果一个四边形的两条对角线互相平分，互相垂直且相等，那么这个四边形是 ( )矩形 B.菱形 C.正方形 D.菱形、矩形或正方形3、下面结论中，正确的是（ A.对角线相等的四边形是矩形C.对角线互相垂直的四边形是菱形

对角线互相平分的四边形是平行四边形D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形4、如图，在△ABC中，点DEF分别在边ABBCCA上，且DECADFBA．下列四种说法：①四边形AEDF是平行四边形；②如果 BAC 90o，那么四边形AEDF是矩形；③如果AD平分 BAC，那么四边形AEDF是菱形；④如果AD BC且AB AC，那么四边形AEDF是菱形其中，正确的有 只填写序号）ＡＦＥＢ Ｄ Ｃ【例2】如图，在平行四边形 ABCD 中，点E，F分别是AD，BC的中点求证：四边形BFDE是平行四边形.A E DB F C【巩固】已知，如图9，E、F是四边形ABCD 的对角线AC上的两点，AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE四边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由．D CE FA B【例3】如图，梯形ABCD 中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于E．求证：四边形 AECD是菱形．D CA BE【例4】如图，在等边△ABC中，点D是BC边的中点，以AD为边作等边△ADE．（1）CAE的度数；（2）取AB边的中点FCF、CE，试证明四边形AFCE是矩形．AF EB D C【巩固】如图，O为矩形ABCD 对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD．（1）试判断四边形OCED 的形状，并说明理由；（2）若AB＝6，BC＝8，求四边形OCED 的面积．DO EC【例5】如图所示，在△ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD、等边△ACE、等边△BCF.（1）求证：四边形DAEF是平行四边形；FEDAB C（2）（只填满足的条件，不需证明）ABC满足ABC满足ABC满足

条件时，四边形DAEF是矩形；条件时，四边形DAEF是菱形；条件时，以D、A、E、F为顶点的四边形不存在 .第三讲：平行四边形的提高篇（涉及中考的压轴题）【知识梳理】由平行四边形的结构知，平行四边形可以分解为一些全等的三角形，并且包含着平行线的有关性质，因此，平行四边形是全等三角形知识和平行线性质的有机结合，平行四边形包括矩形、菱形、正方形。另一方面，平行四边形有许多很好的性质，使得构造平行四边形成为解几何题的有力工具。【例题精讲】【例1】四边形四条边的长分别为 m、、、q，且满足m2 n2 p2 q2 2mn 2pq，则这个四边形是（ 平行四边形 对角线互相垂直的四边形平行四边形或对角线互相垂直的四边形 D.对角线相等的四边形【例2】如图①，四边形 ABCD是正方形， 点G是BC上任意一点，DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F.DE－BF＝EF当点G为BC边中点时， 试探究线段EF与GF之间的数量关系， 并说明理由．若点G为CB明

DE、BF、EF之间的数量关系（不需要证【巩固】如图1，在边长为5的正方形（1）求ECCF的值；

ABCD中，点E、F分别是BC、DC边上的点，且AE EF，BE 2.（2）延长EF交正方形外角平分线 CP于点P（如图13－2，试判断AE与EP的大小关系，并说明理由；（3）在图2AB由．

M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理A D A DFB E C图1

F PB E C图2【例3ABCD中，已知AD＝12AB＝5PAD边上任意一点，PEBD于EPFAC于FPEPF的值。【例4】如图，在△ABC中，∠BAC＝90ADBCBE、AF分别是∠ABCDAC的平分线，BE和AD交于GAC。【例5Rt△ABC中，∠BAC＝90ADBC于D，BG平分∠ABCEFBC且交AC于F。求证：AE＝CFAGE FB D C第四讲：梯形的辅助线和中考解题思路【知识梳理】与平行四边形一样，梯形也是一种特殊的四边形，其中等腰梯形与直角梯形占有重要地位，本讲就来研究它们的有关性质的应用。一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫梯形， 等腰梯形是一类特殊的梯形， 其判定和性质定理与等腰三角形的判和性质类似。通过作辅助线，把梯形转化为三角形、平行四边形，这是解梯形问题的基本思路，常用的辅助线的作法是：1、平移腰：过一顶点作一腰的平行线；2、平移对角线：过一顶点作一条对角线的平行线；3、过底的顶点作另一底的垂线。熟悉以下基本图形、基本结论：【例题精讲】中位线概念：三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形的中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并等于第三边的一半。梯形的中位线性质：梯形的中位线平行于两底，并等于两底和的一半。【例题精讲】【例1】如图所示，在梯形 ABCD中，AD∥BC，AB＝8，DC＝6，∠B＝45°，BC＝10，求梯形上底AD的长.A DB C【例2】如图所示，在直角梯形 ABCD 中，∠A＝90°，AB∥DC，AD＝15，AB＝16，BC＝17.求CD的长.D CB【例3】如图所示，在等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，BD＝6cm.求梯形ABCD 的面积.A DC【例4】如图所示，四边形 ABCD中，AD不平行于BC，AC＝BD，AD＝BC.判断四边形ABCD 的形状，并证明你的结论 .D CA B【巩固】1、如图所示，已知等腰梯形的锐角等于 60°，它的两底分别为 15cm和49cm，求它的腰长.A DB C初三数学暑假班讲义初三数学暑假班讲义2、如图所示，已知等腰梯形 ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AD＋BC＝10，DE⊥BC于E，求DE的长.A DB CE3、如图所示，梯形 ABCD 中，AB∥CD，∠D＝2∠B，AD＋DC＝8，求AB的长.D CA B【例5】已知：如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，E是CD的中点，且AE⊥BE.求证：AD＋BC＝ABA DEB C【巩固】如图所示，梯形求证：DE⊥AE。

ABCD ADBCECD的中点，且ADBC＝ABA DEB C【例6】如图，在梯形ABCD 中，AD∥BC，E、F分别是AD、BC的中点，若∠B＋∠C＝90°.AD＝7，BC＝15，求EF．

A E D

第12页共53页B F C初三数学暑假班讲义初三数学暑假班讲义【例7】如图，等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，M、N分别是AD、BC的中点，E、F分别是BM、CM的中点。（1）求证：四边形MENF是菱形；（2）若四边形MENF是正方形，请探索等腰梯形 ABCD 的高和底边BC的数量关系，并证明你的结论。A MDE FB CN【巩固】如图，在等腰梯形 ABCD 中，已知AD∥BC，AB＝DC，AD＝2，BC＝4，延长BC到E，使CE＝AD．（1）写出图中所有与△DCE全等的三角形，并选择其中一对说明全等的理由；（2）探究当等腰梯形 ABCD的高DF是多少时，对角线 AC与BD互相垂直？请回答并说明理由．A DB F C E【例8】已知：如图，在梯形 ABCD 中，AB∥CD，∠A＝60°，AD＝BC＝DC求证：AB

2CD. D CA B第五讲：三角形和梯形中位线及其在中考中的解题技巧【知识梳理】1、三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。2、中位线性质定理的结论，兼有位置和大小关系，可以用它判定平行，计算线段的长度，确定线段的和、差、倍关系。3、运用中位线性质的关键是从出现的线段中点，找到三角形或梯形，包括作出辅助线。4、中位线性质定理，常与它的逆定理结合起来用。它的逆定理就是平行线截比例线段定理及推论，第13页共53页初三数学暑假班讲义初三数学暑假班讲义①一组平行线在一直线上截得相等线段，在其他直线上截得的线段也相等②经过三角形一边中点而平行于另一边的直线，必平分第三边③经过梯形一腰中点而平行于两底的直线，必平分另一腰5、有关线段中点的其他定理还有：①直角三角形斜边中线等于斜边的一半②等腰三角形底边中线和底上的高，顶角平分线互相重合③对角线互相平分的四边形是平行四边形④线段中垂线上的点到线段两端的距离相等因此如何发挥中点作用必须全面考虑。【例题精讲】【例1】已知△ABC中，D是AB上一点，AD=AC，AE⊥CD于E，F是BC的中点，试说明 BD=2EF。CE FA D B【巩固】已知在△ABC中，∠B=2CADBC于DM为BC1求证：DM 2ABAB D M C【例2】已知E、F、G、H是四边形ABCD 各边的中则①四边形EFGH 是 形②当AC＝BD时，四边形EFGH 是 形③当AC⊥BD时，四边形EFGH 是 形④当AC和BD 时，四边形EFGH 是正方形。【巩固】如图，等腰梯形ABCD 中，AD∥BC，M、N分别是AD、BC的中点，E、F分别是BM、CM的中点。（1）求证：四边形MENF 是菱形；（2）若四边形MENF 是正方形，请探索等腰梯形 ABCD的高和底边BC的数量关系，并证明你的结论。A MDE FB【例3】梯形ABCD 中，AB∥CD，M、N分别是AC、BD的中点。求证：MN＝

N C1（AB－CD）2D CM N第14页共53页初三数学暑假班讲义初三数学暑假班讲义A B初三数学暑假班讲义初三数学暑假班讲义【巩固】如图，在四边形ABCD 中，AB＞CD，E、F分别是对角线BD、AC的中点。EF2

CD)ADE FB C解答第2题图【拓展】E、F为四边形ABCD 的一组对边AD、BC的中点，若EF＝1(2明理由。

CD

，问：四边形

ABCD 为什么四边形？请说CDFEA B【例4ABCD中，H分别是ADBCAB=CD.BACD的延长线交HG的延长线于

EFBEH=∠CFH.【例5ABC的三边长分别为AB＝14BC＝16AC＝26，PA的平分线AD上一点，且点，求PM的长。APB D M C

BP⊥AD，M为BC的中第15页共53页初三数学暑假班讲义初三数学暑假班讲义第第51页共53页【巩固】已知：△ABC中，分别以ABAC为斜边作等腰直角三角形求证：PM＝PN

ABM和CAN，P是BC的中点。AMNB P C第六讲：一元二次方程的解法（直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法）【知识梳理】形如ax2 bxc 0a 0的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法，而式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。求根公式x

b b2 2a

内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美。【例题精讲】【例1】选用恰当的方法解方程（基础题）：（）22x=0（2）29=0（3）(1－3x)2＝1；（（－2（＋1）＝0 （5）x＋8＝2

（6）

7x60（7）x2 4x210 （8）2x150 （9）4x2 12x90（10）a24a 210 （11）x2 11x180 （12）2x2 x30（13）（－6）＝2 （14（2＋1）2＝（2＋1） （15）2b（16）3a2 4a40 （17）3b2 14b 5 （18）23x2（19）x4 x2 200 （20）(3x5(3x5)60；

7b15 0x 30【例2】用适当的方法解下列关于 x的方程（提高题）：1（1）3x24x3 5； （2） x3

2x3327 0；（3）5x32 12 45x3； （4）3x1x1 4x1x1；（5）2 3x2 231x6 0。【巩固】用适当的方法解下列关于 x的方程：（1）x22 9x12 0；

（2）x2

6axb2 9a2；（3）2x2 22 3x 6 0。【拓展】解方程： 6x723x 4【例3】解方程：x2 3x40。【巩固】解方程：（1）x2 x110；

1 6

（4）（2）

2x1xxx

3 40。

13x。【例4】解关于x的方程： m 1x

2m 1x

3 0。【巩固】解关于x的方程：x2 4px4p2 5x10p6 0。第七讲：一元二次方程的判别式及其在中考题中的专项训练【知识梳理】2一、一元二次方程ax

bxc 0a 0根的情况：令 b

4ac。1、若 0，则方程有两个不相等的实数根：

b b2 4ac b ，x

4ac；12、若 0，则方程有两个相等的实数根： x

2a 2 2ab；13、若 0，则方程无实根（不代表没有解） 。二、1、利用判别式，判定方程实根的个数、根的特性

2 2a2、运用判别式，建立等式、不等式，求方程中参数或参数的取值范围；3、通过判别式，证明与方程有关的代数问题；4、借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题、最值问题。【例题精讲】【例1】已知方程ax2 4x10；则①当a取什么值时，方程有两个不相等的实数根？②当a取什么值时，方程有两个相等的实数根？③当 a取什么值时，方程没有实数根？【巩固】1、已知关于x的方程x2 22mx36m 0求证：无论m取什么实数，方程总有实数根；2、已知关于x的一元二次方程 12k2k1x10有两个不相等的实数根，求 k的取值范围。【拓展】关于x【拓展】关于x的方程kx2k1x10有有理根，求整数k的值。【例2】已知关于x的方程x2k2x2k0。（1）求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根；（2）若等腰三角形ABC的一边长a1，另两边长、c恰好是这个方程的两个根，求ABC的周长。【巩固】1ABC中，BC=8AB、AC的长是关于x的方程x210xm0的两根，则m。2、在等腰三角形ABC中，A、B、C的对边分别为、、a3，bc是关于x的方程x2mx21m0的两个实数根，求三角形 ABC的周长。【拓展】已知对于正数一个三角形。

a、b、c，方程c2x2 a2 b2

xb2 0没有实数根，求证：以长 a、b、c的线段为边能组成【巩固】已知关于x的方程x3 1ax2 2axa2 0有且只有一个实根，则实数 a的取值范围是 。第八讲：一元二次方程根与系数的关系（涵盖压轴题 5种关系）【知识梳理】一元二次方程ax2 bxc0a 0的根与系数的关系（韦达定理）设方程的两个根x

，则x

b，xx c1 2 1

a 12 a。韦达定理用途比较广泛，运用时，常需要作下列变形：。（1）x2 x1 2

x x1 2

2xx；12x x（2）2 x x

x2 x1 2xx

x x21 2xx

2xx12；1 2 12 12（3）x3 x3 x x

x23xx；1 2

2 1 2 12（4）x x

x x

4xx；1 2（5）x x

1 x x2

12x x

4xx。1 2 1

1 2 12【例题精讲】【例1】求下列方程的两根之和，两根之积。（1）x2－2x＋1＝0； （2）x2－9x＋10＝0；解：x x

，xx

解：x x

，xx1 2 12 1 2 12（3）2x2－9x＋5＝0； （4）4x2－7x＋1＝0；解：x x1 2

，xx12

解：x x1 2

，xx12 （5）2x2－5x＝0； （6）x2－1＝0解：x x1 2

，xx12

解：x x1 2

，xx121 【例2xx是方程2x2+41 （1）（

+1）（

+1）= ；（2）

x2+x

x x211x22= ； （3）x x=211 2+x（4）（x+x1

2）2= ； （5）（

－

）2= ； （6）

3+x

23= ．【例3】解答下列问题：（1）设关于x的一元二次方程x2 4x2k1 0有两个实数根x、

，问是否存在1 22x x x21 2

x的情况？（2）已知：xx1 2

是关于x的方程x2 2a1xa2 0的；两个实数根，且 x 2x1 2

2 11，求a的值。【巩固】1、已知关于x的方程x2 4xa 0有两个实数根，且2x x1 2

7，则a 。2、已知 、是方程x

x1

的两个实数根，则代数式

2 2 2的值为 。m2m【例4】已知关于x的方程：x2 m 2x 0。4（1）求证：无论m取什么实数值，这个方程总有两个相异实根；（2）若这个方程的两个实根 x、x1 2

满足x2

x 2m的值及相应的xx。1 1 2【巩固】已知关于x的方程x2 2k3xk2 10。（1）k为何值时，此方程有实数根；（2）若此方程的两个实数根 x1、x2满足x1 x2 3，求k的值。【例4】CD是Rt△ABC斜边上的高线，AD、BD是方程x2 6x4 0的两根，则△ABC的面积是多少？【巩固】已知△ABC的两边AB、AC的长是关于x二次方程x2 2k3xk2 3k2 0的两个实数根，第三边 BC的为5。（1）k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形；（2）k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ ABC的周长。第九讲：一元二次方程的应用题【知识梳理】方程是刻画现实问题的有效模型之一， 一元二次方程是方程模型的重要代表， 许多实际问题可转化为解一元二次方程、 究一元二次方程根的性质而获解。列一元二次方程解应用题的一般步骤与列一元一次方程解应用题的一般步骤基本相同， 解题的关键是恰当设未知数、 分数量关系，将实际问题中内在、本质的联系抽象为数学问题，建立二次方程模型解决问题。【例题精讲】【例1】要建一个面积为 150m2的长方形养鸡场，为了节省材料，鸡场的一边靠着原有的一条墙，墙长 am，另三边用竹篱笆围成，如果篱笆的长为 35m。（1）求鸡场的长和宽各为多少？（2）题中墙的长度am对题目的解起着怎样的作用？【例2】某博物馆每周都吸引大量中外游客参观，如果游客过多，对馆中的珍贵文物会产生不利影响；但同时考虑文物的修缮和保存费用问题，还要保证一定的门票收入，因此博物馆采用了涨浮门票的价格来控制参观人数，在该方法实施过程中发现：每周参观人数与票价之间存在着如图所示的一次函数关系，在这样的情况下，如果确保每周4万元的门票收入，那么每周应限定参观人数是多少？门票价格应是多少元？人数（人）7000600050004000300020001000【例3】将进货单价为40元的商品按50元售出时，就能卖出 500个0知这（1）求鸡场的长和宽各为多少？（2）题中墙的长度am对题目的解起着怎样的作用？【例2】某博物馆每周都吸引大量中外游客参观，如果游客过多，对馆中的珍贵文物会产生不利影响；但同时考虑文物的修缮和保存费用问题，还要保证一定的门票收入，因此博物馆采用了涨浮门票的价格来控制参观人数，在该方法实施过程中发现：每周参观人数与票价之间存在着如图所示的一次函数关系，在这样的情况下，如果确保每周4万元的门票收入，那么每周应限定参观人数是多少？门票价格应是多少元？人数（人）7000600050004000300020001000问为了赚得8000元的利润，售价应定为多少？这时应进货多少个？【例4】甲、乙二人同时从同一地点相背而行， 1小时后分别到达各自的终点 A与B，若让他们仍从原地出发，互换彼此到达的目的地，则甲将在乙到达 A之后35分钟到达B，求甲与乙的速度之比。【例5】一支士兵队伍长 1200米，在行军途中，队伍正中间的某士兵接受任务，追赶队伍的排头兵，并在到达排头后立即回到末尾，然后再立即返回队伍正中间，在他完成任务时，队伍已经前进了 1200米，如果行军途中队伍和他的速度都保持不变，那么这位士兵共走了多少路程？【例6】象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记 2分，输者记0分，如果平局，两个选手各记 1分，今有4个同学统计了比赛中全部选手的得分总数，分别是 1980、1981、1993、1994，经核实确实有一位同学统计无误，试算这次比赛中共有多少名选手参加。【巩固】1、在青岛市开展的创城活动中，某居民小区要在一块靠墙（墙长 15m）的空地上修建一个矩形花园 ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围成（如图所示），若设花园的BC边长为xm，花园的面积为 ym2。（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量 x的取值范围；（2）满足条件的花园面积能达到 200m2吗？若能，求出此时 x的值；若不能，说明理由；（3）当x取何值时，花园的面积最大？最大面积为多大？DC2、某水果批发商场有一种高档水果， 如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少 20千克，现该商场要保证每天盈价多少元？

6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨3、甲乙两条船分别从河的两岸同时出发，它们的速度是固定的。第一次相遇距河的一岸 700米处，然后继续前进，都到达对岸后立即折回，第二次相遇距河的另一岸 400米处，如果认为船到岸调转方向时不耽误时间，问河有多宽？4、一支士兵队伍长 100米，在行军途中，队伍正中间的某士兵接受任务，追赶队伍排头，并在到达排头后立即回到队伍的末尾，然后再立即返回队伍正中间，在他完成任务时，队伍已前进了 100米，如果行军途中队伍和他的速度都保持不变，那么位士兵共走了多少路程？第十讲：因式分解【知识梳理】一、因式分解：1、常用的公式：平方差公式：a

b2 abab；完全平方公式：a2 2abb2 ab2；a2 b2 c2

2ab2bc2ca abc2；a2 b2

c2 2ab2bc

abc2；a2 b2

c2 2ab 2bc

abc2；立方和（差）公式： a3 b3 aba2 abb2；a3 b3

aba2

abb2；2、许多多项式分解因式后的结果在解题中经常用到，我们应熟悉以下的常用结果：（1）abba1a1b1；（2）abab1a1b1；（3）a4

a2 2a2a

2a2；（4）4a4

2a2 2a12a

2a1；（5）a2 b2

2ab 2bc

abc2；（6）a3 b3 c3 3abc abca2 b2 c2 abbcac。二、分式：A1、分式的意义：形如B

（AB为整式），其中B当分子为零且分母不为零时，分式的值为零，而当分母为零时，分式没有意义。2、分式的性质（1）

AB

M（其中M是不为零的整式）。M（2）分式的符号法则：分子、分母与分式本身的符号，改变其中的任何两个，分式的值不变。1（3）倒数的性质：aa

1a0，a 1a

11a 0aa

1，则an

1n1（a0，n是整数）；a1a 2a0。a3、分式的运算a 分式的运算法则有：c

aba ，c b d

ad bc ac；bd bd

aca，bdbd

ad a，bcb

an（n是正整数）。bn4、分式的变形分式的基本性质是分式变形的理论根据之一，分式变形的常用方法有：设参法（主要用于连比式或连等式） ，拆项法（分离变形），因式分解法，分组通分法和换元法等。三、二次根式：1、当a0时，称 a为二次根式，显然 a 0。2、二次根式具有如下性质：；（1） a2 aa0；（3）ab a ba b

（2）a2a； （4）b

a，当a0时，aa，当a 时；aa0。b3、二次根式的运算法则如下：n（1）acbc abcc0； （2） a ann4、设a，b，d，m Q，且m不是完全平方数，则当且仅当

a0。ac，b d时，abm cdm。【例题精讲】【例1】分解因式：x2

xy6y

x13y6【巩固】分解因式：1、x2 xy2y2 x5y2； 2、3x2 5xy2y2 x9y4；【例2】已知a、b、c是一个三角形的三边，则 a4 b4 c4 2a2b2 2b2c2 2c2a2的值是（ A.恒正 B.恒负 C.可正可负 D非负【例3】已知a、b是实数，且 1a2 a1b2 b 1，问a、b之间有怎样的关系？请推导。【专题训练】1、已知abab113，求ab的值为 ；2、多项式x2 axyby2 5xy6的一个因式是xy2，试确定ab的值为 3、设3ba2c，求a2 9b2 4c2 4ac的值。4、若

abc 0，且设ab bc ca

abbccac a b abc5、已知1

xy yz，2x y y

zx，则，3 ，则x ；，则zx6、已知a x2 1991，bx2 1992，cx2 1993，且abc24，则abc111bccaababc3x2 6x57、当x

1 的最小值为x2 x12x8、设

x31，则 ；x2 mx

x6 m3x3 1 9、已知实数a满足1992a a1993 a，则a19922 ；

26；2 3 51、已知 xa

a，则 4xx2

39 432的整数部分为a，小数部分为b

11 11；ab a4b、设等式 axa aya xa ay在实数范围内成立，其中a，y两两不同，则3x2x2

xyy2；xyy2、使等式 x y 99成立的整数对 y的个数为 ；15、设正整数a，m，n满足 a2 42 m n，则这样的a，m，n的取值有 组；16

1 2 22 2n1x1

1

1x2n111b2c2a2c111b2c2a2c2a2b2a2b2c2、若abcabc0，计算1b21c2 1a21c2 1a21b2 的值。bc ac ab第11讲：分式的运算【知识梳理】A形如 （A、B为整式），其中B中含有字母的式子叫分式。B当分子为零且分母不为零时，分式的值为零，而当分母为零时，分式没有意义。二、分式的性质（1）分式的基本性质：AM ABM B（2）分式的符号法则：

（其中M是不为零的整式）。分子、分母与分式本身的符号，改变其中的任何两个，分式的值不变。（3）倒数的性质：11、aa

11a0，aa

1a0；2、若a

11an

1（a0，n是整数）；3、a

a a12a0。a三、分式的运算分式的运算法则有：a b ab

a c ad bc， ；c c c b d bdc aca，

ad a，

an（n是正整数）。d bd

d

b bn四、分式的变形分式的基本性质是分式变形的理论根据之一，分式变形的常用方法有：设参法（主要用于连比式或连等式） ，拆项法（分离变形），因式分解法，分组通分法和换元法等。【例题精讲】【例1（1）m

时，分式

m1m3的值为零；m2 3m 2（2）

1有意义，则x的取值范围是 。1xx思路点拨：当分式的分母不为零时，分式有意义；当分子为零，分母不为零时，分式的值为零。【巩固】1、若分式

3x2 2

的值为0，则x的值为 ；x 4x4a2 42、若使分式113a没有意义，则a的值为 ；2ax2【拓展】当x取何值时，分式 有意义？x2 5x6【例2】化简下列分式：（1）

2x 1 x2x2 4 x2 x1

（2）

1 1 2x1x1x21

4x4

81（3）

1 1 1 1。x1 x1x2 x2x3 x99x100【巩固】化简：nm

m2 n2（1）

m 2n m2 4mn 4n2（2）

1 1 1；a2 3a2 a25a6 a2 7a12【例3

x y

x，A ，y

x1y ，试比较AB的大小；2【巩固】比较两数

5678901234

5678901235与

的大小。6789012345 6789012347【例4】化简：

yz2 zx2 xy2。xyxz yxyz zxzy【巩固】化简：

yxzx zyxy xzyzx2yzxy2z xy2zyz2x yz2xx2yz第12讲：分式的化简求值【知识梳理】1、先化简后求值是解代数式化简求值问题的基本策略，分式的化简求值通常分为有条件和无条件两类。给出一定的条件并在此条件下求分式的值的问题称为有条件的分式化简求值，解这类问题，既要瞄准目标，又要抓住条件，既要依据条件逼近目标，又要能根据目标变换条件。常常用到如下策略：（1）适当引入参数；（2）拆项变形或拆分变形；（3）整体代入；（4）2、基本思路（1）由繁到简，即从比较复杂的一边入手进行恒等变形推到另一边；（2）两边同时变形为同一代数式；左边（3）证明：左边右边 0，或右边

1

右边 0。3、基本方法在恒等变形的过程中所用的方法有配方法、消元法、拆项法、综合法、分析法、比较法、换元法、待定系数法、设参数法以及利用因式分解等诸多方法。【例题精讲】【例1（1）已知x2y0

x2 3xy y2；2x2 xy3y2；（2）已知1 1 5，则2x5xy2x y x2xyy；（3）

a b c

3a2bc；3 4 5 a2b3c【例2】若x

ab bc cc a b

，求x的值？【例3】已知

abc0，且a b c

3a2bc的值？b c a a2b3c【巩固】若

b c d，则c d a

abcdabc

的值是 ；，求【例4】已知：x2 x10，求x，求

1的值。x4【巩固】（1）已知a23a10

a3a6

的值为 ；x4 2x1（2）若x2 x10，则 ；x5【例5】已知a、b、c为实数，且 ab 1，bc 1，caab 3 bc 4 ca【例6】已知abc1，求证： a b cab a1bcb1 acc思路点拨：由繁到简，化简左边，使左边等于右边。

1 abc，那么 的值是多少？5 abbcca1。11【巩固】已知：abc0，abc 0，求a(

11)b(

11)c(

)3的值。bc c a ab【例7】已知a

11，b

11，求cc

1的值。a【例8】已知x

ab bc c，y ，z

，求证：1x1y1z

1x1 y1z。ab bc ca思路点拨：左边和右边，变形为同一个代数式。a【巩固】已知b

a2 c2 b2 d2 ab2 cd23，求证： 。ac bd abcd第13讲：分式方程及其应用【知识梳理】解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程。解分式方程的一般步骤：（1）在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程；（3）验根：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否等于零，使最简公分母等于零的根是原方程的增根，必须舍去，但对于含有字母系数的分式方程，一般不要求检验。合题意。下面我们来学习可化为一元一次方程的分式方程的解法及其应用。较为复杂的分式方程可以采用换元法、约分来简化。【例题精讲】x【例1】解方程：（1） 1x 1

32)

（

x 21x1 x 1【例2】解方程：

6y12 y2 4 y222022y 4y4 y 4y4 y 4【例3】解方程：

1 1 1 12x10 (x1)(x2)3) (x9)(x10)x1x1x6x2x5x2x7x3x600323x4242x316x1943x89x874x【例5】解方程：

x2 4x72x72x1 x2 4x

180【拓展】解方程： 1 1 1 0x2 11x8 x2 2x8 x2 13x 82 mx【例6】m为何值时，关于x的方程x2 x

3会产生增根？x2【巩固】若解分式方程 2x m

x1产生增根，则m的值是（ ）或

x1B.

x x1或2C.或2 D.或2【例7】甲、乙两同学玩“托球赛跑”游戏，商定：用球拍托着乒乓球从起跑线 l起跑，绕过点P跑回到起跑线(如图所示)；途中乒乓球掉下时须捡起并回到掉球处继续赛跑，用时少者胜，结果：甲同学由于心急，掉了球，浪费了 6秒钟，乙同学则顺利跑完，事后，乙同学说：“我俩所用的全部时间的和为息，请问哪位同学获胜？

50秒，捡球过程不算在内时，甲的速度是我的P

1.2倍”，根据图文信30米l【巩固】轮船在一次航行中顺流航行 80千米，逆流航行42千米，共用了7小时；在另一次航行中，用相同的时间，顺流航行40千米，逆流航行70千米。求这艘轮船在静水中的速度和水流速度点拨：在航行问题中的等量关系是“船实际速度＝水速＋静水速度”第14讲二次根式的运算【知识梳理】1、当a0时，称 a为二次根式，显然 a 0。2、二次根式具有如下性质：2（1） a2

aa0；（2）a2

a，当aa0时，当a 0时（3）ab a ba b 0；aa0，b0。（4）b3、二次根式的运算法则如下：（1）acbc abcc0；（2） a

ana0。4、设a，b，d，m Q，且m不是完全平方数，则当且仅abm cdm。

ac，b d时，5、二次根式是代数式中应掌握的非常复杂的内容，其运算常用到换元、拆项相消、分解相约等方法，还应注意运用乘法公式、分母有理化等技巧，最后的结果一定要化成最简二次根式的形式。6、最简二次根式与同类二次根式（1）被开方数的指数与根指数互质；被开方数的每一个因式的指数都小于根指数；被开方数不含分母。适合上述这些条件的根式叫做最简根式。（2）几个根式化成最简根式后，如果被开方数都相同，根指数也都相同，那么这几个根式叫做同类根式。【例题精讲】【例1】已知y

x2 2 x2 25x4 45x

2，则x2 y2 。【巩固一】若x，y为有理数，且 2x1 12x y 4，则xy的值为 。【巩固二】已知y 1x x12009，则xy 。【拓展】若m适合关系式 3x5y2m 2x3ym x199y 199xy，

m的值。【例2】当a2b

a a2 4ab4b2。a2b a【巩固】1、化简 4x2 4x1 2x32的结果是 。2、已知a 0，则 2a a2等于（ ）A.a B.a C.3a D.3a3、已知b

a0c，化简 a

ca2 ab2 bc2。【例3】多重二次根式的化简：（1）423 423； （2）108322。【巩固】化简：（1）27102 ；（2）25 4625 ；（3） x4x15 x6x110 ；【巩固】计算：（1）

15 35 21

； （2）

115746。325 7 7 77 66 42第15讲二次根式的化简求值【知识梳理】有条件的二次根式化简求值问题是代数式的化简求值的重点与难点， 这类问题包容了有理式的众多知识， 又涉及最简根式同类根式、有理化等二次根式的重要概念，同时联系着整体代入、分解变形、构造关系式或图形等重要的技巧与方法，解题的关键是，有时需把已知条件化简，或把已知条件变形；有时需把待求式化简或变形；有时需把已知条件和待求式同时变形。【例题精讲】【例1】设x 5 5，y 5 5，求x6 y6的值。【巩固】211、设x

21，求x2 xy y2的值。21 2112、已知x ，

1 1 ，求

的值。2 3 2 3 x12 y12【拓展】已知x2 3，求x4 5x3 6x25x的值。【例2

x 1 2，那么 x x 的值等于 。x x2 3x1 x2 9x1【巩固】11、若 xa

a，则 4xx2的值为（ ）1aa

1aa1 x

1aax

不能确定2、已知 xx

5，求x2 x

x2 x

的值。【例3】已知a、b是实数，且 1a2 a1b2 b 1，问a、b之间有怎样的关系？请推导。【巩固】已知 x x2 2008y y2 2008 2008，求x2 3xy4y2 6x6y58的值。【例4】已知a、b

ab2，求U a2 4 b2

1的最小值。【巩固】求代数式 x2 4 12x2 9的最小值。第16讲：代数式的恒等变形【知识梳理】1、恒等式的意义两个代数式，如果对于字母在允许范围内的一切取值，它们的值都相等，则称这两个代数式恒等。2、代数式的恒等变形把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式叫做代数式的恒等变形。恒等式的证明，就是通过恒等变形证明等号两边的代数式相等。3、基本思路（1）由繁到简，即从比较复杂的一边入手进行恒等变形推到另一边；（2）两边同时变形为同一代数式；左边（3）证明：左边右边0，或右边

1，此时右边 0。4、基本方法在恒等变形的过程中所用的方法有配方法、消元法、拆项法、综合法、分析法、比较法、换元法、待定系数法、设参数法以及利用因式分解等诸多方法。【例题精讲】【例1abc1，求证： a b c 1【例1ab a1bcb1 acc1思路点拨：由繁到简，化简左边，使左边等于右边。【巩固】已知、、z为三个不相等的实数，且 x 1y

1 z

1，求证：x2x

y2z2 1。zx y a b c【拓展】若xyz0，a ，b ，c ，求证： 1。yz xz

xy a1b1c1【例2】证明：

xax a

yaya2

zaza2

1 1xa y

1 3。a a思路点拨：本题可采用比差法以及拆分法两种方法进行证明。【巩固】

211、求证a1

b 2 ab 12 4

a1b1ab 1。1a b ab a b ab12、求证：

b caab abab

d bcd。abcabcd aabcd【拓展】

2 4 6求证：14x2

20 11 11 11x2 100 x1x10 x2x9 x10x1ab bc ca【例3】已知x ，y ，zab bc 思路点拨：左边和右边，变形为同一个代数式。

，求证：1xa

y1z 1x1y1za【巩固】已知

c a2 c3，求证：3

b2 d

ab2

cd2。b d ac bd abcd【拓展】

已知实数

a、、c满足1 1 1 1

，求证：a b c abc1 1 1 1a2n1 b2n1 c2n1 a2n1 b2n1 c2n

，其中n是正整数。1【例4】已知ax3 by3 cz3，且x

1 1 1，求证：3ax2 by2 cz2 3a3b3c。y z第17讲：相似三角形【知识梳理】1、比例线段的有关概念：在比例式ab

cb d)a、d叫外项，b、cad

bddb＝c，那么b叫做a、d的比例中项。2、平行线分线段成比例定理：①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图： 1∥2∥。AB DE 则 ，BC EF AC

DE BC EF， ，DF AC DF②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。4、相似三角形的判定：①两角对应相等，两个三角形相似②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似③三边对应成比例，两三角形相似④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角形相似5、相似三角形的性质①相似三角形的对应角相等初三数学暑假班讲义初三数学暑假班讲义②相似三角形的对应边成比例③相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比④相似三角形周长的比等于相似比⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方3、常见三角形相似的基本图形、基本条件和基本结论：（1）如图1，当 时，ABC∽ADE（2）如图2，当（3）如图3，当

时，ABC∽AED。时，ABC∽ACD。A AADD E DEB C 图1

C B C图2 图3 A B B'（4）如图4，如图1，当ABED时，则△（5）如图5，当 时，则△（6）如右图，特殊图形（双垂直模型）

∽△ 。 A'∽△ 。 C C'∵∠BAC＝90°

AD BC

E'E D D'∴ ADC∽BDA∽BAC

图4 图5D C【例题精讲】【例1】如图所示，给出下列条件：① B ACD；② ADC ACB；③CD

AB；④AC2BC

ADAB．其中单独能够判定

△ABC∽△ACD的个数为（ ）A．1

B．2

C．3 D．4【巩固】1、如图，DE∥BC，DH∥EC交BC延长线于点试找出图中的相似三角形 ?若AE:AC＝则AC:DH＝ 。若△ABC的周长为4，则△BDH的周长为 若△ABC的面积为4，则△BDH的面积为

E DAB C H2、如图，在△ABCAB＝24AC＝18DAC上一点，AD＝12AB上取一点EADE三点为顶点组成的三角形与△ABC相似，则AE的长是A.16 B.14 C.16或14 D.16或93、如图，□ABCD 中，E是AB延长线上一点，连结 DE，交AC于G，交BC于F，那么图中相似三角形共有 对。EA DGB CF初三数学暑假班讲义初三数学暑假班讲义第47页共53页初三数学暑假班讲义初三数学暑假班讲义第第50页共53页【例2（1）如图，△ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点 D在AC上，连结BD并延长与CE交于点E．求证：△ABD∽△CEDAD EB C F（2）

AB ADAC

，∠BAD＝∠CAE，求证：△ADE ∽△ABC【巩固】如图，已知ADAB A